线性代数--第3章课件

1 线线 性性 代代 数数 Linear Algebra 第第 三三 章章 矩矩 阵阵 2第第 三三 章章 矩矩 阵阵 矩阵将一组有序的数据视为矩阵将一组有序的数据视为矩阵将一组有序的数据视为矩阵将一组有序的数据视为“整体量整体量整体量整体量”进行表述和进行表述和进行表述和进行表述和运运运运算算算算,使得问题变得简洁、易于了解本质使得问题变得简洁、易于了解本质使得问题变得简洁、易于了解本质使得问题变得简洁、易于了解本质.已在线性方程组已在线性方程组已在线性方程组已在线性方程组的讨论中运用的讨论中运用的讨论中运用的讨论中运用 .矩阵不仅是代数学，而且是数学中最重矩阵不仅是代数学，而且是数学中最重矩阵不仅是代数学，而且是数学中最重矩阵不仅是代数学，而且是数学中最重要的基本概念之一要的基本概念之一要的基本概念之一要的基本概念之一 .它是线性代数一个主要的研究对象它是线性代数一个主要的研究对象它是线性代数一个主要的研究对象它是线性代数一个主要的研究对象,且贯穿在线性代数的各个方面且贯穿在线性代数的各个方面且贯穿在线性代数的各个方面且贯穿在线性代数的各个方面 .矩阵的理论和方法在处矩阵的理论和方法在处矩阵的理论和方法在处矩阵的理论和方法在处理许多实际问题，特别是计算机应用上是非常有力的理许多实际问题，特别是计算机应用上是非常有力的理许多实际问题，特别是计算机应用上是非常有力的理许多实际问题，特别是计算机应用上是非常有力的.问题问题 方法方法 理论理论 应应用用3第第 三三 章章 矩矩 阵阵一、一、数乘矩阵数乘矩阵Definition 11 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 数数 与矩阵与矩阵 A=(aij)的乘积，简称数乘的乘积，简称数乘矩阵，矩阵，规定为规定为记作记作 求数与矩阵乘积的运算称为矩阵的数量乘积求数与矩阵乘积的运算称为矩阵的数量乘积.Note:的区别的区别 数量矩阵数量矩阵4第第 三三 章章 矩矩 阵阵数乘矩阵满足如下性质：数乘矩阵满足如下性质：(设设 A,B 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）（1）特别地特别地 称为称为 A 的负矩阵的负矩阵.记为记为 A.二、二、矩阵加法矩阵加法 设有两个设有两个 矩阵矩阵 那么，矩阵那么，矩阵 A 与与B 的的和记作和记作 A+B 规定为规定为Definition 2必须同型必须同型 求两个矩阵和的运算称为矩阵的加法求两个矩阵和的运算称为矩阵的加法.Note:矩阵的加法归结为元素的加法矩阵的加法归结为元素的加法.51 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵加法满足如下性质：矩阵加法满足如下性质：（1 1）A+B=B+A；（2 2）A+(B+C)=(A+B)+C（3 3）A+0=0+A=A (0为与为与 A 同型的零矩阵同型的零矩阵)显然显然有有 A+(-A)=0.矩阵的减法定义为矩阵的减法定义为 A-B=A+(-B)（4）（5）矩阵的加法与数乘矩阵，统称为矩阵的线性运算矩阵的加法与数乘矩阵，统称为矩阵的线性运算61 矩阵的基本运算矩阵的基本运算三三、矩阵乘法矩阵乘法 矩阵乘法的定义是从研究矩阵乘法的定义是从研究 n 维向量的线性变换的维向量的线性变换的需要而规定的一种独特的乘法运算需要而规定的一种独特的乘法运算.矩阵运算中所具矩阵运算中所具有的特殊的规律，主要产生于矩阵的乘法运算有的特殊的规律，主要产生于矩阵的乘法运算.Definition 3 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，那么规定矩阵矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 记为记为Note:（1）AB 中中 A 的列数等于的列数等于 B 的行数；的行数；（2）矩阵）矩阵 C=AB 的行数是的行数是 A 的行数，列数为的行数，列数为 B 的列的列数，数，cij 是是 A 的第的第 i 行与行与 B 的第的第 j 列的对应元素乘积的和列的对应元素乘积的和7第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example 1设有两个线性变换设有两个线性变换 若想求出从若想求出从 t1,t2 到到 y1,y2 的线性变换，可将的线性变换，可将(3.2)代入代入(3.1)即得即得用矩阵表示用矩阵表示81 矩阵的基本运算矩阵的基本运算(1)可简记为可简记为9第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example 2设设 ，求求 AB.Solution:AB 是一个是一个 阶矩阵阶矩阵.该例该例 BA 没有意义没有意义-5-517176 610102 2-2-2101 矩阵的基本运算矩阵的基本运算Example 3设设 求求 AB、BA.Solution:()虽然虽然 AB、BA 有意义，但不同型，当然不相等有意义，但不同型，当然不相等11第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example 4设设Solution:即使同型，也未必相等即使同型，也未必相等Note:（1）矩阵乘法不满足交换律，一般矩阵乘法不满足交换律，一般 ；（2）；（3）即消去律不成立即消去律不成立.求求 AB、BA、AC.该例得到什么结论？该例得到什么结论？