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上堂课主要内容：1、矩阵的乘法：设矩阵 ，由元素构成的矩阵称为矩阵A与矩阵B的乘积。记为 C=AB 注意：（1）只有当A的列数=B的行数时，AB才有意义（2）矩阵乘法不满足交换率。即ABBA（3）矩阵乘法不满足消去率 即：由AB=AC,且A O,不能得出B=C（4）由AB=O不能推出A=O或B=O2、方阵的幂注意：（2）（AB)k Ak Bk3、矩阵的转置 将矩阵A的行列互换得到的矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，简称转置。（3）一般情况下注意：(2)中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素（1）只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。（1）当A为mn矩阵时，当 为nm矩阵时记为4、方阵的行列式 由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成 的行列式，称为方阵A的行列式。4.注意：1.只有当A是方阵时，才有A的行列式 2.只有当A、B是同阶方阵时，才成立3.当A、B是同阶方阵时，有 ；23 几种特殊的矩阵一、对角矩阵二、数量矩阵三、三角矩阵上三角矩阵下三角矩阵四、对称矩阵与反对称矩阵定义213 若n阶方阵A 中的元素满足 (i,j=1,2,n),则称A为n阶对称矩阵。若n阶方阵B 中的元素满足 (i,j=1,2,n),则称B为n阶反对称矩阵。即n阶对称矩阵n阶反对称矩阵23 几种特殊的矩阵一、对角矩阵定义210 若n阶方阵A中的元素满足则称A为对角矩阵。即对角矩阵对角矩阵的性质：1.同阶对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵2.数t与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵3.对角矩阵的转置仍为对角矩阵且与原矩阵相同二、数量矩阵定义211 若对角矩阵A中的对角线元素满足 则称A为数量矩阵。即数量矩阵性质：用数量矩阵左乘或右乘（如果可乘）一 个矩阵的结果，等于用一个数乘于该矩阵即 若 为一数量矩阵，B为mn矩阵则BA=B三、三角矩阵定义212 若n阶方阵 中的元素满足 则称A为上三角矩阵。若n阶方阵 中的元素满足 ，则称B为下三角矩阵.即上三角矩阵下三角矩阵三角矩阵的性质：（1）同阶上（下）三角矩阵的和、差、积仍为上（下）三角矩阵。（2）数与上（下）三角矩阵的乘积仍为 上（下）三角矩阵。（3）上（下）三角矩阵的转置为下（上）三角矩阵四、对称矩阵与反对称矩阵定义213 若n阶方阵A 中的元素满足 (i,j=1,2,n),则称A为n阶对称矩阵。若n阶方阵B 中的元素满足 (i,j=1,2,n),则称B为n阶反对称矩阵。即n阶对称矩阵n阶反对称矩阵例如对称矩阵反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵的性质：（1）同阶对称矩阵（反对称矩阵）的和、差仍为 对称矩阵（反对称矩阵）（2）数与对称矩阵（反对称矩阵）的乘积仍为 对称矩阵（反对称矩阵）（3）n阶方阵A为对称矩阵的充要条件是（4）n阶方阵A为反对称矩阵的充要条件是注意：两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。例如证（3）n阶方阵A为对称矩阵的充要条件是若A是对称矩阵，即则若且即即所以A为对称矩阵【例1】已知A是n阶对称矩阵，B是n阶反对 称矩阵,证明AB+BA是反对称矩阵。证明：故 AB+BA是反对称矩阵【例（补）】设，其中E为n阶单位矩阵，B为n1列矩阵，证明A为对称矩阵证明：故 A为对称矩阵24 分块矩阵一、分块矩阵的定义：在矩阵A的行和列之间加进一些虚线，把A分成几个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵例如：46A的子块A的分块矩阵23例如对46232216二、分块矩阵的运算分块矩阵运算基本规则：把分块矩阵的每一个子块看成一个数，然后采用类似于普通矩阵的运算规则 来运算。1、分块矩阵的加（减）法设A、B都是mn矩阵，对A、B采用相同的分块方法，使 其中 与 有相同的行数和列数（i=1,2s;j=1,2t)则【例1】设求 A+B解：将矩阵A、B分块为则 A+B=所以 A+B=2、分块矩阵的数乘设分块矩阵，k为一实数则例如则3、分块矩阵的乘法设,即AB有意义把A、B分块成 AB=C=(Cij),例如要使C11有意义，必须：A的列的分法=B的行的分法3、分块矩阵的乘法设,即AB有意义把A、B分块成在对A、B分块时，A的列的分法=B的行的分法 AB=C=(Cij),则其中解：【例2】设求 AB则【例3】对mn线性方程组的矩阵表达AX=B,，若把A分块成于是线性方程组AX=B可表示成：则 其中若mn,还可以把A、X分块成则于是线性方程组AX=B又可表示成：【例4】设将B分块成即AB有意义则 AB=A将A分块成？4、分块矩阵的转置设分块矩阵则例如：则？=AT=5、特殊分块矩阵的行列式对n阶方阵有而对mn矩阵有意义吗？22【例5】设，证明 证明故特别地：对分块矩阵其中 为ki阶方阵，准对角矩阵有（1）（2）（3）同阶准对角矩阵的和、差、积仍为准 对角矩阵本节主要内容：一、分块矩阵的定义：在矩阵A的行和列之间加进一些虚线，把A分成几个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵二、分块矩阵的运算分块矩阵运算基本规则：把分块矩阵的每一个子块看成一个数，然后采用类似于普通矩阵的运算规则 来运算。1、分块矩阵的加（减）法设A、B都是mn矩阵，对A、B采用相同的分块方法，使 其中 与 有相同的行数和列数（i=1,2s;j=1,2t)则2、分块矩阵的数乘设分块矩阵，k为一实数则3、分块矩阵的乘法设,即AB有意义把A、B分块成在对A、B分块时，A的列的分法=B的行的分法 AB=C=(Cij),则其中【例3】对mn线性方程组的矩阵表达AX=B,，若把A分块成于是线性方程组AX=B可表示成：则 其中若mn,还可以把A、X分块成则于是线性方程组AX=B又可表示成：4、分块矩阵的转置设分块矩阵则5、特殊分块矩阵的行列式，则
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