第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚课件

第五章 波色系统：波色-爱因斯坦凝聚5.1 理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程：这里比容v=V/N,平均热波长 。易逸度z的定义为 ，其中为化学势。对波色气体，我们有：，由定义知显然成立；可由动量为0的态的平均占据数 确定。函数 一般地由下式确定：当z取0至1的值时，是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0的值）。对于n1有这是黎曼Zeta函数。当 ，发散。产生凝聚的条件：把比容的方程改写为：凝聚要求 当 时，这必然成立（因 是增函数）。这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一个相由动量为零的粒子组成，令一个由动量不为零的粒子组成。第五章 波色系统：波色-爱因斯坦凝聚5.1 理想波色气体中的分割面方程由 确定，由此可得临界温度 和临界比容 (固定温度T时):当 （v一定）或 （T一定）时，将产生波色-爱因斯坦凝聚。即低温和高密度是产生波色-爱因斯坦凝聚的条件，有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数量级。大V极限下的易逸度z：对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形。由 我们可反解出z:。因此在大V极限下我们有：填布数 与温度和比容的关系（大V极限下）：利用 和上面的结果可得：粒子在动量空间动量空间里凝聚。T=0时所有粒子都占据p=0态。分割面方程由 物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因 ，它最多是 的量级，对大系统可忽略。因此物态方程为物态方程在 连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。其它热力学量：应分为两段讨论，如内能：熵：定容比热：在T=0附近我们有 ，这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在 处比热是连续的（因 发散），比热的导数不连续。物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因 5.2 非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V，系统处于低温且相互作用为二体碰撞。在一级近似下，系统哈密顿量为：这里我们把势能项看作微扰。设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为 其中 为单粒子态中粒子的填布数。在一级近似下，系统能量为：成立条件为 k为一对粒子的相对波矢，a是散射长度。即粒子只能激发到动量较小的态。上面最后一个等式的推导见杨展如书93-95页。在基态，我们让 ，而其它所有 为零，基态能量为：而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱。在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达式可进一步近似为：下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况，即 并用n代表 ，能量的动能部分记为 ，记 ，配分函数为：其中 为理想波色气体的配分函数。是对理想波色气体的统计平均。5.2 非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚考虑N个无自旋波每个粒子的自由能为：压强可由自由能得到：作近似 后可得：这个相变是二级相变。每个粒子的自由能为：5.3 波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理实验困难：大多数气体在极低温下不呈现气态。1995年：三个研究组用Rb,Na 和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色-爱因斯坦凝聚现象。实验的基本原理有两个：（1）多普勒致冷（动量空间的压缩）：恰当选取激光频率 ，这里 是原子最低激发频率，可使得原子在多次吸收激光后，动量不断减小：原子接受迎面光子激发（有方向性，动量减小），再通过自发辐射退激发（无方向性）。