结构的稳定计算课件

Nanjing University of Nanjing University of TechnologyTechnology第第 十五十五 章章结构的稳定计算结构的稳定计算第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:192一一.第一类稳定问题第一类稳定问题(分支点失稳分支点失稳)lEIEIP P-临界荷载临界荷载稳定平衡稳定平衡随遇平衡随遇平衡不稳定平衡不稳定平衡 不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去稳定性称为失稳稳定性称为失稳(屈曲屈曲).).15.1 绪论绪论第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:193分支点失稳的特征分支点失稳的特征P PP P两种平衡状态两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。轴心受压和弯曲、压缩。-第一类稳定问题第一类稳定问题完善体系完善体系lEIEIP P第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:194二二.第二类稳定问题第二类稳定问题(极值点失稳极值点失稳)偏心受压偏心受压 第二类稳定问题第二类稳定问题P PP P有初曲率有初曲率非完善体系非完善体系第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:205三三.分析方法分析方法大挠度理论。大挠度理论。小挠度理论。小挠度理论。静力法静力法能量法能量法四四 .稳定自由度稳定自由度 在稳定计算中在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态确定其变形状态所需的独立几何参数的数目所需的独立几何参数的数目,称为稳定自由度。称为稳定自由度。P P1 1个自由度个自由度P PP P2 2个自由度个自由度无限自由度无限自由度第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:206例例1 1、分支点失稳示例、分支点失稳示例失稳变形：失稳变形：一、运用大挠度理论分析：根据根据 ：因因解一：解一：平衡路径平衡路径I I解二：解二：平衡路径平衡路径IIII第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:207失稳变形：失稳变形：二、运用小挠度理论分析：根据根据 ：因因解一：解一：平衡路径平衡路径I I解二：解二：平衡路径平衡路径IIII小挠度、小位移情况下：小挠度、小位移情况下：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:218例例2 2、极值点失稳示例、极值点失稳示例失稳变形：失稳变形：一、运用大挠度理论分析：根据根据 ：因因解得：解得：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:219一一.一个自由度体系一个自由度体系小挠度、小位移情况下：小挠度、小位移情况下：P Pl1 1抗转弹簧抗转弹簧A-稳定方程（特征方程）稳定方程（特征方程）-临界荷载临界荷载15.2 静力法静力法第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2110二二.N自由度体系自由度体系（以（以2 2自由度体系为例）自由度体系为例）-稳定方程稳定方程-临界荷载临界荷载lAP PlB-失稳形式失稳形式P P1 11.6181.618第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2211三三.无限自由度体系无限自由度体系P Pl挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为QP PQ或或令令通解为通解为由边界条件由边界条件得得稳定方程稳定方程第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2212P PlQP PQ得得稳定方程稳定方程经试算经试算第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2313静力法举例静力法举例例例1.试用静力法求图示结构的临界荷载试用静力法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为，设刚度系数为k。分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。2aaFP=2qaEI=EI=qFP=2qaq失稳变形图失稳变形图第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2314可解得临界荷载为：可解得临界荷载为：FP=2qaq通过对通过对A点求矩有：点求矩有：A第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2315例例2.试用静力法求图示结构的临界荷载试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为，刚度系数为k。ABCFP分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。EI=失稳变形图失稳变形图ABCFPy第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2316可解得临界荷载为：可解得临界荷载为：通过对竖向取力的平衡有：通过对竖向取力的平衡有：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2417例例3.试用静力法求图示结构的临界荷载试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆，设各杆I=，刚度系数，刚度系数为为k。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。失稳变形图失稳变形图ABCDFPABCDFP解：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2418代入上式可得：代入上式可得：通过对变形后的通过对变形后的B、C点求矩有：点求矩有：由行列式为零可得：由行列式为零可得：ABCDFP第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2419例例4.试推导图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程试推导图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程（k0、kr为弹性抗转刚度，为弹性抗转刚度，k为弹性抗侧移刚度）。并讨论为弹性抗侧移刚度）。