资源描述
4.5 商業與經濟學的應用商業與經濟學的應用學習目標v求解商業與經濟學的最佳化問題。v求解需求函數中需求的價格彈性。v辨認基本的商業術語與公式。P.4-35第四章導數的應用商業與經濟學的最佳化商業與經濟學的最佳化v本章節主要將探討最佳化的問題，所以 4.4 節中的五個步驟為解題的策略。P.4-35第四章導數的應用範例 1求最大收入v某公司認為某產品的總收入(美元)可表示為R x3 450 x2 52,500 x其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產量為何？P.4-35第四章導數的應用範例 1求最大收入（解）1.收入函數的草圖如圖 4.36 所示。P.4-35第四章導數的應用範例 1求最大收入（解）2.主要方程式為收入函數，即R x3 450 x2 52,500 x 主要方程式3.因為 R 為單變數函數，所以不需次要方程式。4.主要方程式的可行定義域為0 x 546 可行定義域此範圍是由收入函數的 x 截距而得，如圖 4.36。P.4-35第四章導數的應用範例 1求最大收入（解）5.為了使收入最大，先求得臨界數。在可行定義域中的臨界數為 x 350，由函數的圖形可知在產量為 350 時有最大收入。P.4-35第四章導數的應用檢查站檢查站 1 1v求使收入函數R x3 150 x2 9375x最大化的產量，試問最大收入為何？P.4-35第四章導數的應用商業與經濟學的最佳化商業與經濟學的最佳化v為了研究產量對成本的影響，經濟學家將平平均成本函數均成本函數(average cost function)定義為其中 C f(x)為總成本函數，x 為產量。P.4-36第四章導數的應用範例 2求最小平均成本P.4-36第四章導數的應用v某公司估計生產某產品 x 單位的成本(美元)可表示為C 800 0.04x 0.0002x2。求使得每單位的平均成本為最小的產量。範例 2求最小平均成本（解）1.令 C 為總成本，x 為產量，為單位平均成本。2.主要方程式為 主要方程式P.4-36第四章導數的應用範例 2求最小平均成本（解）3.將 C 代入主要方程式，可得4.函數的可行定義域為 x 0 可行定義域P.4-36第四章導數的應用範例 2求最小平均成本（解）5.再求臨界數如下所示。P.4-36第四章導數的應用範例 2求最小平均成本（解）v由題意可知 x 值必須為正數，另外 C 的圖形如圖 4.37 所示，產量在 x 2000 時有最小的單位平均成本。P.4-36第四章導數的應用範例 2求最小平均成本（解）P.4-36 圖4.37第四章導數的應用檢查站檢查站 2 2v求使得每單位的平均成本為最小的產量，其中成本函數為C 400 0.05x 0.0025x2。P.4-36第四章導數的應用範例 3求最大收入v某公司的產品若以$10 的單價出售，每個月可賣出 2000 個；若單價每降低$0.25，則每個月可再多賣 250 個。求使得每月收入為最大的單價。P.4-37第四章導數的應用範例 3求最大收入（解）1.令 x 為每月的銷售量，p 為單價，R 為每月的收入。2.為了使每月的收入最大，所以主要方程式為R xp 主要方程式主要方程式P.4-37第四章導數的應用範例 3求最大收入（解）3.當單價 p$10 時的銷售量為 x 2000，當單價 p$9.75 時的銷售量 x 2250。再由點斜式來建立需求方程式。將上式代入收入方程式可得P.4-37第四章導數的應用範例 3求最大收入（解）4.收入方程式的可行定義域為 0 x 12,000 可行定義域5.欲使收入最大化，先求臨界數。P.4-37第四章導數的應用範例 3求最大收入（解）v由圖 4.38 可知，銷售量為 6000 時的收入最大，對應的單價為p=12 0.001x需求函數需求函數 =12 0.001(6000)將將 x 6000 代代入入 =$6單價單價P.4-37第四章導數的應用範例 3求最大收入（解）P.4-37 圖4.38第四章導數的應用檢查站檢查站 3 3v若範例 3 的單價每降低$0.25，則每個月可再多賣 200 個產品，求使得每月收入為最大的單價。P.4-37第四章導數的應用學習提示學習提示v在範例 3 中的收入為 x 的函數，也可寫成 p 的函數；也就是R 1000(12p p2)。求函數的臨界數之後可知 p 6 時的收入最大。P.4-37第四章導數的應用範例 4求最大利潤v某公司的行銷部門認為某產品的需求量 x 可表示為而生產 x 單位的成本為 C 0.5x 500。可得最大利潤的價格為何？