第六章-能带理论--课件

第六章第六章 能带理论能带理论6.1 6.1 引言引言6.2 6.2 能带理论的基本假设能带理论的基本假设6.3 6.3 布洛赫布洛赫(Bloch)(Bloch)定理定理6.4 6.4 克朗尼格克朗尼格-朋奈模型朋奈模型 能带中的能级数目能带中的能级数目 6.5 6.5 一维周期场中电子运动的近自由电子近似一维周期场中电子运动的近自由电子近似6.6 6.6 一维晶格中电子的布拉格反射一维晶格中电子的布拉格反射6.7 6.7 导体、绝缘体和半导体的能带论解释导体、绝缘体和半导体的能带论解释 固体中电子的运动状态对其力学、热学、电磁学、光学等固体中电子的运动状态对其力学、热学、电磁学、光学等物理性质具有非常重要的影响，因此，研究固体电子运动规律物理性质具有非常重要的影响，因此，研究固体电子运动规律的理论（固体电子理论）是固体物理学的一个重要内容。的理论（固体电子理论）是固体物理学的一个重要内容。6.1 6.1 引引 言言 固体电子理论包括经典自由电子理论、量子自由电子理论固体电子理论包括经典自由电子理论、量子自由电子理论和能带理论。特鲁德和能带理论。特鲁德(P.Drude)在在1900年提出的经典自由电子年提出的经典自由电子气体模型。它将在当时已非常成功的气体分子运动理论运用于气体模型。它将在当时已非常成功的气体分子运动理论运用于金属，用以解释金属电导和热导的行为。金属，用以解释金属电导和热导的行为。1928年索末菲年索末菲(A.Sommerfeld)又进一步将费米又进一步将费米-狄拉克统计理论用于自由电子气狄拉克统计理论用于自由电子气体，在经典自由电子气体模型的基础上建立了量子的自由电子体，在经典自由电子气体模型的基础上建立了量子的自由电子气模型，解决了经典自由电子气模型在金属电子热容、磁化率气模型，解决了经典自由电子气模型在金属电子热容、磁化率等问题上遇到的困难。等问题上遇到的困难。回顾自由电子模型的假设，再对照上述与自由电子模型不回顾自由电子模型的假设，再对照上述与自由电子模型不相符合的试验现象，自由电子模型的主要问题出在对于固定离相符合的试验现象，自由电子模型的主要问题出在对于固定离子与电子的相互作用的处理上。子与电子的相互作用的处理上。特鲁德的模型假设电子除碰撞特鲁德的模型假设电子除碰撞瞬间外，与离子晶格无关，也即假定晶体中的势能为零，因而瞬间外，与离子晶格无关，也即假定晶体中的势能为零，因而在其中运动的电子不受束缚而是自由的在其中运动的电子不受束缚而是自由的(自由电子假设自由电子假设)；碰撞；碰撞后的状态与碰撞前无关后的状态与碰撞前无关(碰撞自由时间假设碰撞自由时间假设)。这是一个大的简这是一个大的简化，进一步固体理论的发展就从这里入手。化，进一步固体理论的发展就从这里入手。实际上，晶体中的离子是有规律地排列的，电子也并不完全自实际上，晶体中的离子是有规律地排列的，电子也并不完全自由，它们的运动要受到组成晶体的离子和电子共同产生的晶格由，它们的运动要受到组成晶体的离子和电子共同产生的晶格周期性势场的影响。因此，周期性势场的影响。因此，1928年，跟索末菲提出他的自由电年，跟索末菲提出他的自由电子气模型的同一年，子气模型的同一年，布洛赫布洛赫(F Bloch)首先运用量子力学原理来首先运用量子力学原理来分析晶体中外层电子的运动，阐明了周期场中运动的电子所具分析晶体中外层电子的运动，阐明了周期场中运动的电子所具有的基本特征，为固体能带理论奠定了基础。有的基本特征，为固体能带理论奠定了基础。但是：但是：索末菲的量子自由电子气理论仍有对不少物理性质无索末菲的量子自由电子气理论仍有对不少物理性质无法解释法解释。如：有些金属霍尔系数为正；如：有些金属霍尔系数为正；固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质等。固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质等。索末菲自由电子理论忽略了电子与原子实和其索末菲自由电子理论忽略了电子与原子实和其它电子的相互作用，它电子的相互作用，V等于零，有局限性。等于零，有局限性。能带理论认为电子要受到一个周期性势场的作能带理论认为电子要受到一个周期性势场的作用。用。能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能带论。带论。能带论是用量子力学研究固体中电子的运动规能带论是用量子力学研究固体中电子的运动规律。律。