线性代数与空间解析几何课件

线性代数与空间解析几何 第二十讲第二十讲哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王王 宝宝 玲玲5.15.1 齐次线性方程组齐次线性方程组第五章 线性方程组1l齐次方程组齐次方程组l非非齐次方程组齐次方程组l线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用本章主要内容本章主要内容2阵阵5.1.1 齐次线性方程组的表示形齐次线性方程组的表示形式式3即即4只有零解的充要条件只有零解的充要条件；无穷多解的充要条件无穷多解的充要条件；解的性质及解集合的结构解的性质及解集合的结构；求解方法求解方法.齐次方程组的齐次方程组的内容内容5证证 AX=0 有非零解有非零解 x1 1+x2 2+xn n=0有非零解有非零解 A的列向量组的列向量组 1,2,n线性相线性相关关 r(A)=r(1,2,n)n.设设 阶矩阵阶矩阵,则齐次性方程组则齐次性方程组 AX=0 有非零解有非零解 r(A)n;AX=0 只有零解只有零解 r(A)=n.定理定理5.15.15.1.25.1.2 齐次线性方程组有解的条件齐次线性方程组有解的条件AX=0只有零解只有零解 x1 1+x2 2+xn n=0只只有零解有零解 A的列向量组的列向量组 1,2,n线性无线性无关关 r(A)=r(1,2,n)=n.6l若有非零解若有非零解,这些解具有哪些性质这些解具有哪些性质?l解集合的整体结构如何解集合的整体结构如何?问问题题也也是是 AX=0 的解的解.由由 是是AX=0的解的解,即即性质性质1 1也是也是 AX=0 的解的解.性质性质2 由由 是是AX=0的解的解,即即 k,5.1.35.1.3 齐次方程组解的性质及结构齐次方程组解的性质及结构7AX=0 的解集合构成向量空间的解集合构成向量空间,记记为为N(A),称其为称其为AX=0的的解空间解空间.定理定理5.25.2 若若AX=0 有非零解有非零解,则这些解的任意则这些解的任意线性组合仍是解线性组合仍是解,所以必有无穷多个解所以必有无穷多个解.由性质由性质1,2可知解集合对线性运算是封闭可知解集合对线性运算是封闭的的.所以得到如下结果所以得到如下结果:只要找到只要找到N(A)的一个基的一个基(基础解系基础解系),就能表示所有解就能表示所有解.其中其中P为可逆矩阵为可逆矩阵.注注 AX=0与与 PAX=0 是同解方程组是同解方程组.8则称则称 为为AX=0的的基础解系基础解系.定义定义 r(A)=r n,若若AX=0的一组解为的一组解为(1)线性无关线性无关;(2)AX=0 的任一解都可由这组解线性表示的任一解都可由这组解线性表示.称称的的通解通解为为AX=0（其中（其中k1,k2,kn-r为任意常数为任意常数).).齐次线性方程组的关键问题就是齐次线性方程组的关键问题就是求通解求通解而求通解的关键问题是而求通解的关键问题是求基础解系求基础解系.,且满足且满足：9定理定理5.3 5.3 设设 任一基础解系中均含有任一基础解系中均含有n r 解向解向量量,为为N(A)的一个基的一个基,即即(1)若若 则则 AX=0没有基础解系没有基础解系;(2)若若 则则 AX=0有基础解系有基础解系,且且dim(N(A)=证证N(A)=0 (2)(1)则则 AX=0没有基础解系没有基础解系.(求基础解系的方法求基础解系的方法)101.不妨设不妨设 A 的前的前r 个列向量线性无关个列向量线性无关C为行阶梯形矩阵为行阶梯形矩阵(行最简行最简).).11得同解方程组得同解方程组CX=0,即即2.前前r 个个变量为变量为基本未知量基本未知量,其余的其余的n-r个个 变量为变量为自由未知量自由未知量.(为为个个)令令123.代入同解的方程组代入同解的方程组CX=0中得中得从而得到从而得到AX=0的的n-r个解为个解为13且且线性无关线性无关.设设是是 AX=0的任一的任一解解,14下下证证 线性相线性相关关.令令 ,则则所以所以 线性相关线性相关,于是于是 可由可由 线性表线性表示示.所以所以 是是N(A)的一个的一个基基,dim(N(A)=即即15为方程组为方程组 AX=0的的基础解系基础解系.这样求出的这样求出的其中其中 为任意常数为任意常数.AX=0的通解为的通解为故故16(1)是解是解;(2);(2)线性无关线性无关;(3);(3)n-r(A)个个.2.2.求通解的三步求通解的三步:（行阶梯形或行阶梯形或行最简形行最简形）;写出同解方程组写出同解方程组CX=0.(3)写出通解写出通解(2)求出求出CX=0的基础解系的基础解系 ;(1)1.