第五章-频率域方法--matlab-simulink与控制系统仿真-第三版-课件

第五章频率域方法1主要内容返回主目录51 从傅里叶级数到傅里叶变换53 典型环节的频率特性54 系统的开环频率特性55 频率稳定判据56 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系57 开环频率特性与系统阶跃响应的关系52 频率特性25-1 从傅里叶级数到傅里叶变换周期为 的函数 可用傅里叶级数表示为(5-1)其中其中 返回子目录返回子目录5式（5-1）也可以表示成(5-2)其中其中 6 图5-1 幅度频谱 图5-2 相位频谱可得周期信号可得周期信号的幅度频谱，如图的幅度频谱，如图5-1所示。所示。的相位频谱，如图的相位频谱，如图5-2所示。所示。7(2)各谱线之间呈等距分布，两相邻谱线之间的距离等于基波频率，任两条相邻谱线之间不可能再出现其他的频率分量。上述周期信号的频谱具有如下特点：(1)谱线沿频率轴呈离散分布；对于非周期信号，可以认为是周期信号在其周期趋于无穷大时的极限情况。下面先将周期信号的Fourier级数展开式表示成如下指数形式，即：8于是式（于是式（5-3）可以表示为）可以表示为(5-3)(5-3)其中其中 现设现设则则9，此时，此时，则，则若若(5-5)(5-5)(5-4)(5-4)10令(5-6)(5-6)则则(5-7)和和Fourier逆逆变换。变换。的的Fourier变换变换式（式（5-6）和式（）和式（5-7）构成了非周期信号）构成了非周期信号的的Fourier变换可以表示为11(5-8)，所以式（，所以式（5-7）可以表示为）可以表示为 显然显然 12(5-9)13其中为了描述频谱连续分布的情况，这里引入单位频带内的频谱频谱密度的概念。上述表达式说明，非周期信号 也可以分解为无穷多个正弦信号的和，但不同于周期信号的情形，这里正弦信号的角频率是连续变化的，对于频率为 的正弦信号，其幅度为。就称为信号 的频谱密度函数。14 通过以上的分析可知，不论是周期信号还是非周期信号，均可以看成是由无穷多个正弦信号的叠加。由于线性定常系统满足叠加原理，因此，通过对系系统在不同角在不同角频率正弦信率正弦信号作用下响号作用下响应的研究，所得到的结论是具有普遍意义的，并非只适用正弦输入的情形。15一、控制系统在正弦信号作用下的一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出稳态输出52 频率特性输入信号：输入信号：其拉氏变换式其拉氏变换式返回子目录返回子目录(5-10)16输出输出拉氏逆变换得（5-12）(5-11)其中17同理将B、D代入式（512）则（517）18式中式中 从式（517）看出，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。19二、频率特性的定义二、频率特性的定义 线性定常系统，在正弦信号作用下，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的统的频率特性频率特性（即为幅相频率特性，简称（即为幅相频率特性，简称复相特性）。复相特性）。频率特性表达式为20例子例子 以以RC网络为例网络为例其传递函数其传递函数频率特性频率特性21三、频率特性的几种表示方法三、频率特性的几种表示方法1.1.幅频特性、相频特性、幅相特性幅频特性、相频特性、幅相特性，为系统的幅幅频特性特性。为系统的相相频特性。特性。=22图54RC网络的幅频特性和相频特性23图55 RC网络的幅相特性曲线242.2.对数频率特性对数频率特性对数频率特性曲线又称伯德（对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包图，包括对数幅频和对数相频两条曲线括对数幅频和对数相频两条曲线对数幅频特性对数幅频特性：对数相频特性对数相频特性:25图56 对数坐标刻度图26注意注意纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。值，是不均匀的。这种坐标系称为半对数坐标系。这种坐标系称为半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大在横轴上，对应于频率每增大1010倍的范围，称为十倍的范围，称为十倍频程倍频程(dec)(dec)，如，如1-101-10，5-505-50，而轴上所有十倍频，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。标分贝数的变化量。275 53 3 典型环节的频率特性典型环节的频率特性一、比例环节（放大环节）一、比例环节（放大环节）幅频特性相频特性对数幅相特性返回子目录返回子目录28图57 比例环节的频率特性曲线29二、积分环节二、积分环节幅相特性传递函数相频特性是一常值30图58 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线31对数频率特性对数频率特性图5932三、惯性环节（一阶系统）三、惯性环节（一阶系统）传递函数幅相特性33图510 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线34对数频率特性对数频率特性 当当35图511 惯性环节的对数频率特性曲线36四、振荡环节（二阶系统）四、振荡环节（二阶系统）传递函数传递函数频率特性频率特性371.1.