P.4-38第四章導數的應用範例 4求最大利潤（解）1.令 R 為收入，P 為利潤，p 為單價，x 為需求量，C 為生產 x 單位產品的總成本。2.為了使利潤為最大，考慮主要方程式P R C 主要方程式主要方程式P.4-38第四章導數的應用範例 4求最大利潤（解）3.以 R xp 改寫主要方程式為4.函數的可行定義域為 127 x 7872(當 x 小於 127 或大於 7872，則利潤為負)。P.4-38第四章導數的應用範例 4求最大利潤（解）5.欲使利潤為最大，先求臨界數。由圖 4.39 的利潤函數可知，在 x 2500 時有最大利潤，對應的單價為P.4-38第四章導數的應用範例 4求最大利潤（解）P.4-38 圖4.39第四章導數的應用v範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(b)。P.4-38第四章導數的應用代數技巧代數技巧檢查站檢查站 4 4v由下列的需求和成本函數，求使得利潤為最大的價格。P.4-38第四章導數的應用學習提示學習提示v為了求範例 4 中的最大利潤，先對方程式 P R C 微分再令其為零，即當邊際收入等於邊際成本時，可得最大利潤，如圖 4.40。P.4-38第四章導數的應用學習提示（續）學習提示（續）P.4-38 圖4.40第四章導數的應用需求的價格彈性需求的價格彈性v經濟學家有一種方法來測量消費者對某產品價格變化的反應，即需求的價格彈性需求的價格彈性(price elasticity of demand)。譬如，蔬菜價格跌落可能引起其需求量增加，這種需求稱為有彈有彈性性(elastic)。另一方面，像牛奶和用水等項目對其價格變化較無反應，這種需求稱為無無彈性彈性(inelastic)。P.4-39第四章導數的應用需求的價格彈性需求的價格彈性v正式而言，需求的彈性是需求量 x 的百分比變化量與價格 p 的百分比變化量之比值。需求的價格彈性公式可利用導數的定義以近似法推導得之，即P.4-39第四章導數的應用需求的價格彈性需求的價格彈性v再利用此近似可得P.4-39第四章導數的應用需求的價格彈性需求的價格彈性P.4-39第四章導數的應用需求的價格彈性需求的價格彈性v需求的價格彈性與總收入函數的關聯性，見圖 4.41 和下列的敘述：1.若需求是有彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，可使得總收入增加。2.若需求是無彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，不會使總收入增加。P.4-39第四章導數的應用需求的價格彈性需求的價格彈性P.4-39 圖4.41第四章導數的應用學習提示學習提示v下列為常見貨品之需求彈性的估計值。請問那幾項有彈性？那幾項無彈性？P.4-39第四章導數的應用範例 5比較彈性與收入v某產品的需求函數為 ，0 x 144，如圖 4.42(a)所示。a.求需求為有彈性、無彈性和單位彈性的區間 。b.以(a)的答案來描述收入函數的性質。P.4-40第四章導數的應用範例 5比較彈性與收入P.4-第四章導數的應用範例 5比較彈性與收入（解）a.需求的價格彈性為P.4-40第四章導數的應用範例 5比較彈性與收入（解）v在區間 0,144 內，因需求為單位彈性或 1，所以的唯一解為 x 64，因此當 x 64 時可得需求的單位彈性。P.4-40第四章導數的應用範例 5比較彈性與收入（解）v對區間(0,64)內的 x 值來說，這說明當 0 x 64，需求有彈性。對區間(64,144)內的 x 值來說，這說明當 64 x 144，需求無彈性。P.4-40第四章導數的應用範例 5比較彈性與收入（解）b.由(a)的結果可知，在開區間(0,64)收入函數 R 是遞增的，在開區間(64,144)收入函數是遞減的，以及當 x 64 時收入函數有極大值，如圖 4.42(b)所示。P.4-40第四章導數的應用檢查站檢查站 5 5v需求函數為 ，0 x 324，求使得需求有彈性、無彈性和單位彈性的區間。P.4-40第四章導數的應用學習提示學習提示v需求的價格彈性模型通常假設需求量增加時價格會降低，所以需求函數 p f(x)為遞減的，且 dp/dx 為負值。P.4-40第四章導數的應用商業術語與公式商業術語與公式v本章節對幾個基本商業術語與公式整理如下。P.4-41第四章導數的應用商業術語與公式商業術語與公式P.4-41 圖4.43第四章導數的應用需求、收入、成本與利潤函數的圖形則如圖 4.43 所示。
展开阅读全文