第二章解析函数课件

第二章解析函数第二章解析函数第二章第二章 解析函数解析函数1.解析函数的概念解析函数的概念2.函数解析的充要条件函数解析的充要条件3.初等函数初等函数4.第二章小结与习题第二章小结与习题第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分1解析函数的概念解析函数的概念2小结与思考小结与思考3一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分定义定义2.1.11.导数的定义导数的定义在定义中应注意在定义中应注意:解：解：例例1 可导，可导，试证 f(z)在z0点连续。结论：结论：函数在一点可导必在该点连续，反之不成立。函数在一点可导必在该点连续，反之不成立。例例2 解解:例例3 解解2.求导法则求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致，并且复变函数中的极限运算的定义在形式上完全一致，并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样，因而实变函数中的求导法则法则也和实变函数中一样，因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也且证明方法也是相同的是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:3.微分微分 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致分概念完全一致.定义定义2.1.2特别地特别地,二、解析函数的概念二、解析函数的概念1.解析函数的定义解析函数的定义2.奇点的定义奇点的定义根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是，函数在但是，函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概的概念念.即函数在一点处可导，即函数在一点处可导，不一定在该点处解析不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.例例4 解解:由本节例由本节例2和例和例3知知:由于k的任意性，极限 不存在。令令z0+z沿直线沿直线y=kx趋于趋于z0.例例5解解:定理定理2.1.1以上定理的证明以上定理的证明,可利用求导法则可利用求导法则.根据定理可知根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.三、小结与思考三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念；掌握理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念；掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.注意注意：复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样，它们的一些求导公式与求导法则也义在形式上完全一样，它们的一些求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与一样，然而复变函数极限存在要求与 z 趋于零的方式无关，趋于零的方式无关，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.思考题思考题1.答案：答案：2.复变函数复变函数wf(z)的导数定义与实一元函数的导数定义与实一元函数yf(x)的的导数定义在要求上有什么不同？导数定义在要求上有什么不同？3.复变函数的连续、可导复变函数的连续、可导(可微可微)与解析之间有什么关系与解析之间有什么关系？第二节 函数解析的充要条件主要定理主要定理1典型例题典型例题2小结与思考小结与思考3一、主要定理一、主要定理定理定理2.2.1证明证明:(1)必要性必要性.(2)充分性充分性.由于由于u(x,y)与与v(x,y)在点在点(x,y)可可微微因为：因为：因此整理并由柯西因此整理并由柯西-黎曼方程得：黎曼方程得：根据定理根据定理2.2.1，可得函数，可得函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点在点z=x+iy处的导数公式：处的导数公式：函数在区域函数在区域D内解析的充要条件：内解析的充要条件：定理定理2.2.2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域在其定义域D内解内解析的充要条件是：析的充要条件是：u(x,y)与与v(x,y)在在D内可微，并且内可微，并且满足柯西满足柯西-黎曼方程。黎曼方程。因此可以得到解析函数的判定方法因此可以得到解析函数的判定方法:二、典型例题二、典型例题例例1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:解：解：不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,四个偏导数四个偏导数均连续均连续指数函数指数函数四个偏导数均连续四个偏导数均连续例例3 解：解：例例4 证明：证明：高阶偏导数存在不能保证函数可微性的例子高阶偏导数存在不能保证函数可微性的例子.例例5解：解：三、小结与思考三、小结与思考 在本课中我们得到了一个重要结论在本课中我们得到了一个重要结论函数函数解析的充要条件解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西掌握并能灵活应用柯西黎曼方程黎曼方程.思考题思考题答案：答案：第三节 初等函数指数函数指数函数1对数函数对数函数2乘幂乘幂 b b 与幂函数与幂函数34三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数5反三角函数和反双曲函数反三角函数和反双曲函数6小结与思考小结与思考一、指数函数一、指数函数1.指数函数的定义指数函数的定义:2.指数函数的性质指数函数的性质(1)周期：以2i为基本周期的周期函数。(3)解析性：全平面解析函数，(2)加减性例例1 1 解解:例例2 解解:求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:例例3 解解:二、对数函数二、对数函数1.定义定义其余各值为其余各值为特殊地特殊地,2.性质性质例例4 解：解：注意注意:在实变函数中在实变函数中,负数无对数负数无对数,而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.例例5解解:定义：定义：-单值单值函函数数-n值函数值函数三、幂函数三、幂函数讨论：讨论：(1)(3)-单值单值函函数数(2)-无穷多值函数无穷多值函数在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且（5 5）（4 4）-n值函数值函数例例6解解例例7解解:四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义三角函数的定义将两式相加与相减将两式相加与相减,得到得到把欧拉公式推广到任意复数得到：把欧拉公式推广到任意复数得到：称它们分别为称它们分别为z的正弦函数和余弦函数。的正弦函数和余弦函数。2.三角函数性质三角函数性质(1)周期：以2为周期的周期函数。(2)零点：sinz，cosz的零点分别是n，(n+1/2)(n=0,1,2,(5)解析性：全平面解析函数，(3)奇偶性：sin z为奇函数，cosz为偶函数。(4)三角公式：各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外).(6)无界性 sinz，cosz的模可以大于1甚至无界。其他复变数三角函数的定义：其他复变数三角函数的定义：(自己分析)例例8解解:3.双曲函数的定义双曲函数的定义4.双曲函数的性质双曲函数的性质(3)解析性：全平面解析函数。(1)周期性：以2i为基本周期的周期函数。(2)奇偶性：（4）与三角函数的关系：chz为偶函数,shz为奇函数。例例9解解:五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数反三角函数两端取对数得两端取对数得(1)反余弦函数定义反余弦函数定义(2)表达式：表达式：同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复重复以上步骤以上步骤,可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义反双曲函数的定义(3)反正弦函数反正弦函数(4)反正切函数反正切函数(1)(2)(3)例例10解解:六、小结与思考六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性质本性质,又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性.如如:1.指数函数具有周期性指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数第二章小结与习题第二章小结与习题重点与难点重点与难点1内容提要内容提要2典型例题典型例题3一、重点与难点一、重点与难点重点重点：难点难点：1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.函数解析性的判别函数解析性的判别1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.初等函数中的多值函数及主值的概念初等函数中的多值函数及主值的概念二、内容提要二、内容提要复复变函数变函数导数导数微分微分解析函数解析函数初等解初等解析函数析函数指指 数数 函函 数数三三 角角 函函 数数对对 数数 函函 数数 幂幂 函函 数数 性质性质解析函数解析函数的判定方法的判定方法可可导导与与微微分分的的关关系系可可导导与与解解析析的的判判定定定定理理双双 曲曲 函函 数数