幅频特性、相频特性、幅相特性幅频特性、相频特性、幅相特性38图513 谐振频率谐振峰值39图514 振荡环节的 幅相特性图515 振荡环节的对数 幅频渐进特性402.2.对数频率特性对数频率特性41五、微分环节五、微分环节图517 42六、一阶微分环节六、一阶微分环节图518 43七、二阶微分环节七、二阶微分环节44图519 二阶微分环节的对数频率特性45八、一阶不稳定环节八、一阶不稳定环节图52046非最小相位环节非最小相位环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为（或系统），称为非最小相位环节非最小相位环节（或系统）（或系统）。由图由图520看出，一阶不稳定环节的幅频与看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又一阶不稳定环节又称非最小相位环节称非最小相位环节。47九、延迟环节九、延迟环节延迟环节输入输出关系为延迟环节输入输出关系为4849返回子目录返回子目录5 54 4 系统的开环频率特性系统的开环频率特性一、开环幅相特性曲线一、开环幅相特性曲线设系统开环传递函数由若干典型环节串联设系统开环传递函数由若干典型环节串联开环频率特性开环频率特性50系统开环幅频与相频分别为系统开环幅频与相频分别为511.1.开环幅相特性曲线开环幅相特性曲线（1 1）当当系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节图522 系统开环幅相特性曲线时，时，52（2）当）当图523 取m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线系统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸时，时，53（3）当）当图524 含有积分环节时的开环幅相特性曲线开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。时，时，542.2.系统开环幅相的特点系统开环幅相的特点当频率当频率 0 时，其开环幅相特性完全由比例时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。环节和积分环节决定。当频率当频率 时，若时，若nm，G(j)相角为相角为(m-n)/2。若若G(s)中分子含有中分子含有s因子环节，其因子环节，其G(j)曲线随曲线随 变化时发生弯曲。变化时发生弯曲。G(j)曲线与负实轴的交点，是一个关键点。曲线与负实轴的交点，是一个关键点。55二、开环对数频率特性二、开环对数频率特性曲线的绘制曲线的绘制 系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。系统开环对数幅频与对数相频表达式为系统开环对数幅频与对数相频表达式为56例例5 51 1绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。解：系统开环传递函数系统开环传递函数57 开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。58例例5 52 251234五个基本环节59绘制开环系统的波特图绘制开环系统的波特图写成典型环节之积；写成典型环节之积；找出各环节的转折频率；找出各环节的转折频率；画出各环节的渐近线；画出各环节的渐近线；在转折频率处修正渐近线得各环节曲线；在转折频率处修正渐近线得各环节曲线；将各环节曲线相加即得波特图。将各环节曲线相加即得波特图。一般规则：605 55 5 频率稳定判据频率稳定判据一、奈奎斯特稳定判据一、奈奎斯特稳定判据图517 反馈控制系统返回子目录返回子目录61开环传递函数开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数令令62将将F(s)写成零、极点形式，则写成零、极点形式，则辅助函数F(s)具有如下特点：其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。631.1.辐角原理辐角原理如果封闭曲线如果封闭曲线 内有内有Z个个F(s)的的零点，有零点，有P个个F(s)的极点，则的极点，则s依依 顺时针转一圈时，在顺时针转一圈时，在F(s)平面上，平面上，F(s)曲线绕原点逆时针转的圈数曲线绕原点逆时针转的圈数R为为P和和Z之差，即之差，即RPZ若若R为负为负,表示表示F(s)曲线绕原点顺时针转曲线绕原点顺时针转过的圈数。过的圈数。64由652.2.