第五章测量误差基本知识课件

16七月20241地质与测绘学院地质与测绘学院 魏东英魏东英数字测图原理及方法数字测图原理及方法Principle and Methods of Digital Mapping16七月20242第五章第五章测量误差基本知识测量误差基本知识5.15.1测量误差的分类测量误差的分类5.25.2衡量精度的标准衡量精度的标准5.35.3算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差5.45.4误差传播定律误差传播定律5.55.5加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定5.65.6间接平差原理间接平差原理本章小结本章小结16七月20243前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器(经纬经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作，要在仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作，要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数据某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数据不准确，即数据中有误差。不准确，即数据中有误差。例如：例如：1）距离测量误差）距离测量误差2）角度测量误差）角度测量误差3）高差测量误差）高差测量误差5.1 5.1 测量误差的分类测量误差的分类16七月20244ABD往往D返返理论上：D往往=D返返实测中：D往往D返返1）距离测量误差测量上一般要求测量上一般要求:D往往-D返返/D0 即当直线距离超过一个尺段时，需进行直线定线。即当直线距离超过一个尺段时，需进行直线定线。LAB16七月202413iABSASB水准管轴视准轴b1bi3）水准仪）水准仪I角对测量高差的影响角对测量高差的影响-系统误差系统误差SA=SB时，hAB=0aa1总结：总结：系统误差具有积累性系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值可以利用其规律性对观测值进行改正进行改正或者采用一定的或者采用一定的测量方法加以抵消测量方法加以抵消或消弱或消弱.16七月2024142.偶然误差偶然误差：在相同观测条件下，对一观测量进行在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小和符号上表现出多次观测，若各观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言，该误差的大小和符号偶然性，即单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定的没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定的统计规律统计规律，这种误差就称为偶然误差。，这种误差就称为偶然误差。例如：例如：1)1)距离测量距离测量D9.59.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1 1 2 3 4 5 6 7 N No o16七月2024151.71.61.5 1591中丝读数：中丝读数：1592 1593例如例如:2）读数读数误差误差(水准测量水准测量)16七月202416总结总结:偶然误差不可避免，通过多余观测，偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处理，可以求得参数的最利用数理统计理论处理，可以求得参数的最佳估值佳估值.例如例如:3:3）照准误差照准误差例如例如:4:4）整平误差整平误差16七月2024173.粗差（错误）粗差（错误）：由于观测条件的不好，使得观：由于观测条件的不好，使得观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值，这测值中含有的误差较大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。种误差就称为粗差。例如：已知点有误，往返高差相差悬殊例如：已知点有误，往返高差相差悬殊。总结：总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。发现粗差，将其剔除或重测。通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差值中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，使观测值主要含有消除或减弱到可以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的最可靠值。最可靠值。16七月2024182 2、处理原则、处理原则粗差：即错误，应避免。粗差：即错误，应避免。