质点动力学课件

第第第第2 2章章章章 质点动力学质点动力学质点动力学质点动力学 “潮汐潮汐”是海水的一种周期性的升降或涨落运动，是月亮和太阳是海水的一种周期性的升降或涨落运动，是月亮和太阳对地球的引力以及地球自转所致。海水周期性涨落水体形成了海流潮对地球的引力以及地球自转所致。海水周期性涨落水体形成了海流潮汐动能汐动能-潮汐能潮汐能。第2章 质点动力学 “潮汐”是海水的一种周期性的升降或2.1.1 牛顿运动定律牛顿运动定律任何物体都保持静止或匀速直线运动的状，直到其他物体任何物体都保持静止或匀速直线运动的状，直到其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。作用的力迫使它改变这种状态为止。注意三个重要概念注意三个重要概念 惯性惯性 物体的固有属性（惯性定律）物体的固有属性（惯性定律）u 牛顿第一定律牛顿第一定律2.12.1 牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用 惯性参照系惯性参照系 物体运动遵从第一定律的参照系物体运动遵从第一定律的参照系 力力(概念概念)使物体改变运动状态的原因使物体改变运动状态的原因静力学基本方程静力学基本方程（质点处于静止或匀速直线运动状态时）（质点处于静止或匀速直线运动状态时）2.1.1 牛顿运动定律任何物体都保持静止或匀速直线运动的状一个物体的一个物体的动量随时间的变化率动量随时间的变化率等于等于这个这个物体所受的合力物体所受的合力。u 牛顿第二定律牛顿第二定律当物体的质量不随时间变化时当物体的质量不随时间变化时(1)(1)第二定律的三个性质第二定律的三个性质 对应性对应性 矢量性矢量性 （矢量矢量叠加定理）叠加定理）瞬时性瞬时性 第二定律是一个瞬时关系式第二定律是一个瞬时关系式讨论讨论一个物体的动量随时间的变化率等于这个物体所受的合力。牛顿第(2)(2)分量表示形式分量表示形式 自然坐标中自然坐标中 如火箭、雨滴问题。如火箭、雨滴问题。在狭义相对论中在狭义相对论中,高速运动物体的质量与运动速度有关高速运动物体的质量与运动速度有关 。(3)在一般问题中，在一般问题中，m 可认为常量，但有时可认为常量，但有时 m 是变化的：是变化的：X(2)分量表示形式 自然坐标中 如火箭、雨滴问题。在狭牛顿定律的正确性被牛顿定律的正确性被事事实实所证明，它是质点动所证明，它是质点动力学的基本定律，也力学的基本定律，也是是整个经典力学的基础整个经典力学的基础。第三定律第三定律 力的特性力的特性u 牛顿第三定律牛顿第三定律注意注意:第三定律揭示了第三定律揭示了力力的特性的特性 成对性成对性 物体之间的作用是相互的。物体之间的作用是相互的。一致性一致性 作用力与反作用力性质一致。作用力与反作用力性质一致。同时性同时性 相互作用之间是相互依存，同生同灭。相互作用之间是相互依存，同生同灭。第二定律第二定律 力的度量力的度量(定量描述定量描述)u 小结小结第一定律第一定律“力力”的概念的概念牛顿定律的正确性被事实所证明，它是质点动力学的基本定律，也是1.力学中的常见力力学中的常见力uu万有引力：万有引力：万有引力：万有引力：万有引力的大小万有引力的大小万有引力定律的矢量式万有引力定律的矢量式万有引力定律的矢量式万有引力定律的矢量式万有引力常量万有引力常量2.1.2 力学中常见的几种力力学中常见的几种力由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。l l 万有引力定律式适用于两个质点；万有引力定律式适用于两个质点；万有引力定律式适用于两个质点；万有引力定律式适用于两个质点；说明说明说明说明l l对于两个质量均匀的球体之间的引力，可以直接用万有对于两个质量均匀的球体之间的引力，可以直接用万有对于两个质量均匀的球体之间的引力，可以直接用万有对于两个质量均匀的球体之间的引力，可以直接用万有引力定律式计算。引力定律式计算。引力定律式计算。引力定律式计算。1.力学中的常见力万有引力：万有引力的大小万有引力定律的矢地球对其表面附近物体的万有引力地球对其表面附近物体的万有引力地球对其表面附近物体的万有引力地球对其表面附近物体的万有引力质量为质量为质量为质量为mm的物体所受重力为的物体所受重力为的物体所受重力为的物体所受重力为l l 重力：重力：重力：重力：设地球的质量为设地球的质量为设地球的质量为设地球的质量为mmE E，地球的半径为，地球的半径为，地球的半径为，地球的半径为R R，物体的质量为物体的质量为物体的质量为物体的质量为mm重力加速度重力加速度重力加速度重力加速度地球对其表面附近物体的万有引力质量为m的物体所受重力为 重力如图所示，一质点如图所示，一质点m 旁边放一长度为旁边放一长度为L、质量为质量为M 的杆，的杆，杆离质点近端距离为杆离质点近端距离为l 万有引力公式只适用于两质点万有引力公式只适用于两质点解解例例质点所受杆的万有引力。质点所受杆的万有引力。求求如图所示，一质点m 旁边放一长度为L、质量为M 的杆，杆离当当 l L 时时讨论讨论当 l L 时讨论uu弹性力：弹性力：弹性力：弹性力：因形变而产生的恢复力因形变而产生的恢复力因形变而产生的恢复力因形变而产生的恢复力l l 支承面的支承力支承面的支承力支承面的支承力支承面的支承力l l 绳索内的张力绳索内的张力绳索内的张力绳索内的张力(1)(1)质量忽略不计的轻绳，质量忽略不计的轻绳，质量忽略不计的轻绳，质量忽略不计的轻绳，绳中各点处的张力相等；绳中各点处的张力相等；绳中各点处的张力相等；绳中各点处的张力相等；(2)(2)质量不能忽略的绳索，质量不能忽略的绳索，质量不能忽略的绳索，质量不能忽略的绳索，且处于且处于且处于且处于加速运动状态加速运动状态加速运动状态加速运动状态时，绳时，绳时，绳时，绳中各点处的张力不同。中各点处的张力不同。中各点处的张力不同。中各点处的张力不同。