已知系统的开环传递函数课件

第4章 根轨迹法4-1 4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4-2 4-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析第4章 根轨迹法4-1 根轨迹的基本概念基本要求基本要求 1.1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。极点、偶极子等概念。2.2.正确理解和熟记根轨迹方程正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。益和开环增益。3.3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益益K K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。4.4.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点根轨迹法根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由递函数之间的关系，直接由开环开环传递函数零、传递函数零、极点求出极点求出闭环闭环极点（闭环特征根）。这给系极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。统的分析与设计带来了极大的方便。闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。意义的。根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由定义定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征）从零变到无穷时，闭环特征根在根在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念当闭环系统为当闭环系统为正正反馈时，对应的轨迹为反馈时，对应的轨迹为零零度度根根轨迹；而轨迹；而负负反馈系统的轨迹为反馈系统的轨迹为 根轨迹。根轨迹。1 1、根轨迹概念、根轨迹概念定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从例例4-14-1如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：例4-1如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：开环传递函数开环传递函数有两个极点有两个极点 。没有零点，开环增益为没有零点，开环增益为K。闭环特征方程闭环特征方程为为闭环特征根闭环特征根为为 闭环传递函数闭环传递函数为为开环传递函数有两个极点 从特征根的表达式中看出每个特征根都随从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变的变化而变化。例如，设化而变化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设 如果把不同如果把不同K值的闭环特征值的闭环特征根布置在根布置在s平面平面上，并连成线，上，并连成线，则可以画出如则可以画出如图所示系统的图所示系统的根轨迹。根轨迹。如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成稳定性稳定性 当当K K由由0 0，根轨迹不，根轨迹不会进入会进入s s右半边，即系统总是稳定的。右半边，即系统总是稳定的。稳态特性稳态特性 坐标原点有一个开环极点，坐标原点有一个开环极点，所以属所以属I I型系统，根轨迹上的型系统，根轨迹上的 K K值就是值就是K Kv v。如果已知。如果已知e essss，则在根轨迹上可确，则在根轨迹上可确定闭环极点取值范围。定闭环极点取值范围。动态特性动态特性当当0 K1 0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。阶跃响应为衰减振荡过程。2、根轨迹与系统性能、根轨迹与系统性能稳定性 当K由0，根轨迹不会进入s右半边，即系统总3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递函数为如图所示系统闭环传递函数为（41）3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递将前向通道传递函数将前向通道传递函数G（s）表示为：）表示为：（42）将前向通道传递函数G（s）表示为：（42）为前向通道增益，为前向通道增益，为前向通道根轨迹增益为前向通道根轨迹增益 式中式中 为反馈通道的根轨迹增益。为反馈通道的根轨迹增益。（44）（43）为前向通道增益，为前向通道根轨迹增益 （45）问：问：f与与l、q与与h有什么关系？有什么关系？（45）问：f与l、q与h有什么关系？