能带理论能带理论 研究固体中电子运动的主要理论基础研究固体中电子运动的主要理论基础能带理论能带理论 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 为什麽为什麽 说明了导体、非导体的区别说明了导体、非导体的区别物理学前沿之一物理学前沿之一材料的性质材料的性质大规模集成电路大规模集成电路半导体激光器半导体激光器超导超导人工微结构人工微结构 能带理论是固体物理学的核心部分之一，能带理论是固体物理学的核心部分之一，具有极重要的意义。具有极重要的意义。能带理论促进了半导体科学的发展，并对当代能带理论促进了半导体科学的发展，并对当代高度发展的微电子工业作出了奠基性的贡献。高度发展的微电子工业作出了奠基性的贡献。v 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任 何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周 期势场的作用。期势场的作用。能带理论的基本出发点能带理论的基本出发点:v 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。6.26.2 能带能带理论的基本假设理论的基本假设利用上式可以得到多粒子体系的能量本征值及其相应的电子利用上式可以得到多粒子体系的能量本征值及其相应的电子本征态，但是严格求解这样一个多粒子体系的薛定谔方程显本征态，但是严格求解这样一个多粒子体系的薛定谔方程显然是不可能的，必须对方程式进行简化。然是不可能的，必须对方程式进行简化。实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于电实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于电子与电子、电子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互子与电子、电子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互作用，因此，一个严格的固体电子理论必须求解多粒子体系作用，因此，一个严格的固体电子理论必须求解多粒子体系的薛定谔方程，即的薛定谔方程，即i 电子系统；电子系统；a a 原子系统原子系统（1）波恩）波恩-奥本海默奥本海默(BornOppenheimer)绝热近似：绝热近似：所有原子核所有原子核(或离子或离子)都周期性地静止排列在其格点位置都周期性地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子的碰撞。上，因而忽略了电子与声子的碰撞。电子质量电子质量m远远小于原子质量远远小于原子质量M 电子速度电子速度vi远远大于原子核速度远远大于原子核速度v 原子核原子核(离子离子)不动不动电子可看作是在由原子核产生的、固定不动的势场中运动。电子可看作是在由原子核产生的、固定不动的势场中运动。能带理论的三个基本假设（近似）：能带理论的三个基本假设（近似）：因为价电子对晶体性能的影响最大，并且在结合成晶体时因为价电子对晶体性能的影响最大，并且在结合成晶体时原子中的价电子状态变化也最大，而原子内层电子状态变化原子中的价电子状态变化也最大，而原子内层电子状态变化较小，所以，可以把内层电子和原子核看成是一个离子实。较小，所以，可以把内层电子和原子核看成是一个离子实。一般温度下，离子实总是围绕其平衡位置做微小振动一般温度下，离子实总是围绕其平衡位置做微小振动(晶格振晶格振动动)。但在零级近似下，晶格振动的影响可以忽略，价电子可。但在零级近似下，晶格振动的影响可以忽略，价电子可以看作是在固定不变的离子实势场中运动。以看作是在固定不变的离子实势场中运动。一个多种粒子的多体问题就简化成多电子问题。一个多种粒子的多体问题就简化成多电子问题。于是，多电子系统的薛定谔方程可简化为于是，多电子系统的薛定谔方程可简化为（2）哈特里哈特里-福克福克(HatreeFock)平均场近似：平均场近似：多电子系统的薛定谔方程仍不能精确求解。这是因为任何多电子系统的薛定谔方程仍不能精确求解。这是因为任何一个电子的运动不仅与它自己的位置有关，而且还与所有一个电子的运动不仅与它自己的位置有关，而且还与所有其他电子的位置有关；同时，这个电子自身也影响其他电其他电子的位置有关；同时，这个电子自身也影响其他电子的运动，即所有电子的运动都是关联的。子的运动，即所有电子的运动都是关联的。为了进一步简化，可以利用一种为了进一步简化，可以利用一种平均场平均场来代替价电子之间的来代替价电子之间的相互作用：相互作用：假定每一个电子所处的势能均相同，从而使每个电子与假定每一个电子所处的势能均相同，从而使每个电子与其他电子之间的相互作用势能仅与该电子所处的位置有关，其他电子之间的相互作用势能仅与该电子所处的位置有关，而与其他电子的位置无关。