偶然误差：进行多余观测，计算差值，评偶然误差：进行多余观测，计算差值，评定测量精度，若差值超限则返工，反之求定测量精度，若差值超限则返工，反之求得最可靠值。得最可靠值。系统误差：加改正数、采用一定的测量方系统误差：加改正数、采用一定的测量方法、将误差限制在一定的范围内。法、将误差限制在一定的范围内。16七月20241919 【例例】在相同的观测条件下，观测了在相同的观测条件下，观测了217217个三角形的全部内角。个三角形的全部内角。n三角形内角和真误差三角形内角和真误差:A A+B+B+C+C-180-180n i=1,2,3.217 i=1,2,3.217 16七月202420三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性1 1、在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差、在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。（的绝对值不会超过一定的限值。（有界性有界性）2 2、绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大、绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。（的误差出现的频率小。（集中性集中性）3 3、绝对值相等的正负误差具有大致相等的出现频、绝对值相等的正负误差具有大致相等的出现频率。（率。（对称性对称性）4 4、当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均、当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。（值趋近于零。（抵偿性抵偿性）：真误差：真误差 =l li i-X X =1 1+2 2+n n16七月202421 -27-24-21-18-15-12-9 -6-3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27(vi/n)(vi/n)/3每一误差区间上方的长方形面积，每一误差区间上方的长方形面积，代表误差出现在该区间的相对个代表误差出现在该区间的相对个数数直方图误差分布曲线16七月202422正态分布曲线的特性：正态分布曲线的特性：1、是偶函数。是偶函数。这就是这就是偶然误差的第三特性。对称性偶然误差的第三特性。对称性2、愈小，愈小，愈大。愈大。有最大值有最大值 当当=0=0时时横轴是曲线的渐近线，这就是横轴是曲线的渐近线，这就是偶然误差的第一、二特性偶然误差的第一、二特性曲线有两个拐点，横坐标为：曲线有两个拐点，横坐标为：当当 愈小时，曲线愈陡峭，误差分布比较集中愈小时，曲线愈陡峭，误差分布比较集中当当 愈大时，曲线愈平缓，误差分布比较分散愈大时，曲线愈平缓，误差分布比较分散16七月202423密度函数为密度函数为方差方差标准差标准差16七月2024245.2 5.2 衡量精度的标准衡量精度的标准一、中误差一、中误差 当当n n为有限值时，为有限值时，的估值即为中误差的估值即为中误差m m，则，则 在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个观测值都称为同精度的观测值。即每个观测值的真观测值都称为同精度的观测值。即每个观测值的真差不同，但中误差是相同的。差不同，但中误差是相同的。例：某班的例：某班的3 3个小组，在相同观测条件下进行四等水准测量。个小组，在相同观测条件下进行四等水准测量。第第1 1个小组测得闭合差为个小组测得闭合差为+2+2mm,mm,第第2 2个小组测得闭合差为个小组测得闭合差为-6-6mm,mm,第三个小组测得闭合差为第三个小组测得闭合差为0 0。试判断哪一组观测精度高？。试判断哪一组观测精度高？精度相同16七月202425二、相对误差二、相对误差相对较差：相对较差：常用于衡量距离丈量的误差。常用于衡量距离丈量的误差。相对中误差：相对中误差：相对极限误差：相对极限误差：16七月202426例例:测量两条直线，一条测量两条直线，一条100m，另一条，另一条50m，其中误差均为，其中误差均为10mm试问两条直线的观测精试问两条直线的观测精度相同吗？哪条直线的观测精度相同吗？哪条直线的观测精度高？度高？精度不相同精度不相同100m的直线的观测精度高的直线的观测精度高16七月202427三、极限误差三、极限误差 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是极限误差。会超过一定限值，这个限值就是极限误差。按正态分布表查得，在大量同精度观测的一按正态分布表查得，在大量同精度观测的一组误差中，误差区间分布概率分别为：组误差中，误差区间分布概率分别为：因此以两倍中误差作为允许的极限误差，称为允许因此以两倍中误差作为允许的极限误差，称为允许误差。即误差。