弹性力：因形变而产生的恢复力 支承面的支承力 绳索内的张力(胡克定律胡克定律胡克定律胡克定律l l弹簧的弹性力弹簧的弹性力弹簧的弹性力弹簧的弹性力胡克定律弹簧的弹性力uu 摩擦力：摩擦力：摩擦力：摩擦力：l l 静摩擦力：静摩擦力：静摩擦力：静摩擦力：(3)(3)最大静摩擦力最大静摩擦力最大静摩擦力最大静摩擦力(1)(1)静摩擦力的大小随外力的静摩擦力的大小随外力的静摩擦力的大小随外力的静摩擦力的大小随外力的(2)(2)变化而变化；变化而变化；变化而变化；变化而变化；彼此接触的物体阻碍其相对运动或相对运动趋势的力彼此接触的物体阻碍其相对运动或相对运动趋势的力彼此接触的物体阻碍其相对运动或相对运动趋势的力彼此接触的物体阻碍其相对运动或相对运动趋势的力(2)(2)静摩擦力的方向与接触面静摩擦力的方向与接触面静摩擦力的方向与接触面静摩擦力的方向与接触面 相对滑动趋势的指向相反；相对滑动趋势的指向相反；相对滑动趋势的指向相反；相对滑动趋势的指向相反；:静摩擦系数静摩擦系数静摩擦系数静摩擦系数彼此接触的物体有相对运动趋势时，接触面间出现的彼此接触的物体有相对运动趋势时，接触面间出现的彼此接触的物体有相对运动趋势时，接触面间出现的彼此接触的物体有相对运动趋势时，接触面间出现的摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力 摩擦力：静摩擦力：(3)最大静摩擦力 静摩擦力的大小随l l 滑动摩擦力：滑动摩擦力：滑动摩擦力：滑动摩擦力：(1)(1)为为为为滑动摩擦系数，滑动摩擦系数，滑动摩擦系数，滑动摩擦系数，且且且且 ；(2)(2)滑动摩擦力的方向总是滑动摩擦力的方向总是滑动摩擦力的方向总是滑动摩擦力的方向总是 与相对运动的方向相反。与相对运动的方向相反。与相对运动的方向相反。与相对运动的方向相反。干摩擦力随作用力的变化规律干摩擦力随作用力的变化规律干摩擦力随作用力的变化规律干摩擦力随作用力的变化规律动摩擦动摩擦动摩擦动摩擦静摩擦静摩擦静摩擦静摩擦相互接触的物体有相对滑动时，接触处出现的摩擦力相互接触的物体有相对滑动时，接触处出现的摩擦力相互接触的物体有相对滑动时，接触处出现的摩擦力相互接触的物体有相对滑动时，接触处出现的摩擦力 滑动摩擦力：(1)为滑动摩擦系数，(2)l l 湿摩擦力湿摩擦力湿摩擦力湿摩擦力:（1 1）在固体与流体相对运动速率不大时）在固体与流体相对运动速率不大时）在固体与流体相对运动速率不大时）在固体与流体相对运动速率不大时（2 2）在固体与流体相对运动速率较大时）在固体与流体相对运动速率较大时）在固体与流体相对运动速率较大时）在固体与流体相对运动速率较大时（3 3）湿摩擦力远小于干摩擦力）湿摩擦力远小于干摩擦力）湿摩擦力远小于干摩擦力）湿摩擦力远小于干摩擦力2.常见力的分类常见力的分类vv接触力与非接触力接触力与非接触力接触力与非接触力接触力与非接触力vv主动力与被动力主动力与被动力主动力与被动力主动力与被动力固体在流体中运动时，沿着接触面出现的摩擦力固体在流体中运动时，沿着接触面出现的摩擦力固体在流体中运动时，沿着接触面出现的摩擦力固体在流体中运动时，沿着接触面出现的摩擦力 湿摩擦力:（1）在固体与流体相对运动速率不大时（2）在固体2.1.3 牛顿第二定律的微分形式及其应用牛顿第二定律的微分形式及其应用1.牛顿第二定律的微分形式牛顿第二定律的微分形式 自然坐标中的分量式自然坐标中的分量式自然坐标中的分量式自然坐标中的分量式 直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式2.1.3 牛顿第二定律的微分形式及其应用1.牛顿第二定律2.质点动力学的两类问题质点动力学的两类问题uu 两类问题两类问题两类问题两类问题(1)(1)已知质点的运动方程，或任一时刻的速度或加速度，求已知质点的运动方程，或任一时刻的速度或加速度，求已知质点的运动方程，或任一时刻的速度或加速度，求已知质点的运动方程，或任一时刻的速度或加速度，求(2)(2)质点所受的力；质点所受的力；质点所受的力；质点所受的力；微分法微分法(2)(2)已已已已知质点受到的力，求质点的运动方程等，包括任意时知质点受到的力，求质点的运动方程等，包括任意时知质点受到的力，求质点的运动方程等，包括任意时知质点受到的力，求质点的运动方程等，包括任意时 刻质点的位置、速度或加速度。刻质点的位置、速度或加速度。刻质点的位置、速度或加速度。刻质点的位置、速度或加速度。积分法积分法&应用牛顿运动定律求解质点动力学问题的一般步骤应用牛顿运动定律求解质点动力学问题的一般步骤(1)选取研究对象，隔离物体；选取研究对象，隔离物体；(2)分析受力，画出受力图；分析受力，画出受力图；(3)选取坐标系；选取坐标系；(4)列牛顿运动微分方程求解列牛顿运动微分方程求解（通常取分量式）（通常取分量式）；(5)讨论结果的物理意义，判断其是否合理和正确。讨论结果的物理意义，判断其是否合理和正确。2.质点动力学的两类问题 两类问题已知质点的运动方程，或任(1)劈劈m1相对地面的加速度和木块相对地面的加速度和木块m2相对劈的加速度；相对劈的加速度；(2)欲使木块与劈之间无相对滑动，应该沿水平方向给劈多欲使木块与劈之间无相对滑动，应该沿水平方向给劈多 大的作用力？大的作用力？将一质量为将一质量为m1的三角形劈，放在光滑的水平桌面上，另的三角形劈，放在光滑的水平桌面上，另一质量为一质量为m2的立方体木块，沿三角形劈的光滑斜面自由下滑，的立方体木块，沿三角形劈的光滑斜面自由下滑，如图所示。如图所示。例例解解求求建立如图的坐标系建立如图的坐标系建立如图的坐标系建立如图的坐标系(1)m1、m2 受力情况如图受力情况如图受力情况如图受力情况如图设劈相对地面的加速度为设劈相对地面的加速度为a1木块相对劈的加速度为木块相对劈的加速度为ar方向如图方向如图(1)劈m1相对地面的加速度和木块m2相对劈的加速度；将一对木块对木块m2有有且且对劈对劈m1有有(1)(2)(3)(4)(5)对木块m2有且对劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)对木块对木块m2有有对劈对劈m1有有(1)(2)(3)(4)解以上方程，得解以上方程，得木块相对地面的加速度为木块相对地面的加速度为讨论：讨论：.对木块m2有对劈m1有(1)(2)(3)(4)解以上方程，得建立如图的坐标系建立如图的坐标系建立如图的坐标系建立如图的坐标系(2)设沿水平方向给劈施加力设沿水平方向给劈施加力F，且木块与劈以相同的加速，且木块与劈以相同的加速 度度a沿水平方向运动，方向如图所示。沿水平方向运动，方向如图所示。