线性系统理论-4b课件

4-1 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 4-1-1 向量的范数向量的范数 其范数其范数|x|为一实数为一实数，具有性质具有性质：(1)若若x 0则则|x|0;当当x=0,则则|x|=0(2)|x|=|x|,为任意标量为任意标量.(3)对于两个向量对于两个向量x,y有有|x+y|x|+|y|.(三角不等式三角不等式)几种常见的向量范数：几种常见的向量范数：n维空间上的点到原点的距离维空间上的点到原点的距离。4-1-2 矩阵的范数矩阵的范数 (x的的 范数也定义范数也定义：矩阵矩阵A=aijn m，其范数其范数|A|满足满足:(1)当当A 0时时，|A|0；当当A=0时时，|A|=0；(2)|A|=|A|为任意向量为任意向量；(3)|A+B|A|+|B|；(4)|AB|A|B|；几种常见的几种常见的矩阵矩阵范数范数：2范数范数 1范数范数 4-2 平衡状态和稳定性平衡状态和稳定性 4-2-1 平衡状态（平衡点）平衡状态（平衡点）xe xe 一个状态变量，一旦系统到达此状态，则以后在无一个状态变量，一旦系统到达此状态，则以后在无外力及扰动的情况下，总处于此状态。外力及扰动的情况下，总处于此状态。任意状态任意状态x(t)可表达为可表达为：x(t)=(t;t0,x(t0),u(t)平衡状态平衡状态xe零输入状态下的不变状态，有零输入状态下的不变状态，有 xe=(t;t0,xe,0)=常量常量 对于线性定常对于线性定常连续连续系统系统：xe为平衡状态为平衡状态对于对于线性定常线性定常离散离散系统系统：x(k+1)=Gx(k)(2)4-2-2 几个稳定性概念几个稳定性概念 可见，由线性定常连续系统可见，由线性定常连续系统（1）、）、离散系统（离散系统（2）：）：xe=0 线性定常系统线性定常系统：xe=0是唯一的渐近稳定的平衡状态是唯一的渐近稳定的平衡状态。(1)李亚普若夫意义下的稳定性李亚普若夫意义下的稳定性(SisLStability in the sense of lyapunov 或或 i.s.L 稳定稳定)xe平衡状态平衡状态，x0初始状态初始状态（t0时刻时刻）当且仅当当且仅当 对于任一实数对于任一实数 0，对应地存在一个实数对应地存在一个实数 0，使使：|x0-xe|时，从任一初始状态时，从任一初始状态x0出发的零输入响应出发的零输入响应(t;t0,x0,0)都满足都满足|(t;t0,x0,0)-xe|,t t0 则称则称xe为为lyapunov意义下稳定的意义下稳定的（SisL）。）。球域球域s()，半径为半径为 ；球域球域s()，半径为半径为 。s()内的状态的自由运动总在内的状态的自由运动总在s()内内。若若 与与t0无关，则称此平衡态无关，则称此平衡态xe是是i.s.L一致稳定的，如下图一致稳定的，如下图。一般一般，=(,t0)，即与即与 和和t0有有关关；状态空间，以状态空间，以xe为原点，对给定正实数为原点，对给定正实数，以，以xe为球心、为球心、为半径构造一个超球体，球域记为为半径构造一个超球体，球域记为s()。几何解释：几何解释：定常系统：定常系统：稳定稳定 一致稳定一致稳定 稳定稳定 一致稳定一致稳定(2)渐近稳定渐近稳定（ASasymptotic stability）称平衡态称平衡态xe是渐近稳定是渐近稳定（AS）的的，如果满足如果满足：xe是是i.s.L稳定的稳定的；对于对于 (,t0)和任意给定的实数和任意给定的实数 0，对应地存在实对应地存在实数数 T(T(,t,t0)00)0使得满足使得满足的任一初态的任一初态x0出发的零输入响应都满足出发的零输入响应都满足：|(t;t0,x0,0)-xe|,t t0+T(,t0),而且而且时变系统时变系统：如果从任一初态如果从任一初态x0的受扰运动均为渐近稳定的的受扰运动均为渐近稳定的，线性系统：线性系统：渐近稳定渐近稳定 大范围渐近稳定大范围渐近稳定。记记：=Sisl.=一致一致Sisl.=AS.=一致一致AS.=大范围大范围AS.=大范围一致大范围一致AS.几种稳定定义的包含关系：几种稳定定义的包含关系：线性系统线性系统：则称平衡状态是则称平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的的。大范围渐近稳定也称为全局渐近稳定。大范围渐近稳定也称为全局渐近稳定。（小范围渐近稳定也称为局部渐近稳定（小范围渐近稳定也称为局部渐近稳定。）。）xe为大范围渐近稳定：为大范围渐近稳定：(BIBO稳定稳定Bounded Input,Bounded Output Stability)零初始条件下，若输入零初始条件下，若输入u(t)有界，则输出有界，则输出y(t)也有界也有界,称为称为BIBO稳定。