线性代数schmidt正交化方程组求解课件

几何与代数几何与代数几何与代数几何与代数 主讲主讲:王小六 线性代数的相关资料：线性代数的相关资料：1 Introduction to Linear Algebra，Gilbert Strang 著，麻省理工开放著，麻省理工开放课程链接：课程链接：http:/ Linear algebra and its applications/线性代数及其应用线性代数及其应用/美美 David C.Lay 著著3 Linear algebra with applications/线性代数线性代数/Steven J.Leon.著著4 东南大学线代精品课程网站东南大学线代精品课程网站http:/ 同济的，浙大唐明编写的，东大张小向编写的同济的，浙大唐明编写的，东大张小向编写的“习题书习题书”6 高等代数高等代数.定理定理问题问题方法方法/胡适耕，刘先忠编著胡适耕，刘先忠编著 O15/36 7 线性代数学习指导线性代数学习指导/樊恽樊恽,郑延履郑延履,刘合国编刘合国编 O151.2-42/18 8 高等代数高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 王萼芳王萼芳 石生明石生明 著，高等教育出版社著，高等教育出版社（较难，数学系教材）（较难，数学系教材）第四章 n维向量第第4节节向量的内积向量的内积 二二.正交向量组和正交向量组和Schmidt正交化方法正交化方法 正交正交向量组向量组 标准正交标准正交向量组向量组 正交基正交基标准正交基标准正交基1.概念概念 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积 发现的结论发现的结论 设设 1,2,s是标准正交向量组是标准正交向量组,且且 =k1 1+k2 2+ks s,则则ki=,i=1,2,s.2.结论结论 定理定理4.10.1,2,s正交正交线性无关线性无关.定理定理4.11 每个非零的向量空间每个非零的向量空间V 都有标准都有标准 正交基正交基.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积 1=1,SchmidtSchmidt正交化方法正交化方法(务必掌握务必掌握)：2=2 1,s=s 1 s 1再将再将 1,2,s单位化得单位化得:1=1|1|,2=2|2|,s=s|s|.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积 另外，从上述构造可总结：另外，从上述构造可总结：设设 1,2,s线性无关线性无关(s 2),则存则存 在一个正交向量组在一个正交向量组 1,2,s使得使得 1,2,t与与 1,2,t等价等价 (1 t s).第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积 第二章第二章第二章第二章 n n维列向量维列向量维列向量维列向量 2.6 2.6 内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵内积与正交矩阵 三三.正交矩阵正交矩阵(orthogonal matrix)定义定义 满足足QTQ=E 或或QQT=E(即即Q 1=QT)的的实方方阵Q称为称为正交矩阵正交矩阵,简称为简称为正交阵正交阵.定理定理4.12.设设Q为为n阶阶实方阵实方阵,则下列条件等价则下列条件等价:性质性质.(1)Q为正交阵为正交阵|Q|=1;(2)Q的行的行(列列)向量组构成向量组构成Rn的一组的一组 标准正交基标准正交基;(1)Q是是正交阵正交阵;(3)QT是是正交阵正交阵;(4)Q 1是是正交阵正交阵.(2)A,B为正交阵为正交阵 AB为正交阵为正交阵.例例 设设,是是 n n 维列向量维列向量,Q为为nn nn 的的正交矩阵正交矩阵,则则|Q|=|,=.Q,Q 的长度和夹角与的长度和夹角与,的长度和的长度和夹角相等夹角相等 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积 例如例如:Q=cos sin sin cos QT=cos sin sin cos QTQ=coscos2 2 +sinsin2 2 sinsin2 2 +coscos2 2 0 0 0 0=E.Q O x cos sin sin cos Q=对应的正交变换对应的正交变换 y 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.4 4.4 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积 O y x 1 0 0 1 Q=对应的正交变换对应的正交变换 1 0 0 1 Q=对应的正交变换对应的正交变换 Q O y x Q 第四章 n维向量第第5节节线性方程组解的结构线性方程组解的结构 行变换行变换4.5 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 一一.