线性代数之空间中的曲面与曲线课件

线性代数之空间中的曲面与曲线曲面(曲线):1.曲面(曲线)上的任一点的坐标都满足该方程.2.坐标满足方程的点都在该曲面(曲线)上.这一节我们主要研究：1.球面 2.柱面 3.旋转曲面 1.球面球面方程具有三个特点:1.三元二次方程.2.平方项的系数相同.3.交叉项的系数都是零.一般说来,满足这三个条件的方程也是球面方程.事实上,这样的方程可改写成:半径 r=2,球心 O(2,0,0).圆的半径球心到平面的距离2.柱面柱面:平行于给定直线并沿定曲线C移动的直线L所 形成的轨迹叫做柱面.准线:定曲线C叫做柱面的准线.母线:动直线L叫做柱面的母线.母线平行于z轴 一般地，含有两个变量的方程在平面几何中一般地，含有两个变量的方程在平面几何中表示一条曲线，而在空间几何中则表示一个柱面表示一条曲线，而在空间几何中则表示一个柱面,母线平行于不出现的那个变量对应的坐标轴母线平行于不出现的那个变量对应的坐标轴.具体具体地地:3.旋转曲面旋转曲面：平面曲线C 绕该平面上一条定直线L 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面母 线：曲线C旋 转 轴：定直线L 总之，在坐标面上的曲线绕其上一个轴旋转一周得到的旋转曲面方程可以这样得到：将曲线方程中与转轴相同的变量不动，把另一个变量换为它自己的平方与方程中未出现的变量的平方和的平方根即可.圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直 线旋转 一周所得的旋转面旋转双叶双曲面旋转单叶双曲面4.空间曲线注：由于过曲线C的曲面有无穷多，所以曲线的一般 方程不唯一.上面讨论的半球面与柱面的交线也可视为柱面与平面的交线.维维亚尼曲线二、空间曲线的参数方程与平面曲线一样，也可由参数方程表示空间曲线C.O设 为在xoy面上的投影，三、空间曲线在坐标面上的投影8.5 二次曲面截痕法:类似与医学中CT诊断的方法,用平行于坐 标面的平面截割所研究的曲面，考察截痕 的形状，然后综合出曲面的全貌.二次曲面：在空间解析几何中，称三元二次方程表示的曲面为二次曲面.研究路线:1.先研究标准方程表示的二次曲面:椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面、二次锥面.2.把二次曲面的一般方程转化成标准 方程.一、椭球面所以椭球面(1)完全包含在以原点为中心的一个长方体内.为了解该椭球面的形状，先考察坐标面与与该曲面的交线.这些交线都是椭圆.同样,用平行于yoz面和平行于zox面的平面截椭球面分别可得类似的结论.根据这些截痕，就可以知道椭球面的形状了.二、单叶双曲面 三、双叶双曲面 四、椭圆抛物面得椭圆抛物面的图形.不妨设p,q0.五、双曲抛物面（马鞍面）不妨设p,q0.仿照前面的讨论.可得双曲抛物面(马鞍面)的形状.六、二次锥面七、二次曲面的一般方程问在正交变换下化为椭圆柱面例：表示何种二次曲面解：记分别求A的属于，的特征向量，将其标准正交化，得A的标准正交的特征向量在正交变换下，原方程化为配方得作平移变换得即单叶双曲面