而与其他电子的位置无关。这样，就把一个多电子问题简化为单电子问题。这样，就把一个多电子问题简化为单电子问题。电子电子i与所有其他电子的相互作用势能与所有其他电子的相互作用势能电子电子i与原子核之间的相互作用势能与原子核之间的相互作用势能（3）周期势场近似：周期势场近似：假定是理想完整晶体，每一个电子都处在除其自身外其他假定是理想完整晶体，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和离子实产生的周期势场中运动，其周期电子的平均势场和离子实产生的周期势场中运动，其周期为晶格所具有的周期。为晶格所具有的周期。U(r)+u(r)=V(r)U(r)平均势场，是一衡量平均势场，是一衡量u(r)离子实产生的周期势场。离子实产生的周期势场。因此，因此，V(r)具有晶格周期性：具有晶格周期性：Rl 晶格平移矢量。晶格平移矢量。周期势场假设周期势场假设近自由电子模型 近自由电子模型认为：电子在晶体中要受周围势场的作用，但这个势场的平均势场是一个很微弱的势场，平均势场是周期势,由于很弱，可以用量子力学中的微扰论来处理，这时Shodinger方程中的哈密顿量既有动能又有势能。这里 ，这样可用自由电子的波函数代替电子的零级波函数，用微扰论求解Shodinger方程，这样一种物理模型称之为近自由电子模型 或准自由电子模型，这也就是Sommuefeld的自由电子模型再加上弱周期势的修正。一、能带理论假设的最简单总结一、能带理论假设的最简单总结 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的周期场中运动。其他电子的平均势场和原子实的周期场中运动。二、二、Bloch定理（定理（1928年）年）布洛赫指出：处于周期势场作用下的电子，其波函数布洛赫指出：处于周期势场作用下的电子，其波函数被晶格周期势场所调制，将变成由一个周期函数所调制的被晶格周期势场所调制，将变成由一个周期函数所调制的平面波，这一结论可由下述布洛赫定理来表述。平面波，这一结论可由下述布洛赫定理来表述。6.36.3 布洛赫布洛赫(Bloch)定理定理下面，仅从下面，仅从V(r)的周期性出发，讨论在晶格周期势场中运动的周期性出发，讨论在晶格周期势场中运动的单电子波函数和能量的一般性质。的单电子波函数和能量的一般性质。为周期性势场，为周期性势场，为格矢为格矢 这里，这里，uk(r)=uk(r+Rl)是以格矢是以格矢Rl为周期的周期函数。为周期的周期函数。（1）方程的解为：方程的解为：通常将具有通常将具有(1)式形式的被周期函数所式形式的被周期函数所调幅调幅的平面波，称的平面波，称为为布洛赫波函数布洛赫波函数，或布洛赫波。，或布洛赫波。而将遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫而将遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波函数描述的电子称为波函数描述的电子称为布洛赫电子布洛赫电子。在周期场中，描述单电子运动的在周期场中，描述单电子运动的Schrdinger方程为方程为这是布洛赫定理的又一形式。这是布洛赫定理的又一形式。它表明在不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子它表明在不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子 ，但由下式可知，位相因子不影响波函数模的大小：，但由下式可知，位相因子不影响波函数模的大小：（3）由由(1)、(2)式可知，布洛赫定理也可以表示为：式可知，布洛赫定理也可以表示为：这说明：晶格周期势场中的电子在各原胞的对应点上出现的这说明：晶格周期势场中的电子在各原胞的对应点上出现的几率均相同，电子可以看作是在整个晶体中自由运动的，这几率均相同，电子可以看作是在整个晶体中自由运动的，这种运动称为种运动称为电子的共有化运动电子的共有化运动。（1）（2）（4）布洛赫定理的证明布洛赫定理的证明 引入引入平移算符平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者具有相同的本征函数两者具有相同的本征函数 利用利用周期性边界条件确定平移算符的本征值周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出电子波函数的形式最后给出电子波函数的形式 因为因为f(r)是任意函数，所以，是任意函数，所以，T T T T=0，即，即T 和和T 可对易可对易定义一个定义一个平移算符平移算符T，使得对于任意函数，使得对于任意函数f(r)有有证明：证明：（1,2,3）：晶格的三个基矢：晶格的三个基矢因为因为f(r)是任意函数，所以，是任意函数，所以，T 与与H也可对易。