奈式判据奈式判据闭环系统稳定的充分必要条件是闭环系统稳定的充分必要条件是:当当 从从0到到 变化时，开环幅相特变化时，开环幅相特性性 曲线绕曲线绕 点逆时针转点逆时针转过过 圈。圈。66Z闭环传递函数在s右半平面的极点数。（的零点数）P开环传函在s右半平面的极点数。N 绕 点逆时针转的次数。若为顺时针转则应为 67例例5 56 6已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据判别试应用奈氏判据判别K=0.5K=0.5和和K=2K=2时的闭环系统稳定性。时的闭环系统稳定性。68分别作出分别作出K=0.5和和K=2时开环幅相特时开环幅相特性曲线性曲线K=0.5时，闭环系统不稳定。K=2时，闭环系统稳定。图533 系统开环幅相特性曲线69二、对数频率稳定判据二、对数频率稳定判据若开环系统稳定（p=0），则闭环系统稳定的充要条件是：在 的所有频段内，正负穿越 线的次数差为0。注意：在开环对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线由下（上）往上（下）穿过 线为正（负）穿越。N+（N-）为正（负）穿越次数，从负 线开始往上（下）称为半个正（负）穿越。70图536 幅相曲线（a)及对应的对数频率特性曲线(b)71系统闭环稳定的条件是：在开环对数幅频 的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对 线的正、负穿越次数之差为 。即 为系统开环传递函数位于 右半平面的极点数。72例例5 58 8已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 试用对数判据判别闭环稳定性。试用对数判据判别闭环稳定性。73解：解：绘制系统开环对数频率特性如图。绘制系统开环对数频率特性如图。由开环传递函数由开环传递函数可知可知P=0。图537所以闭环稳定。74例例5 51010已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。试用对数判据判别闭环稳定性。75解：解：绘制系统开环对数频率特性如图绘制系统开环对数频率特性如图图图5 5393976在在 处振荡环节的对数幅频值为处振荡环节的对数幅频值为闭环不稳定。闭环不稳定。闭环特征方程的正根数为闭环特征方程的正根数为77三、稳定裕度三、稳定裕度 衡量闭环系统稳定程度的指标。衡量闭环系统稳定程度的指标。相位裕度极坐标图的向量与负实轴的夹角。即对数坐标图上处与的差 系统稳定（对最 小相 位系统）78对数图上对数图上 时的时的系统稳定（对最小相位系统）模稳定裕度：模稳定裕度：79图540 相稳定裕度和模稳定裕度80一般要求一般要求815 56 6 系统闭环频率特性系统闭环频率特性 与阶跃响应的关系与阶跃响应的关系图示单位反馈系统的闭环传递函数为图示单位反馈系统的闭环传递函数为 图541返回子目录返回子目录82图 5-42 图5-41所示系统的开环频率特性 83图548 闭环幅频 特性曲线由：由：可得闭环幅频特性曲线可得闭环幅频特性曲线84定性分析定性分析零频的幅值零频的幅值 反映系统在阶跃信反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差。号作用下是否存在静差。谐振峰值谐振峰值 反映系统的平稳性。反映系统的平稳性。带宽频率带宽频率 反映系统的快速性。反映系统的快速性。闭环幅频闭环幅频 在在 处的斜率反映处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。系统抗高频干扰的能力。855 57 7 开环频率特性与开环频率特性与 系统阶跃响应的关系系统阶跃响应的关系图图5 551 51 系统开环对数幅频渐近特性曲线系统开环对数幅频渐近特性曲线返回子目录返回子目录86低频段通常是指通常是指 的渐近曲线在的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段，这一段的特性第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。完全由积分环节和开环增益决定。一、低频段一、低频段87二、中频段二、中频段中频段中频段特性集中反映了系统的平稳性特性集中反映了系统的平稳性和快速性。和快速性。图55388三、高频段三、高频段系统开环对数幅频在高频段的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强。三个频段的划分并没有严格的确定准则，但是三频段的概念，为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。89重点掌握重点掌握频率特性的定义及系统在正弦信号频率特性的定义及系统在正弦信号 作作用下的稳态输出。用下的稳态输出。绘制频率特性图（绘制频率特性图（Nyquist 图和图和Bode图）。图）。根据根据Bode图求传递函数。图求传递函数。90本章知识点及主要线索部件闭环系统稳定性开环对数判据乃氏判据尼科尔斯图三频段定性闭环幅频特性91