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25 逆矩阵逆矩阵 在实数运算中，若在实数运算中，若a0，则总能找到一个则总能找到一个数数 b,使得使得ab=ba=1，称，称b为为a的逆。的逆。定义定义214214 对于对于n n阶方阵阶方阵A A，若存在矩阵若存在矩阵B,B,使得使得 则称则称A A为可逆矩阵，简称为可逆矩阵，简称A A可逆。并可逆。并 称称B B为为A A的逆矩阵。的逆矩阵。定义定义214214的说明的说明：（1 1）逆矩阵只对方阵而言，且）逆矩阵只对方阵而言，且B B与与A A为同阶方阵为同阶方阵（2 2）A A、B B互为逆矩阵。互为逆矩阵。（3 3）若）若A A可逆，则其逆矩阵是唯一的可逆，则其逆矩阵是唯一的(因为若因为若B B、C C都是都是A A的逆矩阵，则有的逆矩阵，则有AB=BA=E,AC=CA=EAB=BA=E,AC=CA=E于是于是 B B,即即记为记为即若即若 则则=BE=BE=B(AC)=B(AC)=(BA)C=(BA)C=EC=EC=C=C）例如例如由于由于=E=E且且=E=E所以所以A A可逆，可逆，B B为为A A的逆矩阵的逆矩阵即即同时同时【例例1 1】设对角矩阵设对角矩阵，其中，其中证明证明A A可逆，且可逆，且证明：因为证明：因为=E=E且且=E=E所以，所以，A A可逆，且可逆，且 例（补）例（补）设方阵设方阵A A满足满足证明证明2A+E2A+E可逆，且可逆，且故故2A+E2A+E可逆，且可逆，且且且证明：因为证明：因为逆矩阵的逆矩阵的运算公式运算公式：3 3、若、若A A可逆，则可逆，则可逆，且可逆，且2 2、若、若A A可逆，则可逆，则1 1、若、若A A可逆，则可逆，则4 4、若、若A A可逆，数可逆，数则则可逆，且可逆，且5 5、若、若A A、B B是同阶可逆矩阵，则是同阶可逆矩阵，则ABAB可逆。且可逆。且3 3、若、若A A可逆，则可逆，则可逆，且可逆，且证明：证明：且且即即故故可逆，且可逆，且4 4、若、若A A可逆，数可逆，数则则可逆，且可逆，且证明：证明：且且即即故故可逆，且可逆，且注意注意：若：若A A、B B不是同阶方阵，该结论不成立不是同阶方阵，该结论不成立5 5、若、若A A、B B是同阶可逆矩阵，则是同阶可逆矩阵，则ABAB可逆。且可逆。且证明：证明：且且即即故故ABAB可逆。且可逆。且因为当因为当 时，时，但但A A-1-1和和 B B-1-1没意义没意义ABAB为为n n阶方阵，阶方阵，ABAB有可能可逆，有可能可逆，判断题：判断题：1、若、若A、B都是可逆矩阵，则都是可逆矩阵，则A+B也是可也是可逆矩阵。逆矩阵。2、若、若AB是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A、B也都是可逆也都是可逆矩阵。矩阵。3、若、若n阶方阵阶方阵AB是不可逆矩阵，则是不可逆矩阵，则A、B中至少有一个是不可逆矩阵。中至少有一个是不可逆矩阵。4、若、若A是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且AX=AY，则，则X=Y（因为因为A、B有可能都不是方阵）有可能都不是方阵）证明题：设方阵证明题：设方阵A A满足满足证明证明A A可逆，且可逆，且故故A A可逆，且可逆，且且且因为因为25 逆矩阵逆矩阵定义定义214214 对于对于n n阶方阵阶方阵A A，若存在矩阵若存在矩阵B,B,使得使得 则称则称A A为可逆矩阵，简称为可逆矩阵，简称A A可逆。并可逆。并 称称B B为为A A的逆矩阵。的逆矩阵。,即即记为记为定义定义214214的说明的说明：（1 1）逆矩阵只对方阵而言，且）逆矩阵只对方阵而言，且B B与与A A为同阶方阵为同阶方阵（2 2）A A、B B互为逆矩阵。互为逆矩阵。（3 3）若）若A A可逆，则其逆矩阵是唯一的可逆，则其逆矩阵是唯一的即若即若 则则上堂课主要内容：上堂课主要内容：逆矩阵的逆矩阵的运算公式运算公式：3 3、若、若A A可逆，则可逆，则可逆，且可逆，且2 2、若、若A A可逆，则可逆，则1 1、若、若A A可逆，则可逆，则4 4、若、若A A可逆，数可逆，数则则可逆，且可逆，且5 5、若、若A A、B B是同阶可逆矩阵，则是同阶可逆矩阵，则ABAB可逆。且可逆。且定义定义215 设设 是是n阶方阵阶方阵A的行列式的行列式 中元中元素素 的代数余子式，称矩阵的代数余子式，称矩阵为矩阵为矩阵A A的伴随矩阵的伴随矩阵元素元素 的代数余子式的代数余子式=一个数一个数Tn-1阶阶行列式行列式例如例如则则对对有有使得使得且且即即0 00000定理定理21 n阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是且当且当A A可逆时可逆时证明证明则存在则存在 ，使得，使得必要性：已知必要性：已知A A可逆，可逆，又因为又因为充分性：已知充分性：已知，由关系式，由关系式即即A A可逆，且可逆，且 例：判断矩阵例：判断矩阵若可逆，求其逆。