闭环传递函数闭环传递函数分别为闭环零、极点闭环零、极点。式中：（46）闭环传递函数分别为闭环零、极点。式中：（46）比较式（比较式（42）和式（）和式（46）可得出以下结论）可得出以下结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、零闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益点以及开环根轨迹增益 有关。有关。根轨迹法根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。比较式（42）和式（46）可得出以下结论闭环系统根轨迹增4、根轨迹方程、根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 式中式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。出开环传递函数与闭环极点的关系。闭环特征方程闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-7）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。4、根轨迹方程根轨迹方程闭环特征方程设开环传递函数有设开环传递函数有m个零点，个零点，n个极点，并假定个极点，并假定nm，这时根轨迹方程又可以写成：，这时根轨迹方程又可以写成：（48）不难看出，式子为关于不难看出，式子为关于s的复数方程，因的复数方程，因此，可把它分解成此，可把它分解成模值方程模值方程模值方程模值方程和和相角方程相角方程相角方程相角方程。设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定nm，这时根轨迹相角方程（49）模值方程（410）相角方程（49）模值方程（410）注意注意 在实际应用中，用在实际应用中，用相角方程相角方程相角方程相角方程绘制根轨迹，绘制根轨迹，而而模模模模 值方程值方程值方程值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点主要用来确定已知根轨迹上某一点的的 值。值。模值方程不但与开环零、极点有关，还与开模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。极点有关。相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。条件。注意 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模 值方例例4-24-2它们应满足相角方程它们应满足相角方程（49）已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数:试证明复平面上点试证明复平面上点 是该系统的闭环极点。是该系统的闭环极点。若系统若系统闭环闭环极点为极点为证明：证明：该系统的该系统的开环开环极点极点例4-2它们应满足相角方程（49）已知系统的开环传递函数:例例41开环零、极点分布图开环零、极点分布图例41开环零、极点分布图(k=0)以以 为试验点，可得为试验点，可得以以 为试验点，观察右图，可得为试验点，观察右图，可得(k=0)以 为试验点，可得以 为试验点，观察右证毕可见，可见，都满足相角方程，都满足相角方程，所以，所以，点是闭环极点。点是闭环极点。证毕可见，都满足相角方程，例4-3已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 当当 变化时其根轨迹如图变化时其根轨迹如图4-24-2所示，所示，求根轨迹上点求根轨迹上点 所对应的所对应的K K值。值。解解 根据模值方程求解根据模值方程求解 值值模值方程模值方程例4-3已知系统开环传递函数 根据图可得根据图可得所以所以根据图可得所以上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的对应的 值。值。根轨迹法根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹根轨迹。返回返回上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环根轨迹起于开环极点，终于开环零点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。法则法则1、根轨迹的起点与终点、根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有：由根轨迹方程有：42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则根轨迹起于开环极点，终于开环零点。