第五章差分方程模型A课件

第五章第五章 差分方程模型差分方程模型 在科学技术和经济研究中，在科学技术和经济研究中，为了研究连续型变为了研究连续型变量的变化率量的变化率，人们引入了，人们引入了导数与微分导数与微分的概念。同样的概念。同样为了为了研究离散型变量的变化率研究离散型变量的变化率，人们引入了，人们引入了差分差分的的概念。差分方程与微分方程之间有许多共同的性质，概念。差分方程与微分方程之间有许多共同的性质，在某些场合，如动态经济系统的研究中，差分方程在某些场合，如动态经济系统的研究中，差分方程的使用更加广泛。的使用更加广泛。一、差分方程基本理论一、差分方程基本理论1 1、差分与差分方程的基本概念、差分与差分方程的基本概念 定义定义1 1、设函数设函数 ，记为记为 。当当 取遍取遍非负整数时非负整数时，函数值可以排成一个数列，函数值可以排成一个数列：，则差则差 称为函数称为函数 的差分，也称为的差分，也称为一阶差分一阶差分，记为，记为 ，即，即三阶差分（二阶差分的差分）三阶差分（二阶差分的差分）二阶差分（一阶差分的差分）二阶差分（一阶差分的差分）二阶及二阶以上的差分统称为二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分 定义定义2 2 含有未知函数差分或表示未知函数几含有未知函数差分或表示未知函数几个时期的符号的方程称为个时期的符号的方程称为差分方程差分方程。差分方程中。差分方程中未知函数下标的最大值与最小值之差称为未知函数下标的最大值与最小值之差称为差分方差分方程的阶。程的阶。例如例如为属于为属于n n阶差分方程阶差分方程。定义定义3 3 如果一个函数代入差分方程后，方程如果一个函数代入差分方程后，方程两边相等，则称此函数为两边相等，则称此函数为差分方程的解差分方程的解。例如例如函数函数 就是差分方程就是差分方程 的解的解2 2、线性差分方程、线性差分方程 定义定义4 4 形如形如 的差分方程称为的差分方程称为n n阶线性差分方程。阶线性差分方程。时称为时称为n阶阶线性齐次差分方程线性齐次差分方程，否，否则称为则称为线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程。若若 为齐次差分方程为齐次差分方程的的n n个线性无关的解，个线性无关的解，为非齐次差分方为非齐次差分方程的特解，程的特解，则非齐次差分方程的通解为：则非齐次差分方程的通解为：若若 为齐次差分方程的为齐次差分方程的n n个个线性无关线性无关的解，则齐次差分方程的通解为：的解，则齐次差分方程的通解为：3 3、常系数齐次线性差分方程、常系数齐次线性差分方程设有常系数齐次线性差分方程设有常系数齐次线性差分方程称称 为常系数齐次线性为常系数齐次线性差分方程的差分方程的特征方程特征方程，其根为，其根为特征根特征根。线性齐次差分方程线性齐次差分方程的系数均为常数的方程的系数均为常数的方程称为称为常系数齐次线性差分方程常系数齐次线性差分方程 （1 1）当特征方程有）当特征方程有n n个互异实根个互异实根 时时为为常系数齐次线性差分方程的通解常系数齐次线性差分方程的通解 （2 2）当）当 是是k k重特征根重特征根 时时 则方程则方程的通解中包含有的通解中包含有 （3）当当 为单重复根，为单重复根，则方程则方程的通解中包含有的通解中包含有其中其中的通解中包含有：的通解中包含有：（4）当当 为为k k重复根重复根，则方程则方程4 4、常系数非齐次线性差分方程、常系数非齐次线性差分方程对于常系数非齐次线性差分方程对于常系数非齐次线性差分方程 若若 其中其中 为为m m次次多项式，则多项式，则 （1 1）当）当 不是特征根时，可设特解为不是特征根时，可设特解为 （2 2）当）当 是是k k重特征根时，可设特解为重特征根时，可设特解为5 5、差分方程的稳定性、差分方程的稳定性 n n阶常系数非齐次线性差分方程对应的齐阶常系数非齐次线性差分方程对应的齐次方程的通解为次方程的通解为 如果无论其中如果无论其中n n个常数个常数 取什么值，当取什么值，当 时都有时都有 则称原非齐次线性差分方程是则称原非齐次线性差分方程是稳定的稳定的，否则是，否则是不稳定的不稳定的。非齐次线性差分方程稳定的充要条件是：非齐次线性差分方程稳定的充要条件是：特征方程特征方程的的n n个特征根的个特征根的模均小于模均小于1 1。1、自由竞争的市场供求模型（蛛网模型）、自由竞争的市场供求模型（蛛网模型）供大于求供大于求现象现象价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求数量与价格在振荡数量与价格在振荡二、差分方程模型二、差分方程模型问问 题题2、商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定、商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定3、当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定、当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定1、描述商品数量与价格的变化规律、描述商品数量与价格的变化规律gx0y0P0fxy0 xk第第k k个个时期市场上某商品数量时期市场上某商品数量；yk第第k k时期商品价格时期商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的的交点交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦某个某个xk=x0，则，则yk=y0,xk+1=xk+2,=x0,yk+1=yk+2=y0 蛛网模型（用几何图形表示）蛛网模型（用几何图形表示）xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点是稳定平衡点曲线斜率曲线斜率P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点 P1P2P3P4xy0y0 x0P0fg设设x1偏离偏离x0曲线斜率曲线斜率 这是一个一阶差分方程，当这是一个一阶差分方程，当h，和，和f不不确定或比较复杂时不易分析其性质确定或比较复杂时不易分析其性质 简化模型简化模型：在以上模型中，：在以上模型中，假设函数假设函数f，h在平衡点在平衡点 附近为附近为线性函数线性函数。