也可对易。1,2,3设设N 是晶体沿基矢是晶体沿基矢a（1，2，3）方向的原胞数，）方向的原胞数，（设为非简并）（设为非简并）T 和和H有共同本征态有共同本征态设设(r)为为T 和和H的共同本征态的共同本征态 ：平移算符：平移算符T 的本征值。的本征值。引入周期性边界条件：引入周期性边界条件：晶体的总原胞数：晶体的总原胞数：NN1N2N3周期性边界条件：周期性边界条件：引入矢量引入矢量h 整数，整数，1,2,3定义一个新函数：定义一个新函数：这表明这表明uk(r)是以格矢是以格矢Rl为周期的周期函数。为周期的周期函数。证毕证毕二、几点讨论二、几点讨论1.关于波矢关于波矢k的取值与物理意义的取值与物理意义 波矢量波矢量k是对应于平移算符本征值的量子数，其是对应于平移算符本征值的量子数，其物理物理意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化。意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化。不同的波矢量不同的波矢量k表示原胞间的位相差不同，即描述晶体表示原胞间的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态。中电子不同的运动状态。如果两个波矢量如果两个波矢量k和和k相差一个倒格矢相差一个倒格矢Gn，这两个，这两个波矢所对应的平移算符本征值相同。波矢所对应的平移算符本征值相同。1,2,3 为使为使 k 的取值范围同平移算符的本征值一一对应，与的取值范围同平移算符的本征值一一对应，与讨论晶格振动的情况相似，通常将讨论晶格振动的情况相似，通常将k取在由取在由各个倒格矢的垂各个倒格矢的垂直平分面直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭体积，即第一所围成的包含原点在内的最小封闭体积，即第一布里渊区中。布里渊区中。对于对于 ：对于对于 ：波矢量波矢量 和和 所描述的电子在晶体中的运所描述的电子在晶体中的运动状态相同。动状态相同。这也就是说，平移算符这也就是说，平移算符T 对这两个波矢相差一个倒格矢对这两个波矢相差一个倒格矢Gn的波函数有相同的本征值。的波函数有相同的本征值。我们以我们以 为三个直角坐标轴，建立为三个直角坐标轴，建立一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、空间，或动量空间空间，或动量空间*。kx、ky、kz由于德布洛意关系由于德布洛意关系 ，即，即 ，所以所以 空间也称为动量空间。空间也称为动量空间。注：注：在在 空间中，电子的每个状态可以用空间中，电子的每个状态可以用一个状态点来表示，这个点的坐标是一个状态点来表示，这个点的坐标是2.空间空间kykx0-112-23-31-12-2-33上式告诉我们，沿上式告诉我们，沿 空间的每个坐标轴方向，空间的每个坐标轴方向，电子的相邻两个状态点之间的距离都是电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。下图表示二维下图表示二维 空间每个点所占的面积是空间每个点所占的面积是 。因此，因此，空间中每个状态点所占的体积为空间中每个状态点所占的体积为 。二维二维 空间空间 示意图示意图v 简约波矢：简约波矢：k 限制在第一布里渊区中取值限制在第一布里渊区中取值在在k空间中空间中，波矢，波矢 k 的分布密度：的分布密度：每一个量子态每一个量子态 k 在在 k 空间中空间中所占的空间大小所占的空间大小:v 广延波矢：广延波矢：k 在整个在整个k空间中取值空间中取值在简约布里渊区中，波矢在简约布里渊区中，波矢 k 的取值总数为的取值总数为N=N1N2N36.6 6.6 一维晶格中电子的布拉格反射一维晶格中电子的布拉格反射v 波数为波数为k的行进平面波：的行进平面波：v 该平面波受周期场的影响而产生的散射波：该平面波受周期场的影响而产生的散射波：因子因子是波数为是波数为 kk+2 n/a 的散射波的振幅。的散射波的振幅。