对木块对木块m2有有对劈对劈m1有有(1)(2)(3)(4)(5)且且建立如图的坐标系(2)设沿水平方向给劈施加力F，且木块与劈对木块对木块m2有有对劈对劈m1有有(1)(2)(3)(4)(5)且且由由(4)(4)式可得式可得由由(3)(3)式可得劈和木块共同运动的加速度为式可得劈和木块共同运动的加速度为由由(1)(1)式可得在劈上所加的水平力为式可得在劈上所加的水平力为对木块m2有对劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)且由(4设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。在地面附近有在地面附近有以地心为坐标原点，物体受万有引力以地心为坐标原点，物体受万有引力解解可得：可得：例例它到达地面时的速度它到达地面时的速度（不计空气阻力和地球的自转）。不计空气阻力和地球的自转）。求求r设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。在地面附近以初速度以初速度v0 竖直向上抛出一质量为竖直向上抛出一质量为m 的小球，小球除受的小球，小球除受重力外，还受一个大小为重力外，还受一个大小为mv2 的粘滞阻力。的粘滞阻力。解解例例求求 小球上升的最大高度。小球上升的最大高度。讨论：讨论：=0=0？以初速度v0 竖直向上抛出一质量为m 的小球，小球除受重力外 有一质量为有一质量为有一质量为有一质量为mm的均匀细棒长为的均匀细棒长为的均匀细棒长为的均匀细棒长为l l，将其一端固定并作为转轴，将其一端固定并作为转轴，将其一端固定并作为转轴，将其一端固定并作为转轴，细棒绕转轴在光滑水平面上以匀角速度细棒绕转轴在光滑水平面上以匀角速度细棒绕转轴在光滑水平面上以匀角速度细棒绕转轴在光滑水平面上以匀角速度 旋转。旋转。旋转。旋转。选微元选微元选微元选微元d dx x距离固定端为距离固定端为距离固定端为距离固定端为l/l/2 2、l/l/4 4处的张力。处的张力。处的张力。处的张力。例例解解求求建立如图自然坐标建立如图自然坐标建立如图自然坐标建立如图自然坐标列方程列方程，对其受力分析，对其受力分析，对其受力分析，对其受力分析,如图如图如图如图有一质量为m的均匀细棒长为l，将其一端固定并作为转轴，细棒绕考虑到考虑到考虑到考虑到 x=lx=l 时，时，时，时，F FT T(l l)=0 0，则代入，则代入，则代入，则代入(1)(1)(1)(1)式式式式则则则则距固定端距固定端距固定端距固定端x x处棒中的张力为处棒中的张力为处棒中的张力为处棒中的张力为距固定端为距固定端为距固定端为距固定端为l/l/2 2处的张力处的张力处的张力处的张力距固定端为距固定端为距固定端为距固定端为l/l/4 4处的张力处的张力处的张力处的张力考虑到 x=l 时，FT(l)=0，则代入(1)式则2.2.1 2.2.1 惯性系和非惯性系惯性系和非惯性系惯性系和非惯性系惯性系和非惯性系对地参考系对地参考系 牛顿运动定律在加速运动的车厢参考系中不成立！牛顿运动定律在加速运动的车厢参考系中不成立！牛顿运动定律在加速运动的车厢参考系中不成立！牛顿运动定律在加速运动的车厢参考系中不成立！而而而而对车厢参考系对车厢参考系对地参考系对地参考系对车厢参考系对车厢参考系牛顿定律适用的参考系，简称牛顿定律适用的参考系，简称牛顿定律适用的参考系，简称牛顿定律适用的参考系，简称惯性系。惯性系。惯性系。惯性系。uu 惯性参考系：惯性参考系：惯性参考系：惯性参考系：反之，称为反之，称为反之，称为反之，称为非惯性系。非惯性系。非惯性系。非惯性系。牛顿第二定律牛顿第二定律2.22.2 惯性系与非惯性系惯性系与非惯性系uu讨论：讨论：讨论：讨论：判断：判断：判断：判断：实验。实验。实验。实验。实用的惯性系：实用的惯性系：实用的惯性系：实用的惯性系：l 地面参考系地面参考系l 地心参考系地心参考系l 日心参考系日心参考系2.2.1 惯性系和非惯性系对地参考系 牛顿运动定律在加速运2.2.2 2.2.2 牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围l l 牛顿运动定律适用于惯性系；牛顿运动定律适用于惯性系；牛顿运动定律适用于惯性系；牛顿运动定律适用于惯性系；l l 牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。2.2.3 2.2.3 力学相对性原理力学相对性原理力学相对性原理力学相对性原理不可能利用在惯性系内部进不可能利用在惯性系内部进 行行的任何力学实验来确定该系作的任何力学实验来确定该系作匀速直线运动的速度；匀速直线运动的速度；在一切惯性系中，力学定律具在一切惯性系中，力学定律具有完全相同的表达形式；有完全相同的表达形式；物理量可以是相对的，但不同惯性系中物理量可以是相对的，但不同惯性系中力学定律的表达式则是绝对的。力学定律的表达式则是绝对的。船在走吗船在走吗船在走吗船在走吗?2.2.2 牛顿运动定律的适用范围 牛顿运动定律适用于惯性系m以地面参考系以地面参考系例例一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以匀加速度匀加速度 a 0 上升时，质量为上升时，质量为m 的物体从斜面顶端开始下滑的物体从斜面顶端开始下滑.yxmgx 方向方向y 方向方向物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。求求解解m以地面参考系例一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当 2.3.1 2.3.1 功功功功恒力恒力恒力恒力，路程，路程，路程，路程 s s位移位移位移位移功功功功l l 功是标量功是标量功是标量功是标量l l 功有正功、负功之分功有正功、负功之分功有正功、负功之分功有正功、负功之分，功的正负功取决于，功的正负功取决于，功的正负功取决于，功的正负功取决于 。1.1.1.1.恒力的功恒力的功恒力的功恒力的功，夹角，夹角l l 外力对物体作负功，也可以说物体反抗外力作正功。外力对物体作负功，也可以说物体反抗外力作正功。外力对物体作负功，也可以说物体反抗外力作正功。外力对物体作负功，也可以说物体反抗外力作正功。