线性方程组的相容性线性方程组的相容性 回忆：回忆：A Rs n,b Rs,对于线性方程组对于线性方程组Ax=b,例例例例1 1 A,b阶梯形阶梯形A,b(1)Ax=b有解有解 A 与与(A,b)的非零行的非零行数相等数相等；(2)当当A 与与(A,b)的非零行数都等于的非零行数都等于n时时,Ax=b有唯一解；有唯一解；(3)当当A 与与(A,b)的非零行数的非零行数(记为记为r)相等相等且小于且小于n时时,Ax=b有无穷多解有无穷多解,通解中通解中含有含有n r 个自由未知量个自由未知量.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 行变换行变换4.5 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 一一.线性方程组的相容性线性方程组的相容性 回忆：回忆：A Rs n,b Rs,对于线性方程组对于线性方程组Ax=b,例例例例1 1 A,b阶梯形阶梯形A,bA 的非零行数的非零行数 =r(A)=r(A)；第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构(A,b)的非零行数的非零行数=r(A,b)=r(A,b).4.5 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 一一.线性方程组的相容性线性方程组的相容性 定理定理4.13.设设A Rs n,b Rs,则则(1)Ax=b有解有解r(A,b)=r(A);(2)当当r(A,b)=r(A)=n时时,Ax=b有有 唯一解唯一解;(3)当当r(A,b)=r(A)n时时,Ax=b 有有 无穷多解无穷多解,且通解中含有且通解中含有n r(A)个自由未知量个自由未知量.例例例例1 1 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 注注：对于矩阵方程：对于矩阵方程AX=B,有以下结论。有以下结论。AX=B 有解有解 r(A,B)=r(A)记记 B=(b1 b2 bt).则则 AX=B 有解有解 A(x1 x2 xt)=(b1 b2 bt)有解有解 Axj=bj 有解，有解，j=1,2,t.r(A,bj)=r(A),j=1,2,t.r(A,b1 b2 bt)=r(A).(思考思考)第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 二二.齐次线性方程组的解的结构齐次线性方程组的解的结构 另外另外,A =A(k )=k(A )=.事实上事实上,A =,A =A(+)=A +A =.1.设设A Rs n,下列集合构成下列集合构成Rn的一个子空间的一个子空间.R Rn n|A A =:=:=K(A)K(A)称其为称其为Ax=的的解空间解空间或矩阵或矩阵 A 的的核空间核空间(零空间零空间).设设A Rs n,称向量空间称向量空间K(A)的基为的基为 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=的的基础解系基础解系.定义定义第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 Ax=的解集的解集|A =1,2,s 线性无关线性无关 Ax=的的基础解系基础解系 可以由可以由 1,2,s 线性表示线性表示 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 2.Ax Ax=的一个基础解系的一个基础解系的一个基础解系的一个基础解系 1,2,s =k1 1+k2 2+ks s 任意数任意数任意数任意数 Ax=的的一般解一般解 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构例例1 设矩阵设矩阵A 经过一系列初等行变换可化为经过一系列初等行变换可化为11 0 1 30 0 1 0 -20 0 0 0 0求方程组求方程组Ax=的基础解系的基础解系.定理定理4.14.设设A Rs n,秩秩(A)=r.(1)若若r=n,则则Ax=没没有基础解系有基础解系;(2)若若r n,则则Ax=有基础解系有基础解系,且且 dimK(A)=n r.x x1 1 =c c1,1,r r+1+1x xr r+1+1 +c c1,1,r r+2+2x xr r+2+2 +c c1 1n nx xn n x x2 2 =c c2,2,r r+1+1x xr r+1+1 +c c2,2,r r+2+2x xr r+2+2 +c c2 2n nx xn n x xr r =c cr r,r r+1+1x xr r+1+1 +c cr r,r r+2+2x xr r+2+2 +c crnrnx xn n x xr r+1+1 =x xr r+1+1 x xr r+2+2 =x xr r+2+2 x xn n =x xn n 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构注解注解 =x xr r+1+1 +x xr r+2+2 +x xn n x x1 1 x x2 2 x xr r x xr r+1+1x xr r+2+2 x xn n c c1,1,r r+1+1 c c2,2,r r+1+1 c cr r,r r+1+1 1 10 00 0c c1,1,r r+2+2 c c2,2,r r+2+2 c cr r,r r+2+2 0 01 1 0 0 c c1 1n n c c2 2n n c crnrn 0 00 01 1定理定理4.14.