基础解系的三要素基础解系的三要素:总总 结结 其中其中 为任意常数为任意常数.17求下列方程组的基础解系及通解求下列方程组的基础解系及通解:解解 例例1 118得同解方程组得同解方程组令令得得基础解系基础解系19方程组的通解是方程组的通解是:其中其中 k1,k2 是任意常数是任意常数.20求下列方程组的基础解系求下列方程组的基础解系:解解用初等行变换化系数矩阵为阶梯形用初等行变换化系数矩阵为阶梯形:例例2 221得同解方程组为得同解方程组为:22令令代入上述方程组解得基础解系为代入上述方程组解得基础解系为:23 设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵阶矩阵 B 0且且 B 的每一列都是方程组的每一列都是方程组 AX=0的解的解，则则 A=.0例例3 324例例4 4 已知已知是是的的基础解系基础解系,若若,讨论讨论t t满足什么条件时满足什么条件时,也是也是的的基础解系基础解系.解解是是的解的解,且也是且也是4 4个个.只须证只须证线性无关线性无关.25线性无关线性无关即即所以当所以当t 1时时,也是也是的的基础解系基础解系.26例例5 5已知已知n阶矩阵阶矩阵A的各行元素之和均为的各行元素之和均为零零,且且r(A)=n-1,求线性方程组求线性方程组AX=0的通解的通解.解解 由由r(A)=n-1知知AX=0的的基础解系有一基础解系有一 个非零解向量个非零解向量.又又即即为所求通解为所求通解.k为任意常数为任意常数275.25.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组285.2.1非非齐次线性方程组的表示形式齐次线性方程组的表示形式称为称为 的导出组的导出组(2)阵阵增广增广矩阵矩阵：(A b)2930 何时方程组有解何时方程组有解?有唯一解、无穷多解有唯一解、无穷多解.解的性质及解集合的结构解的性质及解集合的结构；求解方法求解方法.非非齐次线性方程组的内容齐次线性方程组的内容31AX=b 有解有解 x1 1+x2 2+xn n=b 有解有解 b可由可由A的列向量的列向量 1,2,n线性表示线性表示 1,2,n与与 1,2,n,b等价等价 r(1,2,n)=r(1,2,n,b)定理定理5.45.2.2 非非齐次线性方程组有解的条件齐次线性方程组有解的条件方程组方程组 AX=b有解有解r(A)=r(A b)注注当当r(A)r(A b)方程组方程组 AX=b无解无解.r(A)=r(A b)得出定理得出定理32l若解不唯一若解不唯一,这些解具有哪些性质这些解具有哪些性质?l 解集合的整体结构如何解集合的整体结构如何?问问题题性质性质1 1 若若 1,2是是AX=b的解的解,A 1=b,A 2=b A(1-2)=A 1-A 2=b-b=0 1-2是是 AX=0的解的解.性质性质2 若若 是是 AX=0的解的解,是是AX=b的解的解 A(+)=A +A =0+b=b +是是AX=b的解的解.5.2.3 非非齐次方程组解的性质及结构齐次方程组解的性质及结构注注 非非齐次方程组有解的条件下齐次方程组有解的条件下,有两种情况有两种情况33(2)AX=b 有无穷多解有无穷多解 r(A)=r(A b)n,证证(1)AX=b有解有解,所以所以r(A)=r(A b)(1)AX=b有唯一解有唯一解r(A)=r(A b)=n.又因为又因为(1)的解唯一的解唯一,由由性质性质2知知(2)有唯一有唯一零解零解,所以所以r(A)=n,即即r(A)=r(A b)=n.定理定理5.55.5两个以上不同的解两个以上不同的解,则由则由性质性质1知知(2)有非有非零零因为因为 r(A)=r(A b)所以所以(1)有解有解,若有若有解解,这与这与r(A)=n矛盾矛盾.故故(1)只有唯一解只有唯一解.34(2)AX=b有解有解,所以所以r(A)=r(A b)又因为又因为(1)有无穷多解有无穷多解,由由性质性质2知知(2)有非零有非零解解,所以所以r(A)n,即即r(A)=r(A b)n.因为因为r(A)=r(A b)所以所以(1)有解有解,又因为又因为r(A)n,所以所以(2)有无穷多解有无穷多解,由由性质性质2知知(1)有无穷多解有无穷多解.注注 当当A为方阵时为方阵时AX=b有唯一解有唯一解351.AX=b与与 PAX=Pb 是同解方程组是同解方程组.其中其中P 为可逆矩阵为可逆矩阵.2.2.用初等行变换求解不妨设前用初等行变换求解不妨设前r列线性无关列线性无关(增增广广矩阵矩阵)求求 AX=b 的解的解36其中其中 所以所以知知时时,原方程组无解原方程组无解.时时,原方程组有唯一解原方程组有唯一解.时时,原方程组有无穷多解原方程组有无穷多解.通解为通解为为为(2)的基础解系，的基础解系，为为任意常数任意常数.的特解，的特解，为为(1)37预习非齐次方程组的解法预习非齐次方程组的解法及几何应用及几何应用(-),Bye!38