注意注意注意注意2.32.3 功与能功与能功与能功与能2.3.1 功恒力，路程s位移功 功是标量 功有正功、负功变力的功变力的功变力的功变力的功元功等于力与元位移的标积元功等于力与元位移的标积元功等于力与元位移的标积元功等于力与元位移的标积由由由由a a点移动到点移动到点移动到点移动到b b点，总功点，总功点，总功点，总功取元位移取元位移，在，在 范围内，作用力范围内，作用力 可认为是恒力。可认为是恒力。在任一元位移在任一元位移 上，力上，力 所作的元功所作的元功功是过程量，是力的一种空间累积效应功是过程量，是力的一种空间累积效应功是过程量，是力的一种空间累积效应功是过程量，是力的一种空间累积效应变力的功元功等于力与元位移的标积由a点移动到b点，总功取元位(3)(3)功在数值上等于曲线下功在数值上等于曲线下功在数值上等于曲线下功在数值上等于曲线下 的面的面的面的面积积积积 讨论讨论讨论讨论(1)(1)在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中(2)(2)合合合合力力力力 的功的功的功的功 等于各分力沿同一路径所作功的代数和等于各分力沿同一路径所作功的代数和等于各分力沿同一路径所作功的代数和等于各分力沿同一路径所作功的代数和示功图示功图示功图示功图(4)(4)功功功功率率率率(3)功在数值上等于曲线下 的面积 讨论(1)在直角坐标功的计算功的计算由由由由a a点移动到点移动到点移动到点移动到b b点，总功点，总功点，总功点，总功uu在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中uu合合合合力力力力 的功的功的功的功 等于各分力沿同一路径所作功的代数和等于各分力沿同一路径所作功的代数和等于各分力沿同一路径所作功的代数和等于各分力沿同一路径所作功的代数和uu功功功功率率率率功的计算由a点移动到b点，总功在直角坐标系中合力 的功摆球受力分析摆球受力分析摆球受力分析摆球受力分析列方程列方程列方程列方程元功元功元功元功例例解解有一长为有一长为有一长为有一长为l l、质量为、质量为、质量为、质量为mm的单摆，最初处于铅直位置且静止。的单摆，最初处于铅直位置且静止。的单摆，最初处于铅直位置且静止。的单摆，最初处于铅直位置且静止。现用一水平力现用一水平力现用一水平力现用一水平力 作用于小球上作用于小球上作用于小球上作用于小球上，使单摆使单摆使单摆使单摆非常缓慢非常缓慢非常缓慢非常缓慢的上升的上升的上升的上升（即（即（即（即上升过程中每一位置近似平衡上升过程中每一位置近似平衡上升过程中每一位置近似平衡上升过程中每一位置近似平衡）。用摆球与）。用摆球与）。用摆球与）。用摆球与铅直位置的夹铅直位置的夹铅直位置的夹铅直位置的夹角角角角 表示单摆的位置表示单摆的位置表示单摆的位置表示单摆的位置。求求当当当当 由由由由0 0增大到增大到增大到增大到 0 0的过程中，的过程中，的过程中，的过程中，此水平力此水平力此水平力此水平力 所作的功？所作的功？所作的功？所作的功？，建立坐标系如图。，建立坐标系如图。，建立坐标系如图。，建立坐标系如图。得得得得总功总功总功总功摆球受力分析列方程元功例解有一长为l、质量为m的单摆，最初处质量为质量为10kg 10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为点的速度为解解在质点从在质点从 y=16m 到到 y=32m 的过程中，外力做的功。的过程中，外力做的功。求求例例,开始时质点开始时质点位于坐标原点位于坐标原点。质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质解在设作用于质量设作用于质量m=2kg的物体上的力为的物体上的力为F=6t，在该力作用下，在该力作用下物体由静止出发，沿力的作用方向作直线运动。物体由静止出发，沿力的作用方向作直线运动。在前在前2s时间内，这个力所作的功。时间内，这个力所作的功。例例解解求求分离变量，并考虑初始条件，积分分离变量，并考虑初始条件，积分在前在前2s力所作的功为力所作的功为设作用于质量m=2kg的物体上的力为F=6t，在该力一条长为一条长为l、质量为、质量为m的均质柔绳的均质柔绳AB，A端挂在天花板的钩上，端挂在天花板的钩上，自然下垂。现将自然下垂。现将B端无限缓慢地沿铅垂方向提高到与端无限缓慢地沿铅垂方向提高到与A端同一端同一高度处。高度处。取绳自然下垂时取绳自然下垂时B端位置为坐标原点，端位置为坐标原点，铅垂向上为铅垂向上为Oy轴正方向。轴正方向。设设B 端提升过程中的某一时刻坐标为端提升过程中的某一时刻坐标为y该过程中重力所作的功。该过程中重力所作的功。例例解解求求取元位移取元位移dy绳提起部分所受重力为绳提起部分所受重力为，则重力在元位移上的元功为，则重力在元位移上的元功为该过程中重力所作的总功为该过程中重力所作的总功为一条长为l、质量为m的均质柔绳AB，A端挂在天花板的钩上，自2.2.3 2.2.3 动能定理动能定理动能定理动能定理合力合力 在元位移在元位移 上所作的元功上所作的元功1.1.质点的动能定理质点的动能定理质点的动能定理质点的动能定理（动能定理的微分形式）（动能定理的微分形式）（动能定理的微分形式）（动能定理的微分形式）（动能定理）（动能定理）（动能定理）（动能定理）2.2.3 动能定理合力 在元位移 上所作的元功1.质 讨论讨论讨论讨论l l合外力的合外力的合外力的合外力的功功功功是质点动能变化的是质点动能变化的是质点动能变化的是质点动能变化的量度量度量度量度；l l 动能动能动能动能 是一个由物体的运动状态所决定的是一个由物体的运动状态所决定的是一个由物体的运动状态所决定的是一个由物体的运动状态所决定的状态量状态量状态量状态量；l l 动能定理只适用于动能定理只适用于动能定理只适用于动能定理只适用于惯性系惯性系惯性系惯性系。合力对质点所作的功等于质点始、末两状态动能的增量。合力对质点所作的功等于质点始、末两状态动能的增量。合力对质点所作的功等于质点始、末两状态动能的增量。合力对质点所作的功等于质点始、末两状态动能的增量。