设设A Rs n,秩秩(A)=r.(1)若若r=n,则则Ax=没没有基础解系有基础解系;(2)若若r n,则则Ax=有基础解系有基础解系,且且 dimK(A)=n r.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 1 1=,=,c c1,1,r r+1+1 c c2,2,r r+1+1 c cr r,r r+1+1 1 10 00 0c c1,1,r r+2+2 c c2,2,r r+2+2 c cr r,r r+2+2 0 01 1 0 0 c c1 1n n c c2 2n n c crnrn 0 00 01 1 2 2=,=,n n r r=.=.定理定理4.14.设设A Rs n,秩秩(A)=r.(1)若若r=n,则则Ax=没没有基础解系有基础解系;(2)若若r n,则则Ax=有基础解系有基础解系,且且 dimK(A)=n r.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组Ax=的基础解系的的基础解系的一般步骤：一般步骤：A A初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 行行行行阶阶阶阶梯梯梯梯形形形形秩秩秩秩(A A)n n?简简简简化化化化阶阶阶阶梯梯梯梯形形形形求得求得求得求得通解通解通解通解只有零解只有零解只有零解只有零解 N N 初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 Y Y求得基求得基求得基求得基础解系础解系础解系础解系第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 ,第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构例例2 设矩阵设矩阵A 经初等行变换化为经初等行变换化为10 2 0 30 1 1 0 -20 0 0 1 0求求Ax=的基础解系的基础解系.例例3 设矩阵设矩阵A 经初等行变换化为经初等行变换化为1-1 0 -1 0 0 1 1求核空间求核空间K(A)的基及维数的基及维数.(注意区别值域注意区别值域R(A),例例4.证明证明 r(ATA)=r(A).证明证明:设设A为为m n的矩阵的矩阵,x为为n维列向量维列向量.注意到注意到Ax=(ATA)x=同时，由同时，由(ATA)x=xT(ATA)x=0 (Ax)T(Ax)=0 Ax=.故故Ax=与与(ATA)x=同解同解,因此因此 nr(ATA)=nr(A).进而得进而得 r(ATA)=r(A).第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构K(A)=K(ATA)A可以是一个向量可以是一个向量 例例5 设设A,B分别是分别是sn,nt矩阵矩阵,证明：若证明：若 AB=O,则则 r(A)+r(B)n.(即为推论即为推论2.8)2.8)第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 三三.非齐次线性方程组的一般解非齐次线性方程组的一般解 1.Ax=b 的的导出组导出组:Ax=.性质性质1.设设 1,2都是都是 Ax=b 的解的解,则则 1 2是是 Ax=的解的解.性质性质2.是是Ax=b的解的解,是是Ax=的解的解,则则 +是是Ax=b的解的解.2.非齐次线性方程组的解向量的性质非齐次线性方程组的解向量的性质 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 定理定理4.15.*是是 Ax=b 的一个特解的一个特解 1,n r Ax=的的基础解系基础解系 Ax=b的的通解通解为为 x=*+k1 1+kn r n r.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构Ax=b 的的一般解一般解 3.解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组Am n x=b的一般步骤的一般步骤 A bA b 初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 行行行行阶阶阶阶梯梯梯梯形形形形秩秩秩秩(A A)=)=秩秩秩秩(A bA b)?