相邻两相邻两时期商品供给量的关系为时期商品供给量的关系为方方 程程 模模 型型：（：（用线性函数表示为用线性函数表示为）递推公式递推公式P0稳定稳定P0不稳定不稳定方程模型与方程模型与蛛网蛛网模型的一致性模型的一致性由得其其特征方程为特征方程为其其特征根为特征根为只要只要 方程的通解方程的通解是稳定的，因为其解为是稳定的，因为其解为 故此时故此时模型结果解释模型结果解释 （1）简化模型中的）简化模型中的 表示商品供应量减少表示商品供应量减少一个单位时价格上涨的幅度。所以一个单位时价格上涨的幅度。所以 反映了反映了需需求变动求变动与与价格变动价格变动的敏感程度，即消费者对价格的敏感程度，即消费者对价格的敏感程度。数值较大时，说明消费者对价格比的敏感程度。数值较大时，说明消费者对价格比较敏感。一般来说，生活必需品的较敏感。一般来说，生活必需品的 值较大值较大（如面粉），非必需品及有替代品的商品（如面粉），非必需品及有替代品的商品 值值较小（如西瓜）较小（如西瓜）（2）简化模型中的）简化模型中的 表示价格上涨表示价格上涨1个单位个单位（下一个阶段）商品供应的增加量。（下一个阶段）商品供应的增加量。的数值反的数值反映了生产经营者对商品价格变动的敏感程度。如果映了生产经营者对商品价格变动的敏感程度。如果他们目光断气，热衷于追逐一时的高利润，价格稍他们目光断气，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨就大量增加生产，那么会比较大；反之，有上涨就大量增加生产，那么会比较大；反之，若他们素质较高，有长远的计划，则较小若他们素质较高，有长远的计划，则较小供给量越易趋于稳定，同时价格也很快趋于稳定；供给量越易趋于稳定，同时价格也很快趋于稳定；供求出现混乱，这种情况一般出现在市场供求出现混乱，这种情况一般出现在市场越大，供给量与价格趋于稳定的速度越慢；越大，供给量与价格趋于稳定的速度越慢；经济刚刚起步或不成熟时期，如我国在市场经济经济刚刚起步或不成熟时期，如我国在市场经济初期出现初期出现 的的抢购风抢购风，表明当时人们对价格的变动，表明当时人们对价格的变动过于敏感，从而出现违背价值规律的现象。过于敏感，从而出现违背价值规律的现象。（3）由）由 知知 时时 越小，即消费者与生产者对价格越不敏感，越小，即消费者与生产者对价格越不敏感，（4）由）由 知知，在，在 和和 太大时，政府可以采用使另一值取太大时，政府可以采用使另一值取0的办法进的办法进行调控，稳定市场。行调控，稳定市场。如如 过大时，令过大时，令 ，即采用稳定供给量的办法（如进口或调拨）稳定市即采用稳定供给量的办法（如进口或调拨）稳定市场场；如如 太大，则令太大，则令 ，即采用稳定物价即采用稳定物价的办法稳定市场，避免生产的大起大落。如我国从的办法稳定市场，避免生产的大起大落。如我国从八十年代即实行的保护价收购农民粮食的措施。八十年代即实行的保护价收购农民粮食的措施。经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使使 尽量小尽量小，（，（如如 =0）xy0y0gf需求曲线需求曲线变为水平变为水平 这时无论这时无论供给曲线供给曲线如何（即不管如何（即不管 多大）多大）经济总是稳定的。实际上相当于以行政手段政府经济总是稳定的。实际上相当于以行政手段政府宏观宏观控制物价控制物价，无论商品数量多少，无论商品数量多少，要求价格不要求价格不得改变。得改变。2.使使 尽量小尽量小，如，如 =0 xy0 x0gf供应曲线供应曲线变为竖直变为竖直即无论即无论需求曲线需求曲线如何（如何（不管不管 多大多大），也总是稳），也总是稳定的。实际上这相当于控制市场上的商品数量，定的。实际上这相当于控制市场上的商品数量，当供应量少于需求时，从外地收购或调拨，投入当供应量少于需求时，从外地收购或调拨，投入市场；当供过于求，收购过剩部分，维持靠经济市场；当供过于求，收购过剩部分，维持靠经济实力控制商品数量不变实力控制商品数量不变 1、当前时段和前一时段的价格决定下一时当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量段的产量 生产者根据生产者根据当前时段和前一时当前时段和前一时段的价格段的价格决定下一时段的产量。决定下一时段的产量。模型的推广：（模型的推广：（生产者管理水平提高）生产者管理水平提高）供应函数供应函数修改修改为为需求函数不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程下面研究平衡点稳定的条件，即下面研究平衡点稳定的条件，即k,xkx0的条件的条件平衡点稳定，即平衡点稳定，即k k,x xk kx x0 0的条件的条件:特征方程为特征方程为当当 时时，显然有一个特征根满足：，显然有一个特征根满足：与特征根满足：与特征根满足：矛盾。矛盾。当当 时时，比原来的比原来的 条件放宽了，条件放宽了，这是这是因为生产者的管理水平和素质提高，对市场因为生产者的管理水平和素质提高，对市场经济的稳定起着有利影响的必然结果。经济的稳定起着有利影响的必然结果。平衡点稳定的条件扩展为平衡点稳定的条件扩展为进一步讨论：进一步讨论：2、因为一个时段上市的商品不能立即售完，因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格时段的价格yk+1由由k+1和和k时段的商品数量时段的商品数量xk+1和和xk决定。如果仍设决定。如果仍设xk+1仍只取决于仍只取决于yk，给出稳定平，给出稳定平衡的条件，并且与前面的结果比较；衡的条件，并且与前面的结果比较；3、如果如果第第k+1时段的价格时段的价格yk+1由由k+1和和k时段的时段的商品数量商品数量xk+1和和xk决定。同时决定。同时 xk+1也由前两个时也由前两个时段的价格段的价格yk-1和和yk确定，试分析稳定平衡的条件是确定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。否还会放宽。