并讨论k、k0、kr分别为常数或等于零或等于分别为常数或等于零或等于时，弹性压杆的支承状况及相应的时，弹性压杆的支承状况及相应的稳定方程是什么。稳定方程是什么。取压杆变形后的平取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所衡形式及坐标如图所示，采用小挠度理论示，采用小挠度理论可得弹性平衡微分方可得弹性平衡微分方程。程。解：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2520通解为：通解为：边界条件为：边界条件为：令：令：则：则：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:25212024/7/1702:24:2521由整体平衡条件由整体平衡条件整理后得：整理后得：可得稳定特征方程：可得稳定特征方程：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2622分情况讨论：一、当一、当k=常数，且常数，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程为如下取值时的稳定方程k0=0、kr=常数；常数；k0=0、kr=0；1-11-21-3k0=、kr=0；第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2623二、当二、当k=0，且，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程为如下取值时的稳定方程k0=0、kr=常数；常数；2-12-22-3k0=、kr=0；k0=、kr=；第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:26243-13-23-3k0=0、kr=；k0=、kr=0；k0=、kr=.3-4k0=0、kr=0；三、当三、当k=，且，且 k0、kr为如下取值时的稳定方程为如下取值时的稳定方程第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2725一一.势能原理势能原理2.外力势能外力势能1.应变能应变能P P弯曲应变能弯曲应变能拉压应变能拉压应变能P PP P剪切应变能剪切应变能 外力从变形状态退回到无位移的外力从变形状态退回到无位移的原始状态中所作的功原始状态中所作的功.y(x)q(x)3.结构势能结构势能15.3 能量法能量法第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2726结构势能结构势能例例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数常数.P P1 1llA解解:杆件轴力杆件轴力杆件伸长量杆件伸长量A点竖向位移点竖向位移外力势能外力势能应变能应变能第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2727结构势能结构势能P P1 1llA杆件轴力杆件轴力杆件伸长量杆件伸长量A点竖向位移点竖向位移外力势能外力势能应变能应变能4.4.势能驻值原理势能驻值原理设设A A点发生任意竖向位移点发生任意竖向位移 是是 的函数的函数.杆件伸长量杆件伸长量杆件轴力杆件轴力应变能应变能外力势能外力势能结构势能结构势能第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:28284.4.势能驻值原理势能驻值原理设设A A点发生任意竖向位移点发生任意竖向位移 是是 的函数的函数.杆件伸长量杆件伸长量杆件轴力杆件轴力应变能应变能外力势能外力势能结构势能结构势能 在弹性结构的一切在弹性结构的一切可能位移可能位移中，真实位移中，真实位移使结构势能取驻值。使结构势能取驻值。满足结构位移边界条件的位移满足结构位移边界条件的位移 对于稳定平衡状态对于稳定平衡状态,真实位移使结真实位移使结构势能取极小值构势能取极小值.第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2829分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。2aaFP=2qaEI=EI=qFP=2qaq失稳变形图失稳变形图例例6.试用能量法求图示结构的临界荷载试用能量法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为，设刚度系数为k。能量法举例能量法举例第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2930则结构势能为：则结构势能为：FP=2qaq变形能为：变形能为：A外力势能为：外力势能为：由驻值条件有：由驻值条件有：可解得临界荷载为：可解得临界荷载为：解：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2931例例7.试用能量法求图示结构的临界荷载试用能量法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为，刚度系数为k。ABCFP分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。EI=失稳变形图失稳变形图ABCFPy第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:2932则结构势能为：则结构势能为：变形能为：变形能为：外力势能为：外力势能为：由驻值条件有：由驻值条件有：可解得临界荷载为：可解得临界荷载为：解：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3033例例8.试用能量法求图示结构的临界荷载试用能量法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆，设各杆I=，刚度系数，刚度系数为为k。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。失稳变形图失稳变形图ABCDFPABCDFP解：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3034则结构势能为：则结构势能为：变形能为：变形能为：外力势能为：外力势能为：ABCDFP第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3035由驻值条件有：由驻值条件有：由行列式为零可得：由行列式为零可得：ABCDFP第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3136起重机塔架起重机塔架起重机塔架起重机塔架10.4 组合压杆的稳定组合压杆的稳定第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3137钢桁架桥钢桁架桥钢桁架桥钢桁架桥第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3138基坑开挖格构式立柱基坑开挖格构式立柱基坑开挖格构式立柱基坑开挖格构式立柱第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3139缀板式缀板式肢杆肢杆缀条缀条缀板缀板缀条式缀条式组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的小。