（2）磁-光陷阱（坐标空间囚禁）：在磁场中原子激发态能级发生分裂，原子通过两束沿z轴相对运动的激光激发。激光频率小于原子无磁场时的跃迁频率()。这样，不论在z0还是z0区域内只能吸收向坐标原点方向传播的激光，受到一个指向z=0点的辐射力F=-kz，这样原子处于一个辐射力造成的简谐势阱中。5.3 波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理实验困难：大多数气体5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚详见杨展如书98-102页。5.5 简谐势阱中非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚温度很低时，原子的德布罗意波长（热波长）比原子相互作用程大很多，原子间的相互作用是很弱的完全被量子力学中讨论过的S-波散射所支配，因此我们只需考虑二体碰撞。S-波散射可以用散射长度a来表征，相互作用势可近似写为:因此在外界简谐势场 中，波色场算符满足（海森堡绘景，坐标表象）：这个方程可在平均场近似下求解。关键是把波色场算符分为凝聚部分和非凝聚部分(波戈留波夫近似)：均匀空间情形：理想波色气体的基态是所有粒子都处于单粒子的零动量态，其低激发态仍有量级为N的粒子占据零动量态，而 的态的占据数很少。我们假定这对近理想波色气体仍然成立。令 为动量为p的单粒子态的湮灭(产生)算符，我们有5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚详见杨展如故这表明在这种近似下我们可以忽略 的非对易性，把它们当作非算符的量（C数）。这样场算符可以写为两部分：推广到空间非均匀和与时间有关的情形，我们有：这里 ，是围绕平均值的量子和热涨落（一个小量）。带入到上面的方程即得（GP方程）：用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质。凝聚部分的哈密顿量为：统计平衡时系统的 的平均值有极小值，故有 ，从上式代入并解之得：故用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质。凝聚部分的哈密顿量5.6 波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据序参量：描述连续相变（二级相变）特征（自发对称破缺）的参量。在相变点附近，它是唯一重要的热力学量。理想波色气体系统理想波色气体系统：我们考察单粒子密度矩阵单粒子密度矩阵：这里 表示系综平均 ，为正则系综统计算符，为单自由粒子场算符（可用平面波平面波展开），分别为平面波的波矢量为k的湮灭和产生算符。上式表示如在y处失去一个粒子，则可在x处找到一个粒子的概率密度。考虑一个有平移不变性的系统，这时动量和哈密顿量对易，利用Tr(AB)=Te(BA)可证：另一方面，直接计算可得：因此对这种系统我们有于是5.6 波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据序参量：描述连续相变当r=|x-y|时，上式中的积分为零。因此在这个极限下 与空间位置无关。物理意义物理意义：在系统里存在着恒定密度的零动量粒子。这正是波色-爱因斯坦凝聚存在的标志。有相互作用的系统有相互作用的系统：单粒子动量不是一个好量子数，与哈密顿量不对易，上面的计算不适用。Penrose和Onsager建议采用下列波色-爱因斯坦凝聚存在的一般判据:这里 称为超流序参量，若 则说明存在动量空间的有序，即波色-爱因斯坦凝聚。非零非零序参量的出现表征系统中出现了“对称破缺对称破缺”。5.7 陷阱中波色-爱因斯坦凝聚的激发态在5.6节我们把一般的场算符分为了两部分：，并考虑了C数部分(r,t)的贡献，这里我们将考虑涨落算符 的贡献。涨落算符的对易关系与常算符的相同，因此有：当r=|x-y|时，上式中的积分为零。因此在这个极限下 哈密顿量为：，其中上面最后一式里我们已经略去了涨落算符二次方以上的项。由上可知粒子数密度为：故总粒子数为：而 实际是一个C数。由此我们可写出涨落算符的动力学方程（海森堡方程）：把 的表达式带入，可得：哈密顿量为：方程求解：把涨落算符用一套简正模集合 来展开（波戈留波夫变换波戈留波夫变换）：同时令 ，并设 ，遵守等时波色对易关系。带入到方程中得：解之即得 和相关的本征值。