121 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵乘法满足如下性质：矩阵乘法满足如下性质：（假设以下性质中的运算均可行）（假设以下性质中的运算均可行）（1）结合律结合律 (AB)C=A(BC);Proof（2）分配律分配律 A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA;（3）数乘结合律数乘结合律(k 是数是数)对于单位矩阵对于单位矩阵 E 容易验证：容易验证：简写成简写成 EA=AE=A数量矩阵与矩阵的乘积等于数与矩阵的乘积数量矩阵与矩阵的乘积等于数与矩阵的乘积 如果方阵如果方阵 A 与与 B 的乘积满足交换律，即的乘积满足交换律，即 AB=BA则称则称 A 与与 B 是可交换的是可交换的.Go on 13第第 三三 章章 矩矩 阵阵矩阵乘法性质（矩阵乘法性质（1 1）的证明）的证明Proof:设设 则则 AB 是是 矩阵矩阵，(AB)C 是是 矩阵，矩阵，BC 是是 矩阵矩阵，A(BC)是是 矩阵，所以矩阵，所以,(,(AB)C与与A(BC)是同型矩阵是同型矩阵.故故 (AB)C=A(BC)141 矩阵的基本运算矩阵的基本运算方阵的幂的定义：方阵的幂的定义：即即 就是就是 k 个个 A 连乘连乘.由矩阵乘法满足结合律，有由矩阵乘法满足结合律，有(k 为正整数为正整数)(k、l 为正整数为正整数)又由矩阵乘法不满足交换律，一般有又由矩阵乘法不满足交换律，一般有（左边（左边 右边右边 ）Example 5设设 A=,求求 A2，A10，A11.15第第 三三 章章 矩矩 阵阵Solution:对角阵的性对角阵的性质质16 ExampleExample 6 6设设 求求 SolutionSolution:1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算17第第 三三 章章 矩矩 阵阵四、四、矩阵的转置矩阵的转置Definition 4 把把 矩阵矩阵 的行与列互的行与列互换，所得到的换，所得到的 矩阵矩阵 称为矩阵称为矩阵 A 的转置矩的转置矩阵，记作阵，记作 AT .（Transpose）即即 AT=其中其中矩阵的转置也是一种运算，有如下性质：矩阵的转置也是一种运算，有如下性质：（1）(AT)T =A;（2）(A+B)T=AT+BT（3）(A)T=AT（4）(AB)T=BTATProof(4)可推广可推广Go on181 矩阵的基本运算矩阵的基本运算(AB)T=BTAT 的证明的证明Proof:设设 记记则则 AB 是是 矩阵矩阵,(AB)T 是是 矩阵矩阵.又又BT 是是 矩阵矩阵，AT 是是 矩阵矩阵,则则 BTAT 是是 矩阵矩阵.即即(AB)T 与与BTAT是同型矩阵是同型矩阵.则则(AB)T 的的（i，j）元素是元素是而而 BTAT 的（的（i，j）元素是元素是所以，所以，(AB)T=BTAT 19第第 三三 章章 矩矩 阵阵 Example 9设设求求 .Solution:也可以也可以201 矩阵的基本运算矩阵的基本运算Example 10 设设 B 是一个是一个 矩阵，证明矩阵，证明 BTB，BBT 都是对称阵都是对称阵.Definition 5 设设 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 AT=A，即即 则称则称 A 为对称为对称阵阵.如果满足如果满足 AT=-A，即即 则称则称 A 为反对称阵为反对称阵.显然，对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等显然，对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,对反对称阵有对反对称阵有Proof:是对称阵是对称阵.同理可证同理可证 BBT 是对称阵是对称阵.21第第 三三 章章 矩矩 阵阵五、五、方阵的行列式方阵的行列式Definition 6 由由 n 阶方阵阶方阵 A 的元素所构成的行列式的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵（各元素的位置不变），称为方阵 A 的行列式，记作的行列式，记作 或或 .Note:只是对只是对 n 2 个数构成的数表，加上了运算符，成个数构成的数表，加上了运算符，成为一个数（行列式）为一个数（行列式）.(相当于相当于 n 2 元函数元函数)由由 A 确定确定 的运算满足的运算满足：(A、B 等是等是 n 阶方阵阶方阵,是数）是数）（1）（2）（3）Proof特别地特别地Go onGo onNote:221 矩阵的基本运算矩阵的基本运算Proof:设设记记 2n 阶行列式阶行列式由第一章例由第一章例 ,而在而在 D 中以中以 b1j 乘第乘第1 1列列，b2j乘第乘第2 2列列,bnj乘第乘第n 列，都加到第列，都加到第n+jn+j 列上列上有有再对再对 D 的行作的行作有有23第第 三三 章章 矩矩 阵阵 Example 11设设 ，计算计算Solution:由于由于24第第 三三 章章 矩矩 阵阵 在矩阵的运算中在矩阵的运算中,已定义了加、减、乘，而数还有已定义了加、减、乘，而数还有除法，即乘法的逆运算。对数除法，即乘法的逆运算。对数a 有有 则则称称 为为a 的倒数，或的倒数，或a 的逆。的逆。在矩阵的乘法中，单位矩阵在矩阵的乘法中，单位矩阵 E 的作用相当于数的的作用相当于数的乘法中的乘法中的 1 1，是否存在一个矩阵是否存在一个矩阵 A-1 使使得得在在ax=b中中x=a-1b在在Ax=b中中x=A-1b一、一、逆矩阵的概念逆矩阵的概念2 逆矩阵逆矩阵252 逆矩阵逆矩阵Definition 7 行列式行列式 的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式所构成的方阵所构成的方阵 称为方阵称为方阵A的的伴随矩阵（伴随矩阵（adjoint matrix）,简称伴随阵简称伴随阵.