即16七月2024285.3 5.3 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值一、算术平均值等精度直接观测值的最可靠等精度直接观测值的最可靠值（最或是值）值（最或是值）设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为为X X，观测值分别为，观测值分别为l l1 1、l l2 2、l ln n，相应的真误差为相应的真误差为1 1、2 2、n n，则，则16七月202429将上式求和再除以观测次数将上式求和再除以观测次数n n，得，得 L L为算术平均值为算术平均值根据偶然误差的第四个特性，根据偶然误差的第四个特性，故有故有 简单的简单的算术平均值算术平均值是等精度直接观测值的是等精度直接观测值的最可靠值最可靠值。16七月202430二、观测值的改正值二、观测值的改正值16七月202431观测值改正数特点1 1、观测值的改正数、观测值的改正数v v ：以算术平均值以算术平均值为最或是值，并据为最或是值，并据此计算各观测值的此计算各观测值的改正数改正数 v，符合，符合vv=min 的的“最小最小二乘原则二乘原则”。Vi=L-i(i=1,2,n)特点特点1 改正数总和为零：改正数总和为零：对上式取和：以 代入：通常用于计算检核通常用于计算检核L=nv=nL-nv=n -=0v=0特点特点2 vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x=n16七月2024322 2、用改正数、用改正数v v计算中误差计算中误差用改正数用改正数v v计算中误差（计算中误差（）对对n n次观测值的真误差和改正数分别为次观测值的真误差和改正数分别为:16七月202433将上两组式对应相加：将上两组式对应相加：设L-X=，代入上式，并移，代入上式，并移项后得后得16七月202434上上组各式分各式分别平方，再求和平方，再求和其中其中 =故有故有 其中其中16七月202435故故因因为li为独立独立观测值则当当ij时，亦，亦为偶然偶然误差。差。上式等号右上式等号右边的第二的第二项趋于零，故于零，故根据偶然误差的第四个特性，当根据偶然误差的第四个特性，当时，时，16七月202436于是 白塞尔公式白塞尔公式16七月202437三、用改正值计算中误差及算术平均值的中误差三、用改正值计算中误差及算术平均值的中误差1 1、用改正数、用改正数v v计算中误差计算中误差(白塞尔公式白塞尔公式 )2 2、用改正数、用改正数v v计算算术平均值（最或是值）的中误差计算算术平均值（最或是值）的中误差16七月202438例一：例一：对某角进行了对某角进行了5 5个测回等精度观测，观个测回等精度观测，观测结果为测结果为 1 1=35=3518281828 2 2=35=351825 1825 3 3=35=3518261826 4 4=35=351822 1822 5 5=35=3518241824 试求该角的平均值，一测回角的中误差以试求该角的平均值，一测回角的中误差以及算术平均值的中误差。及算术平均值的中误差。16七月202439解：解：角度的平均值角度的平均值 353518251825改正数改正数 v v1 1=+3=+3 v v2 2=0 =0 v v3 3=+1=+1 v v4 4=-3=-3 v v5 5=-1=-1故有一测回角的中误差故有一测回角的中误差平均值的中误差平均值的中误差 16七月2024405.4误差传播定律误差传播定律*问题的提出：问题的提出：*在上节讨论了如何根据同精度的观测值的真误在上节讨论了如何根据同精度的观测值的真误差来评定观测值精度的问题。许多未知量是不能直差来评定观测值精度的问题。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误差而去求观测值函数的中误如何根据观测值的中误差而去求观测值函数的中误差呢？差呢？阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的关系的定律称为误差传播定律的关系的定律称为误差传播定律。16七月2024411、倍数函数、倍数函数设有函数设有函数z=kx z:观测值的函数，观测值的函数，x为观测值，为观测值，k为常数为常数(1)真误差的关系式为：真误差的关系式为：若对若对x观测了观测了n次则：次则：(2)将上式平方得：将上式平方得：(3)求和，并除以求和，并除以n(4)转换为中误差关系式转换为中误差关系式观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘以常数观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘以常数16七月202442 例例5-15-1：在在1 1：50005000地形图上量得地形图上量得A A、B B两点间两点间的距离的距离d=234.5mm d=234.5mm，中误差，中误差m md d=0.2mm0.2mm，求，求A A、B B两点间的实地水平距离两点间的实地水平距离D D及其中误差及其中误差m mD D。