若可逆，求其逆。所以所以A可逆，可逆，所以所以是否可逆，是否可逆，解解 因为因为且且=10【例例2】设设 ，判断，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。是否可逆，若可逆，求其逆。解解：=50，A可逆。可逆。且且所以所以课堂练习课堂练习 设设 ，判断，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。是否可逆，若可逆，求其逆。解：解：所以所以A可逆，可逆，推论推论 若若A、B为为同阶方阵，且同阶方阵，且AB=E,则则A、B 均可逆，且均可逆，且证明：证明：因为因为A A、B B为同阶方阵且为同阶方阵且AB=EAB=E有有由由定理定理2121知，知，A A、B B均可逆均可逆在在等式等式AB=EAB=E的的两边左乘两边左乘 得得在在等式等式AB=EAB=E的的两边右乘两边右乘 得得【例例（补补）】已知已知n阶方阵阶方阵A满足满足2A(A-E)=A3,证明证明E-A可逆，且可逆，且证明证明：可逆，且可逆，且由推论知：由推论知：【例例3 3】设方阵设方阵A A满足满足证明证明A A及及 A+2EA+2E可逆，并求它们的逆。可逆，并求它们的逆。证明：证明：故故A A可逆，且可逆，且又又故故A+2EA+2E可逆，且可逆，且=O=O=O=O由由【例例4】设分块矩阵设分块矩阵 ,其中其中A为为k阶可逆阶可逆 方阵，方阵，B为为kr阶矩阵，阶矩阵，C为为r阶可逆矩阵阶可逆矩阵,O为为 rk阶矩阵。证明矩阵阶矩阵。证明矩阵H可逆，并求其逆。可逆，并求其逆。证明：因为证明：因为A A、C C可逆，所以可逆，所以于是于是即即H H可逆可逆设设其中其中X X1111、X X2222分别是与分别是与A A、C C同阶的方阵同阶的方阵则则有有 即即故故（A、C可逆）可逆）特别地，当特别地，当B=O，且且 A、C可逆时可逆时有有推广至准对角矩阵，有推广至准对角矩阵，有若若，Ai为可逆方阵为可逆方阵则则A可逆，且可逆，且【例例（补）（补）】Cramer法则的另一种证明方法法则的另一种证明方法定理定理16（Cramer法则法则)若若n元线性方程元线性方程组组的的系数行列式系数行列式则该则该方程组有唯一解，且解为方程组有唯一解，且解为AX=B，A为为n阶方阵阶方阵系数行列式系数行列式A可逆可逆方程方程AX=B两边左乘两边左乘 ，即，即即即是方程组的一个解。是方程组的一个解。若若Y也是方程组的一个解，则有也是方程组的一个解，则有AY=B即即是方程组的唯一解。是方程组的唯一解。判断题：判断题：1、n阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A是非奇异的是非奇异的2、若、若A2不可逆，则不可逆，则A一定不可逆一定不可逆3、设、设A为为n阶方阵，且阶方阵，且 ，若存在，若存在B，使使 AB=O成立，则有成立，则有B=O。因为因为A可逆的可逆的A是非奇异的是非奇异的因为若因为若A2不可逆，则不可逆，则，A不可逆不可逆因为若因为若 ，则，则A可逆可逆则有则有A-1AB=A-1O成立成立，即，即B=O【例例（补补）】设设A为为n 阶可逆方阵阶可逆方阵 （1）求）求 （2）证明）证明A*可逆，并求其逆可逆，并求其逆解解：因为：因为A可逆，所以可逆，所以（2）由）由即即A*可逆，且可逆，且（1）由）由补充习题：补充习题：设方阵设方阵A A满足满足,证明证明A-6EA-6E及及A+4EA+4E可逆，并求它们的逆。可逆，并求它们的逆。归纳：归纳：主要概念：主要概念：其中其中 是是A的行列式的行列式 中元素中元素 的代数余子的代数余子式式2 2、伴随矩阵：对伴随矩阵：对n n阶方阵阶方阵A A，有，有1 1、逆矩阵：对于、逆矩阵：对于n n阶方阵阶方阵A A，若存在矩阵若存在矩阵B,B,使得使得 则称则称A A为可逆矩阵，简称为可逆矩阵，简称A A可逆。并可逆。并 称称B B为为A A的逆矩阵。的逆矩阵。,即即记为记为伴随矩阵伴随矩阵逆矩阵的逆矩阵的运算公式运算公式：3 3、若、若A A可逆，则可逆，则可逆，且可逆，且2 2、若、若A A可逆，则可逆，则1 1、若、若A A可逆，则可逆，则4 4、若、若A A可逆，数可逆，数则则可逆，且可逆，且5 5、若、若A A、B B是同阶可逆矩阵，则是同阶可逆矩阵，则ABAB可逆。且可逆。且1 1、n n阶方阵阶方阵A A与其伴随矩阵与其伴随矩阵 的关系的关系2 2、n n阶方阵阶方阵A A可逆的充要条件是可逆的充要条件是 且当且当A A可逆时可逆时3、若、若A、B为同阶方阵，且为同阶方阵，且AB=E,则则A、B 均可逆，且均可逆，且主要性质主要性质：
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