剪力弯矩方程与剪力课件

第十章第十章 弯曲内力弯曲内力 Chapter 10 Internal forces in beams目录1第十章 弯曲内力 Chapter 10 Inter第十章第十章 弯曲内力弯曲内力v10-1 10-1 引言引言v10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图v10-3 10-3 剪力和弯矩剪力和弯矩v10-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图v10-5 10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分剪力、弯矩与载荷集度间的微分 关系关系目录2第十章 弯曲内力10-1 引言目录210-1 10-1 引言引言起重机大梁起重机大梁目录310-1 引言起重机大梁目录3车削工件车削工件目录10-1 10-1 引言引言4车削工件目录10-1 引言4火车轮轴火车轮轴目录10-1 10-1 引言引言5火车轮轴目录10-1 引言5目录10-1 10-1 引言引言6目录10-1 引言6目录 基本概念基本概念(Basic concepts)2.2.2.2.梁梁梁梁 (Beam):(Beam):以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件（1 1）受力特征受力特征受力特征受力特征:外力外力外力外力(包括力偶包括力偶包括力偶包括力偶)的作用线垂直于杆轴线的作用线垂直于杆轴线的作用线垂直于杆轴线的作用线垂直于杆轴线.（2 2）变形特征变形特征变形特征变形特征:变形前为直线的轴线变形前为直线的轴线变形前为直线的轴线变形前为直线的轴线,变形后成为曲线变形后成为曲线变形后成为曲线变形后成为曲线.1.1.1.1.弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形(Deformation of bending)(Deformation of bending)3.3.3.3.平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲(Plane bending):(Plane bending):作用于梁上的所有外力作用于梁上的所有外力作用于梁上的所有外力作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内都在纵向对称面内都在纵向对称面内都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向弯曲变形后的轴线是一条在该纵向弯曲变形后的轴线是一条在该纵向弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线对称面内的平面曲线对称面内的平面曲线对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲这种弯曲称为平面弯曲这种弯曲称为平面弯曲这种弯曲称为平面弯曲.10-1 10-1 引言引言7目录 基本概念(Basic concepts)2.梁(Be平面弯曲平面弯曲具有纵向对称面具有纵向对称面目录对称弯曲对称弯曲外力都作用在此平面内外力都作用在此平面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线10-1 10-1 引言引言8平面弯曲具有纵向对称面目录对称弯曲外力都作用在此平面内弯曲变常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面目录10-1 10-1 引言引言9常见弯曲构件截面目录10-1 引言910-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图目录（1 1）梁的简化梁的简化梁的简化梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁通常取梁的轴线来代替梁通常取梁的轴线来代替梁通常取梁的轴线来代替梁。（2 2）载荷类型）载荷类型）载荷类型）载荷类型集中力集中力集中力集中力(concentrated force)(concentrated force)集中力偶集中力偶集中力偶集中力偶(concentrated moment)(concentrated moment)分布载荷分布载荷分布载荷分布载荷(distributed load)(distributed load)1010-2 梁的计算简图目录（1）梁的简化 通常取梁目录（3 3）支座的类型支座的类型支座的类型支座的类型 可动铰支座可动铰支座可动铰支座可动铰支座(roller(roller support)support)FR RA AAAAA固定铰支座固定铰支座固定铰支座固定铰支座 (pin support)pin support)固定端固定端固定端固定端 (clamped support or fixed end)clamped support or fixed end)FR Ry yFR Rx xMFRAxAFRAy10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图11目录（3）支座的类型 可动铰支座(roller su火车轮轴简化火车轮轴简化目录10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图12火车轮轴简化目录10-2 梁的计算简图12目录10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图13目录10-2 梁的计算简图13吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷目录10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图14吊车大梁简化均匀分布载荷目录10-2 梁的计算简图14非均匀分布载荷非均匀分布载荷目录10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图15非均匀分布载荷目录10-2 梁的计算简图15简支梁简支梁(simply(simply supported supported beam)beam)外伸梁外伸梁(overhanging beam)(overhanging beam)悬臂梁悬臂梁(cantilever beam)(cantilever beam)FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式静定梁的基本形式目录10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图16简支梁(simply supported beam)外伸梁悬FNFSM10-3 剪力和弯矩(Shear-force and bending-moment in beams)(Shear-force and bending-moment in beams)FAy一、内力计算一、内力计算一、内力计算一、内力计算(Calculating internal force)(Calculating internal force)17FNFSM10-3 剪力和弯矩FAy一、内力计算(Cal F FS S剪力剪力(Shear force)(Shear force)，平行于横截面的内力合力，平行于横截面的内力合力M M 弯矩弯矩(Bending moment(Bending moment)，垂直于横截面的内力系的合，垂直于横截面的内力系的合 力偶矩力偶矩10-3 剪力和弯矩目录FByFNFSM 弯曲构件内力弯曲构件内力弯曲构件内力弯曲构件内力剪力剪力剪力剪力弯矩弯矩弯矩弯矩18 FS剪力(Shear force)，平行于横截面的内力FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对所选梁截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为段上任意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为为负。负。