当当 时，散射波振幅最大（理论上，无限大）时，散射波振幅最大（理论上，无限大）2/k 2an 此时由于此时由于所以所以l 若行进平面波的波长若行进平面波的波长 2/k 正好满足条件正好满足条件2an ，相邻两原子所产生的反射波就会有相同的位相，它们相邻两原子所产生的反射波就会有相同的位相，它们 将相互加强，从而使行进的平面波受到很大干涉。将相互加强，从而使行进的平面波受到很大干涉。当当时时即即散射波中，这种成分的振幅变得无限大，微扰不再适用。散射波中，这种成分的振幅变得无限大，微扰不再适用。l 在一般情况下，由各原子产生的散射波的位相各不在一般情况下，由各原子产生的散射波的位相各不 相同，因而彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅相同，因而彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅 均较小，可以用微扰法处理。均较小，可以用微扰法处理。或或这实际上是这实际上是Bragg反射条件反射条件2asin n 在正入射情况在正入射情况（即（即 sin 1）。）。由由得得在布里渊区边界上在布里渊区边界上:和和零级近似的波函数是这两个简并态的线性组合。零级近似的波函数是这两个简并态的线性组合。K 态和态和 k 态为简并态（能量相同），必须用简并态为简并态（能量相同），必须用简并微扰来处理。微扰来处理。设在设在 k 和和 k 接近布里渊区边界时接近布里渊区边界时零级近似的波函数也必须写成零级近似的波函数也必须写成代入代入Schrdinger方程方程利用利用和和得得由于由于上式分别左乘上式分别左乘 k(0)*或或 k(0)*，并积分得，并积分得解得解得这里这里久期方程久期方程:（5.33）(1)对应于对应于k态和态和k态态距离布里渊区边界较远距离布里渊区边界较远的情况的情况（设（设 0）此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考虑相互作用强的虑相互作用强的k和和k在微扰中的相互影响，而将其他影在微扰中的相互影响，而将其他影响小的散射波忽略不计了。影响的结果是使原来能量较响小的散射波忽略不计了。影响的结果是使原来能量较高的高的k态能量升高，而能量较低的态能量升高，而能量较低的k态的能量降低，即微态的能量降低，即微扰的结果使扰的结果使k态和态和k态的能量差进一步加大。态的能量差进一步加大。(2)对应于对应于k和和k很很接近布里渊区边界接近布里渊区边界的情况的情况得得 布里渊区边界处自由电子的动能布里渊区边界处自由电子的动能令令 两个相互影响的态两个相互影响的态 k 和和 k，微扰后的能量分别为，微扰后的能量分别为E和和E，当，当 0时，时，k态的能量比态的能量比k态高，微扰后使态高，微扰后使k态的能量升高，而态的能量升高，而k态的能量降低。态的能量降低。当当 0时，时，E 分别分别以抛物线的方式趋于以抛物线的方式趋于TnUn。对于对于 0，k态的能量态的能量比比k态高，微扰的结果使态高，微扰的结果使k态的能量升高，而态的能量升高，而k态的能态的能量降低。量降低。Ek(0)Ek(0)EETnTn由于周期场的微扰，由于周期场的微扰，E(k)函函数在布里渊区边界数在布里渊区边界k=n/a处出现不连续，处出现不连续，能量的突变为：能量的突变为：称为能隙，即禁带宽度，这称为能隙，即禁带宽度，这是周期场作用的结果。是周期场作用的结果。1）在）在 处出现禁带，宽度为处出现禁带，宽度为 。2）在）在 附近，电子能量随波矢呈抛物线变化。附近，电子能量随波矢呈抛物线变化。3）在远离）在远离 处，电子能量与自由电子能量相近。处，电子能量与自由电子能量相近。k=n/ak=n/ak=n/a 对于一维点阵（点阵常数为a），电子的波函数 若k远离BZ边界时（即 时），电子波不受Bragg反射，从各原子散射的波没有确定的位相关系，对入射波的传播无什么影响，与x-ray在晶体中的传播是相同的。能隙的起因能隙的起因(另一种讲法）另一种讲法）但当 时，如 ，此时平面波 满足Bragg条件，波程差为2a，相位差为2，从相邻的原子反射的波有相同的位相，发生相长干涉，产生向反方向传播的波 ，这个波同样受到其近邻原子的Bragg反射，再一次反向，这样就形成了向相反方向传播的两列行进波，平衡时两波叠加形成驻波。有两种形态的驻波：这是由自由电子的行波在Bz边界上的Bragg反射而形成的，两个驻波使电子聚积在不同的区域内。下面我们分别计算一下这两种情况下电子的平均能量。（+）这种分布时的能量低，（-）分布时能量高，电子的平均能量是不同的，没有周期势场的-k曲线是一条抛物线，在有周期势场存在时，在Bz边界上分裂成两个波函数，相应的能量也分成两个，一个E+、一个E-，可以证明，对 的电子的能量与 的电子的能量是不同的，这个能量差就是能隙，这个能隙就是所谓的禁带。