（动能定理）（动能定理）（动能定理）（动能定理）讨论合外力的功是质点动能变化的量度；动能 质量为质量为质量为质量为mm的质点，系在一端固定的绳子上且在粗糙的质点，系在一端固定的绳子上且在粗糙的质点，系在一端固定的绳子上且在粗糙的质点，系在一端固定的绳子上且在粗糙水平面水平面水平面水平面上作上作上作上作半径为半径为半径为半径为R R的圆周运动。当它运动一周后，由初速的圆周运动。当它运动一周后，由初速的圆周运动。当它运动一周后，由初速的圆周运动。当它运动一周后，由初速v vo o o o减小为减小为减小为减小为v vo o o o/2/2。运动过程中：运动过程中：运动过程中：运动过程中：受重力、支承力、摩擦力，受重力、支承力、摩擦力，受重力、支承力、摩擦力，受重力、支承力、摩擦力，只有摩擦力作功。只有摩擦力作功。只有摩擦力作功。只有摩擦力作功。(2)(2)因摩擦力因摩擦力因摩擦力因摩擦力方向与运动方向相反方向与运动方向相反方向与运动方向相反方向与运动方向相反可得可得可得可得(1)(1)摩擦力所作的功；摩擦力所作的功；摩擦力所作的功；摩擦力所作的功；(2)(2)滑动摩擦系数；滑动摩擦系数；滑动摩擦系数；滑动摩擦系数；(3)(3)静止前质点运静止前质点运静止前质点运静止前质点运动了多少圈动了多少圈动了多少圈动了多少圈?例例解解求求(1)(1)根根根根据质点的动能定理，摩擦力的功据质点的动能定理，摩擦力的功据质点的动能定理，摩擦力的功据质点的动能定理，摩擦力的功质量为m的质点，系在一端固定的绳子上且在粗糙水平面上作半径为(3)(3)设静止前质点运动了设静止前质点运动了设静止前质点运动了设静止前质点运动了n n圈圈圈圈由质点的动能定理有由质点的动能定理有由质点的动能定理有由质点的动能定理有可得可得可得可得（圈）（圈）（圈）（圈）(3)设静止前质点运动了n圈由质点的动能定理有可得（圈）内力内力内力内力外力外力外力外力,根据质点的动能定理根据质点的动能定理根据质点的动能定理根据质点的动能定理对对对对mm1 1:对对对对mm2 2:两式相加两式相加两式相加两式相加2.2.质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理质点系的动能定理内力外力,根据质点的动能定理对m1:对m2:两式相加2.质推广到推广到推广到推广到n n个质点的质点系个质点的质点系个质点的质点系个质点的质点系（质点系的动能定理）（质点系的动能定理）（质点系的动能定理）（质点系的动能定理）所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量所有外力和内力对质点系作功的总和等于质点系动能的增量 注意注意注意注意l l 质点系的质点系的质点系的质点系的内力和外力的区分内力和外力的区分内力和外力的区分内力和外力的区分,内力的特点内力的特点内力的特点内力的特点？l l 什么情况下内力功的和为零？什么情况下内力功的和为零？什么情况下内力功的和为零？什么情况下内力功的和为零？l l 系统系统系统系统内力的功内力的功内力的功内力的功也可以改变也可以改变也可以改变也可以改变系统的动能系统的动能系统的动能系统的动能。推广到n个质点的质点系（质点系的动能定理）所有外力和内力对质 长为长为l的均质绳索，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，的均质绳索，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，如图所示。已知绳索与水平面间的静摩擦系数为如图所示。已知绳索与水平面间的静摩擦系数为m ms，滑动摩擦，滑动摩擦系数为系数为m mk。以绳索的水平部分为研究对象以绳索的水平部分为研究对象取如图所示的坐标取如图所示的坐标(1)满足什么条件时，绳索将开始滑动？满足什么条件时，绳索将开始滑动？(2)若下垂长度为若下垂长度为b时，绳索自静止开始滑动，当绳索末端时，绳索自静止开始滑动，当绳索末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？例例解解求求当当 时，水平部分受到的下垂部时，水平部分受到的下垂部分的拉力为分的拉力为此时达到最大静摩擦力此时达到最大静摩擦力则有则有 即即 当当 ，绳索将开始滑动。，绳索将开始滑动。长为l的均质绳索，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，如图所(2)以整个绳索为研究对象，绳索在运动过程中各部分之间以整个绳索为研究对象，绳索在运动过程中各部分之间 相互作用的内力的功之和为零。相互作用的内力的功之和为零。重力的功为重力的功为摩擦力的功为摩擦力的功为根据动能定理，有根据动能定理，有解得解得若水平面光滑，则若水平面光滑，则 (2)以整个绳索为研究对象，绳索在运动过程中各部分之间重力2.3.3 2.3.3 保守力的功保守力的功保守力的功保守力的功 势能势能势能势能1.1.1.1.几种常见力的功几种常见力的功几种常见力的功几种常见力的功元功元功元功元功uu 重力的功重力的功重力的功重力的功总功总功总功总功 结论结论结论结论l l 重力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。重力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。重力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。重力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。l l 物体沿物体沿物体沿物体沿acbdaacbda闭合路径闭合路径闭合路径闭合路径L L运动一周，重力的功运动一周，重力的功运动一周，重力的功运动一周，重力的功2.3.3 保守力的功 势能1.几种常见力的功元功 重力的uu 万有引力的功万有引力的功万有引力的功万有引力的功太阳太阳太阳太阳元功元功元功元功总功总功总功总功 结论结论结论结论l l 万有引力的功万有引力的功万有引力的功万有引力的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。