组合组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的小。组合压杆具体可分为压杆具体可分为缀条式缀条式和和缀板式缀板式两种。两种。第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3240一一.缀条式组合压杆缀条式组合压杆z假设组合杆失稳时的变形曲线为半波正弦曲线：假设组合杆失稳时的变形曲线为半波正弦曲线：则组合杆上任意点的弯矩、剪力和轴力为：则组合杆上任意点的弯矩、剪力和轴力为：上式中：上式中：b b为组合杆的肢宽，为组合杆的肢宽，为斜缀条与水平轴的夹角。为斜缀条与水平轴的夹角。-上斜缀条截面积上斜缀条截面积.-下斜杆截面积下斜杆截面积.应变能为：应变能为：将轴力代入后得：将轴力代入后得：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3241一般缀条式组合杆的结间数较多，可取一般缀条式组合杆的结间数较多，可取 另外：另外：则应变能为：则应变能为：外力势能：外力势能：I 为两根肢杆的截面对为两根肢杆的截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩.令令 ，可得：，可得：z第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3242若写成欧拉问题基本形式若写成欧拉问题基本形式当当 ，时，时，z第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3343若用若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径的回转半径,取取并且并且,一般一般 为为 ,故可取故可取并引入长细比并引入长细比若采用若采用换算长细比换算长细比 ,则有则有若写成欧拉问题基本形式若写成欧拉问题基本形式第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3344上式是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式上式是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式.若用若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径的回转半径,取取并且并且,一般一般 为为 ,故可取故可取并引入长细比并引入长细比若采用若采用换算长细比换算长细比 ,则有则有第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3345若采用若采用换算长细比换算长细比 ,则有则有二二.缀板式组合压杆缀板式组合压杆可取刚架作为计算结构，运用能量法可得到其临界荷载值为：可取刚架作为计算结构，运用能量法可得到其临界荷载值为：上式中：上式中：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3446组合结构稳定计算举例组合结构稳定计算举例1.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。解解：简化模型如右所示，无限个稳定自由度简化模型如右所示，无限个稳定自由度.稳定的特征方程稳定的特征方程.计算结构临界荷载计算结构临界荷载.第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:34472.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。解解：简化模型如右所示，无限个稳定自由度简化模型如右所示，无限个稳定自由度.稳定的特征方程稳定的特征方程.计算结构临界荷载计算结构临界荷载.第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3448详细解题过程：详细解题过程：取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，可得弹性平衡微分方程。取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，可得弹性平衡微分方程。通解为：通解为：令：令：则：则：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3549边界条件为：边界条件为：整理后得：整理后得：可得稳定特征方程：可得稳定特征方程：可得临界荷载：可得临界荷载：第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:35503.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。解解：简化模型如右所示，一个稳定自由度简化模型如右所示，一个稳定自由度.静力法求解静力法求解.计算结构临界荷载计算结构临界荷载.第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3551解解：一个稳定自由度，失稳变形后的图如上所示一个稳定自由度，失稳变形后的图如上所示.结构临界荷载为：结构临界荷载为：4.计算图示结构的临界荷载。计算图示结构的临界荷载。第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3652解解：产生单位转角后：产生单位转角后：计算刚度计算刚度.5.计算简化模型中的刚度计算简化模型中的刚度k。第第 10 章章 结构的稳定计算结构的稳定计算2024/7/1702:24:3653概念判断概念判断5、能量法确定临界荷载的依据是势能驻值原理。、能量法确定临界荷载的依据是势能驻值原理。1、压弯杆件和承受非结点荷载作用的刚架丧失稳定都属于第一类失稳。压弯杆件和承受非结点荷载作用的刚架丧失稳定都属于第一类失稳。2、在稳定分析中，有、在稳定分析中，有n个稳定自由度的结构具有个稳定自由度的结构具有n个临界荷载。个临界荷载。3、两类稳定问题的主要区别是：荷载、两类稳定问题的主要区别是：荷载位移曲线上是否出现分支点。位移曲线上是否出现分支点。4、静力法确定临界荷载的依据是结构失稳时的静力平衡条件。、静力法确定临界荷载的依据是结构失稳时的静力平衡条件。答案：错误答案：错误答案：错误答案：错误答案：正确答案：正确答案：正确答案：正确答案：正确答案：正确谢谢 谢谢本章结束本章结束