体重指数体重指数BMIBMI ：（联合国世界卫生组织颁布）：（联合国世界卫生组织颁布）体重（公斤）除以身高（米）的平方体重（公斤）除以身高（米）的平方偏偏 瘦：瘦：BMIBMI指数指数 18.5 30 30（2929）中度肥胖：中度肥胖：BMIBMI指数指数 35 35 重度肥胖：重度肥胖：BMIBMI指数指数 40 402、减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动 大量事实说明多数减肥食品达不到减肥大量事实说明多数减肥食品达不到减肥的目的，或难以保持。的目的，或难以保持。专家意见：通过控制饮食和适当的运动，专家意见：通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标。下去的目标。2 2：身高（：身高（cmcm）-110=-110=体重（体重（kgkg）3 3：（身高（：（身高（cmcm）-100-100）*0.9=0.9=体重（体重（kgkg）减肥就是减脂减肥就是减脂，运动减肥见效不快，但非运动减肥见效不快，但非常科学，会燃烧大量脂肪，而且不会反弹常科学，会燃烧大量脂肪，而且不会反弹。节食和药物减肥见效快，但却是以健康为代节食和药物减肥见效快，但却是以健康为代价，而且容易反弹，反弹后患心脏疾病的几价，而且容易反弹，反弹后患心脏疾病的几率大幅度提高。率大幅度提高。但每次只运动十五分钟，则但每次只运动十五分钟，则烧掉的是糖类，烧不掉脂肪，运动减肥半小烧掉的是糖类，烧不掉脂肪，运动减肥半小时后，才会开始燃烧较多的脂肪，每次运动时后，才会开始燃烧较多的脂肪，每次运动的时间越久，烧掉的脂肪越多，这是因为连的时间越久，烧掉的脂肪越多，这是因为连续性运动的主要能源是脂肪而不是糖类。续性运动的主要能源是脂肪而不是糖类。相相反的，瞬时爆发性运动的能源是糖类而不是反的，瞬时爆发性运动的能源是糖类而不是脂肪，故这类运动对减肥无益脂肪，故这类运动对减肥无益。下面是运动热量消耗统计，注意：人体下面是运动热量消耗统计，注意：人体每减掉每减掉一公斤脂肪一公斤脂肪，需消耗需消耗77007700卡热量，另卡热量，另一种说法是一种说法是72007200卡，卡，有的说是有的说是80008000卡卡。爱减爱减肥的同志们，请自己算算看，做什么运动最肥的同志们，请自己算算看，做什么运动最有效，安全系数最高，经济投入最少。有效，安全系数最高，经济投入最少。1 1、游泳、游泳：每半小时消耗热量每半小时消耗热量175175卡卡。它是一项全身协调动作的运动，对增强它是一项全身协调动作的运动，对增强心肺功能，锻炼灵活性和力量都很有好心肺功能，锻炼灵活性和力量都很有好处。它还有利于病人恢复健康，妇女生处。它还有利于病人恢复健康，妇女生育后恢复体形，对老年人和身体瘦弱的育后恢复体形，对老年人和身体瘦弱的人都是一项很好的运动。人都是一项很好的运动。2 2、田径、田径：每半小时可消耗热量每半小时可消耗热量450450卡。卡。它可它可使人体全身得到锻炼。使人体全身得到锻炼。3 3、篮球、篮球：每半小时消耗热量每半小时消耗热量250250卡卡。它可增。它可增强灵活性，加强心肺功能。强灵活性，加强心肺功能。4 4、自行车、自行车：每半小时消耗热量每半小时消耗热量330330卡。对心卡。对心肺、腿十分有利。肺、腿十分有利。5 5、慢跑、慢跑：每半小时消耗热量每半小时消耗热量300300卡卡。有益于。有益于心肺和血液循环。跑的路程越长，消耗的热量心肺和血液循环。跑的路程越长，消耗的热量越大。越大。6 6、散步、散步：每半小时消耗热量每半小时消耗热量7575卡卡。对心肺功。对心肺功能的增强有益，它能改善血液循环，活动关节能的增强有益，它能改善血液循环，活动关节和有助于减肥。和有助于减肥。7 7、跳绳、跳绳：每半小时消耗热量每半小时消耗热量400400卡卡。这是。这是一项健美运动，对心肺系统等各种脏器、协一项健美运动，对心肺系统等各种脏器、协调性、姿态、减肥等都有相当大的帮助。调性、姿态、减肥等都有相当大的帮助。8 8、乒乓球、乒乓球：每半小时消耗热量每半小时消耗热量180180卡。卡。属属全身运动，有益于心肺，可锻炼重心的移动全身运动，有益于心肺，可锻炼重心的移动和协调性。和协调性。9 9、排球、排球：每半小时消耗热量每半小时消耗热量175175卡卡。主要。主要增强灵活性、弹跳力和体力，有益于心肺。增强灵活性、弹跳力和体力，有益于心肺。模型分析模型分析1 1、体重变化由体内能量守恒被破坏引起、体重变化由体内能量守恒被破坏引起2 2、饮食（饮食（吸收热量，转化为脂肪吸收热量，转化为脂肪）引起体重增加）引起体重增加3 3、代谢和运动（消耗热量）引起体重减少、代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以用离散时间模型所以用离散时间模型差分方程模型讨论差分方程模型讨论模型假设（模型假设（参考有关生理数据参考有关生理数据）1 1、体重增加正比于吸收的热量、体重增加正比于吸收的热量每每80008000千卡增千卡增加体重加体重1 1千克千克；2、代谢引起的体重减少正比于体重代谢引起的体重减少正比于体重每周每周每每公斤体重消耗公斤体重消耗200 320200 320千卡千卡(因人而异因人而异),),相当于相当于7070千克的人每天消耗千克的人每天消耗20002000千卡千卡32003200千卡千卡；3 3、为了安全与健康，、为了安全与健康，每周体重减少不宜超过每周体重减少不宜超过1.51.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于1000010000千卡千卡。