稳定。(4)有界输入有界状态有界输入有界状态稳定稳定：(BIBSBounded Input,Bounded State Stabrlrty)任意初始条件下，若输入任意初始条件下，若输入u(t)有界，则状态有界，则状态x(t)有界有界，称为称为BIBS稳定稳定。(3)有界输入有界输出有界输入有界输出稳定稳定：4-3 渐近稳定渐近稳定(AS)(AS)及其判据及其判据 4-3-1 线性定常连续系统的渐近稳定性线性定常连续系统的渐近稳定性 线性定常连续系统线性定常连续系统：若若u(t)=0,t0;对任意对任意x(0),有有 称为系统是渐近稳定的。称为系统是渐近稳定的。定理定理 特征值判据特征值判据 线性定常连续系统为渐近稳定的充线性定常连续系统为渐近稳定的充要条件是：要条件是：系统矩阵系统矩阵A的全部特征值都具有负实部，即的全部特征值都具有负实部，即 iA的特征值的特征值。几个判据几个判据 1必要条件判据必要条件判据 若线性定常系统为若线性定常系统为AS，则特征多项式则特征多项式 的系数的系数 i(i=0,1,n-1)必全为正必全为正：1）系统为系统为AS i0(i=0,1,n-1)；2）有缺项或有负的有缺项或有负的系统不是系统不是AS。2Routh-hurwitz判据判据（阵列表形式阵列表形式）。）。3连分式判据连分式判据（也称（也称Hurwitz判据判据）可记成可记成：线性定常系统为线性定常系统为AS的充要条件判据的充要条件判据：例例 03系数系数ki(i=1,2,3,4)全为正，系统为全为正，系统为AS。4Hurwitz 行列式判据行列式判据:5Lienardchipart 判据判据 只需要计算一半只需要计算一半Hurwitz行列式行列式。例例 例例 4-3-2 线性定常离散系统的渐近稳定性线性定常离散系统的渐近稳定性 若对于任意若对于任意x(0),有有 定理定理 特征值判据特征值判据 线性定常离散系统渐近稳定的充要条件为线性定常离散系统渐近稳定的充要条件为：G的所有特征值的幅值均小于的所有特征值的幅值均小于1，即即（即即G的特征值的特征值 i均位于均位于Z平面的单位圆内平面的单位圆内）。）。1)将将Z域的单位圆内变换到域的单位圆内变换到S域的左半平面域的左半平面。可取双线性变换可取双线性变换：2)将将d(z)变换成变换成d(s)，利用连续系统的判据，利用连续系统的判据，判定对应的判定对应的d(s)的稳定性的稳定性。而而d(s)与与d(z)的稳定性的情况是一致的。的稳定性的情况是一致的。双线性变换双线性变换 判据判据 域变换法域变换法:-11ZS-1-11 1 S=0-j,Z=1;S=0-j1,Z=j1;S=0+j0,Z=-1;S=0+j1,Z=-j1;S=0+j ,Z=1;S=-+j0,Z=1.4-4 lyapunovlyapunov意义下的稳定意义下的稳定 线性定常连续系统：线性定常连续系统：若对于若对于u(t)=0,t0 及任意及任意 x(0),有有 称此系统是称此系统是i.S.L稳定的稳定的。即即t 时时，x(t)有界有界。离散系统：离散系统：对于对于u(k)=0,k 0及任意及任意x(0)，有：有：定理定理 特征值判据特征值判据 线性定常连续系统是线性定常连续系统是Sisl的充要条件是：的充要条件是：系统矩阵的所有特征值均具有非正（即为负或零）实部，系统矩阵的所有特征值均具有非正（即为负或零）实部，且具且具有零实部的特征值均对应于单初等因子。有零实部的特征值均对应于单初等因子。具有零实部的特征值的情况：具有零实部的特征值的情况：若有某个特征值若有某个特征值 i，Re(i)=0，则在则在x(t)中会出现中会出现 形式的项形式的项（i为初等因子的指数为初等因子的指数）。）。若该若该 i对应于单初等因子对应于单初等因子(i=1)，该项为该项为 则系则系统是统是i.s.l 稳定的稳定的；若若 i 对应于重初等因子，则系统不是对应于重初等因子，则系统不是i.s.l 稳定的稳定的。例例（不受外部影响即没有输入作用的系统称为自治系统。不受外部影响即没有输入作用的系统称为自治系统。）x2、x3为任意数为任意数。该系统的特征方程：该系统的特征方程：=0为特征方程的二重根为特征方程的二重根。三个初等因子，每个都是单重的。三个初等因子，每个都是单重的。该系统的响应：该系统的响应：例例 x(k+1)=Gx(k)，其中其中 满足满足Sisl的定义的定义，但不是但不是AS。线性定常线性定常离散系统离散系统为为Sisl的充要条件是的充要条件是：且且 i=1时的时的 i对应于单初等因子对应于单初等因子。2=3=1，对应于重初等因子对应于重初等因子 系统不是系统不是i.s.l 稳定的稳定的。