法则1、根轨迹的起点与终点 若开环零点数若开环零点数m 开环极点数开环极点数n (有有 个开环零点在无穷远处个开环零点在无穷远处)则有则有()条根轨迹趋于无穷远点条根轨迹趋于无穷远点 起点终点 若开环零点数m 开环极点数n (有 一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数 分支数开环极点数分支数开环极点数 开环特征方程的阶数开环特征方程的阶数二、根轨迹对称于实轴二、根轨迹对称于实轴 闭环极点为闭环极点为 实数实数在实轴上在实轴上 复数复数共轭共轭对称于实轴对称于实轴法则法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数、对称性和连续性三、根轨迹具有连续性三、根轨迹具有连续性一、根轨迹的分支数二、根轨迹对称于实轴法则2 根轨迹的分支数法则法则3、根轨迹的渐近线、根轨迹的渐近线渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴相交点的坐标为：渐近线与实轴相交点的坐标为：法则3、根轨迹的渐近线渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实例例4-4已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试根据法则试根据法则3，求出根轨迹的渐近线。，求出根轨迹的渐近线。极点极点解：解：零点零点例4-4已知系统的开环传递函数试根据法则3，求出根轨迹的渐近按照公式得按照公式得按照公式得以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线已知系统的开环传递函数课件对应的开环传递函数对应的开环传递函数(a)(b)(c)(d)对应的开环传递函数(a)(b)(c)(d)法则法则4、根轨迹在实轴上的分布、根轨迹在实轴上的分布实轴上根轨迹区段实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、的右侧，开环零、极点数目之和应为极点数目之和应为奇数。奇数。证明：设一系统开环零、设一系统开环零、极点分布如图。极点分布如图。法则4、根轨迹在实轴上的分布实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、在实轴上任取一试验点在实轴上任取一试验点 代入相角方程则代入相角方程则所以相角方程成立，即所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。是根轨迹上的点。在实轴上任取一试验点 代入相角方程则所以相角方程成立，即一般，设试验点右侧有一般，设试验点右侧有L个开环零点，个开环零点，h个个开环极点，则有关系式开环极点，则有关系式证毕证毕如满足相角条件必有如满足相角条件必有所以，所以，L-h必为奇数，当然必为奇数，当然L+h也为也为奇数。奇数。一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式证例例4-5设一单位负反馈系统的开环传递函数为设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求求 时的闭环根轨迹。时的闭环根轨迹。解：解：将开环传递函数写成零、极点形式将开环传递函数写成零、极点形式例4-5设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+最后绘制出根轨迹图。最后绘制出根轨迹图。法则法则1，两条根轨迹分别起始于开环极点两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点，一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处。，另一条趋于无穷远处。法则法则2，有两条根轨迹，有两条根轨迹法则法则4，在负实轴上，在负实轴上，0到到1区间和区间和2到负无到负无穷区间是根轨迹。穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行：按绘制根规迹法则逐步进行：最后绘制出根轨迹图。按绘制根规迹法则逐步进行：例例44根轨迹根轨迹例44根轨迹法则法则5、根轨迹的分离点与分离角、根轨迹的分离点与分离角定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面平面上相遇又分开的点。上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。极点之间至少存在一个会合点。法则5、根轨迹的分离点与分离角定义：几条（两条或两条以上）根分离点的坐标分离点的坐标d可由下面方程求得可由下面方程求得式中：式中：为各开环零点的数值，为各开环零点的数值，为各开环极点的数值。为各开环极点的数值。分离点的坐标d可由下面方程求得式中：为各开环零点的数法则法则6、根轨迹的起始角和终止角、根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角根轨迹的终止角是指终止于某开环是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。