（一）、面食类热量表（一）、面食类热量表 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)白饭白饭 1 1碗碗 (135g)200(135g)200；粥粥 1 1碗碗 (135g)70(135g)70；米粉米粉 1 1碗碗 (135g)132(135g)132 通心粉通心粉 1 1碗碗 (135g)132(135g)132；面面 1 1碗碗 (135g)280(135g)280 方便面方便面 1 1 包包 (100g)470(100g)470；麦皮麦皮 1 1碗碗 (135g)90(135g)90 法国面包法国面包 1 1 片片 8080；英式松饼英式松饼 1 1 个个 150 150 克力架克力架 2 2 块块 6464；朱古力消化饼朱古力消化饼 1 1 块块 109 109 白面包白面包 1 1 片片 120120；消化饼消化饼 1 1 块块 70 70 脆面包脆面包 1 1 块块 2525；咸面包咸面包 1 1 个个 170 170 甜饼乾甜饼乾 2 2 片片 185185；甜面包甜面包 1 1 个个 210 210（二）、肉类热量表（二）、肉类热量表 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)瘦火腿瘦火腿 2 2 片片(60(60克克)70)70；煎猪扒；煎猪扒 2 2 件件 (100(100克克)450)450；烤猪扒烤猪扒(连肥连肥)1)1 件件 (90(90克克)300)300；烤猪扒烤猪扒(去肥去肥)1)1 件件 (60(60克克)135)135；烧牛肉烧牛肉(薄瘦薄瘦)3)3 片片 (90(90 克克)175)175；烤牛扒烤牛扒 1 1 件件 155155；午餐肉午餐肉 1/4 1/4 罐罐 350350 煎香肠煎香肠(牛牛)2)2 条条 375 375；煎香肠煎香肠(猪猪)2)2 条条 440 440 意大利香肠意大利香肠 2 2 片片 150 150；热狗肠热狗肠 1 1 条条 150 150 德国香肠德国香肠 2 2 条条 90 90；蒸腊肠蒸腊肠 2 2 条条 310 310 莎乐美肠莎乐美肠 4 4 片片 195 195；烧鸡脾烧鸡脾 1 1 只只 215 215 白切鸡脾白切鸡脾 1 1 只只 (100(100 克克)200)200；烧鸭烧鸭 1 1 份份 (120(120 克克)356)356（三）、蛋类热量表（三）、蛋类热量表食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)鸡蛋鸡蛋 1 1 只只 80 80；煎蛋；煎蛋 1 1 只只 136 136（四）、油类热量表（四）、油类热量表 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)花生油花生油 1 1 汤匙汤匙 135 135 粟米油粟米油 1 1 汤匙汤匙 135 135 牛油牛油 20 20 克克 190 190 辣油辣油 1 1 汤匙汤匙 120 120（五）、蔬果类热量表（五）、蔬果类热量表（食品（食品 数量数量 热量热量(卡卡)）苹果苹果 (中中)1)1 个个 55 55；橙；橙 (中中)1)1 个个 50 50 香蕉香蕉 1 1 只只 8080；皇帝蕉；皇帝蕉 1 1 只只 40 40 提子提子 (大大)10)10 粒粒 50 50；芒果；芒果 (大大)1)1 个个 125 125 荔枝荔枝 8 8 粒粒 85 85；西柚；西柚 1 1 个个 40 40 杨桃杨桃 1 1 个个 55 55；牛油果；牛油果 (小小)1)1 个个 380 380 雪梨雪梨 1 1 个个 45 45；新鲜菠萝；新鲜菠萝 1 1 片片 (120(120 克克)50)50 西瓜西瓜 1 1 片片(240(240 克克)40)40；哈蜜瓜；哈蜜瓜 1 1 片片(240(240 克克)60)60（六）、蔬果类热量表（六）、蔬果类热量表（食品（食品 数量数量 热量热量(卡卡)）奇异果奇异果 1 1 个个 30 30；杏梅杏梅 (中中)1)1 个个 45 45 桃桃 (大大)1)1 个个 45 45；士多啤梨；士多啤梨 10 10 个个 40 40 柿子柿子 (中中)1)1 个个 9090；罐头菠萝；罐头菠萝 1 1 片片 40 40 罐头水蜜桃罐头水蜜桃 1/2 1/2 个个 8080；薯仔；薯仔 1 1 个个80 80；罐头水果罐头水果 大半杯大半杯 120 120 葡萄乾葡萄乾 1 1 大匙大匙 50 50；红萝卜；红萝卜 160 160 克克 60 60 罐头豆或青豆或粟米罐头豆或青豆或粟米1 1 杯杯(100(100克克)60)60 雪什菜雪什菜 100 100 克克 60 60；粟米；粟米(水煮水煮)1/3)1/3 杯杯 50 50（七）、海鲜类热量表（七）、海鲜类热量表（食品（食品 数量数量 热量热量(卡卡)）鱼柳鱼柳 120 120 克克 110110；白灼虾白灼虾 (中中)10)10 只只 100 100 蟹肉蟹肉 (滚热滚热)100)100 克克 120 120；(生生)100)100 克克 14 14 带子带子 100 100 克克 100 100；墨鱼墨鱼 100 100 克克 50 50 烟叁文鱼烟叁文鱼 100 100 克克 130 130；鳗鱼鳗鱼 100 100 克克 340 340 鳕鱼鳕鱼 100 100 克克 75 75；鲱鱼鲱鱼 100 100 克克 220 220 大比目鱼大比目鱼 100 100 克克 9090；烟烟 鱼鱼 100 100 克克 130 130 罐头吞拿鱼罐头吞拿鱼(油油)100)100 克克 200200；秋刀鱼秋刀鱼 100 100 克克 240240；罐头吞拿鱼罐头吞拿鱼(水水)100)100 克克 100 100；罐头沙旬鱼罐头沙旬鱼 100 100 克克 335335；龙虾肉；龙虾肉 100 100 克克 120 120 （八）、奶类热量表（八）、奶类热量表 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)鲜奶鲜奶 250 ml 163250 ml 163；脱脂奶脱脂奶 250 ml 82 250 ml 82 高钙低脂奶高钙低脂奶 234 ml 140234 ml 140；乳酸菌饮料；乳酸菌饮料 1/2 1/2 杯杯 70 70 全脂奶全脂奶 30 g 14730 g 147；脱脂奶脱脂奶 20 g 71 20 g 71 淡奶淡奶 120 ml 190120 ml 190；炼奶炼奶 120 ml 386 120 ml 386 保鲜装奶保鲜装奶 250 ml 155250 ml 155；朱古力奶朱古力奶 250 ml 183 250 ml 183 车打芝士车打芝士 30 g 12230 g 122；茅屋芝士茅屋芝士 250 g 95 250 g 95 芝士片芝士片 1 1 片片 8080；低脂芝士片低脂芝士片 1 1 片片 54 54 忌廉忌廉 15 g 32 15 g 32；雪糕雪糕 1 1 杯杯 165 165 酸奶酪酸奶酪 