注意排列注意排列对于对于 有结论有结论:Proof:设设 记记则则类似可证类似可证26第第 三三 章章 矩矩 阵阵Definition 8 设设A 是是 n 阶方阵，若存在阶方阵，若存在 n 阶方阵阶方阵 B 使得使得 AB=BA=E则称矩阵则称矩阵A 是可逆的，是可逆的，B 称为称为A 的逆矩阵的逆矩阵.记作记作 A-1 即即 A-1=B 由定义可知，由定义可知，A、B 的地位是平等的，所以，也可的地位是平等的，所以，也可称称 B 是可逆的，是可逆的，A 是是B 的逆阵。的逆阵。逆阵的唯一性逆阵的唯一性设设 B、C 都是都是 A 的逆阵，则的逆阵，则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C272 逆矩阵逆矩阵二、二、矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件 Theorem 1 矩阵矩阵 A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 ,且如果且如果 A 为可逆阵，则有为可逆阵，则有给出求给出求A-1的方法的方法Proof:若若 A 为可逆，则为可逆，则 AA-1=E两边取行列式两边取行列式 得得若若由由 可可知知所以，所以，A 可逆可逆.且且当当 时，称时，称 A 为奇异的、退化的、降秩的；为奇异的、退化的、降秩的；否则，称否则，称 A 为非奇异的、非退化的、满秩的为非奇异的、非退化的、满秩的.28第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example 12求矩阵求矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.Solution:可逆可逆Note:求逆矩阵易出错，但可验证求逆矩阵易出错，但可验证292 逆矩阵逆矩阵Corollary 如果如果 AB=E(或或 BA=E)，则则 A、B 皆可皆可逆，且逆，且 A、B 互为逆阵互为逆阵.Proof:由由 AB=E 故故所以，由所以，由 Th 1知知，A、B 皆可逆皆可逆.于是于是 AB=E A-1AB=A-1E B=A-1 AB=E ABB-1=EB-1 A=B-1两式只需两式只需成立一式成立一式30第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example 13设方阵设方阵 A 满足满足 A2 3 A 10 E=0证明证明 A、(A 4 E)都可逆，并求它们的逆矩阵都可逆，并求它们的逆矩阵.Proof:由由 A2 3 A 10 E=0 A(A 3E)=10 E即即A-3是没是没有意义的有意义的由由 Co 知知 A 可逆可逆且且再由再由 A2 3 A 10 E=0(A+E)(A 4E)=6 E即即故故（A 4E）可逆可逆且且Co 的应用：的应用：1、证矩阵可逆；、证矩阵可逆；2、求矩阵的逆、求矩阵的逆.312 逆矩阵逆矩阵设线性方程组设线性方程组记为记为 Ax=b如果如果，则，则 A 可逆可逆.于是于是A-1(Ax)=A-1bx=A-1b 这正是这正是 Cramer 法则给出的公式，被称为法则给出的公式，被称为Cramer 法则的矩阵形式法则的矩阵形式.32第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example 14 已知矩阵方程已知矩阵方程 Ax=b 的系数矩阵的系数矩阵 A 由由Ex.12 给出，给出，求矩阵方程的解求矩阵方程的解.Solution:已知已知 A 可逆，可逆，332 逆矩阵逆矩阵三、三、可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 设矩阵设矩阵 A，B 为为 n 阶可逆矩阵，则有以下性质：阶可逆矩阵，则有以下性质：（1）A-1也可逆也可逆.且且 (A-1)-1=A;（2）数数 k 0,则则 kA 可逆，且可逆，且 ；（3）AT 可逆可逆，且且 (AT)-1=(A-1)T;（4）AB 可逆可逆，且且 (AB)-1=B-1A-1;（5）Proof Proof Proof 该性质可推广到多个可逆阵的乘积该性质可推广到多个可逆阵的乘积与矩阵乘积的转与矩阵乘积的转置有类似的结构置有类似的结构Go on当当可定义可定义 A0=E，A-k=(A-1)k34第第 三三 章章 矩矩 阵阵（3）AT 可逆可逆，且且 (AT)-1=(A-1)T 的证明的证明Proof:由由 Co 知知AT 可逆，且可逆，且 (AT)-1=(A-1)T Go back证证 A-1=B即证即证 AB=E352 逆矩阵逆矩阵（4）AB 可逆可逆，且且 (AB)-1=B-1A-1 的证明的证明Proof:由由 Co 知知AB 可逆可逆，且且 (AB)-1=B-1A-1Go back36（5）的证明的证明Proof:因此因此Go back第第 三三 章章 矩矩 阵阵37Note 1、A、B 可逆可逆，A+B 未必可逆；即使未必可逆；即使 A+B 可逆，一般可逆，一般 如：如：显然，显然，A、B、C 可逆，可逆，但但不可逆不可逆.可逆，可逆，但但2、若若 A 可逆可逆，则则 AB=AC B=C2 逆矩阵逆矩阵？38Example 15Solution:设设 A 为三阶矩阵为三阶矩阵,且且 ,求求 .