线性变换的矩阵课件

返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页教学目标：教学目标：掌握线性变换的矩阵的定义与性质掌握线性变换的矩阵的定义与性质 6.3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵教学难点：教学难点：线性变换矩阵的性质线性变换矩阵的性质 授课题目：授课题目：6.1 线性变换的矩阵线性变换的矩阵授课时数：授课时数：4学时学时教学重点：教学重点：线性变换矩阵的定义线性变换矩阵的定义 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一一.线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示1)V的任一线性变换的任一线性变换，由它在基，由它在基1，2，n 上的作用惟一确定，即如果上的作用惟一确定，即如果(i)(i)(L(V),i=1,2,n),则则=;定理定理6.3.1设设V是数域是数域F上的一个上的一个 n 维线性空间，维线性空间，1，2，n 是是V的一个基的一个基1.线性变换对基的作用的重要性线性变换对基的作用的重要性返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证只须证证只须证2）设设=x11+x22+xnn是是V的任意向量，的任意向量，规定规定V的一个变换的一个变换:()=x11+x22,xnn.这时，有这时，有(i)=i,i=1,2,n.以下我们证明以下我们证明是是V的线性变换的线性变换2)任给任给1，2，nV，必存在，必存在V的惟一的惟一线性变换线性变换，使，使(i)=i(i=1,2,n).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页设设=y11+y22+ynnV,+=(x1+y1)1+(x2+y2)2+(xn+yn)n.于是于是(+)=(x1+y1)1+(x2+y2)2+(xn+yn)n=(x11+x22+xnn)+(y11+y22+ynn)=()+(),(k)=k x11+k x22+k xnn=k().所以，所以，是是V的满足定理所要求的条件和的线性的满足定理所要求的条件和的线性变换变换返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如果如果L(V),且且(i)=i,i=1,2,n,=x11+x22+xnnV,则则()=x1(1)+x2(2)+xn(n)=x11+x22+xnn=().所以，所以，返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定定义1设1，2，n是数域是数域F上上的的n维线性空性空间V的一个基，的一个基，L(V)基向量的象可由基基向量的象可由基线性表示：性表示：2.线性变换矩阵的定义线性变换矩阵的定义返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页我我们把（把（1）写成矩）写成矩阵等式的形式等式的形式(1),(2),(n)=(1,2,n)A (2)其中其中矩矩阵A称称为线性性变换在基在基1，2，n下的矩下的矩阵返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1求求F3x的线性变换的线性变换：(f(x)=2 f(x)-f(x)在基在基1,x,x2,x3下的矩阵下的矩阵解因为解因为(1)=2=2+0 x+0 x2+0 x3,(x)=2 x-1=-1+2 x+0 x2+0 x3(x2)=2 x2-2 x=0-2 x+2 x2+0 x3(x3)=2 x3-3 x2=0+0 x-3 x2+2 x3,所以所以在基在基 1,x,x2,x3 下的矩阵是下的矩阵是3.几个例子几个例子返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页采用矩采用矩阵形式的写法形式的写法为(1),(x),(x2),(x3)=(1,x,x2,x3)A例例2求求M2(F)的的线性性变换：(X)=返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解因解因为 (E11)=a E11+0 E12+c E21+0 E22,(E12)=0 E11+a E12+0 E21+c E22,(E21)=b E11+0 E12+d E21+0 E22,(E22)=0 E11+b E12+0 E21+d E22,在基在基E11,E12,E21,E22下的矩下的矩阵故故在基在基E11,E12,E21,E22下的矩下的矩阵是是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3设设是是F3的一个线性变换，的一个线性变换，1（1，0，0），），2（0，1，0），），3（0，0，1），），(1)（2，-1，3），），(2)（-1，0，4），），(3)（0，-5，5）求求在标准基在标准基1，2，3下的矩阵下的矩阵解由于解由于 (1)=21-2 +33,(2)=-1+02 +43,(3)=01-52 +53,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页有（有（(1)，(2)，(3)）（1，2，3）即即在基在基1，2，3 下的矩下的矩阵是是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一般地，一般地，Fn的一个的一个线性性变换在在标准基准基1，2，n下的矩下的矩阵 A 就是把就是把(i)的分量作列排成的的分量作列排成的 n 阶方方阵.