方向的夹角。根轨迹的起始角根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。的切线与水平正方向的夹角。法则6、根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角是指终止于某开环终止角计算公式：终止角计算公式：起始角计算公式：起始角计算公式：终止角计算公式：起始角计算公式：例例4-6设系统开环传递函数设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。试绘制系统概略根轨迹。解解 将开环零、极点画在图将开环零、极点画在图4 44 4的根平面的根平面 上，逐步画图：上，逐步画图：例4-6设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。解 将开环 n=2，有两条根轨迹，有两条根轨迹 两条根轨迹分别起始于开环极点两条根轨迹分别起始于开环极点(-1-j2),(-1+j2)；终于开环零点终于开环零点 (-2-j),(-2+j)确定起始角确定起始角,终止角。终止角。如图例如图例46所示。所示。n=2，有两条根轨迹 两条根轨迹分别起始于开环极点(-1例46根轨迹例46根轨迹例例46根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角例46根轨迹的起始角和终止角例例4-74-7已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概，并概略绘制出根轨迹图。略绘制出根轨迹图。例4-7已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标解：根据系统开环传递函数求出开环极点解：根据系统开环传递函数求出开环极点按步骤：按步骤：n=2,m=1,有两条根轨迹有两条根轨迹两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点零点和无穷远零点实轴上根轨迹位于有限零点实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点和无穷零点之间，因此判断有分离点之间，因此判断有分离点解：根据系统开环传递函数求出开环极点按步骤：离开复平面极点的初始角为离开复平面极点的初始角为离开复平面极点的初始角为渐近线（舍去）6、求分离点坐标d渐近线（舍去）6、求分离点坐标d此系统根轨迹如图所示此系统根轨迹如图所示此系统根轨迹如图所示法则法则7、根轨迹与虚轴的交点、根轨迹与虚轴的交点如根轨迹与虚轴相交，则交点上如根轨迹与虚轴相交，则交点上的的 值和值和 值可用劳思判据判值可用劳思判据判定，也可令闭环特征方程中的定，也可令闭环特征方程中的 ，然后分别令其实部和虚部为零，然后分别令其实部和虚部为零求得。求得。法则7、根轨迹与虚轴的交点如根轨迹与虚轴相交，则交点上的 例4-8设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。例4-8设系统开环传递函数为解解：按步骤画图按步骤画图有有4条根轨迹条根轨迹各条根轨迹分别起于开环极点各条根轨迹分别起于开环极点 0，-3，-1+j1,-1-j1；终于无穷远；终于无穷远实轴上的根轨迹在实轴上的根轨迹在0到到-3之间之间渐渐近近线线解：按步骤画图有4条根轨迹确定分离点确定分离点d解方程得解方程得（舍去）确定分离点d解方程得（舍去）确定起始角确定起始角确定起始角确定根轨迹与虚轴的交点。确定根轨迹与虚轴的交点。令令 代入上式代入上式解得闭环系统的闭环系统的特征方程特征方程为为确定根轨迹与虚轴的交点。令 例47根轨迹例47根轨迹例4-9已知单位负反馈系统开环传递函数为已知单位负反馈系统开环传递函数为试画出试画出 时的闭环系统的时的闭环系统的概略根轨迹，并求出概略根轨迹，并求出 时的闭环传时的闭环传递函数及闭环极点。递函数及闭环极点。例4-9已知单位负反馈系统开环传递函数为试画出 解：解：根据根轨迹绘制法则，按步计算：根据根轨迹绘制法则，按步计算：n=4，有四条根轨迹；，有四条根轨迹；起始于开环极点起始于开环极点0，-20，-2-j4,-2+j4，终于无穷远处；终于无穷远处；实轴上的根轨迹在（实轴上的根轨迹在（0，-20）区间；）区间；n=4,m=0,则有则有4条根轨迹趋于无穷远，它条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为们的渐近线与实轴的交点和夹角为解：根据根轨迹绘制法则，按步计算：n=4，有四条根轨迹；取取取根轨迹的起始角。根轨迹的起始角。解得 分离点坐标分离点坐标d。舍舍根轨迹的起始角。解得 分离点坐标d。舍根轨迹与虚轴交点。根轨迹与虚轴交点。系统特征方程系统特征方程解得解得则两个闭环则两个闭环极点极点令令代入代入根轨迹与虚轴交点。