解：解：D=Md=5000*234.5/1000=1172.5mD=Md=5000*234.5/1000=1172.5m m mD D=Mm=Mmd d=5000*(=5000*(0.2)/1000=0.2)/1000=1.0m1.0m 可写成可写成D=1172.5mD=1172.5m1.0m1.0m16七月2024432、和或差的函数、和或差的函数设有函数设有函数z=xy z:观测值的函数，观测值的函数，x、y为为独立观测值独立观测值(1)真误差的关系式为：真误差的关系式为：若对若对x、y观测了观测了n次则：次则：(2)将上式平方得：将上式平方得：(3)求和，并除以求和，并除以n(4)转换为中误差关系式转换为中误差关系式两观测值代数和的中误差，等于两观测值中误差的平方和两观测值代数和的中误差，等于两观测值中误差的平方和由于由于x,y为独立观测值，因此为独立观测值，因此n趋近无穷时，趋近无穷时，xy/n=016七月2024442、和或差的函数、和或差的函数n个观测值代数和的中误差，等于个观测值代数和的中误差，等于n个观测值中误差的平方和个观测值中误差的平方和。n个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数n的平方根的平方根成正比。成正比。16七月2024452、和或差的函数、和或差的函数水准测量中观测高差的中误差，与距离水准测量中观测高差的中误差，与距离S的平方根成正比。的平方根成正比。水准测量中观测高差的中误差，与测站数水准测量中观测高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。的平方根成正比。16七月2024463、线性函数、线性函数应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得16七月2024474、一般函数（非线性函数）、一般函数（非线性函数）设是独立直接观测值设是独立直接观测值x x、x x、x xn n的函数，即的函数，即f f(x(x、x x、x xn n)其中的中误差为其中的中误差为m mZ Z直接观测值直接观测值x x、x x、x xn n的中误差为的中误差为m m1 1、m m2 2、m mn nx xi i相应的中误差为相应的中误差为i i，则的真误差为，则的真误差为。16七月202448将上述函数式全微分将上述函数式全微分因误差因误差i i及及都很小，故在上式中，可近似都很小，故在上式中，可近似用用i i及及代替及，于是有代替及，于是有式中式中为函数为函数f对各自变量的偏导数，为确定的常对各自变量的偏导数，为确定的常数。数。设设=，则上式可写成，则上式可写成16七月202449又设对各又设对各xi观测了观测了 k次，则可写成次，则可写成k个关系式个关系式将以上各式两边平方再相加得将以上各式两边平方再相加得 上式两端除以上式两端除以k k16七月202450因为因为xi为独立观测值则为独立观测值则当当ij时，亦为偶然误时，亦为偶然误差。根据偶然误差的第四个特性差。根据偶然误差的第四个特性故上式可写成故上式可写成根据中误差的定义，上式可写成根据中误差的定义，上式可写成当当k k 为有限值时，可写成为有限值时，可写成即即 16七月202451总结总结应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳以下几步：可归纳以下几步：1、列出函数式、列出函数式2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真误差的关系式误差的关系式4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式3、独立性的判断、独立性的判断注意单位的统一注意单位的统一16七月202452 误差传播定律的几个主要公式：函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数16七月2024534、一般函数（非线性函数）、一般函数（非线性函数）例一：设有函数例一：设有函数z=Ssin解：注意单位的统一16七月202454设未知量的真值为X，观测值的真误差为将上式相加称为算术平均值，是未知量的最或然值算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍二、误差传播定律及应用误差传播定律及应用=n L1 x因为n L2 n Ln 1、算术平均值及其中误差、算术平均值及其中误差 16七月202455二、误差传播定律及应用误差传播定律及应用1、算术平均值及其中误差、算术平均值及其中误差 16七月202456例：对某段距离同精度测量了4次试求该段距离的最或然值及其中误差解：二、误差传播定律及应用误差传播定律及应用1、算术平均值及其中误差、算术平均值及其中误差 16七月202457 例例5-25-2：对一个三角形观测了其中对一个三角形观测了其中、两两个角，测角中误差分别为个角，测角中误差分别为 m m=3.5,m3.5,m=6.26.2，试求另一个角试求另一个角的中误差。的中误差。解：解：=180=180-故故 m m=16七月202458 例例5-35-3：对对ABAB两点的距离丈量了两点的距离丈量了n n次，丈量的次，丈量的结果分别为结果分别为l l1 1、l l2 2、l ln n，其相应的中误，其相应的中误差分别为差分别为m m1 1、m m2 2、m mn n。