方法一方法一则则方法二方法二则则第第 三三 章章 矩矩 阵阵39第第 三三 章章 矩矩 阵阵 在处理较高阶的矩阵时，常把一个大矩阵看成是在处理较高阶的矩阵时，常把一个大矩阵看成是由若干个小矩阵组合而成由若干个小矩阵组合而成.这些小矩阵可称为原矩阵这些小矩阵可称为原矩阵的子块或子阵，用子阵表示矩阵的方法称为矩阵的分的子块或子阵，用子阵表示矩阵的方法称为矩阵的分块表示，这使原矩阵显得结构简单而清晰，能简化运块表示，这使原矩阵显得结构简单而清晰，能简化运算算.这不仅是线性代数中的一个较为有效的方法，也这不仅是线性代数中的一个较为有效的方法，也是数学建模的一个重要思想是数学建模的一个重要思想.3 分块矩阵分块矩阵一、一、分块矩阵的定义分块矩阵的定义Definition 9 一个一个 矩阵矩阵 A 被纵线和横线分成被纵线和横线分成若干个低阶矩阵，每个低阶矩阵称为矩阵若干个低阶矩阵，每个低阶矩阵称为矩阵A的子块，以的子块，以所生成的子块为元素的矩阵称为矩阵所生成的子块为元素的矩阵称为矩阵 A 的分块矩阵的分块矩阵.403 分块矩阵分块矩阵如：如：Note:1 1、纵、横线必须划到底；、纵、横线必须划到底；2 2、分块的方式很多，根据矩阵结构和需要确定、分块的方式很多，根据矩阵结构和需要确定.41第第 三三 章章 矩矩 阵阵二、二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算分块矩阵有与矩阵类似的运算规则分块矩阵有与矩阵类似的运算规则1、加法和数乘运算、加法和数乘运算 设设 A、B 是两个是两个 矩阵，用同样的方法分块，矩阵，用同样的方法分块，得得 即即 是同型矩阵，是同型矩阵，则则2、乘法、乘法 设设 A 为为 矩阵，矩阵，B 为为 矩阵，如果矩阵，如果 A 分块为分块为 分块矩阵分块矩阵 ，B 分块为分块为 分块矩阵分块矩阵 且且 A 的列的分块法与的列的分块法与 B 的行的分块法完全相同。则的行的分块法完全相同。则423 分块矩阵分块矩阵 Example 16设设计算计算 AB.Solution:B的行分法与的行分法与A 的列分法一的列分法一致致;列可任意列可任意分分.则则故故43第第 三三 章章 矩矩 阵阵3、转置、转置设设则则4、求逆、求逆 设设 A 为为 n 阶方阵，如果阶方阵，如果 A 的分块矩的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都是零矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都是零矩阵，且非零子块都是方阵，即阵，且非零子块都是方阵，即Definition 10其中其中 分别是分别是 阶方阵阶方阵,则称则称 A 为分块对角阵或准对角阵为分块对角阵或准对角阵443 分块矩阵分块矩阵A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 且且如：如：9-4-2145第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example 17设设B、D 皆为可逆矩阵，证明皆为可逆矩阵，证明 A 可逆，并求可逆，并求 A-1.Proof:因此，因此，A 可逆可逆.，而而 B、D 皆为可逆矩阵，皆为可逆矩阵，即即 ，设设其中其中，X 与与 B，T 与与 D 分别是同阶方阵分别是同阶方阵.这是求逆的这是求逆的一个方法一个方法于是于是得得463 分块矩阵分块矩阵如：如：将将 A 分块为分块为其中其中可逆可逆47第第 三三 章章 矩矩 阵阵4 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 矩阵的初等变换源于解线性方程组的矩阵的初等变换源于解线性方程组的3 3类同解变换类同解变换.是研究矩阵的有力工具，很多计算问题、理论问题可通是研究矩阵的有力工具，很多计算问题、理论问题可通过初等变换化难为易，得到解决过初等变换化难为易，得到解决.一、矩阵的初等变换与矩阵的等价一、矩阵的初等变换与矩阵的等价Definition 11 下面三种变换称为矩阵的初等列变换：下面三种变换称为矩阵的初等列变换：（1）交换交换 A 的第的第 i 列和第列和第 j 列的位置列的位置；（2）用非零常数用非零常数 k 乘以乘以 A 的第的第 i 列各元素；列各元素；（3）将将 A 的第的第 i 列各元素的列各元素的 k 倍加到第倍加到第 j 列对应元素列对应元素.分别记为：分别记为：、.列列 column矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换484 矩阵的初等变换矩阵的初等变换Definition 12 若矩阵若矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩经过有限次初等变换变成矩阵阵 B，则称矩阵，则称矩阵 A 与与 矩阵矩阵 B 等价，记作等价，记作 .矩阵的等价关系具有下列性质矩阵的等价关系具有下列性质矩阵的等价关系具有下列性质矩阵的等价关系具有下列性质:数学上定义的数学上定义的数学上定义的数学上定义的等价关系一般等价关系一般等价关系一般等价关系一般都满足的都满足的都满足的都满足的可用于分类可用于分类1、反身性：、反身性：2、对称性：若、对称性：若 则则 ；3、传递性：若、传递性：若 ，且，且 ，则，则 .TheoremTheorem 2 2任一任一 mn 非零矩阵非零矩阵 A=(aij)必可通过必可通过初等变换化为标准形初等变换化为标准形.Go onGo on初等变换会改变矩初等变换会改变矩阵的可逆性吗？阵的可逆性吗？