系统特征方程解得则两个闭环极点令代入此时此时特征方程特征方程为为利用综合除法，可求出其他两个闭环极点利用综合除法，可求出其他两个闭环极点此时特征方程为利用综合除法，可求出其他两个闭环极点例例49根轨迹图根轨迹图例49根轨迹图法则法则8、根之和与根之积、根之和与根之积如果系统特征方程写成如下形式如果系统特征方程写成如下形式闭环特征根的负值之和，等于闭环特征闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程第二项系数方程第二项系数 。若。若 根之和与开环根轨迹增益根之和与开环根轨迹增益 无关。无关。法则8、根之和与根之积如果系统特征方程写成如下形式闭环特征根Tipsn在开环极点已确定不变的情况下，其和在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，为常值，因此，n-m 2的系统，当增益的系统，当增益的变动使某些闭环极点在的变动使某些闭环极点在s平面上平面上向左向左 移动时，则必有另一些极点移动时，则必有另一些极点向右向右移动，这移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。根轨迹的走向很有意义。闭环特征根之积乘以闭环特征根之积乘以 ，等于闭，等于闭环特征方程的常数项。环特征方程的常数项。Tips在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，n-常常见见闭闭环环系系统统 根根轨轨迹迹图图返回返回返回43 广义根轨迹广义根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为(4-26)闭环特征方程为闭环特征方程为(4-27)等效变换成等效变换成43 广义根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹设系统开环传递令（429）显然，利用式显然，利用式429就可以画出关就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹广义根轨迹。令（429）显然，利用式429就可以画出关于零点变化的根二、开环极点变化时的根轨迹二、开环极点变化时的根轨迹设一负反馈系统的开环传递函数为设一负反馈系统的开环传递函数为现在研究现在研究 变化的根轨迹。变化的根轨迹。等效开环传递函数为等效开环传递函数为根据上式可画出根据上式可画出 变化时的广义根轨迹。变化时的广义根轨迹。二、开环极点变化时的根轨迹设一负反馈系统的开环传递函数为现在已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制当开环增益试绘制当开环增益K K为为 时，时时，时间常数间常数 变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。例4-10解：解：题目显然是求广义根轨迹问题。题目显然是求广义根轨迹问题。已知系统的开环传递函数为例4-10解：题目显然是求广义根系统特征方程为系统特征方程为等效开环传递函数为等效开环传递函数为等效开环传递函数有等效开环传递函数有3个零点，即个零点，即0，0，-1；2个极点，不同个极点，不同K值可计算出不同极点。值可计算出不同极点。按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹图。义根轨迹图。系统特征方程为等效开环传递函数为等效开环传递函数有3个零点，例例4-10根轨迹图根轨迹图例4-10根轨迹图 分析复杂控制系统如图，其中内回路为分析复杂控制系统如图，其中内回路为正反馈。为了分析整个控制系统的性能，正反馈。为了分析整个控制系统的性能，需求出内回路的闭环零、极点。用根轨迹需求出内回路的闭环零、极点。用根轨迹的方法绘制正反馈系统的根轨迹。的方法绘制正反馈系统的根轨迹。三、零度根轨迹三、零度根轨迹 分析复杂控制系统如图，其中内回路为正反馈。为了分析整个特征方程特征方程根轨迹方程根轨迹方程研究内回路研究内回路特征方程根轨迹方程研究内回路从而相角方程及模值方程相应为从而相角方程及模值方程相应为从而相角方程及模值方程相应为使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法则要修改于与相角方程有关的某些法则要修改实轴上某一区域，若其右方开环实数零、实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。迹。根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线计算公式不变。计算公式不变。使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法l根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角l分离角与会合角分离角与会合角除上述四个法则外，其他法则不变除上述四个法则外，其他法则不变根轨迹的起始角与终止角分离角与会合角除上述四个法则外，其他法例4-11正反馈系统的结构图如图正反馈系统的结构图如图4-234-23所示，所示，试绘制开环系统根轨迹增益试绘制开环系统根轨迹增益 变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。