1 1 杯杯 200 200；原味乳酪原味乳酪 1 1 杯杯 92 92（九）、调味类热量表（九）、调味类热量表 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)油油 1 1 汤匙汤匙 20 20 牛排酱牛排酱 1 1 汤匙汤匙 20 20 蕃茄酱蕃茄酱 1 1 汤匙汤匙 20 20 沙律酱沙律酱 (法式法式)1)1 汤匙汤匙 60 60 沙律酱沙律酱 (千岛千岛)1)1 汤匙汤匙 60 60（十）、糖类热量表（十）、糖类热量表 GO TOP GO TOP 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)白糖白糖 1 1 汤匙汤匙 35 35 蜂蜜糖蜂蜜糖 1 1 汤匙汤匙 60 60 果糖糖浆果糖糖浆 1 1 汤匙汤匙 50 50（十一）、豆类热量表（十一）、豆类热量表 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)豆腐皮豆腐皮 1/2 1/2 片片 4040；板豆腐板豆腐 1/4 1/4 块块 60 60 嫩豆腐嫩豆腐 1/4 1/4 块块 5050；油豆腐油豆腐 1/4 1/4 块块 80 80 马豆马豆 100 100 克克 340 340；豆豆 100 100 克克 336 336 红豆红豆 100 100 克克 341 341；豆豆 100 100 克克 400 400 罐头茄汁豆罐头茄汁豆 100 100 克克 58 58；盒装豆腐；盒装豆腐 400 400 克克 252 252 腐竹腐竹 100 100 克克 387387；甜竹甜竹 100 100 克克 339 339 枝竹枝竹 20 20 克克 7777；豆腐花豆腐花 100 100 克克 62 62 豆腐泡豆腐泡 1 1 件件 20 20（十二）、餐点热量表（十二）、餐点热量表 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)虾饺虾饺 1 1 件件 3737；蒸肠粉蒸肠粉 1 1 条条 66 66 烧卖烧卖 1 1 件件 42 42；竹牛肉竹牛肉 1 1 件件 94 94 排骨排骨 1 1 件件 3737；粉果粉果 1 1 件件 44 44 鸡扎鸡扎 1 1 件件 45 45；叉烧包叉烧包 1 1 个个 94 94 春卷春卷 1 1 件件 136 136；萝卜糕萝卜糕 1 1 件件 80 80 潮州粉果潮州粉果 1 1 件件 113113；寿司；寿司 6 6 件件 630 630 亲子井亲子井 1 1 碗碗 550 550；牛井牛井 1 1 碗碗 480 480 手肉卷手肉卷 3 3 件件 700700；天妇罗天妇罗 1 1 碗碗 550 550 拉面拉面 1 1 碗碗 430430；（十三）、餐点热量表（十三）、餐点热量表 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)拉面拉面 (味噌味味噌味)1)1 碗碗 600600；味噌汤味噌汤 1 1 碗碗 60 60 炸马铃薯饼炸马铃薯饼 1 1 个个 120120；咖喱饭咖喱饭 1 1 客客 760 760 蕃茄酱意大利粉蕃茄酱意大利粉 1 1 客客 500 500；肉酱意大利粉肉酱意大利粉 1 1 客客 460460；意大利薄饼意大利薄饼 1 1 件件 300300；炸鸡块炸鸡块 1 1 件件 512 512 炸薯条炸薯条 1 1 客客 491 491；蔬菜沙律蔬菜沙律 1 1 客客 90 90 马铃薯沙律马铃薯沙律 1 1 客客 460460；粟米汤粟米汤 1 1 客客 260 260 海鲜煲海鲜煲 1 1 客客 240 240；烟肉三文治烟肉三文治 1 1 客客 390390；热狗；热狗 1 1 只只 360 360；（十四）、饮料类热量表（十四）、饮料类热量表 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)日本酒日本酒 1/2 1/2 杯杯 110 110；啤酒啤酒 1 1 杯杯 80 80 威士忌威士忌 30 ml 70 30 ml 70；白兰地白兰地 30 ml 70 30 ml 70 红酒红酒 1/2 1/2 杯杯 8080；蕃茄汁蕃茄汁 1 1 杯杯 35 35 天然橙汁天然橙汁 1 1 杯杯 8080；天然苹果汁天然苹果汁 1 1 杯杯 90 90 果菜汁果菜汁 350 ml 95350 ml 95；朱古力朱古力 1 1 杯杯 30 30 可乐可乐 1 1 罐罐 110110；茶茶 1 1 杯杯 1 1（十五）、饮料类热量表（十五）、饮料类热量表 食品食品 数量数量 热量热量(卡卡)罐装咖啡罐装咖啡 190 ml 67190 ml 67；泡；泡 红茶红茶 350 ml 104 350 ml 104 柠檬水柠檬水 350 ml 136 350 ml 136；乳酸饮料；乳酸饮料 350 ml 154 350 ml 154 奶茶奶茶 350 ml 104350 ml 104；好立克；好立克 15 15 克克 59 59 阿华田阿华田 12 12 克克 4545；维他纯头浆；维他纯头浆 1 1 杯杯 55 55 甜豆奶甜豆奶 250 ml 120 250 ml 120；菊花茶；菊花茶 250 ml 90 250 ml 90 利宾纳利宾纳 70 ml 16070 ml 160；葡萄适；葡萄适 275 ml 198275 ml 198 食品名称食品名称热量热量(卡卡)/()/(克克)食品名称食品名称热量热量(卡卡)/()/(克克)油炸土豆片油炸土豆片612/100612/100 油豆腐油豆腐244/100244/100黑芝麻黑芝麻531/100531/100 白薯干白薯干612/100612/100白芝麻白芝麻517/100517/100 土豆粉土豆粉337/100337/100油面筋油面筋490/100490/100 粉条粉条337/100337/100方便面方便面472/100472/100 地瓜粉地瓜粉336/100336/100油饼油饼399/100399/100 玉米玉米(白白)336/100336/100油条油条386/100386/100 玉米玉米(黄黄)335/100335/100莜麦面莜麦面385/100385/100 