49第第 三三 章章 矩矩 阵阵称为行阶称为行阶称为行阶称为行阶梯形矩阵梯形矩阵梯形矩阵梯形矩阵称为行最称为行最称为行最称为行最简形矩阵简形矩阵简形矩阵简形矩阵方程组是否有方程组是否有解由此判断解由此判断由此求解方程组由此求解方程组称为矩阵称为矩阵B 的的(等价等价)标准形标准形标准形标准形r=?矩阵的秩矩阵的秩Go back504 矩阵的初等变换矩阵的初等变换二、初等矩阵二、初等矩阵Definition Definition 13 3 单位矩阵经过一次初等变换后所得矩单位矩阵经过一次初等变换后所得矩单位矩阵经过一次初等变换后所得矩单位矩阵经过一次初等变换后所得矩阵称为阵称为阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵,它们分别为它们分别为它们分别为它们分别为:(1)(1)(1)(1)交换两行或者两列交换两行或者两列交换两行或者两列交换两行或者两列记为记为记为记为 E E(i,j i,j)(2)(2)(2)(2)以数以数以数以数 乘某行或者某列乘某行或者某列乘某行或者某列乘某行或者某列(krkri i 或或或或kckci i )记为记为记为记为 E E(i i(k k)(3)(3)(3)(3)以数以数以数以数 乘某行乘某行乘某行乘某行(列列列列)加到另一行加到另一行加到另一行加到另一行(列列列列)上去上去上去上去记为记为记为记为 E E(ij ij(k k)显然显然显然显然,初等矩阵是可逆的初等矩阵是可逆的初等矩阵是可逆的初等矩阵是可逆的,其逆矩阵仍是同类初等矩阵其逆矩阵仍是同类初等矩阵其逆矩阵仍是同类初等矩阵其逆矩阵仍是同类初等矩阵.51第第 三三 章章 矩矩 阵阵TheoremTheorem 3 3 对对 矩阵矩阵 A,施行一次初等施行一次初等行行变换变换,相当于相当于在在 A 的的左左边乘以相应的边乘以相应的 m 阶初等矩阵阶初等矩阵;对对 A 施行一施行一次初等次初等列列变换变换,相当于在相当于在 A 的的右右边乘以相应的边乘以相应的 n 阶阶初等矩阵初等矩阵.由由 Theorem 3 知知:可以依据矩阵乘法的运算规律可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律得到初等变换的运算规律,也可以利用矩阵的初等变换也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法去研究矩阵的乘法.Corollary 1 1 设设 A、B 为为 矩阵，则矩阵，则 A 与与 B 等价的等价的充要条件是存在充要条件是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 和和 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q，使得使得 B=PAQ.Proof 4 矩阵的初等变换矩阵的初等变换Corollary 1 1 的证明的证明Proof:A 与与 B 等价等价 A 经过有限次初等变换（不妨设为经过有限次初等变换（不妨设为 s 次行变换、次行变换、t 次列变换）变成次列变换）变成 B；定义定义存在存在 m 阶初等矩阵阶初等矩阵 Pi(i=1 s),n 阶阶初等矩阵初等矩阵 Qj(j=1 t)，使得，使得 P1P2Ps A Q1Q2Qt=BTh 3存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P,n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q，使得，使得 PAQ=B 其中其中 P=P1P2Ps、Q=Q1Q2Qt.可逆矩阵性质可逆矩阵性质（4）53第第 三三 章章 矩矩 阵阵Corollary 2n 阶方阵阶方阵 A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是存在存在 n 阶初等矩阵阶初等矩阵 P1，P2,，Ps，Q1，Q2，Qt使得使得Proof Corollary 3 矩阵矩阵 A 可逆的可逆的充分必要条件是充分必要条件是 A 可表示成有限可表示成有限个个初等矩阵的乘积初等矩阵的乘积 .充分性显然，必要性可由充分性显然，必要性可由 Co 2 的证明过程得的证明过程得.Corollary 4 可逆矩阵可逆矩阵 A 仅施行初等行变换（或列变仅施行初等行变换（或列变换）即可化为单位矩阵换）即可化为单位矩阵.Go on544 矩阵的初等变换矩阵的初等变换Corollary 2 的证明的证明Proof:由由 Co 1的证明与的证明与Th 2 知，存在知，存在 n 阶初等矩阶初等矩阵阵使得使得只需证明只需证明只需证明只需证明r=nr=n若若 则将上式两边取行列式，有则将上式两边取行列式，有显然，上式左边不等于零，矛盾显然，上式左边不等于零，矛盾.所以，所以，r=n.由由54则则所以，所以，A 可逆可逆 .2、可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵、可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵初等变换不会改变矩初等变换不会改变矩阵的可逆性阵的可逆性.第第 三三 章章 矩矩 阵阵三、求逆矩阵的三、求逆矩阵的初等行变换法初等行变换法Note:Note:此处只能此处只能作行变换作行变换 由由 Co 4,若若 A可逆可逆,则存在有限个初等矩阵则存在有限个初等矩阵 则则则则使得使得使得使得于是，若构造一个矩阵有于是，若构造一个矩阵有于是，若构造一个矩阵有于是，若构造一个矩阵有这样，得到了用初等变换求逆矩阵的方法这样，得到了用初等变换求逆矩阵的方法这样，得到了用初等变换求逆矩阵的方法这样，得到了用初等变换求逆矩阵的方法4 矩阵的初等变换矩阵的初等变换Example 18 用初等行变换求矩阵用初等行变换求矩阵 的的 逆矩阵逆矩阵.Solution:Note:1、只能作行变换；、只能作行变换；2、可通过、可通过 A-1A=E 验证验证.