+_10-3 剪力和弯矩 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负目录二、内力的符号规定二、内力的符号规定二、内力的符号规定二、内力的符号规定(Sign convention for internal force)(Sign convention for internal force)19FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力 截面上的弯矩使得梁呈截面上的弯矩使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。10-3 剪力和弯矩 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负目录+_Happy beam is positive;Crying beam is negative20 截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。10-3 剪解：解：1.确定支反力确定支反力FAyFBy2.用截面法研究内力用截面法研究内力FSEME目录例题例题10-110-1FAy10-3 剪力和弯矩21解：1.确定支反力FAyFBy2.用截面法研究内力FSEFByFByFAyFSEMEO分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO目录10-3 剪力和弯矩22FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEO目录FAyFBy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。目录FAyFSE2FFSE10-3 剪力和弯矩23FAyFBy 截面上的剪力等于截面任一侧外力的FAyFBy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。目录MEFAy2FME10-3 剪力和弯矩24FAyFBy 截面上的弯矩等于截面任一侧外力对目录10-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图(Shear-force&bending-moment equations;(Shear-force&bending-moment equations;shear-force&bending-moment diagrams)shear-force&bending-moment diagrams)F FS S=F FS S(x x)MM=MM(x x)一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程 (Shear-force&bending-(Shear-force&bending-moment equations)moment equations)用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程分别称作剪力方程和弯矩方程分别称作剪力方程和弯矩方程分别称作剪力方程和弯矩方程.1.1.1.1.剪力方程剪力方程剪力方程剪力方程(Shear-force equation)Shear-force equation)2.2.2.2.弯矩方程弯矩方程弯矩方程弯矩方程(Bending-moment equation)Bending-moment equation)25目录10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图FS=FS(目录弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在 x x 轴上侧轴上侧轴上侧轴上侧,负值画在负值画在负值画在负值画在x x 轴下侧轴下侧轴下侧轴下侧二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图(Shear-force&bending-moment diagrams)Shear-force&bending-moment diagrams)剪力图为正值画在剪力图为正值画在剪力图为正值画在剪力图为正值画在 x x 轴上侧轴上侧轴上侧轴上侧,负值画在负值画在负值画在负值画在x x 轴下侧轴下侧轴下侧轴下侧 以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标x x表示横截面的位置表示横截面的位置表示横截面的位置表示横截面的位置,以纵坐标表示相以纵坐标表示相以纵坐标表示相以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩应截面上的剪力和弯矩应截面上的剪力和弯矩应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图这种图线分别称为剪力图和弯矩图这种图线分别称为剪力图和弯矩图这种图线分别称为剪力图和弯矩图xFS(x)FS 图的坐标系图的坐标系OM 图的坐标系图的坐标系xOM(x)10-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图26目录弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧二、剪力q悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：任任选选一一截截面面x x，写写出出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x依方程画出剪力依方程画出剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxl由由剪剪力力图图、弯弯矩矩图图可可见见。最最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为目录例题例题10-210-2qx10-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图27q悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力F FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题例题10-310-310-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图28BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯BAlF FAYAYF FBYBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力FAyM/l FBy-M/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3.3.依方程画出依方程画出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。CMab目录例题例题10-410-410-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图29BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和BAlF FAYAYq qF FBYBY简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力FAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx目录例题例题10-510-510-4 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图30BAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：目录3110-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系载荷集度、剪力和载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：1.1.q q0 0，F Fs s=常数，常数，剪力图为水平直线；剪力图为水平直线；2.2.M M(x)(x)为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s(x x)为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；M M(x)(x)为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形；分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0q0QQ0 x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM坟状xM盆状自左向右折角 自左向右突变与m反xM折向与P反向MxM1M234二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根根据据载载荷荷及及约约束束力力的的作作用用位位置置，确确定定控控制面。