为简单起见，我们考虑势场是谐和势（简谐势）对于L=1的单位晶体：=为归一化因子，对（+）.（-）计算平均能量（+）:（+）（-）:（-）（+）-（-）=(-)=实际的势场并非是上面的简单形式，而是一个复杂函数，但可用倒易点阵矢量展成付氏级数，展成余弦势的叠加，在一级近似下，在Bz边界都有能量间隙。=能隙的大小等于相应的傅立叶分量，Un是收敛的，能隙的宽度越来越小。6.4 6.4 克朗尼格克朗尼格-朋奈模型朋奈模型 能带中的能级数目能带中的能级数目 一一.克朗尼格克朗尼格-朋奈模型朋奈模型 能带理论是单电子近似理论。能带理论是单电子近似理论。布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，其波函数一定是布洛赫函数。其波函数一定是布洛赫函数。下面我们通过一个最简单的一维周期场下面我们通过一个最简单的一维周期场-克朗尼格克朗尼格-朋奈（朋奈（Kroning-Penney）模型来说明）模型来说明晶体中电子的能量特点。晶体中电子的能量特点。周期性边界条件的周期性边界条件的引入引入,说明了电子的状态是分立的。说明了电子的状态是分立的。它把每个电子的它把每个电子的运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。现在再来说明电子的能量有什么特点？现在再来说明电子的能量有什么特点？回顾回顾：克朗尼格克朗尼格-朋奈模型是把前面图的周期场简化朋奈模型是把前面图的周期场简化为图为图 1 所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的周期势场中运动。周期势场中运动。在在 0 x 0）此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考虑相互作用强的虑相互作用强的k和和k在微扰中的相互影响，而将其他影在微扰中的相互影响，而将其他影响小的散射波忽略不计了。影响的结果是使原来能量较响小的散射波忽略不计了。影响的结果是使原来能量较高的高的k态能量升高，而能量较低的态能量升高，而能量较低的k态的能量降低，即微态的能量降低，即微扰的结果使扰的结果使k态和态和k态的能量差进一步加大。态的能量差进一步加大。(2)对应于对应于k和和k很很接近布里渊区边界接近布里渊区边界的情况的情况得得 布里渊区边界处自由电子的动能布里渊区边界处自由电子的动能令令 两个相互影响的态两个相互影响的态 k 和和 k，微扰后的能量分别为，微扰后的能量分别为E和和E，当，当 0时，时，k态的能量比态的能量比k态高，微扰后使态高，微扰后使k态的能量升高，而态的能量升高，而k态的能量降低。态的能量降低。当当 0时，时，E 分别分别以抛物线的方式趋于以抛物线的方式趋于TnUn。对于对于 E EB B 能能带重重叠EC E EB B 有能隙有能隙问题的提出问题的提出导体的电阻率导体的电阻率半导体的电阻率半导体的电阻率绝缘体的电阻率绝缘体的电阻率 所有固体都包含大量的电子，但电子的导电性却所有固体都包含大量的电子，但电子的导电性却 相差非常大相差非常大 6.7 6.7 导体、半导体和绝缘体的导体、半导体和绝缘体的能带理论解释能带理论解释 导体、半导体和绝缘体的区别在哪里？导体、半导体和绝缘体的区别在哪里？电子的能带理论解释了导体与绝缘体电子的能带理论解释了导体与绝缘体 晶体中的电子晶体中的电子 满带满带 电子占据了一个能带中所有的状态电子占据了一个能带中所有的状态空带空带 没有任何电子占据（填充）的能带没有任何电子占据（填充）的能带导带导带 一个能带中所有的状态并没有都被电子占满一个能带中所有的状态并没有都被电子占满 即不满带，或说最下面的一个空带即不满带，或说最下面的一个空带价带价带 导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带禁带禁带 两个能带之间，不允许存在的能级宽度，两个能带之间，不允许存在的能级宽度，也称为带隙也称为带隙 不满带，不满带，导带导带满带，价带满带，价带满带满带空带空带禁带禁带采用能带理论可以解释固体的导电本质采用能带理论可以解释固体的导电本质基本观点：满带中的电子不导电；基本观点：满带中的电子不导电；不满带中的电子才参与导电不满带中的电子才参与导电一、满带一、满带 状态和状态和 状态中电子的速度大小相等、状态中电子的速度大小相等、方向相反方向相反 kvkv-1)在无外场时在无外场时 晶体中的满带在无晶体中的满带在无 外场时，不产生电流外场时，不产生电流每个电子产生的电流每个电子产生的电流 