其中其中例4-11正反馈系统的结构图如图4-23所示，试绘制开环系统解：解：该系统是正反馈系统。该系统是正反馈系统。当当 变化时的根轨迹是零度根轨迹。变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。利用零度根轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。终止于开环零点终止于开环零点实轴根轨迹在实轴根轨迹在 区间内。区间内。起始于开环极点起始于开环极点解：该系统是正反馈系统。当 例例4-11根轨迹图根轨迹图返回返回例4-11根轨迹图返回44 系统性能的分析系统性能的分析由开由开环 闭环极点的根极点的根轨迹迹求求闭环极点极点确定确定闭环传函函闭环系系统动态性能性能主要任务：主要任务：44 系统性能的分析由开环 闭环极点的根轨迹求闭环极点一、用闭环零、极点表示的阶跃响应一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式表达式 阶系统的闭环传递函数可写为：阶系统的闭环传递函数可写为：一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式 阶系统的闭环传递设输入为单位阶跃：设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：有：假设假设(s)中无重极点，上式分解为部分分式中无重极点，上式分解为部分分式设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：假设(s)中无重已知系统的开环传递函数课件将将C(s)表达式进行拉式反变换得：表达式进行拉式反变换得：（474）n从上式看出，系统单位阶跃响从上式看出，系统单位阶跃响应将由闭环极点及系数决定，应将由闭环极点及系数决定，而系数也与闭环零、极点分布而系数也与闭环零、极点分布有关。有关。将C(s)表达式进行拉式反变换得：（474）从上式看出，系二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系稳定性稳定性所有闭环极点位于所有闭环极点位于s平平面的面的 左半部；左半部；复数极点设置在复数极点设置在s平面中平面中与负实轴成与负实轴成 夹角线附近；夹角线附近；平稳性二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系稳定性所有闭环极点位快速性快速性闭环极点远离虚轴；闭环极点远离虚轴；动态过程尽快消失动态过程尽快消失 小，小，闭环极点之间间距闭环极点之间间距大大,零点与极点间间距小。零点与极点间间距小。快速性闭环极点远离虚轴；动态过程尽快消失 小，闭环极点三、主导极点和偶极子三、主导极点和偶极子主导极点主导极点：就是对动态过程影响占主导地就是对动态过程影响占主导地位的极点，一般是离虚轴最近的极点。位的极点，一般是离虚轴最近的极点。三、主导极点和偶极子主导极点：就是对动态过程影响占主导地位的偶极子偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。就是一对靠得很近的闭环零、极点。偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。四、利用主导极点估算系统的性能指标四、利用主导极点估算系统的性能指标既然主导极点在动态过程中起主要作用，既然主导极点在动态过程中起主要作用，那么，计算性能指标时，在一定条件下那么，计算性能指标时，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。的公式和曲线。四、利用主导极点估算系统的性能指标既然主导极点在动态过程中起例例4-12试近似计算系统的动态性能指标试近似计算系统的动态性能指标 。解：解：这是三阶系统，有三个闭环极点这是三阶系统，有三个闭环极点其零、极点分布如图所示。其零、极点分布如图所示。某系统的闭环传递函数为某系统的闭环传递函数为例4-12试近似计算系统的动态性能指标 。解：某 极点极点 离虚轴最近，所以离虚轴最近，所以系统的主导极点为系统的主导极点为 ，而其，而其他两个极点可以忽略。他两个极点可以忽略。极点 离虚轴最近，所以系统的主导极这时系统可以看做是一阶系统。这时系统可以看做是一阶系统。传递函数为传递函数为式中：式中：T=0.67s根据时域分析可知根据时域分析可知一阶系统无超调，一阶系统无超调，调节时间调节时间这时系统可以看做是一阶系统。例4-13系统闭环传递函数系统闭环传递函数试估计系统的性能指标。试估计系统的性能指标。例4-13系统闭环传递函数解：解：闭环零、闭环零、极点极点分布分布如图如图所示所示解：闭环零、极点分布如图所示系统近似为二阶系统系统近似为二阶系统对应性能指标对应性能指标系统近似为二阶系统对应性能指标例例4-14已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比计算闭环主导极点具有阻尼比0.50.5时的性时的性能指标。