制面。应应用用截截面面法法确确定定控控制制面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩数值。数值。建建立立F FS S一一x x和和M M一一x x坐坐标标系系，并并将将控控制制面面上上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应应用用平平衡衡微微分分方方程程确确定定各各段段控控制制面面之之间间的的剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图的的形形状状，进进而而画画出出剪剪力力图图与与弯矩图。弯矩图。目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系35微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题例题10-610-6 简支梁受力的大简支梁受力的大小和方向如图示。小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。试画出其剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN,FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。E ED DC CF F目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系36BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题(+)(-)BA1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNE ED DC CF FM(kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建建立立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 5 5根据微分关系连图根据微分关系连图线线4 4应应用用截截面面法法确确定定控控制制面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩值，并将其标在值，并将其标在F FS S x x和和 M Mx x 坐坐标标系中。系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS(kN)O0.89 kN=1.11 kN目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系37(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN 2 2确确定定控控制制面面为为A、C、D、B两侧截面。两侧截面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截截面面左左测测开开始始画画剪力图。剪力图。Fs（kN）0.891.11目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系38（-）（+）解法2：1确定约束力FAy0.89 kN 2（-）（-）4 4从从A A截截面面左左测测开开始始画画弯矩图。弯矩图。M（kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系39（-）（-）4从A截面左测开始画弯矩图。M（kN.m）qBAD Da a4 4a aFAyFBy例题例题10-7 10-7 试画出梁试画出梁的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qa2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。C目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系40qBADa4aFAyFBy例题10-7 试画出梁解：1确（+）（-）（+）qBAD Da a4a4aFAyFByqaqaC3 3建立坐标系建立坐标系建建立立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx4 4确定控制面上的确定控制面上的剪力值，并将其标在剪力值，并将其标在F FS Sx x中。中。5 5确定控制面上的确定控制面上的弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M Mx x中。中。目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系41（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3建立坐 （+）（-）qBAD Da a4 4a aFAyFByqaqa解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力2 2确确定定控控制制面面，即即A A、B B、D D两侧截面。两侧截面。3 3从从A A截截面面左左测测开开始始画画剪力图。剪力图。Fs 9qa/4 7qa/4qa目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系42 （+）（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1（+）M （+）（-）qBAD Da4a4aFAyFByqaqa Fs 9qa/4 7qa/4qa4 4 求求 出出 剪剪 力力 为为 零零 的的 点点 到到A A的距离。的距离。B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/27qa/47a/4 -1/27qa/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2 AB AB段为上凸抛物线。且有段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为极大值。该点的弯矩为 1/29qa/49a/4 1/29qa/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5从从A A截面左测开始画弯截面左测开始画弯矩图矩图 81qa2/32qa2目录10-5 10-5 剪力、弯矩与剪力、弯矩与载荷集度载荷集度间的微分关系间的微分关系43（+）M （+）（-）qBADa4aFAyFBy小结小结1 1、熟练求解各种形式静定梁的支座、熟练求解各种形式静定梁的支座反力反力2 2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定力和弯矩的正负号规定3 3、熟练计算任意截面上的剪力和弯、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值矩的数值4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图正确绘制剪力图和弯矩图目录44小结1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2、明确剪力和弯矩的作业：作业：10101 1：（：（b b），（），（d d）10102 2：（：（b b），（），（d d），（），（f)f)10104 4：（：（b b）10105 5：（：（b b），（），（d d），（），（f f）目录45作业：目录45