线性微分方程通解的结构课件

线性微分方程解的结构 第六节第六节二、二阶线性微分方程解的性质二、二阶线性微分方程解的性质三、二阶线性微分方程解的结构三、二阶线性微分方程解的结构 第十二章第十二章 线性微分方程解的结构 第六节二、二阶线性微分方程解的性质三、二、二阶线性微分方程解的性质二、二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质二、二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质证证00性质性质2证00性质2性质性质3性质性质4(非齐次线性方程非齐次线性方程解的叠加原理解的叠加原理)注注 性质性质1 性性质质4可推广到可推广到n阶线性微分方阶线性微分方程的情形程的情形.性质3性质4(非齐次线性方程解的叠加原理)注 性质1例例2的解，的解，解解例2的解，解问题问题1三、二阶线性微分方程解的结构三、二阶线性微分方程解的结构回顾：回顾：问题1三、二阶线性微分方程解的结构回顾：问题问题2答答:不一定不一定.的解，的解，例如：例如：是某二阶齐次线性方程的解是某二阶齐次线性方程的解,也是齐次线性方程的解也是齐次线性方程的解 并不是通解并不是通解.但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题,还需引入还需引入函数的函数的线性相关线性相关与与线性无关线性无关概念概念.问题2答:不一定.的解，例如：是某二阶齐次线性方程的解,也是定义定义12.1是定义在是定义在区间区间 I 上的上的n 个函数个函数,使得使得则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关；否则称为；否则称为 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数定义12.1是定义在区间 I 上的n 个函数,使得则称这 n例例3下列各函数组在给定区间上是线性相关下列各函数组在给定区间上是线性相关还是线性无关？还是线性无关？线性无关线性无关解解例3下列各函数组在给定区间上是线性相关线性无关解故该函数组在任何区间故该函数组在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;解解故该函数组在任何区间 I 上都线性相关;解特别地特别地,对于两个函数的情形：对于两个函数的情形：定理定理例如：例如：特别地,对于两个函数的情形：定理例如：注注可以证明：可以证明：注可以证明：1.齐次线性微分方程解的结构齐次线性微分方程解的结构推论推论n个线性无关的特解，则此方程的通解为个线性无关的特解，则此方程的通解为方程：方程：如果如果 y1(x)与与 y2(x)是方程是方程(6.1)的的两个线性无关两个线性无关的的特解特解,那么那么 就是方程就是方程(6.1)的通的通解解.1.齐次线性微分方程解的结构推论n个线性无关的特解，则此方程验证：验证：例例5验证：例5定理定理12.2(二阶非齐次线性方程二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构的解的结构)2.非齐次线性微分方程解的结构非齐次线性微分方程解的结构定理12.2(二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构)2.证证 由由性质性质3,可知可知是非齐次线性方程是非齐次线性方程(6.2)的解的解,又又Y 中含有中含有两个独立任意常数，因而两个独立任意常数，因而也含有两个独立任意常数，因而它是也含有两个独立任意常数，因而它是(6.2)的通解的通解.证 由性质3,可知是非齐次线性方程(6.2)的解,又Y 例例6例6例例7解解(1)由由性质性质3，知知(2)例7解(1)由性质3，知(2)齐次线性方程齐次线性方程(2)的通解为：的通解为：由定理由定理12.2，知，知原方程原方程(1)的通解为：的通解为：齐次线性方程(2)的通解为：由定理12.2，知原方程(1)的求二阶非齐次线性微分方程求二阶非齐次线性微分方程(6.2)的通解的通解的的关键：关键：注注1确定与其相对应的二阶齐次线性方程确定与其相对应的二阶齐次线性方程 (6.1)的两个线性无关的解的两个线性无关的解;2求求(6.2)的一个特解的一个特解.求二阶非齐次线性微分方程(6.2)的通解注1确定与其相对内容小结内容小结解的叠加原理解的叠加原理函数组线性相关与线性无关函数组线性相关与线性无关1、二阶线性微分方程解的性质、二阶线性微分方程解的性质2、二阶线性微分方程解的结构、二阶线性微分方程解的结构内容小结解的叠加原理函数组线性相关与线性无关1、二阶线性微分思考题思考题思考题思考题解答思考题解答代入原方程，得代入原方程，得思考题解答代入原方程，得线性微分方程通解的结构课件