简简简简化化化化阶阶阶阶梯梯梯梯形形形形求得求得求得求得Ax=bAx=b的的的的特解和特解和特解和特解和AxAx=的基础解系的基础解系无解无解无解无解N N 初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 Y Y求得求得求得求得Ax=bAx=b的一般解的一般解的一般解的一般解第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 例例6.求方程组求方程组 的一般解的一般解.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构13 2 1 1 -21 3 -2 4 1 74 11 8 0 5 3初等行变换初等行变换13 2 1 1 -20 -1 0 -4 1 110 0 -4 3 0 9初等行变换初等行变换10 0 -19/2 4 71/20 1 0 4 -1 -110 0 1 -3/4 0 -9/4 四四.在解析几何中的应用在解析几何中的应用 1.两直线的相对位置两直线的相对位置 A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 L1:L2:A3x+B3y+C3z+D3=0 A4x+B4y+C4z+D4=0 记记A=A1 B1 C1 A2 B2 C2A3 B3 C3A4 B4 C4,D=D1 D2 D3 D4.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 1.两直线的相对位置两直线的相对位置 A,D=A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2A3 B3 C3 D3A4 B4 C4 D4.重重 合合相相 交交平平 行行异异 面面无穷多解无穷多解唯一解唯一解无无 解解位置关系位置关系Ax=DAx=D秩秩无无 解解r(A)=r(A,D)=2r(A)=r(A,D)=3r(A)=2,r(A,D)=3r(A)=3,r(A,D)=4第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构有其它判有其它判断方法断方法 例例7.当参数当参数k取什么值时，取什么值时，直线直线L1:=y-1-3x-1 2z-4-4L2:=y+1-1x-1 2z-1k相交？相交？L1L2P1P2s1Q2Q1s2Q2注：改例注：改例子在第三子在第三章出现过章出现过。第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 2.三平面的相对位置三平面的相对位置 1:A1x+B1y+C1z+D1=0 2:A2x+B2y+C2z+D2=0 3:A3x+B3y+C3z+D3=0 记记A=A1 B1 C1 A2 B2 C2A3 B3 C3,A,D=A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2A3 B3 C3 D3.D=D1 D2 D3.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 重重 合合交于一线交于一线交于一点交于一点无交点无交点无穷多解无穷多解位置关系位置关系Ax=DAx=D秩秩无无 解解r(A)=r(A,D)=1r(A)=r(A,D)=2r(A)=r(A,D)=3r(A)+1=r(A,D)2.三平面的相对位置三平面的相对位置 A,D=A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2A3 B3 C3 D3.唯一解唯一解无穷多解无穷多解第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构 例例8 讨论下列三个平面的相对位置讨论下列三个平面的相对位置.1:x+y+bz=3;2:2x+(a+1)y+(b+1)z=7;3:(1-a)y+(2b-1)z=0.其中，其中，a,b 是参数是参数.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.5 4.5 方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构方程组解的结构课后注释：课后注释：一般来说，第一步假定只有一一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在的一个范围；在剩下的范围内，剩下的范围内，a,b 是一些具体的取值，我是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系断解的情况，从而判断平面的位置关系.第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.6 4.6 最小二乘解最小二乘解最小二乘解最小二乘解4.6 线性方程组的最小二乘解线性方程组的最小二乘解大东股份公司股票最近十天的收市价如大东股份公司股票最近十天的收市价如下表所示下表所示1 2 3 4 5 6 7 18.5 19.6 20.3 20.5 19.8 20.6 21.5假定天数假定天数 x与股票价格与股票价格 y 服从三次关系服从三次关系 y=ax3+bx2+cx+d将上述数据代入假定的方程中，得到七个以将上述数据代入假定的方程中，得到七个以 a,b,c,d为未知数的方程组为未知数的方程组,其未必有解！