事实上事实上，显然可得结论显然可得结论：线性定常系统，若存在特征值线性定常系统，若存在特征值 i，Re(i)=0，（，（离散系统离散系统，i=1）,如如该特征值是特征方程的单根该特征值是特征方程的单根，则则系统为系统为Sisl；如如不是单根不是单根，则则系统可能不是系统可能不是Sisl。4-5 4-5 有界输入有界输出有界输入有界输出(BIBO)(BIBO)稳定稳定 定义定义 线性因果系统，任意线性因果系统，任意t0，x(t0)=0,若对应于任意有界输入若对应于任意有界输入u(t),即即所产生的输出所产生的输出y(t)也有界，即也有界，即 则称该系统为有界输入有界输出则称该系统为有界输入有界输出(BIBO)稳定稳定。定理定理 线性定常系统是线性定常系统是BIBO稳定的充要条件是稳定的充要条件是：式中，式中，h()为系统的脉冲响应矩阵为系统的脉冲响应矩阵。证明证明 a)充分性：充分性：见教材见教材P107式式(3.109)b)必要性：必要性：即，如果系统为即，如果系统为BIBO用反证法：设存在某一个时刻用反证法：设存在某一个时刻t1t0,),有有：先考虑单输入单输出系统：先考虑单输入单输出系统：可构造一个有界输入可构造一个有界输入：对应的输出：对应的输出：再考虑再考虑多输入多输出多输入多输出系统，可令系统，可令：是由于是由于 ,所造成。所造成。那么那么，y(t)中至少有一分量中至少有一分量 于是于是，y(t)无界无界，这与前提矛盾。这与前提矛盾。所以，假设不成立，即不存在所以，假设不成立，即不存在t1t0,)，而输出而输出y(t)有界有界。必要性得证。必要性得证。定理定理 线性定常系统为线性定常系统为BIBO稳定的充要条件是稳定的充要条件是：的所有极点均具有负实部的所有极点均具有负实部(均在开左半均在开左半S平面内平面内)。证：证：系统为系统为BIBO稳定的充要条件为稳定的充要条件为：G(s)中的元素能展开为形如中的元素能展开为形如 的有限项之和，的有限项之和，其中其中Pi为为G(s)的极点之一的极点之一。对应地对应地，h(t)中元素为形如中元素为形如 的有限项之和的有限项之和，因此，积分因此，积分 绝对可积。绝对可积。其充要条件是对每个其充要条件是对每个Pi，总有总有Re(Pi)0，即即G(s)的所有极点都在开左半的所有极点都在开左半S平面内平面内。所以所以，系统为系统为AS 系统为系统为BIBO 稳定的稳定的。例：例：4-6 有界输入有界状态有界输入有界状态(BIBS)(BIBS)稳定稳定 定义定义 线性因果系统，若对于线性因果系统，若对于|u(t)|Mu,t 0,及任意及任意x(0)，有有|x(t)|Mx,t 0,则称此系统为有界输入有界状态则称此系统为有界输入有界状态(BIBS)稳定稳定。定理定理 线性定常系统为线性定常系统为BIBS稳定的充要条件稳定的充要条件：1）系统矩阵系统矩阵A的全部特征值都在闭左半平面内的全部特征值都在闭左半平面内；2）每个在每个在j 轴上的特征值均对应于单初等因子轴上的特征值均对应于单初等因子；3）(sI-A)-1B的极点都在开左半平面内的极点都在开左半平面内。四种稳定性的包含关系四种稳定性的包含关系 Re(Pi)0,则称二次型则称二次型f为为正定正定的的，Q称为正定矩称为正定矩阵，记为阵，记为Q0。x 0,若若xTQx 0,，则称二次型则称二次型f为为半正定半正定的的，Q称为半称为半正定矩阵，记为为正定矩阵，记为为Q0。若若xTQx 0(0),称称f为负定的为负定的(半负定的半负定的)，Q称为称为负定负定(半半负定负定)矩阵，记为矩阵，记为 Q0(0)。若若f既不是半正定又不是半负定，则称为既不是半正定又不是半负定，则称为不定不定的的。几个结论：几个结论：结论结论1：通过满秩线性变换通过满秩线性变换，x=Py，二次型二次型f可写成可写成：(3)式称为二次型式称为二次型f的一个平方和形式。其中的一个平方和形式。其中r=rank(Q)。进一步进一步，f可写成可写成：(4)式称为二次型的规范形式称为二次型的规范形(型型)。其中其中p称为称为f的正惯性指数的正惯性指数；r-p称为称为f的负惯性指数的负惯性指数；p-(r-p)=2p-r，称称为为f的符号差的符号差。结论结论2：任意实二次型，经过适当的满秩线性变换，任意实二次型，经过适当的满秩线性变换，总可以变成规范型，规范型是唯一的总可以变成规范型，规范型是唯一的。