第第 三三 章章 矩矩 阵阵对矩阵方程对矩阵方程 AX=B，如果如果 A 是可逆矩阵，是可逆矩阵，则有唯一解：则有唯一解：Example Example 19 用初等行变换解矩阵方程用初等行变换解矩阵方程 AX=B，其中其中SolutionSolution：不可逆如何不可逆如何？所以，所以，A 可逆，且可逆，且 是方程的唯一解是方程的唯一解.第第 三三 章章 矩矩 阵阵 给给定一个方程组由定一个方程组由 m 个方程组成，但本质有几个方程组成，但本质有几个方程呢？个方程呢？方程组有解吗方程组有解吗？5 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征.它反映了矩阵的内在特征，在线性代数的理论上占有它反映了矩阵的内在特征，在线性代数的理论上占有非常重要的地位非常重要的地位.它是讨论矩阵的可逆性、向量的线它是讨论矩阵的可逆性、向量的线性表示与线性相关、线性方程组解的理论等问题的主性表示与线性相关、线性方程组解的理论等问题的主要依据，起着无可比拟的作用要依据，起着无可比拟的作用.Definition 14一、矩阵秩的一、矩阵秩的定义定义 在在 矩阵矩阵 A 中，任取中，任取 k 行和行和 k 列列(k m,k n)，位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 k2 个元素个元素按原有顺序构成的一个按原有顺序构成的一个 k 阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 A 的一的一个个 k 阶子式阶子式.mn 矩阵矩阵 A 的的 k 阶子式共有阶子式共有 .5 矩阵的秩矩阵的秩Definition 15 在在在在 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 中，有一个中，有一个中，有一个中，有一个 r r 阶子阶子阶子阶子式不为零，且所有式不为零，且所有式不为零，且所有式不为零，且所有 r+r+1 1 阶子式阶子式阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话如果存在的话如果存在的话)全等于全等于全等于全等于零，那么，数零，那么，数零，那么，数零，那么，数 r r 称为矩阵称为矩阵称为矩阵称为矩阵 A A 的秩的秩的秩的秩(rankrank).记作记作记作记作 秩秩秩秩(A)或或或或 R R(A A),规定规定规定规定 R R(0)(0)=0 0 1、由行列式性质，定义中说由行列式性质，定义中说 r+1 阶子式全为零，则所阶子式全为零，则所 有大于有大于 r+1 阶子式（如果有）也全为零，所以称阶子式（如果有）也全为零，所以称 D 为矩阵为矩阵 A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式.显然显然显然显然第第 三三 章章 矩矩 阵阵2 2、若、若、若、若 A A 有一个非零有一个非零有一个非零有一个非零 k k 阶子式，则必有阶子式，则必有阶子式，则必有阶子式，则必有 .而而而而 ,表示表示表示表示 A A 有非零有非零有非零有非零 k k 阶子式，但并不说明阶子式，但并不说明阶子式，但并不说明阶子式，但并不说明 A A 的所有的所有的所有的所有k 阶子式全不为零，所以阶子式全不为零，所以阶子式全不为零，所以阶子式全不为零，所以 A A 有一个有一个有一个有一个k k k k 阶子阶子阶子阶子式为零不能说明（除非是所有的）式为零不能说明（除非是所有的）式为零不能说明（除非是所有的）式为零不能说明（除非是所有的）3 3、A A 是是是是 m n 矩阵，则必有矩阵，则必有矩阵，则必有矩阵，则必有 0 0 R R(A A)min(min(mm,n n)称称 R(A)=n 的的 n 阶方阵阶方阵 A 为满秩矩阵；否则，称为满秩矩阵；否则，称 为降秩矩阵为降秩矩阵.、A为为 n 阶方阵，则阶方阵，则5 矩阵的秩矩阵的秩Example 20 求矩阵求矩阵 A=的秩的秩.Solution：在矩阵在矩阵 A 中共有中共有4 4个三阶子式，因个三阶子式，因 A 的第一、第的第一、第二行对应成比例，而任一三阶子式必包含第一、二行二行对应成比例，而任一三阶子式必包含第一、二行 所以，所有三阶子式都为零所以，所有三阶子式都为零.从而从而 R(A)=2.5、R(AT)=R(A)；6、其中其中 为常数为常数.第第 三三 章章 矩矩 阵阵考察下面两个矩阵的秩考察下面两个矩阵的秩对对 B 可经复杂的计算，得可经复杂的计算，得 R(B)=3而对而对 B1 非常容易非常容易R(B)=3即非零行数即非零行数猜想：猜想：矩阵经初等变换秩不变矩阵经初等变换秩不变如果猜想成立，则化矩阵为阶梯形来求秩是方便的如果猜想成立，则化矩阵为阶梯形来求秩是方便的B1是阶梯形矩阵是阶梯形矩阵5 矩阵的秩矩阵的秩二、矩阵秩的二、矩阵秩的计算计算Theorem 4初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩 .Proof:先证先证 A 经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为B，则，则设设 R(A)=r，且且 A的某个的某个r r 阶子式阶子式当当 或或 时，时，在在 B 中总能找到与中总能找到与D 相对应的子式相对应的子式 ，由于，由于 或或 或或因此，因此，从而从而这是因为这是因为 A 经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为 B，则，则B 也可也可经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为 A，所以，所以从而从而既然每一次初等行变换秩不变，则有限次也不变既然每一次初等行变换秩不变，则有限次也不变当当 时，分三种情形讨论：时，分三种情形讨论：第第 三三 章章 矩矩 阵阵(1)D 中不含中不含 ri；(2)D 中同时含中同时含 ri、rj；(3)D 中含中含 ri，但不含，但不含 rj.