l l 沿沿沿沿任意任意任意任意闭合路径闭合路径闭合路径闭合路径L L运动一周，运动一周，运动一周，运动一周，万有引力的功万有引力的功万有引力的功万有引力的功 万有引力的功太阳元功总功 结论 万有引力的功仅和物体的始末uu 弹性力的功弹性力的功弹性力的功弹性力的功元功元功元功元功总功总功总功总功 结论结论结论结论l l 弹性力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。弹性力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。弹性力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。弹性力所作的功仅和物体的始末位置有关，而与路径无关。l l 沿沿沿沿任意任意任意任意闭合路径闭合路径闭合路径闭合路径L L运动一周，运动一周，运动一周，运动一周，弹性力所作的功弹性力所作的功弹性力所作的功弹性力所作的功总功总功 弹性力的功元功总功 结论 弹性力所作的功仅和物体的始末位置 总功总功总功总功uu 摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力的功的功的功的功元功元功元功元功（F Fk k为常量）为常量）为常量）为常量）结论结论结论结论:摩擦力的功与路径有关摩擦力的功与路径有关摩擦力的功与路径有关摩擦力的功与路径有关。作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无关的力。关的力。关的力。关的力。2.2.保守力保守力保守力保守力l l 保守力保守力保守力保守力：l l 非保守力：非保守力：非保守力：非保守力：（重力、万有引力、弹性力都是保守力）（重力、万有引力、弹性力都是保守力）（重力、万有引力、弹性力都是保守力）（重力、万有引力、弹性力都是保守力）作功与物体运动路径有关的力。作功与物体运动路径有关的力。作功与物体运动路径有关的力。作功与物体运动路径有关的力。（摩擦力是非保守力）（摩擦力是非保守力）（摩擦力是非保守力）（摩擦力是非保守力）l l 保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零，即即即即（保守力场）（保守力场）（保守力场）（保守力场）总功 摩擦力的功元功（Fk为常量）结论:摩擦力的功与路径有几种常见力的功几种常见力的功几种常见力的功几种常见力的功uu 重力的功重力的功重力的功重力的功uu 万有引力的功万有引力的功万有引力的功万有引力的功uu 弹性力的功弹性力的功弹性力的功弹性力的功uu 摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力的功的功的功的功作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无作功只与物体始末位置有关，而与物体运动路径无关的力。关的力。关的力。关的力。l l 保守力保守力保守力保守力：l l 非保守力：非保守力：非保守力：非保守力：（重力、万有引力、弹性力都是保守力）（重力、万有引力、弹性力都是保守力）（重力、万有引力、弹性力都是保守力）（重力、万有引力、弹性力都是保守力）作功与物体运动路径有关的力。作功与物体运动路径有关的力。作功与物体运动路径有关的力。作功与物体运动路径有关的力。（摩擦力是非保守力）（摩擦力是非保守力）（摩擦力是非保守力）（摩擦力是非保守力）l l 保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零保守力沿任意闭合路径一周所作的功为零，即即即即（保守力场）（保守力场）（保守力场）（保守力场）几种常见力的功 重力的功 万有引力的功 弹性力的功 摩擦力的3.3.势能势能势能势能在保守力场中在保守力场中b(选参考点选参考点)a取：取：则则（势能的定义）（势能的定义）：(势能零点势能零点)势能是位置的函数，势能是位置的函数，在数值上等于在数值上等于从从 a a 到到 势能零点势能零点 保守力所做的功保守力所做的功（该函数通常称作（该函数通常称作势能函数）势能函数）。势能是系统具有的做工本领势能是系统具有的做工本领3.势能在保守力场中b(选参考点)a取：则（势能的定义）讨论讨论（1 1）由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。（2）势能增量：在保守力场中，质点从）势能增量：在保守力场中，质点从 a1 a2 位置，势能增量为位置，势能增量为l 质点在该过程中，保守力的功质点在该过程中，保守力的功 A A 等为等为即在该过程中，保守力的功即在该过程中，保守力的功 A A 等于质点在始末两位置势能增量的负值等于质点在始末两位置势能增量的负值 微分形式微分形式l保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。讨论（1）由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相几种常见的势能几种常见的势能（势能定义）（势能定义）1.重力势能重力势能 xyzO势能零点：势能零点：2.弹性势能弹性势能 Ox势能零点：势能零点：几种常见的势能（势能定义）1.重力势能 xyzO势能零点：3.万有引力势能万有引力势能 rMm等势面等势面r势能零点：势能零点：3.万有引力势能 rMm等势面r势能零点：uu 保守力与势能的微分关系保守力与势能的微分关系保守力与势能的微分关系保守力与势能的微分关系比较比较比较比较(1)(1)(1)(1)和和和和(2)(2)(2)(2)式式式式直角坐标系中，直角坐标系中，直角坐标系中，直角坐标系中，d dE Ep p的全微分的全微分的全微分的全微分分量式分量式分量式分量式：保守力与势能的微分关系比较(1)和(2)式直角坐标系中，duu 势能曲线势能曲线势能曲线势能曲线(质点的势能与位置的关系可以用图线表示出来质点的势能与位置的关系可以用图线表示出来)ZO重力势能重力势能弹性势能弹性势能E万有引力势能万有引力势能XOrO(1)(1)由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力(2)(2)确定质点的运动范围确定质点的运动范围确定质点的运动范围确定质点的运动范围(3)(3)确定平衡位置，判断平衡的稳定性。