对电流的贡献相互抵消对电流的贡献相互抵消vqv-状态和状态和 状态中电子的速度大小相等、方向相反状态中电子的速度大小相等、方向相反 kvkv-热热平平衡衡状状态态下下，电电子子占占据据波矢为波矢为 的状态和占据波矢的状态和占据波矢为为 的状态的几率相等的状态的几率相等kvkv-2)在有外场在有外场 作用时作用时 电子受到的作用力电子受到的作用力电子动量的变化电子动量的变化 所有电子状态以相同的速所有电子状态以相同的速 度沿着电场的反方向运动度沿着电场的反方向运动 满带的情形中，电子的运动不改变布里渊区中电子满带的情形中，电子的运动不改变布里渊区中电子 的分布的分布,满带中的电子不产生宏观的电流满带中的电子不产生宏观的电流EqFvv-=Ev因为：因为：A与与A是两个相同的状态是两个相同的状态二、不满能带二、不满能带1)无外场存在时无外场存在时 热平衡状态下，电子热平衡状态下，电子占据两个状态的几率相等占据两个状态的几率相等 不满能带在无外场不满能带在无外场作用时，不产生电流作用时，不产生电流 虽然只有部分状态被电子填充，但波矢为虽然只有部分状态被电子填充，但波矢为 的状态的状态和波矢为和波矢为 的状态中电子的速度大小相等、方向相反，的状态中电子的速度大小相等、方向相反，对电流的贡献相互抵消对电流的贡献相互抵消kvkv-2)在有外场作用时在有外场作用时 由于能带中只有部分状态被电子填充，外场的作用会由于能带中只有部分状态被电子填充，外场的作用会 使布里渊区的状态分布发生变化使布里渊区的状态分布发生变化 所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运 动，动，但由于能带是不满带，逆电场方向上运动的电但由于能带是不满带，逆电场方向上运动的电 子较多子较多 在外场作用下，在外场作用下，导带中的电子产导带中的电子产 生电流生电流Eqdtkdvhv1-=26-f三、导体，绝缘体和半导体三、导体，绝缘体和半导体能带理论解释固体的导电本质：满带不导电，不满带才导电能带理论解释固体的导电本质：满带不导电，不满带才导电导导体体 在在一一系系列列能能带带中中除除了了电电子子填填充充满满的的能能带带以以外外，还还有部分被电子填充的能带（不满带），后者起着导电作用有部分被电子填充的能带（不满带），后者起着导电作用-起导电作用的不满带称为起导电作用的不满带称为导带导带绝绝缘缘体体 原原子子中中的的电电子子是是满满壳壳层层分分布布的的，价价电电子子刚刚好好填填满满了了许许可可的的能能带带，形形成成满满带带，满满带带和和空空带带之之间间之之间间存存在在一一个很宽的禁带，在一般情况下，空带中没有电子个很宽的禁带，在一般情况下，空带中没有电子半半导导体体 能能带带结结构构与与绝绝缘缘体体类类似似，但但是是禁禁带带宽宽度度比比较较小小（3eV以以下下）。满满带带中中的的部部分分电电子子会会被被热热激激发发到到空空带带。电电子和近满带中留下的空状态都参与导电子和近满带中留下的空状态都参与导电 N个原胞构成的晶体，每一条能带能容纳的电子数为个原胞构成的晶体，每一条能带能容纳的电子数为 2N个个 为原胞数目的二倍为原胞数目的二倍导体导体绝缘体绝缘体一价碱金属一价碱金属 具具有有体体心心立立方方格格子子，每每个个原原胞胞内内有有一一个个原原子子，由由N个个原原子子构构成成的的晶晶体体，各各满满层层电电子子的的能能级级相相应应地地分分成成2N个个量量子子态态的的能能带带，内内层层电电子子刚刚好好填填满满了了相相应应的的能能带带对于对于价电子价电子能级对应的能带，能级对应的能带，N个原子只有个原子只有N个自个自由电子由电子(一价一价)，只填充了，只填充了半个能带半个能带而形成而形成导带导带 碱金属中的碱金属中的N个电子只填充了半个布里渊区，个电子只填充了半个布里渊区，费密球与布里渊区边界不相交，费米面接近球面费密球与布里渊区边界不相交，费米面接近球面 二价碱土金属二价碱土金属 最外层最外层2个个s态电子，似乎刚好态电子，似乎刚好填充满和填充满和s相应的能带。由于与相应的能带。由于与s对应的能带和上面对应的能带和上面的能带发生重叠，的能带发生重叠，2N个尚未填充满个尚未填充满s态能带，就开态能带，就开始填充上面的能带，形成两个能带都是部分填充始填充上面的能带，形成两个能带都是部分填充 第一布里渊区中的状态尚未填满，第二布里第一布里渊区中的状态尚未填满，第二布里渊区已填充电子，此时的费米面由两部分构成渊区已填充电子，此时的费米面由两部分构成 碱土金属为金属导体碱土金属为金属导体-半金属：导带低和价带顶发生交叠或具有相同的半金属：导带低和价带顶发生交叠或具有相同的能量。导带中电子浓度比金属小几个数量级。