能指标。例4-14已知系统开环传递函数为解：解：图4-27 根轨迹图 根轨迹图根轨迹图按步骤作出系统的根按步骤作出系统的根轨迹，如图所示。轨迹，如图所示。解：图4-27 按步骤作出系统的根轨迹，如图所示。分析系统稳定性分析系统稳定性 在平面上画出在平面上画出 时的阻尼线。阻尼线与根轨迹交时的阻尼线。阻尼线与根轨迹交点的坐标设为点的坐标设为 ，从图上测得，从图上测得 ，与之，与之共轭的复数极点为共轭的复数极点为 。已知系统闭环特征方程及两个极点，用长除法求出已知系统闭环特征方程及两个极点，用长除法求出第三个极点第三个极点 。使系统稳定的开环增益范围是使系统稳定的开环增益范围是分析系统稳定性 在平面上画出 系统闭环传递函数近似为二阶系统系统闭环传递函数近似为二阶系统二阶系统在单位阶跃信号作用下的性能指标：二阶系统在单位阶跃信号作用下的性能指标：系统闭环传递函数近似为二阶系统二阶系统在单位阶跃信号作用下的例例4-154-15 已知系统结构如图所示。试画出已知系统结构如图所示。试画出当当 由由 时的闭环根轨迹，并分析时的闭环根轨迹，并分析 对系统动态过程的影响。对系统动态过程的影响。例4-15 已知系统结构如图所示。试画出当 解：系统开环传递函数有两个极点系统开环传递函数有两个极点0，2；有一个零点有一个零点4。此类带零点的二阶系统的根轨迹，其复此类带零点的二阶系统的根轨迹，其复数部分为一个圆，其圆心在开环零点处，数部分为一个圆，其圆心在开环零点处，半径为零点到分离点的距离。半径为零点到分离点的距离。根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。解：系统开环传递函数有两个极点0，2；有一个零点4。已知系统的开环传递函数课件1.当开环增益在（当开环增益在（00.686）内，闭环为两个负实数极）内，闭环为两个负实数极点，系统在阶跃信号下响应为非周期的。点，系统在阶跃信号下响应为非周期的。2.当开环增益在（当开环增益在（0.68623.4）内，闭环为一对共轭）内，闭环为一对共轭复数极点，其阶跃响应为振荡衰减过程。复数极点，其阶跃响应为振荡衰减过程。系统根轨迹分离点系统根轨迹分离点 对应开环增益对应开环增益当开环增益在（00.686）内，闭环为两个负实数极点，系统下面求系统最小阻尼比对应的闭环极点下面求系统最小阻尼比对应的闭环极点。过原点做与根轨过原点做与根轨迹圆相切的直线，迹圆相切的直线，此切线与负实轴此切线与负实轴夹角的余弦即为夹角的余弦即为系统的阻尼比。系统的阻尼比。3.当开环增益在当开环增益在 内，闭环又为负实内，闭环又为负实数极点，其阶跃响应又为非周期的。数极点，其阶跃响应又为非周期的。下面求系统最小阻尼比对应的闭环极点。过原点做与根轨迹圆相切的对应闭环极点对应闭环极点系统阶跃响应具有较好的平稳性。系统阶跃响应具有较好的平稳性。对应闭环极点系统阶跃响应具有较好的平稳性。例416单位反馈系统的开环传递函数单位反馈系统的开环传递函数试绘出闭环系统的根轨迹。试绘出闭环系统的根轨迹。例416单位反馈系统的开环传递函数试绘出闭环系统的根轨迹。解：解：此系统开此系统开环有三个极点环有三个极点0，0，10按步骤作出系统的按步骤作出系统的根轨迹，如图所示。根轨迹，如图所示。解：此系统开环有三个极点0，0，10按步骤作出系统的根轨迹 图中两条根轨迹位于图中两条根轨迹位于s s平面右半部，平面右半部，即闭环始终有两个右极点。说明开环增益即闭环始终有两个右极点。说明开环增益无论取何值，系统均不稳定。无论取何值，系统均不稳定。若在系统中附加一个负实数零点若在系统中附加一个负实数零点z1，用来改善系，用来改善系统的动态性能，则系上统的开环传递函数为统的动态性能，则系上统的开环传递函数为 图中两条根轨迹位于s平面右半部，即闭环始终有两个右附加零点后的根轨迹（附加零点后的根轨迹（1）附加零点后的根轨迹（1）已知系统的开环传递函数课件附加零点后的根轨迹（2）附加零点后的根轨迹（2）因此，引入的附加零点要恰当，才能使系统的性能有所改善。因此，引入的附加零点要恰当，才能使系统的性能有所改善。本章总线索本章总线索 T法则法则开开环环传传递递函函数零、极点数零、极点pi ,zi闭环根轨迹闭环根轨迹(加上闭环零点加上闭环零点)简化处理简化处理一一、二二阶系统阶系统系系统统性性能能指标指标定性分析定性分析,求求K的取值范围的取值范围 “法则法则”是指绘制根轨迹的基本法则，是指绘制根轨迹的基本法则，“简化处理简化处理”是指利用是指利用主导极点和偶极子的概念，将高阶系统近似地看成一阶或二阶系统。主导极点和偶极子的概念，将高阶系统近似地看成一阶或二阶系统。“定性分析定性分析”可以包含阶跃响应的不同形式对可以包含阶跃响应的不同形式对K K取值的要求，例如阶取值的要求，例如阶跃响应单调收敛，振荡收敛，最佳阻尼比，系统稳定等。跃响应单调收敛，振荡收敛，最佳阻尼比，系统稳定等。返回返回本章总线索 T法则开环传递函数零、极点闭环根轨迹(加上闭环零