确定平衡位置，判断平衡的稳定性。确定平衡位置，判断平衡的稳定性。确定平衡位置，判断平衡的稳定性。势能曲线(质点的势能与位置的关系可以用图线表示出来)ZO重XE质点运动范围：质点运动范围：做往复振动做往复振动ABC势场中的粒子：势场中的粒子：B B点点：稳定平衡位置稳定平衡位置A A、C C点：点：非稳定平衡位置非稳定平衡位置XE质点运动范围：做往复振动ABC势场中的粒子：B点：稳定平有一双原子分子由有一双原子分子由A、B两原子组成，设两原子组成，设A原子位于坐标原点，原子位于坐标原点，B原子与原子与A原子的间距为原子的间距为x，这两原子之间的作用力为分子力，这两原子之间的作用力为分子力（分子力是保守力，可用势能来描述分子力是保守力，可用势能来描述），且这两原子相互作用的），且这两原子相互作用的势能函数可以表示为势能函数可以表示为式中式中a和和b为正常数，为正常数，x以以m为单位，势能为单位，势能Ep(x)以以J为单位。为单位。(1)势能势能 Ep(x)=0 时，时，x=?(2)原子间的相互作用力和平衡位置。原子间的相互作用力和平衡位置。例例解解求求(1)由由 解得解得 当当x 时，上述方程也能成立时，上述方程也能成立则则 x 也是一个解。也是一个解。有一双原子分子由A、B两原子组成，设A原子位于坐标原点，B原(2)保守力等于相关势能梯度的负值，即保守力等于相关势能梯度的负值，即 平衡位置，平衡位置，Fx=0由由解得解得 （舍去）（舍去）（平衡位置）（平衡位置）(2)保守力等于相关势能梯度的负值，即 平衡位置，Fx=例例是不是保守力是不是保守力?解解 如果是保守力，则如果是保守力，则不是保守力不是保守力 例是不是保守力?解如果是保守力，则不是保守力1.1.1.1.功能原理功能原理功能原理功能原理2.3.4 2.3.4 功能原理与机械能守恒定律功能原理与机械能守恒定律功能原理与机械能守恒定律功能原理与机械能守恒定律由系统的动能定理有由系统的动能定理有由系统的动能定理有由系统的动能定理有(功能原理功能原理功能原理功能原理)作用于质点系内各质点上的所有外力和非保守内力在某一作用于质点系内各质点上的所有外力和非保守内力在某一作用于质点系内各质点上的所有外力和非保守内力在某一作用于质点系内各质点上的所有外力和非保守内力在某一过程中作功的总和，等于质点系机械能的增量。过程中作功的总和，等于质点系机械能的增量。过程中作功的总和，等于质点系机械能的增量。过程中作功的总和，等于质点系机械能的增量。1.功能原理2.3.4 功能原理与机械能守恒定律由系统的动系统的功能原理系统的功能原理系统的功能原理系统的功能原理当当当当2.2.机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律(质点系的机械能守恒定律质点系的机械能守恒定律质点系的机械能守恒定律质点系的机械能守恒定律)uu 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律则则则则如果系统中只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作如果系统中只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作如果系统中只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作如果系统中只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作功，或作功的总和始终为零，则系统总机械能保持不变。功，或作功的总和始终为零，则系统总机械能保持不变。功，或作功的总和始终为零，则系统总机械能保持不变。功，或作功的总和始终为零，则系统总机械能保持不变。在一个孤立系统（在一个孤立系统（在一个孤立系统（在一个孤立系统（即不受外界作用的系统即不受外界作用的系统即不受外界作用的系统即不受外界作用的系统）内，能量可以有一）内，能量可以有一）内，能量可以有一）内，能量可以有一种形式转换为另一种形式，但系统的总能量保持不变。种形式转换为另一种形式，但系统的总能量保持不变。种形式转换为另一种形式，但系统的总能量保持不变。种形式转换为另一种形式，但系统的总能量保持不变。系统的功能原理当2.机械能守恒定律(质点系的机械能守恒定律(1)选取研究对象。选取研究对象。&应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤(2)分析受力和守恒条件。分析受力和守恒条件。(3)明确过程的始、末状态。明确过程的始、末状态。(4)列方程。列方程。(5)解方程，求出结果。解方程，求出结果。(6)讨论解的物理意义。讨论解的物理意义。(1)选取研究对象。应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤卫星的动能和机械能。卫星的动能和机械能。一质量为一质量为m的人造地球卫星，沿半径为的人造地球卫星，沿半径为r的圆轨道绕地球运行。的圆轨道绕地球运行。以卫星和地球组成的系统为研究对象以卫星和地球组成的系统为研究对象例例解解求求设地球质量为设地球质量为mE ,卫星的动能为卫星的动能为 (无穷远处为万有引力势能零点无穷远处为万有引力势能零点)则卫星的势能为则卫星的势能为卫星的机械能为卫星的机械能为卫星的动能和机械能。一质量为m的人造地球卫星，沿半径为r的圆把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度 例例1物体从地面飞行到与地心相距物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处处（n为正整数）为正整数）经历的经历的时间。时间。求求发射出去，阻力忽略不计发射出去，阻力忽略不计.解解根据机械能守恒定律有根据机械能守恒定律有把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度 用弹簧连接两个木板用弹簧连接两个木板m1、m2 ，弹簧压缩，弹簧压缩x0。解解 整个过程只有保守力作功，机械能守恒整个过程只有保守力作功，机械能守恒例例2给给m2 上加多大的压力能使上加多大的压力能使m1 离开桌面？