试求。试求ABAB两点的平两点的平均距离均距离L L及其中误差及其中误差M M。解：解：L=L=M=M=当当l l1 1、l l2 2、l ln n为独立的等精度观测值时，即为独立的等精度观测值时，即m m1 1=m=m2 2=m=mn n=m=m，则则 M=16七月202459 例例5-45-4：倾斜视线的视距测量公式为倾斜视线的视距测量公式为式中，式中，l l、为独立的直接观测量，其中误差为独立的直接观测量，其中误差分别为分别为m ml l、m m，试求水平距离，试求水平距离D D的中误差。的中误差。解：解：对对 全微分全微分则则 16七月2024605.5加权平均值及其精度评定加权平均值及其精度评定如果对某个未知量进行如果对某个未知量进行n n次同精度观测，则其最次同精度观测，则其最或然值即为或然值即为n n次观测量的算术平均值：次观测量的算术平均值：在相同条件下对某段长度进行两组丈量在相同条件下对某段长度进行两组丈量：第一组第一组第二组第二组算术平均值分别为算术平均值分别为16七月202461其中误差分别为：其中误差分别为：全部同精度观测值的最或然值为全部同精度观测值的最或然值为：16七月202462在在值的大小体现了值的大小体现了中比重的大小，中比重的大小，称称为为的权。的权。令令若有不同精度观测值若有不同精度观测值其权分别为其权分别为该量的最或然值可扩充为该量的最或然值可扩充为：称之为广义算术平均值。称之为广义算术平均值。16七月202463一、不等精度观测值及观测值的权一、不等精度观测值及观测值的权1 1、不等精度观测值：观测条件不同的同类观测值。、不等精度观测值：观测条件不同的同类观测值。2 2、（、（1 1）权：与中误差的平方成反比。）权：与中误差的平方成反比。C C为任意正数为任意正数（2 2）单位权中误差：权等于）单位权中误差：权等于1 1的中误差，用的中误差，用m m0 0表示。表示。一般以一次观测、单位长度等的测量误差作为单位权中误差一般以一次观测、单位长度等的测量误差作为单位权中误差m m0 0。16七月202464 1.1.水准测量定权水准测量定权1 1）用测站数定权）用测站数定权（用于山地）（用于山地）已知同精度观测已知同精度观测Ni 个测站的水准高差个测站的水准高差hi 的的方差为：方差为：取取C个测站的观测高差的方差为单位权方差个测站的观测高差的方差为单位权方差，即即按定权公式可得用测站数定权的公式按定权公式可得用测站数定权的公式 二、常用的定权方法二、常用的定权方法16七月202465 已知，每公里观测高差的方差相等时，已知，每公里观测高差的方差相等时，S Si i 公里观测公里观测高差的方差为高差的方差为 取取C公里公里观测高差的方差为单位权方差观测高差的方差为单位权方差，即即按定权公式可得用路线长度定权的公式按定权公式可得用路线长度定权的公式：上式说明，当每公里观测高差等精度时，水准测量高差上式说明，当每公里观测高差等精度时，水准测量高差的权与距离成反比。的权与距离成反比。2 2）用路线长度定权（用于平地）用路线长度定权（用于平地）16七月202466 1 1）钢尺量距的权）钢尺量距的权 设单位长度距离丈量的方差为设单位长度距离丈量的方差为2 2 ，则丈量距离则丈量距离S Si i 的方差为的方差为 取丈量长度取丈量长度C C的方差为单位权方差，的方差为单位权方差，即取即取 则按则按定权公式定权公式得得 上式说明，当单位长度距离丈量的精度相同时，距离上式说明，当单位长度距离丈量的精度相同时，距离丈量的权与长度成反比。丈量的权与长度成反比。2.2.距离量测定权距离量测定权16七月202467测距仪测距的权可按定权公式直接求得测距仪测距的权可按定权公式直接求得，即即 式中式中 为任选的单位权方差，为任选的单位权方差，为测距为测距方差，它包含固定误差部分和比例误差两部分。即方差，它包含固定误差部分和比例误差两部分。即 mmkm2 2）光电测距的权）光电测距的权16七月202468 已知一组等精度的独立观测值已知一组等精度的独立观测值(方差均为方差均为2)算术平均算术平均值的方差为：值的方差为：若取若取C次观测值的算术平均值为单位权观测值次观测值的算术平均值为单位权观测值，即取即取按定权公式可得算术平均值的权按定权公式可得算术平均值的权 上式说明，算术平均值的权与观测次数成正比。上式说明，算术平均值的权与观测次数成正比。