结论结论3：实二次型实二次型f(x1,x2,xn)=xTQx为正定的充要条件是为正定的充要条件是p=r=n；为半正定的充要条件是为半正定的充要条件是p=rn；为负定的充要条件是为负定的充要条件是p=0，r=n；为半负定的充要条件是为半负定的充要条件是p=0,r0，则则 i(i=1,2,n)为为Q的特征值的特征值;结论结论8：Sylvester（希尔维斯特）判据希尔维斯特）判据：二次型二次型f(x1,x2,xn)=xTQx为正定的充要条件是为正定的充要条件是Q的行列式以及它的多阶顺序主子式均为正，即的行列式以及它的多阶顺序主子式均为正，即 4-7-2 Lyapunov稳定性定理稳定性定理 引例引例 如图所示如图所示:外力外力F0=0，得齐次方程得齐次方程 则则：平衡状态平衡状态：c F0 ykm 给定系统给定系统找找Lyapunov函数函数V(x)：对于线性定常系统，可选对于线性定常系统，可选Lyapunov函数函数V(x)：(1)V(x)=xTQx,Q0V(x)为正定二次型为正定二次型。V(x)称为二次型称为二次型Lyapunov函数函数。定理定理 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。例例 设系统的状态方程为设系统的状态方程为解：解：由平衡点方程得由平衡点方程得解得唯一的平衡点为解得唯一的平衡点为x1=0,x2=0,即即xe=0,为为坐标原点。选坐标原点。选故系统是渐近稳定的；且是大范围渐近稳定的。故系统是渐近稳定的；且是大范围渐近稳定的。若若V(x)为正定的为正定的，则此系统是则此系统是渐近稳定渐近稳定的的。定理定理 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 若若V(x)为正定的，为正定的，则此系统是则此系统是渐近稳定渐近稳定的的。试确定系统平衡状态的稳定性试确定系统平衡状态的稳定性。例例 设系统的状态方程为设系统的状态方程为解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选可见系统在可见系统在xe=0处是稳定的，但不是渐近稳定的处是稳定的，但不是渐近稳定的。定理定理 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。例例 设系统的状态方程为设系统的状态方程为若若V(x)为正定的为正定的，则此系统是则此系统是不稳定不稳定的的。解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选可见系统在可见系统在xe=0处是不稳定的。处是不稳定的。定理定理 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 若若V(x)为正定的，为正定的，则此系统是则此系统是不稳定不稳定的的。试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。例例 设系统的状态方程为设系统的状态方程为解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选由于当由于当x1为任意值为任意值，x2=0时时 而而所以所以x2=0是暂时的，是暂时的，不会恒等于零，故系统是不不会恒等于零，故系统是不稳定的。稳定的。定理定理 线性定常自治系统线性定常自治系统 若存在二次型若存在二次型Lyapunov函数，则此系统是函数，则此系统是渐近稳定渐近稳定的的。证明：证明：选定二次型选定二次型Lyapunov函数为函数为V(x)=xTQx，Q0,由结论由结论7，由由(a)有有：又由又由：4-7-3 线性定常系统的线性定常系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 但由但由(b)式为式为“”，又，又V(x)0 又由又由(a)式式：证毕。证毕。因因k0,故故M0(正定正定)。由此，给出由此，给出检验任意函数是否为检验任意函数是否为lyapunov函数的方法函数的方法：1）选一实数对称矩阵选一实数对称矩阵Q0.2）由由ATQ+QA=-M，算出算出M.3）若若M0,则则V(x)=xTQx是一个是一个lyapunov函数，系统是函数，系统是AS；若若M0,则需另选一则需另选一Q0，再作检验再作检验。其平衡态其平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件是为渐近稳定的充要条件是：对任意正定对称矩阵对任意正定对称矩阵M，则存在一个正定对称矩阵则存在一个正定对称矩阵Q，满足满足 ATQ+QA=-M (称为称为lyapunov方程方程)。Lyapurov函数法判定线性定常系统为函数法判定线性定常系统为AS：定理定理 线性定常系统线性定常系统例：例：某系统某系统解解:选选M=I,由由ATQ+QA=-M，qij=qji.注：由于注：由于Q的对称性，只有的对称性，只有 个未知数个未知数。其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性。用用Sylvester判据判据：Q0 系统是系统是AS.