粉丝粉丝335/100335/100燕麦片燕麦片367/100367/100 黑米黑米333/100333/100小米小米358/100358/100煎饼煎饼333/100333/100薏米薏米357/100357/100大麦大麦307/100307/100籼米籼米(标一标一)351/100351/100荞麦粉荞麦粉304/100304/100高粱米高粱米351/100351/100烧饼烧饼(糖糖)302/100302/100富强粉富强粉350/100350/100富强粉切面富强粉切面285/100285/100通心粉通心粉350/100350/100标准粉切面标准粉切面280/100280/100大黄米大黄米(黍黍)349/100349/100烙饼烙饼255/100255/100江米江米348/100348/100 馒头馒头(蒸蒸,标准粉标准粉)233/100233/100粳米粳米(标二标二)348/100348/100麸皮麸皮220/100220/100挂面挂面(富强粉富强粉)347/100347/100花卷花卷217/100217/100机米机米347/100347/100 馒头馒头(蒸蒸,富强粉富强粉)208/100208/100玉米糁玉米糁347/100347/100水面筋水面筋140/100140/100米粉米粉(干干,细细)346/100346/100烤麸烤麸121/100121/100香大米香大米346/100346/100米饭米饭(蒸蒸,粳粳米米)117/100117/100籼米籼米(标二标二)345/100345/100米饭米饭(蒸蒸,籼米籼米)114/100114/100挂面挂面(标准标准粉粉)344/100344/100面条面条(煮煮,富富强粉强粉)109/100109/100标准粉标准粉344/100344/100鲜玉米鲜玉米106/46106/46血糯米血糯米343/100343/100白薯白薯(白心白心)104/86104/86粳米粳米(标一标一)343/100343/100白薯白薯(红心红心)99/9099/90黄米黄米342/100342/100粉皮粉皮64/10064/100玉米面玉米面(白白)340/100340/100小米粥小米粥46/10046/100玉米面玉米面(黄黄)340/100340/100米粥米粥(粳米粳米)46/10046/100素虾素虾(炸炸)576/100576/100豆沙豆沙243/100243/100腐竹皮腐竹皮489/100489/100红豆馅红豆馅240/100240/100腐竹腐竹459/100459/100素火腿素火腿211/100211/100豆浆粉豆浆粉422/100422/100桂林腐乳桂林腐乳204/100204/100黄豆粉黄豆粉418/100418/100豆腐丝豆腐丝201/100201/100豆腐皮豆腐皮409/100409/100素鸡素鸡192/100192/100油炸豆瓣油炸豆瓣405/100405/100素什锦素什锦173/100173/100油炸豆花油炸豆花400/100400/100素大肠素大肠153/100153/100黑豆黑豆381/100381/100薰干薰干153/100153/100黄豆黄豆359/100359/100酱豆腐酱豆腐151/100151/100蚕豆蚕豆(干干,去皮去皮)342/93342/93香干香干147/100147/100卤干卤干336/100336/100豆腐干豆腐干140/100140/100虎皮芸豆虎皮芸豆334/100334/100上海南乳上海南乳138/100138/100绿豆面绿豆面330/100330/100菜干菜干136/100136/100绿豆绿豆316/100316/100腐乳腐乳(白白)133/100133/100杂豆杂豆316/100316/100臭豆腐臭豆腐130/100130/100红芸豆红芸豆314/100314/100北豆腐北豆腐98/10098/100豌豆豌豆(干干)313/100313/100酸豆乳酸豆乳67/10067/100红小豆红小豆309/100309/100南豆腐南豆腐57/10057/100杂芸豆杂芸豆(带皮带皮)306/100306/100豆奶豆奶30/10030/100蚕豆蚕豆(干干,带皮带皮)304/100304/100豆浆豆浆13/10013/100白芸豆白芸豆296/100296/100豆腐脑豆腐脑10/10010/100 问题问题：某某身高某某身高1.7m1.7m，体重，体重100100千克，千克，目前每周吸收目前每周吸收2000020000千卡热量，体重维持千卡热量，体重维持不变。试为他按照以下方式制定减肥计不变。试为他按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至划，使其体重减至7575千克。千克。减肥计划减肥计划2 2、若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排、若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划。第二阶段计划。3 3、给出达到目标后维持体重的方案。、给出达到目标后维持体重的方案。第一阶段第一阶段：每周减肥：每周减肥1 1千克，每周吸收热量逐渐千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（减少，直至达到下限（1000010000千卡）；千卡）；第二阶段第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。目标。1 1、在不运动的情况下安排一个两阶段计划。、在不运动的情况下安排一个两阶段计划。