相应地，通过上面的展开式 也可简单地表示成：即 可用假想的波色粒子的湮灭和产生算符来表达，它是能量为 的各种假想的无相互作用的波色粒子的能量之和，这种粒子称为准粒子准粒子。方程求解：第六章 波色系统：超流性6.1液He中的超流相变自然界中的氦有两种稳定的同位素：和 。是费米子，是玻色子。氦原子间相互作用很弱，原子的质量很小从而零点振动能很大，这使得在常压下直到接近绝对零度氦仍可保持液态。在很低的温度下，量子效应起主导作用，因此液氦是典型的量子液体量子液体。液He有两个不同的相：正常相He I和超流相He II，正常相沿饱和蒸汽压曲线降温，在温度T=2.18K和比容v=46.2/原子处发生He I到He II的相变。相变无潜热和体积变化，在相变点比热以对数形式趋于无穷大，表明这是二级相变二级相变。比热线很像，因此此相变又称为相比，曲线AB称为线。在T=0附近，比热以 规律趋于零。第六章 波色系统：超流性6.1液He中的超流相变自然界中的6.2 液He II的特性 二流体模型液He II的特性：1.液He II能沿极细的毛细管流动而不呈现任何粘滞性，这称为超流性。而且存在一个临界速度，在这个速度以上，超流性被破坏。2.如用一细丝悬挂一薄圆盘浸泡在液He II里，并让圆盘作扭转振动，可以用来测粘滞系数。结果比“毛细管”法测得的大10倍（与正常相的相似）。且测得的系数强烈依赖于温度，随T0K而趋于零。3.当液He II由容器A通过多孔塞（或极细的毛细管）流出时，A内液He II的温度升高（见右下图）。这称为机械热效应，其逆过程称为热机械效应。4.液He II的热导率很大，数量级为室温下铜的800 倍，而且其热导与通常流体不同，并不正比于 温度梯度。二流体模型二流体模型的解释：1.液He II由正常流体和超流体两种成分组成。超流体没有粘滞性，熵也为零；正常流体具有粘滞性和熵，用 和 表示超流体和正常流体的质量密度，速度场为 和 ，则总质量密度为：，总质量流为：2.T=0K时，全部液体为超流体；时，全部为正常成分。二者之间时 是温度的函数。3.超流成分的速度场是无旋的，即 。且两种流体成分可以相对流动而彼此间无摩擦（无动量交换）。6.2 液He II的特性 二流体模型液He II的只有超流成分可通过毛细管，这解释了特性一；只有正常流体成分才对圆盘振动起阻尼作用，这解释了特性二；机械制热效应：由毛细管流出的只是超流成分，不带走熵。因而容器内流体的单位质量的熵将增加，导致温度增加。这解释了特性三；特性四：设想均匀温度的液He II中，某点附近温度突然稍稍上升。按二流体模型，热点的 要增加，而 将减小，造成两种成分的密度涨落。为恢复平衡，热点附近的超流成分将向热点流动，同时正常成分将向反方向流动而离开热点，这称作“内运流”。这种内部调整进行的很快，使液He II有极好的导热性。由于液He II中有两种成分，朗道预言He II中会有两种独立的振动波：若 和 方向一致，则振动波传递密度和压强的变化，这是普通的声(第一声)；若 和 方向相反，则可能在保持总密度 基本不变的情况下，分别有涨落。由于超流成分熵为零，的涨落决定了熵密度的涨落和温度的涨落（如图所示）。只有超流成分可通过毛细管，这解释了特性一；6.3 超流体的涡旋运动昂萨格和费因曼在理论上指出，在液He II的基态或液He II的超流成分中，可以存在一种“组织化的运动”-量子化的涡旋。设N个玻色子组成的超流体的基态波函数为 ，若液He II相以匀速 运动，则系统波函数为：这里 是超流体宏观运动的动量，R是质心坐标。若各粒子 不均匀，在局部意义上上式仍是一个较好的近似。即在比速度发生显著变化的距离小得多的范围内，由局部位移引起的波函数的相位变化为：现在考虑超流体的涡旋。设想液He II相中的一个闭合环，使环上每一原子从其原位置移到其最近邻位置上。由于波函数的对称性，波函数不变。因此这种位移引起的波函数的相位变化必为2的整数倍，即注意求和只对环上的所有原子求和，对宏观尺度的闭合环，求和可换为积分：这表明，环流是量子化的，环流量子为h/m。由此可证超流成分的无旋性。由斯托克斯定理，S为积分回路包围的曲面面积。若此区域是单连通的，且流速 在S内处处连续，则左方的积分可以随S连续地趋于零，但右方不能连续变化，故只有 。6.3 超流体的涡旋运动昂萨格和费因曼在理论上指出，在液He但对复连通区域或 有奇点的情形上式不成立。如一个中心在r=0处的柱对称的涡旋，其速度场为 。r=0是v的奇点。除涡旋轴（r=0）外，我们仍有 ，但对以r=0为中心且垂直于z轴的圆的积分回路，我们有实验已观测到量子化涡旋，其半径为1左右。