例例4单位位变换在任何基下的矩在任何基下的矩阵都是都是单位位矩矩阵I数乘数乘变换k在任何基下的矩在任何基下的矩阵都是都是数量矩数量矩阵kI返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 在在V中取定一个基后，通中取定一个基后，通过（2）式，我）式，我们在在L(V)与与Mn(F)之之间建立了一个映射建立了一个映射，它把，它把每个每个L(V)映成映成在在该基下的矩基下的矩阵AMn(F)：A定理定理6.3.16.3.1的的2 2）说明明是双射是双射这个映射的重要性个映射的重要性还在于它能保持加法、数乘在于它能保持加法、数乘和乘法运算和乘法运算二二.L(V)与与Mn(F)之间之间的密切关系的密切关系1.的性质的性质返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.3.2 L(V)到到Mn(F)的上述映射的上述映射具有具有以下性质：以下性质：1)对任意的对任意的，L(V)，有，有 （+）（）+（）；）；2)对任意的对任意的L(V),kF,有有(k)=k();3）对任意的）对任意的，L(V)，有，有 （）（）（）；）；返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4)若若L(V)，可逆，则可逆，则 （）A是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且（-1）A-1反之，若反之，若A可逆，则可逆，则也可逆也可逆证令证令()=A=(aij)n n，()=B=(bij)nn,即即(1),(2),(n)=(1,2,n)A,(1),(2),(n)=(1,2,n)B.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1)(+)(i)=(i)+(i)=(a1i+b1i)1+(a2i+b2i)2+(ani+bni)n,i=1,2,n.由此可得由此可得(+)(1),(+)(2),(+)(n)=(1,2,n)(A+B),即即(+)=A+B=()+().返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2)(k)(i)=ka1i1+ka2i2+kan in,i=1,2,n.由此可得由此可得(k)(1),(k)(2),(k)(n)=(1,2,n)(kA),即即 (k)=kA=k().返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3)(j)=(j)j=1,2,n.由此可得由此可得(1),(2),(n)=(1),(2),(n)B=(1,2,n)(AB),即即()=AB=()().=()=返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4）可逆时，可逆时，-1L(V),-1=.(-1)=()(-1)=A(-1)=()=In,所以，所以，A可逆，且可逆，且A-1=(-1).若若A可逆，有可逆，有AA-1=In 设设()=A-1,()=In=AA-1=()()=()=A-1A=()()=().于是有于是有=，即，即可逆可逆返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 定理定理6.3.2说明，双射说明，双射除了是除了是F上的两个上的两个线性空间线性空间L(V)和和Mn(F)之间的一个同构映射外，之间的一个同构映射外，还保持乘法运算和可逆性这样，我们在还保持乘法运算和可逆性这样，我们在L(V)与与Mn(F)之间建立了十分密切的联系之间建立了十分密切的联系利用线性变换的矩阵可以直接计算向量的象利用线性变换的矩阵可以直接计算向量的象2.线性变换矩阵的一个应用线性变换矩阵的一个应用返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.3.3设V是数域是数域F上的一个上的一个n维线性空性空间，L(V)，在基在基1，2，n下的矩下的矩阵是是A，如果，如果V中的向量中的向量在在这个基下的坐个基下的坐标是（是（x1,x2，xn），而），而()在在该基下的坐基下的坐标是（是（y1,y2,，yn）那么）那么返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证由假由假设（1），），（2），），（n）=(1，2，n)A=x11+x22+xnn =(1，2，n)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页是是V的的线性性变换，所以，所以()=x1(1)+x2(2)+xn(n)=(1)，(2)，(n)=(1，2，n)A返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页另方面，由假另方面，由假设知知（）=(1，2，n)比比较（4）与（）与（5）两式，有）两式，有.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理6.3.4线性空间线性空间V的线性变换的线性变换在在V的两个基的两个基 1，2，n （6）1，2，n （7）线性变换的矩阵显然依赖于基的选择同一线性变换的矩阵显然依赖于基的选择同一线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的我们线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的我们来看线性变换在不同基下的矩阵之间的关系来看线性变换在不同基下的矩阵之间的关系三三.矩阵的相似矩阵的相似1.