其未必有解！xyy=ax3+bx2+cx+d第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.6 4.6 最小二乘解最小二乘解最小二乘解最小二乘解 Ax=b 没有解，即没有解，即 Ax-b=没有解没有解 寻求最佳近似解寻求最佳近似解x0，使得：，使得：|Ax0 b|=min|Ax b|x Rn即寻找即寻找x0使得使得|Ax0 b|=min|a b|a R(A)b 假定假定Asn第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.6 4.6 最小二乘解最小二乘解最小二乘解最小二乘解 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 定理定理 4.16 假设假设V是是Rs的子空间，的子空间，b Rs,V,则则|-b|=min|a b|当且仅当当且仅当a a V -b 与与 V 中每个向量都正交中每个向量都正交.b V4.6 4.6 最小二乘解最小二乘解最小二乘解最小二乘解 Ax=b 没有解，即没有解，即 Ax-b=没有解没有解 寻求最佳近似解寻求最佳近似解x0，使得：，使得：|Ax0 b|=min|Ax b|x Rn即寻找即寻找x0 使得使得|Ax0 b|=min|a b|a R(A)b R(A)第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.6 4.6 最小二乘解最小二乘解最小二乘解最小二乘解 即寻找即寻找x0 使得使得|Ax0 b|=min|a b|a R(A)第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.6 4.6 最小二乘解最小二乘解最小二乘解最小二乘解 即寻找即寻找x0 使得使得 Ax0 b 与与 R(A)中的每个向量都正交中的每个向量都正交R(A)=L(1 2 n)定理定理定理定理 4.16 4.16 即寻找即寻找 x0 使得使得 Ax0 b 与与 1 2 n都正交都正交,i.e.,=iT(Ax0 b)=0,i=1,2,n.即寻找即寻找x0 使得使得|Ax0 b|=min|a b|a R(A)第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 4.6 4.6 最小二乘解最小二乘解最小二乘解最小二乘解 第四章第四章第四章第四章 n n维向量维向量维向量维向量 ATAx0=ATb.该方程一定有解该方程一定有解 x0（见习题四（见习题四(B)42）称其为称其为Ax=b的的正规方程正规方程，称其解为称其解为Ax=b的的最小二乘解最小二乘解.4.6 4.6 最小二乘解最小二乘解最小二乘解最小二乘解 作作 业业习题四习题四(B)25(1),26,27,29;30(1),31;32,35;36 40 上交时间上交时间：11月月29日（周二）日（周二）本门课程的内容体系本门课程的内容体系 本门课程：研究矩阵的理论本门课程：研究矩阵的理论第二章第二章 矩阵矩阵矩阵的定义和运算矩阵的定义和运算；可逆矩阵可逆矩阵:特殊矩阵特殊矩阵;分块矩阵分块矩阵:为了更方便的运算为了更方便的运算;初等变换初等变换:矩阵之间的一种变换；矩阵之间的一种变换；第五章第五章：相似变换：相似变换(方阵方阵)第六章第六章：可逆变换：可逆变换(实对称阵实对称阵)特征值特征值惯性指数惯性指数矩阵世界，矩阵世界，纷繁复杂，纷繁复杂，如何找到不变的永恒如何找到不变的永恒秩秩 第四章第四章：向量向量空间是一种特殊的矩阵空间空间是一种特殊的矩阵空间寻寻找找向向量量空空间间的的极极小小生生成成元元(基基)寻寻找找向向量量组组的的极极大大无无关关组组研研究究向向量量组组中中向向量量间间的的关关系系（线线性性相相关关性性）有了基有了基,就有就有了坐标；了坐标；定义内积定义内积,引入正交引入正交的概念的概念构造一组标准构造一组标准正交生成元正交生成元两个两个应用应用刻画矩阵刻画矩阵A的列空间的列空间(列向量生成的子空间列向量生成的子空间)刻画刻画Ax=b的解空间，即寻找基础解系等的解空间，即寻找基础解系等 第三章第三章 几何空间几何空间(R3):可看作是第四章的可看作是第四章的铺垫，也可看作一种特殊的向量空间铺垫，也可看作一种特殊的向量空间。第一章第一章 行列式和方程组行列式和方程组:它们是研究矩阵它们是研究矩阵的工具。很多问题会被转化为求行列式的工具。很多问题会被转化为求行列式(特别特别是遇到方阵时是遇到方阵时)或求方程组解的问题。或求方程组解的问题。定理的定理的4.14证明证明(注解注解)：这样的设法是假：这样的设法是假定增广矩阵定增广矩阵(A,b)化成了阶梯形矩阵之后，化成了阶梯形矩阵之后，r个非零首元出现在了前个非零首元出现在了前r列。这样的设法列。这样的设法是合理的。是合理的。