圆柱型容器中超流体的旋转：对正常液体，由于重力和离心力，液体的自由表面呈抛物面状：对超流体又如何？实验发现超流体和正常液体的形状是一样的。如何与 的假设协调？如右图，考虑一系列互相平行的涡旋线的均匀分布阵列。每一（最小）涡旋的环流为h/m，以N表示单位面积的涡旋线数。考虑半径为r及r+dr的两园之间的封闭面元。涡旋线环流之和是N2rdrh/m。除去r和r+dr的园边界外，相邻涡旋的速度场彼此抵消。另一方面，面元周界内的净环流又可以计算如下：两种算法的结果应相等，故有若要超流体和正常液体以相同的方式旋转，只需取 即可。涡旋线间的距离 ，当=1rad/s时，d约为0.1mm量级，这远比量子化涡旋大。但对复连通区域或 有奇点的情形上式不成立。如一个中心在6.4 朗道超流理论朗道理论的基本图像是把液He II看成受弱激发的量子波色系统，弱激发态与基态(T=0K)的偏离表现为在安稳的背景上出现了由元激发或准粒子组成的气体，后者与二流体模型中的正常液体成分对应，而前者代表超流成分（回忆上章最后一节的另一个例子）。当温度很低时，元激发的密度很低，可以把它们看作元激发的理想气体。令p和(p)代表元激发的动量和能量，n(p)表示相应的元激发数，则系统低激发态的总能量和动量为：朗道进一步假设液He II中存在两种不同的波色型元激发（准粒子），即声子和旋子。当时，液He II的比热随 变化，这是声子的特征，其能谱为=cp，c为声子速度。当温度稍高时，比热有一如exp-/kBT的附加项，其中为常数。由此推测对较大的动量，元激发能量有一个能隙，朗道假定在这个动量范围内能谱为：是旋子的有效质量。热力学性质热力学性质：这里准粒子被看作是理想波色气体，准粒子数目不确定，系统的化学势为零。准粒子在能量 的平均占据数为：由此可得内能：和定容比热6.4 朗道超流理论朗道理论的基本图像是把液He II看成受因此声子部分贡献的比热为：旋子贡献的比热在假设 为小量时，可得这些结果与实验符合的很好。超流的临界速度超流的临界速度：设质量为M的超流体以宏观速度v运动，其动量和能量为：因此动量和能量的任何变化必满足：设这一变化是由超流体产生了一个新的元激发引起，其动量为p，能量为(p)。按能量和动量守恒，元激发的动量和能量必由消耗超流体的宏观流动的动量和能量而来，故因此我们有 或 。上式说明，要能产生元激发，必须超流体的宏观流速大于(p)/p；反之对一切小于(p)/p的v值，则由于宏观流动而产生新的元激发是不可能的，即流体继续保持超流。由此得到超流判据：即为超流的临界速度。由此易知自由粒子能谱 不可能有超流，因因此声子部分贡献的比热为：6.5简并性近理想波色气体 波戈留波夫变换这里我们用一个简并型近理想波色气体模型来来微观地给出液He II的声子能谱。近理想气体是稀薄的（即密度低），相互作用很弱（可以看作微扰）的粒子系统。此外我们仅考虑系统的低温性质，这时量子效应很明显。几个相关参数：散射长度a,它反映相互作用势的强度和作用范围；平均热波长 ，它代表粒子波包的平均空间范围，属于量子效应，低温时 可以很大；粒子间平均距离l，（n为气体密度）。我们假定这三个参数间有如下关系：因此相互作用可以按小量 展开。哈密顿量及其简化哈密顿量及其简化：设近理想波色气体由N个全同的，自旋为零的波色子组成，系统哈密顿量为：采用二次量子化表述，上式可写为：其中第二式的求和要满足动量守恒条件，及 分别为动量为p的单粒子态的产生和湮灭算符，它们满足波色算符的对易关系：相互作用矩阵元为其中 是动量为p的单粒子态的波函数。6.5简并性近理想波色气体 波戈留波夫变换这里我们用一把波函数表达式代入即可得这里在低温下，由量子力学低能散射的波恩近似，对散射长度a我们有:在低能散射下，动量转移p很小，可取近似 。因此因此体系的哈密顿量可写为：再进一步，我们可以考虑波戈留波夫近似，即 和 近似地代之以C数（可交换数）。而且由于我们只考虑低激发态，有：因此 和 可看作小量，我们只保留到二次项，而略去三次及以上的高阶小量。故其中二次项的六项近似为 。因此哈密顿量最终近似为：把波函数表达式代入即可得波戈留波夫变换波戈留波夫变换：类似上章末节，我们可以通过波戈留波夫变换来把哈密顿量严格对角化。引入新的波色产生和湮灭算符 和 ：其中 和 为两个待定参数，常取为实数，且 。可以验证若令 则和 满足波色对易关系（注意这两个参数还有一个自由度）。上式的逆变换为：带入到哈密顿量表达式中得我们可取两个待定参数的值使得：，则上式最后一项为零，哈密顿量被对角化。解出参数的值可得：，其中故哈密顿量为：其中波戈留波夫变换：