w w(k k)表示表示 第第k k周周(末末)体重体重c c(k k)表示第表示第k k周吸收的热量周吸收的热量 表示代谢消耗系数表示代谢消耗系数(因人而异因人而异)基本模型基本模型（1）符号说明）符号说明（2）基本模型）基本模型1 1）确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即即每周每千克体重消耗每周每千克体重消耗 20000/100=20020000/100=200千卡千卡1 1、不运动不运动情况的两阶段减肥计划情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收2000020000千卡千卡 w w=100=100千克保持不变千克保持不变 第一阶段第一阶段:w w(k k)每周减每周减1 1千克千克,c c(k k)减至下限减至下限1000010000千卡千卡第一阶段第一阶段1010周周,每周减每周减1 1千克，第千克，第1010周末体重周末体重9090千克千克吸收热量为吸收热量为 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至7575千克千克 基本模型基本模型 第二阶段第二阶段1919周周,体重减少至体重减少至7575千克，每周吸收热千克，每周吸收热量保持量保持1000010000千卡千卡,体重按下面公式计算：体重按下面公式计算：第二阶段增加运动的减肥计划第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡):):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50(50米米/分分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t t表示每周运动时间表示每周运动时间(小时小时)基本模型基本模型 运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8 8小时、自行车小时、自行车1010小时、小时、游泳游泳3 3小时等小时等),1414周即可。周即可。思考：若每天打一个小时思考：若每天打一个小时乒乓球，每天吃多少能量的食物，身体保持不变。乒乓球，每天吃多少能量的食物，身体保持不变。3 3）达到目标体重）达到目标体重7575千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案每周吸收热量每周吸收热量c c(k k)保持某常数保持某常数C，使体重使体重w w不变不变不运动不运动运动运动(内容同前内容同前)3 国民收入的稳定问题国民收入的稳定问题 国民收入的分配是影响国家、社会、经济国民收入的分配是影响国家、社会、经济发展的重要问题。国民收入的分配主要包括发展的重要问题。国民收入的分配主要包括三方面：三方面：消费基金消费基金、投入再生产的积累基金投入再生产的积累基金和和支付政府用于公共设施的开支支付政府用于公共设施的开支。（。（1）如果）如果消费基金比例过大，将影响社会再生产，从消费基金比例过大，将影响社会再生产，从而影响到下一年度国民收入的增长，当然同而影响到下一年度国民收入的增长，当然同时也影响公共设施的建设；（时也影响公共设施的建设；（2）如果积累基）如果积累基金比例过高，则会影响人们当前的生活水平。金比例过高，则会影响人们当前的生活水平。因此需要从国民收入的稳定出发，合理分配因此需要从国民收入的稳定出发，合理分配国民收入。国民收入。1、国民收入用于：消费、再生产和支付、国民收入用于：消费、再生产和支付政府用于公共设施的开支。政府用于公共设施的开支。假设假设 2、以、以 表示第表示第 个周期的国民收入水个周期的国民收入水平，平，为第为第 个周期内的消费水平，其中个周期内的消费水平，其中 的值由的值由前一周期前一周期的的国民收入国民收入水平确定，即水平确定，即 3、以、以 表示第表示第 个周期内用于再生产个周期内用于再生产的投资水平，它取决于消费水平的变化，即的投资水平，它取决于消费水平的变化，即 其中其中 为常数，为常数，。（1）其中其中 为常数。为常数。（2）建立模型建立模型 根据假设，有根据假设，有（3）把（把（1）（）（2）代入（）代入（3）得）得（4）（4）式是一个递推式的差分方程，利用该）式是一个递推式的差分方程，利用该式及式及 周期的有关数据，可以预测周期的有关数据，可以预测 4、设政府用于公共设施的开支设为常设政府用于公共设施的开支设为常数数第第 周期的周期的国民收入水平。反复利用（国民收入水平。反复利用（4）式）式可以预测可以预测指定周期指定周期的国民收入水平。从而反映的国民收入水平。从而反映 经济发展趋势。经济发展趋势。下面利用差分方程的稳定性理论研究保持下面利用差分方程的稳定性理论研究保持国民收入稳定的条件。国民收入稳定的条件。方程（方程（4）是一常系数非齐次差分方程，其）是一常系数非齐次差分方程，其对应的齐次差分方程为对应的齐次差分方程为特征方程为特征方程为（5）判别式判别式这里只讨论这里只讨论 的情况（的情况（比较复杂）比较复杂）当当 时，特征方程有一时，特征方程有一对共轭复根对共轭复根 故齐次方程（故齐次方程（5）的通解为）的通解为因为因为 ，所以，所以0不是特征根，故不是特征根，故非齐次方程的特解可设为非齐次方程的特解可设为 为常数为常数把把特解代入（特解代入（4）解得）解得故非齐次方程（故非齐次方程（5）的通解为）的通解为根据差分方程的稳定性理论知，当特征根的根据差分方程的稳定性理论知，当特征根的模小于模小于1时即时即 ，差分方程的解是稳定，差分方程的解是稳定的。的。综上所述，我们可以根据综上所述，我们可以根据 是否成立来预测经济发展趋势。当然其中，是否成立来预测经济发展趋势。当然其中，a,b的数值需要通过国家年度统计数据来确定。的数值需要通过国家年度统计数据来确定。4 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形连续形的阻滞增长模型的阻滞增长模型(Logistic模型模型)t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)x(t)表示某种群表示某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)离散形式离散形式yk 表示某种群第表示某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即 k,ykN？