对对(1)、(2)情形，显然情形，显然 B 中中与与 D 对应的子式对应的子式对情形对情形 (3)如果如果 ，则，则 有有如果如果 ，则因，则因 D1 中不含中不含 ri 知，知，A 中有不含中有不含 ri 的的 r 阶非零子式，由情形阶非零子式，由情形(1)5 矩阵的秩矩阵的秩 综上综上,证明了若证明了若 A 经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为 B,则则 ,即可知即可知 A 经有限次初等行变换变为经有限次初等行变换变为 B,也成立也成立.由于由于 B 也可经有限次初等行变换变为也可经有限次初等行变换变为 A,故也有故也有 .因此因此,类似可证类似可证Corollary 2 矩阵矩阵 A 的标准形是唯一的的标准形是唯一的.总之，若总之，若 A 经有限次初等变换变为经有限次初等变换变为 B，则，则 R(A)=R(B).Corollary 1等矩阵等矩阵 P1，P2，Ps 与与 n 阶初等矩阵阶初等矩阵 Q1，Q2，Qt，使得，使得设设 是秩为是秩为 r 矩阵，则存在矩阵，则存在 m 阶初阶初第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example 21 求矩阵求矩阵 A=的秩的秩，并求并求一个最高阶非零子式一个最高阶非零子式 .Solution：要有规律要有规律说明说明A0 0中有中有3 3阶非零子式阶非零子式即为所求即为所求A0 的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为5 矩阵的秩矩阵的秩Example 22 设设 求矩阵求矩阵 A 及矩阵及矩阵 B=(A，b)的秩的秩 .Solution：若若 是行阶梯形矩是行阶梯形矩阵阵,则则 是是 A 的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵.因此，因此，R(A)=2，R(B)=3.A、B作为方程组作为方程组的系数、增广矩的系数、增广矩阵，则无解阵，则无解R(A)与与R(B)的关系的关系第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example Example 23Solution：设设 A=.试问试问 为何值时，为何值时，R(A)=1，R(A)=2，R(A)=3.方法一方法一 利用初等行变换将利用初等行变换将 A 化为行阶梯形化为行阶梯形A=讨论：讨论：1、要使、要使 R(A)=3，则，则 即即 且且2、当、当 时，把时，把 代入以上矩阵，得代入以上矩阵，得 A3、当、当 时，把时，把 代入以上矩阵代入以上矩阵,得得 A则则 R(A)=1;则则 R(A)=2.5 矩阵的秩矩阵的秩方法二方法二所以所以1、当、当 ，即，即 且且 时，时，R(A)=3;2、当、当 时，把时，把 代入矩阵代入矩阵 A，得，得则则 R(A)=1；3、当、当 时，把时，把 代入矩阵代入矩阵 A，得，得，则则 R(A)=2.因为因为第第 三三 章章 矩矩 阵阵三、矩阵秩的三、矩阵秩的性质性质Property 1 若若 ，则，则R(A)=R(B)，即等价矩阵，即等价矩阵有相同的秩有相同的秩.但反之不然但反之不然.Property 2Property 3什么条件成立？什么条件成立？设设 A 为为 mn 矩阵，矩阵，P 为为 m 阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，Q 为为 n 阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则 R(PAQ)=R(PA)=R(AQ)=R(A).设设 A 为为 ms 矩阵，矩阵，B 为为 mt 矩阵，则矩阵，则特别地，特别地，,其中其中 为为 m1 矩阵矩阵.5 矩阵的秩矩阵的秩Property 4Property 5 设设 A，B 均为均为 mn 矩阵，则矩阵，则设设 A 为为 ms 矩阵，矩阵，B 为为 sn 矩阵，则矩阵，则Property 6设设 A 为为 ms 矩阵，矩阵，B 为为 sn 矩阵，且矩阵，且AB=0，则则Property 7设设 A 为为 n(n2)阶矩阵，则阶矩阵，则第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example Example 24设设 A 为为 n 阶矩阵，满足阶矩阵，满足 A2 3A 4E=0证明：证明：R(A+E)+R(A 4E)=n.Proof:R(A+E)+R(A 4E)=R(A+E)+R(4E A)R(A+E)+(4E A)=R(5E)=R(E)=n.即即 R(A+E)+R(A 4E)n.又又 (A+E)(A 4E)=A2 3A 4E=0即即 R(A+E)+R(A 4E)n.