同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证因为证因为（1），），（2），），（n）=(1，2，n)A,（1），），（2），），（n）=(1，2，n)B,(1，2，n)=(1，2，n)T,下的矩阵分别是下的矩阵分别是A和和B，从（，从（6）到（）到（7）的过渡矩）的过渡矩阵是阵是T，那么，那么B=T-1AT.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 (1，2，n)B=（1），），（2），），（n）=（1），），（2），），（n）T=(1，2，n)AT=(1，2，n)T-1AT 故故B=T-1AT.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义2设设A,B是数域是数域F上的两个上的两个n阶方阵如果阶方阵如果存在存在F上的一个上的一个n阶可逆矩阵阶可逆矩阵T，使，使B=T-1AT，则，则称称B与与A相似或相似或A相似于相似于B，记为，记为AB.根据这个定义，定理根据这个定义，定理6.3.4说的是，说的是，n维线性维线性空间空间V的同一线性变换在两个基下的矩阵是相的同一线性变换在两个基下的矩阵是相似的似的2.相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页矩阵的相似关系具有如下性质：矩阵的相似关系具有如下性质：1)自反性自反性AA因为因为A=I-1AI;2)对称性如果对称性如果AB,那么那么BA,这是因为当这是因为当 B=T-1AT时，时，A=(T-1)-1BT-1;3)传递性如果传递性如果AB,BC,那么那么AC 这是因为当这是因为当B=T1-1AT1，且，且 C=T2-1BT2时，有时，有 C=T2-1(T1-1AT1)T2=(T1T2)-1A(T1T2).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 由于上述性质，我们可以把集合由于上述性质，我们可以把集合M n(F)中中的元素按相似关系分类，凡是彼此相似的矩阵的元素按相似关系分类，凡是彼此相似的矩阵属于同一类，不同的相似类之间没有公共元素属于同一类，不同的相似类之间没有公共元素下面的定理阐明了相似类的实际意义下面的定理阐明了相似类的实际意义定理定理6.3.5设设A,BMn(F),AB的充分必要条的充分必要条件是，它们是某个件是，它们是某个L(V)在两个基下的矩阵在两个基下的矩阵3.相似类的实际意义相似类的实际意义返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证充分性已由定理证充分性已由定理6.3.4证明证明由定理由定理6.3.1知知,存在存在F上的上的n维线性空间维线性空间V的一个的一个线性变换线性变换,使它在使它在V的基的基 1,2,n下的矩阵为下的矩阵为A因为因为AB,存在可逆矩阵存在可逆矩阵T使使B=T-1AT.令令 (1，2，n)（1，2，n）T，1，2，n也是也是V的一个基的一个基由定理由定理6.3.4，在这个基下的矩阵就是在这个基下的矩阵就是T-1ATB返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 从上面的讨论可以知道，从上面的讨论可以知道，L(V)中的一个中的一个线性变换在不同基下的矩阵组成一个线性变换在不同基下的矩阵组成一个Mn(F)中的相似类与该线性变换对应；不同的线性中的相似类与该线性变换对应；不同的线性变换与不同的相似矩阵类对应变换与不同的相似矩阵类对应返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 我们自然要问，对于线性变换我们自然要问，对于线性变换能否能否找到一个基，使找到一个基，使在这个基下的矩阵具有在这个基下的矩阵具有最简单的形式？换句话说，在最简单的形式？换句话说，在Mn(F)的每的每个相似类中，能否找到一个形式最简单的个相似类中，能否找到一个形式最简单的矩阵？矩阵？这就是矩阵的标准形的问题在后面这就是矩阵的标准形的问题在后面几节，我们将对其核心几节，我们将对其核心矩阵的对角化矩阵的对角化作较多的讨论作较多的讨论返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页习题习题6.31.求下列线性变换在所指定的基下的矩阵：求下列线性变换在所指定的基下的矩阵：1）在）在R3中，基为中，基为R3的标准基的标准基(x1,x2,x3)=(x1,x1+x2-3 x3,2 x1-x2-2 x3)2）在）在V2内，从原点引出两条彼此正交的单位内，从原点引出两条彼此正交的单位向量向量1，2作为作为V2的基，令的基，令是将是将V2的每的每一个向量旋转角一个向量旋转角的旋转变换；的旋转变换；返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3）设1=e3t,2=t e3t,3=t2 e3tV=L(1，2，3)是是R上的三上的三维向量空向量空间，线性性变换D是是V的微商的微商变换：D(f(x)=f(t);4）Fnx是是F上的上的线性空性空间它的它的线性性变换：(f(x)=f(x+1)-f(x).基基为01,i i=1,2,n;返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2.设3维线性空性空间V的的线性性变换在基在基1,2,3下的矩下的矩阵为5）在）在M2(F)中，中，线性性变换(X)=1)在基在基1，2，3下的矩下的矩阵；2)在基在基1,k2,3下的矩下的矩阵kF,k0;3)在基在基1+2,1,3下的矩下的矩阵基基为E11,E12,E21,E22