y*=N 是平衡点是平衡点离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性变量代换变量代换下面讨论下面讨论 x*的稳定性的稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程(1)的平衡点的平衡点y*=N(2)的平衡的平衡点点二者等价二者等价(1)的平衡点的平衡点 x*即即代数方程代数方程 x=f(x)的根的根 为分析为分析x x*的稳定性，将方程（的稳定性，将方程（1 1）的右端）的右端在在x x*点作一阶点作一阶TaylorTaylor展开，即展开，即补充知识补充知识一阶一阶非线性差分方程非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性稳定性判断稳定性判断：x*是是(2)(2)和和(1)(1)的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)(2)和和(1)(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点（2）是（）是（1）的近似线性方程，）的近似线性方程，x*也是（也是（2）的平衡点。而当的平衡点。而当 时方程时方程（1）（）（2）平衡点的稳定性相同）平衡点的稳定性相同 的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性x*稳定稳定为了求它的平衡点需要解代数方程为了求它的平衡点需要解代数方程该方程非零的平衡点为该方程非零的平衡点为非零的平衡点等价非零的平衡点等价与与x*不不稳定稳定010101/21初值初值 x0=0.2000数值计算结果数值计算结果b 3.57,不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象 混沌的典型特征之一是对初值的极度敏感混沌的典型特征之一是对初值的极度敏感：如：如令令b=3.7，对于两个非常靠近的初值，对于两个非常靠近的初值 分别计算，发现迭代分别计算，发现迭代100次后相差很大。次后相差很大。其实，在混沌区域内也并非乱成一片，比如令其实，在混沌区域内也并非乱成一片，比如令b=3.83，会发现，会发现 呈呈3倍周期收敛；在倍周期收敛；在 范围内有许多周期为范围内有许多周期为 及及 的窗口。的窗口。的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b六、六、按年龄分组的种群增长模型按年龄分组的种群增长模型1 1、不同年龄组的繁殖率和死亡率不同、不同年龄组的繁殖率和死亡率不同3 3、建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的、建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的 增长规律增长规律2 2、以雌性个体数量为对象，下面提到的种群数量以雌性个体数量为对象，下面提到的种群数量均仅指其中的雌性均仅指其中的雌性 由于不同年龄组的繁殖率和死亡率不同，为由于不同年龄组的繁殖率和死亡率不同，为了更精细地预测种群的增长情况，下面主要讨论了更精细地预测种群的增长情况，下面主要讨论按年龄分组的种群增长模型。按年龄分组的种群增长模型。假设与建模假设与建模2、种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n3、时间离散为时段，长度与年龄组区间相等（时时间离散为时段，长度与年龄组区间相等（时段的间隔与年龄区间大小相同），记段的间隔与年龄区间大小相同），记 k=0，1，2,4、第第i 年龄组的年龄组的繁殖率为繁殖率为bi，即第即第i 年龄组每个雌性个年龄组每个雌性个体在体在1 1个时段内平均繁殖的数量；个时段内平均繁殖的数量；1、xi(k)表示在表示在时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量 6、假设第假设第i 年龄组的死亡率为年龄组的死亡率为bi,di，si即不随时段即不随时段k变变化化 7、bi,si可由统计资料获得可由统计资料获得。5、第第i 年龄组的死亡率为年龄组的死亡率为di,即第即第i 年龄组在年龄组在1 1时段内时段内的死亡数与总数之比；的死亡数与总数之比；存活率存活率为为si=1-di xi(k)表示在表示在时段时段k k第第i i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量(设至少设至少1个个bi0)时段时段k+1第第1 1年龄组种群数量是时段年龄组种群数量是时段k各各年年龄组龄组繁殖繁殖数量数量之和，即（之和，即（初出生的并且属于初出生的并且属于第一年龄组的数量第一年龄组的数量）时段时段k+1第第i+1 1年龄组种群数量是时段年龄组种群数量是时段k第第i年年龄组龄组存活下来的数量，即存活下来的数量，即记时段记时段k种群按年龄组的分布向量为种群按年龄组的分布向量为预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)由繁殖率由繁殖率bi,和存活率和存活率si构成的矩阵为构成的矩阵为补充稳定状态分析的数学知识补充稳定状态分析的数学知识定理定理1、L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1，它对应的特征向量为它对应的特征向量为P的第的第1列是列是x*定理定理2、若、若L矩阵存在矩阵存在bi,bi+10,则则 ,c是由是由bi,si,x(0)决定的常决定的常数数 且且定理定理2的分析的分析L L对角化对角化稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布 表示种群按年龄组的分布趋向稳定，表示种群按年龄组的分布趋向稳定，x x*称稳称稳定分布定分布,与初始分布无关。与初始分布无关。表示各年龄组种群数量按同一倍数增减，表示各年龄组种群数量按同一倍数增减，称固有增长率称固有增长率与与基本模型基本模型比较比较3）=1时时表示表示各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变 表示表示 1 1个个体在整个存活期内的繁殖个个体在整个存活期内的繁殖数量为数量为1 13）=1时时存活率存活率 si是同一时段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的的定义定义 比较）比较）