3 3）等精度观测算术平均值的权）等精度观测算术平均值的权16七月202469三、加权平均值三、加权平均值现有三组观测值，计算其最或然值现有三组观测值，计算其最或然值 A A组：组：123.34,123.39,123.35 123.34,123.39,123.35 B B组：组：123.31,123.30,123.39,123.32 123.31,123.30,123.39,123.32 C C组：组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32 123.34,123.38,123.35,123.39,123.32 各组的平均值：各组的平均值：A A组：组：l lA A=123.360=123.360 B B组：组：l lB B=123.333=123.333 C C组：组：l lC C=123.356=123.356 x=x=?16七月202470各组的平均值及其权各组的平均值及其权 A A组：组：123.360 123.360 权权P PA A=3=3 B B组：组：123.333 P123.333 PB B=4=4 C C组：组：123.356 P123.356 PC C=5=5加权平均值加权平均值:16七月202471则加权平均值则加权平均值计算加权平均值的实用公式为：计算加权平均值的实用公式为：16七月202472四、加权平均值的中误差四、加权平均值的中误差 不等精度观测值的加权平均值计算公式可不等精度观测值的加权平均值计算公式可以写成线性函数形式：以写成线性函数形式：根据线性函数的误差传播定律公式，得根据线性函数的误差传播定律公式，得以以 m m0 0为单位权中误差），带入上为单位权中误差），带入上式得式得16七月202473五、单位权中误差的计算五、单位权中误差的计算用观测值的改正值用观测值的改正值v v代替真误差代替真误差 16七月202474【例例5-15-1】对某量观测了对某量观测了4 4次，其观测值及相应的次，其观测值及相应的权记录于下表中，试计算加权平均值及其中误权记录于下表中，试计算加权平均值及其中误差。差。加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差序号序号观测值观测值li（m）l（mm）PP l(mm)V（mm）PVPVV1305.533133390002305.528818+5+5253305.53414228-1-224305.53616116-3-39取取L0=305.5205179103616七月202475加权平均值加权平均值 单位权中误差单位权中误差 加权平均值中误差加权平均值中误差 16七月2024765.6 间接平差原理一、间接平差原理一、间接平差原理 设某平差问题有设某平差问题有t t个未知数个未知数 有有n n个观测值个观测值 其相应的权为其相应的权为 平差值方程的一般形式为平差值方程的一般形式为式中，式中，didi是方程中的常数是方程中的常数 16七月202477 令令 则平差值方程的矩阵形式为：则平差值方程的矩阵形式为：(6-1)16七月202478将已知的观测值将已知的观测值LiLi移至等号的右方，并令移至等号的右方，并令即得一般形式的误差方程为：即得一般形式的误差方程为：式中，式中，是已知的系数和常数项。是已知的系数和常数项。用矩阵形式表示为用矩阵形式表示为(6-2)16七月202479 按最小二乘原理，上式的按最小二乘原理，上式的 x x必须满足必须满足 的要求，因为的要求，因为t t个参数为独立量，故可按数学上求个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极函数自由极值的方法，得值的方法，得 转置后得转置后得 将将代入代入得间接平差的法方程得间接平差的法方程16七月202480单位权中误差：单位权中误差：16七月202481 例例6-16-1：在下图所示的水准网中，在下图所示的水准网中，A A、B B、C C为已知为已知水准点，高差观测值及路线长度如下：水准点，高差观测值及路线长度如下：=+1.003m=+1.003m，=+0.501m=+0.501m，=+0.503m=+0.503m，=+0.505m=+0.505m；=1km=1km，=2km=2km，=2km=2km，=1km=1km。已知已知 =11.000m=11.000m，=11.500m=11.500m，=12.008m=12.008m，试用间接平差法求试用间接平差法求 及及 点的高程平差值。点的高程平差值。16七月2024821 1、根据条件列出平差值方程：、根据条件列出平差值方程：2 2、计算其误差方程如下：、计算其误差方程如下：16七月202483为方便计算，选取参数的近似值，令为方便计算，选取参数的近似值，令则得则得16七月202484 设设2km2km的观测高差为单位权观测值，即按的观测高差为单位权观测值，即按 来定权，得各观测值的权分别为：来定权，得各观测值的权分别为：p p1 1=2=2，p p2 2=1=1，p p3 3=1=1，p p4 4=2=2。可得可得 16七月2024853 3、由误差方程系数、由误差方程系数 和自由项和自由项 组组成法方程成法方程 得得解得解得16七月2024864.4.解算法方程，求出参数解算法方程，求出参数 x，计算参数的平差，计算参数的平差值值16七月2024875 5由误差方程计算由误差方程计算 ，求出观测量平差值，求出观测量平差值 6 6、单位权中误差为、单位权中误差为:16七月202488本章小结1 1、误差及产生的原因、误差及产生的原因2 2、误差的分类、性质及处理原则、误差的分类、性质及处理原则3 3、衡量精度的指标、衡量精度的指标4 4、算术平均值、改正值、用改正值、算术平均值、改正值、用改正值计算中误差计算中误差5 5、误差传播定律的应用、误差传播定律的应用6 6、加权平均值及中误差、加权平均值及中误差7 7、间接平差原理的应用、间接平差原理的应用