离开桌面？求求 用弹簧连接两个木板m1、m2 ，弹簧压缩x0。解整个过2.4.1 2.4.1 冲量与动量冲量与动量冲量与动量冲量与动量 1.1.冲量冲量冲量冲量力的时间积累，即力的时间积累，即冲量。冲量。恒力恒力(t1 t2)：变力变力:元冲量元冲量(t t+dt):(t1 t2)：冲量冲量冲量冲量的方向的方向的方向的方向:的方向的方向的方向的方向.2.2.动量动量动量动量动量：动量：动量：动量：运动质点的质量与其速度的乘积。运动质点的质量与其速度的乘积。运动质点的质量与其速度的乘积。运动质点的质量与其速度的乘积。l l 动量是矢量，方向为速度方向。动量是矢量，方向为速度方向。动量是矢量，方向为速度方向。动量是矢量，方向为速度方向。l l 动量与动能数量上的关系为动量与动能数量上的关系为动量与动能数量上的关系为动量与动能数量上的关系为2.42.4 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律2.4.1 冲量与动量 1.冲量力的时间积累，即冲量。恒力3.3.质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理(合力的冲量合力的冲量合力的冲量合力的冲量)(动量定理微分形式动量定理微分形式动量定理微分形式动量定理微分形式)(动量定理积分形式动量定理积分形式动量定理积分形式动量定理积分形式)作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在同一时间作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在同一时间作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在同一时间作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。内动量的增量。内动量的增量。内动量的增量。牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律动量定理的分量形式动量定理的分量形式动量定理的分量形式动量定理的分量形式冲量的分量只改变自己方向上的动量冲量的分量只改变自己方向上的动量冲量的分量只改变自己方向上的动量冲量的分量只改变自己方向上的动量3.质点的动量定理(合力的冲量)(动量定理微分形式)(动量 l l平均冲力平均冲力平均冲力平均冲力平均冲力一质点受合力作用，合力为一质点受合力作用，合力为一质点受合力作用，合力为一质点受合力作用，合力为质点从质点从质点从质点从静止静止静止静止开始在开始在开始在开始在2s2s内所受合力的冲量和质点在内所受合力的冲量和质点在内所受合力的冲量和质点在内所受合力的冲量和质点在2s2s末的动量。末的动量。末的动量。末的动量。例例解解求求根据动量定理根据动量定理根据动量定理根据动量定理由冲量的定义有由冲量的定义有由冲量的定义有由冲量的定义有一质点受合力作用，合力为质点从静止开始在2s内所受合力的冲量例例 质量为质量为 m 的匀质的匀质柔软绳柔软绳，全长为，全长为 L，开始时静止，下端与地面的距离为开始时静止，下端与地面的距离为 h。所受所受绳绳的作用力？的作用力？Lh解解 设设 t 时刻时刻（地面上有地面上有 l 长的绳子长的绳子）此时此时绳绳的速度为的速度为m求求 绳绳自由下落地面上的长度为自由下落地面上的长度为 l(lL)时，地面时，地面以以dm(dt 时间下落到地面的时间下落到地面的绳子绳子)为研究对象为研究对象根据动量定理根据动量定理 dm地面受力地面受力Ngdm例 质量为 m 的匀质柔软绳，全长为 L，开始时静止，下端3.3.质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理(合力的冲量合力的冲量合力的冲量合力的冲量)(动量定理微分形式动量定理微分形式动量定理微分形式动量定理微分形式)(动量定理积分形式动量定理积分形式动量定理积分形式动量定理积分形式)作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在同一时间作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在同一时间作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在同一时间作用在质点上的合力在某一时间内的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。内动量的增量。内动量的增量。内动量的增量。牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律动量定理的分量形式动量定理的分量形式动量定理的分量形式动量定理的分量形式冲量的分量只改变自己方向上的动量冲量的分量只改变自己方向上的动量冲量的分量只改变自己方向上的动量冲量的分量只改变自己方向上的动量3.质点的动量定理(合力的冲量)(动量定理微分形式)(动量例例 非弹性体的金属小环组成非弹性体的金属小环组成 的匀质链条。的匀质链条。由静止开始下落，证明下落的端点的运动方程为由静止开始下落，证明下落的端点的运动方程为yo解解以以t 时刻时刻已下落的已下落的连条连条 y及及dt 时间内时间内下落的下落的 dm为研究对象为研究对象TmgTgdm(1)(2)例 非弹性体的金属小环组成 的匀质链条。由静止开始下落，证2.4.3 2.4.3 质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理t 时刻时刻 的动量的动量（质点系动量定理）（质点系动量定理）（一对内力）（一对内力）以两个质点为例以两个质点为例与质点系的动能定理比较与质点系的动能定理比较2.4.3 质点系的动量定理t 时刻 的动量（质点系动量定理直角坐标系：直角坐标系：在有限时间内：在有限时间内：(1)只有外力可改变系统的总动量只有外力可改变系统的总动量(2)内力可改变系统内单个质点的动量内力可改变系统内单个质点的动量说明说明某某段段时时间间内内，质质点点系系动动量量的的增增量量，等等于