能量。导带中电子浓度比金属小几个数量级。-例：例：V族元素铋族元素铋Bi、锑、锑Sb、砷、砷As:三角晶格结构，三角晶格结构，原胞有偶数个电子。原胞有偶数个电子。原胞中只有一个价电子的固体原胞中只有一个价电子的固体Li(3)、Na(11)、K(19)、Cu(29)、Ag(47)它们只填充半条能带它们只填充半条能带 导体导体 原胞中含有偶数个价电子，可以填满一个能带原胞中含有偶数个价电子，可以填满一个能带 绝缘体绝缘体二价金属：二价金属：Be(4)、Mg(12)、Zn(30)，原胞中有，原胞中有2个价电子个价电子 绝缘体绝缘体？它们却是导体它们却是导体 能带存在交迭能带存在交迭半导体半导体(Si：14、Ge：32)：禁带宽度较窄，约：禁带宽度较窄，约2 eV以下以下 依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中，依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中，因而具有导电能力因而具有导电能力 热激发到导带中的电子数目随温度按指数规律变化，热激发到导带中的电子数目随温度按指数规律变化，半导体的电导率随温度的升高按指数形式增大半导体的电导率随温度的升高按指数形式增大半金属半金属 金属的导电性，金属的导电性，能带的交叠能带的交叠 导电能力远小于金属，导电能力远小于金属，能带交叠较小能带交叠较小，对导电有贡，对导电有贡 献的载流子数远远小于普通的金属献的载流子数远远小于普通的金属四、空穴四、空穴 近近满满带带 满满带带中中的的少少数数电电子子受受热热或或光光激激发发从从满带跃迁到空带中去，使原来的满带变为近满带满带跃迁到空带中去，使原来的满带变为近满带空穴空穴 近满带中近满带中带顶处带顶处未被电子占据的量子态；未被电子占据的量子态；空穴空穴空穴空穴在在电电场场的的作作用用下下，近近满满带带产产生生的的电电流流为为近近满满带带中中所所有电子对电流的贡献，总电流有电子对电流的贡献，总电流如如果果在在空空的的量量子子态态中中放放入入一一个个电电子子，近近满满带带变变为为满带，总的电流为零满带，总的电流为零0)()(=-+kvqkIvvv设设想想近近满满带带中中只只有有一一个个量量子子态态没没有有被被电电子子占占据据（一个一个 k 对应于两个量子态对应于两个量子态）在电磁场作用下，满带不产生电流在电磁场作用下，满带不产生电流两边对时间微分得到两边对时间微分得到作用于空状态中电子的洛伦兹力作用于空状态中电子的洛伦兹力电子加速度电子加速度近满带的总电流相当于一个带正电近满带的总电流相当于一个带正电q的粒子，以空状态的粒子，以空状态 中电子的速度中电子的速度 运动所引起的运动所引起的kv)(kvvv0*m所以所以 正电荷正电荷q在电磁场中受到的力在电磁场中受到的力外外电电场场和和磁磁场场中中，整整个个近近满满带带电电流流的的变变化化等等同同于于一一个个带正电带正电q，具有正质量，具有正质量 m*的粒子。的粒子。)(*)(BkvqEqmqdtkdIvvvvvX+-=)(*)(2BkvEmqdtkdIvvvvvX+-=)(*)(BkvqEqmqdtkdIvvvvvX+=)(BkvqEqvvvvX+0*m结论结论注意点：注意点：尽尽管管给给空空穴穴赋赋予予了了有有效效质质量量、电电荷荷等等属属性性，但但它它并并不不是是一一种种真真实实的的粒粒子子，而而是是近近满满带带中中电电子子集集体体运运动动的的一一种种等等价价描描述，所以它是一种准粒子。述，所以它是一种准粒子。当当满满带带顶顶附附近近有有空空状状态态 时时，整整个个能能带带中中的的电电流流以以及及电电流流在在外外电电磁磁场场中中的的变变化化相相当当于于一一个个带带正正电电q，具具有有正正质质量量 m*、速度、速度 的粒子，这样一个假想的粒子的粒子，这样一个假想的粒子 空穴空穴kv)(kvvv空空穴穴概概念念的的引引入入，可可解解决决金金属属自自由由电电子子论论在在解解释释某某些些金金属属（如（如Be，As，Ca等）具有正的霍尔系数的困难。等）具有正的霍尔系数的困难。固固体体中中导导带带底底部部少少量量电电子子引引起起的的导导电电 电电子子导导电性。电性。对于半导体，称为对于半导体，称为N型半导体。型半导体。固固体体中中满满带带顶顶部部缺缺少少一一些些电电子子引引起起的的导导电电 空空穴穴导导电性。电性。对于半导体，称为对于半导体，称为P型半导体。型半导体。满满带带中中的的少少量量电电子子激激发发到到导导带带中中，产产生生的的本本征征导导电电是是由相同数目的电子和空穴构成的由相同数目的电子和空穴构成的 混合导电性。混合导电性。谢 谢！