综上，得综上，得 R(A+E)+R(A 4E)=n.Prop 4:设设 A，B 均为均为 mn 矩阵，则矩阵，则Prop 6:设设 A 为为 ms 矩阵，矩阵，B 为为 sn 矩阵，矩阵，且且AB=0，则，则第第 三三 章章 矩矩 阵阵6 线性方程组解的理论线性方程组解的理论 含有含有 m 个方程，个方程，n 个个未知量的线性方程组的一未知量的线性方程组的一般形式为般形式为可简记为可简记为记记 A，B=(A，b)分别为线性方程组的系数矩阵、增分别为线性方程组的系数矩阵、增广矩阵广矩阵 .其矩阵形式为其矩阵形式为 Ax=b (2)如果如果 b0，则称，则称(2)为非齐次线性方程组；为非齐次线性方程组；如果如果 b=0，则称，则称(2)为齐次线性方程组为齐次线性方程组.6 线性方程组解的理论线性方程组解的理论一、齐次线性方程组解的理论一、齐次线性方程组解的理论 对齐次线性方程组，一定有解对齐次线性方程组，一定有解对齐次线性方程组，一定有解对齐次线性方程组，一定有解 x x=(0,0,0).=(0,0,0).=(0,0,0).=(0,0,0).关关关关心的是什么条件只有零解或有非零解？心的是什么条件只有零解或有非零解？心的是什么条件只有零解或有非零解？心的是什么条件只有零解或有非零解？TheoremTheorem 5 5 n n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组元齐次线性方程组元齐次线性方程组 (2)(2)有非零解的充分有非零解的充分有非零解的充分有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩必要条件是系数矩阵的秩必要条件是系数矩阵的秩必要条件是系数矩阵的秩 R R(A A)n.n.proof即即即即 只有零解的充分必要条件是只有零解的充分必要条件是只有零解的充分必要条件是只有零解的充分必要条件是 R R(A A)=)=A A 的列数的列数的列数的列数 .不是有否不是有否多余方程多余方程也不是也不是CorollaryCorollary 1 1 当当当当 mm n n 时，时，时，时，(2)(2)必必必必有非零解有非零解有非零解有非零解 .Go onCorollaryCorollary 2 2 当当当当 mm=n n 时，时，时，时，(2)(2)有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件是是是是 .第第 三三 章章 矩矩 阵阵TheoremTheorem 5 5 的证明的证明的证明的证明Proof Proof:必要性必要性必要性必要性设设设设 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解有非零解有非零解.反证反证反证反证,假设假设假设假设 R R(A A)=n=n ,则在则在则在则在 A A A A 中有一个中有一个中有一个中有一个 n n 阶非阶非阶非阶非零子式零子式零子式零子式 D Dn n，从而从而从而从而 D Dn n 所对应的所对应的所对应的所对应的 n n 个方程只有零解个方程只有零解个方程只有零解个方程只有零解这与这与这与这与 假设假设 有非零解矛盾，所以，有非零解矛盾，所以，有非零解矛盾，所以，有非零解矛盾，所以，R(A)nR(A)n由由Cramer法则法则充分性充分性充分性充分性设设设设 R R(A A)=r n,=r n,则则则则 A A 的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含 r r 个非零行可知方程组共有个非零行可知方程组共有个非零行可知方程组共有个非零行可知方程组共有 n n-r r 个自由未知量个自由未知量个自由未知量个自由未知量任取一个自由未知量为，其余自由未知量为任取一个自由未知量为，其余自由未知量为任取一个自由未知量为，其余自由未知量为任取一个自由未知量为，其余自由未知量为,即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解6 线性方程组解的理论线性方程组解的理论Example 25 Solution：一定有一定有非零解非零解显然，方程组有两个自由未知量显然，方程组有两个自由未知量 ，取，取 x2，x5唯一吗？唯一吗？令令 x2=k1，x5=k2.得得求解方程组求解方程组含含 n-R(A)个任意常个任意常数数第第 三三 章章 矩矩 阵阵二、非齐次线性方程组解的理论二、非齐次线性方程组解的理论TheoremTheorem 6 6 由前面的讨论可知，非齐次线性方程组可用增广矩由前面的讨论可知，非齐次线性方程组可用增广矩阵表示；判断方程是否有解？可以通过对系数矩阵、增阵表示；判断方程是否有解？可以通过对系数矩阵、增广矩阵的秩来判断；求解线性方程组可将增广矩阵通过广矩阵的秩来判断；求解线性方程组可将增广矩阵通过初等初等行行变换化为行最简形进行变换化为行最简形进行.非齐次线性方程组非齐次线性方程组(2)有解的充分必要有解的充分必要条件是它的系数矩阵条件是它的系数矩阵 A 的秩与增广矩阵的秩与增广矩阵 B 的秩相的秩相等即等即 R(A)=R(B).Corollary 1 (2)有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(B)=A 的列数的列数 Corollary 2 (2)有无穷多解的充分必要条件是有无穷多解的充分必要条件是 R(A)=R(B)A 的列数的列数 6 线性方程组解的理论线性方程组解的理论Example 26 求解方程组求解方程组 Solution:取取 x2，x3，x5 为自由未知量，令为自由未知量，令 x2=k1，x3=k2，x5=k3 有必要吗有必要吗?第第 三三 章章 矩矩 阵阵Example 27 设线性方程组设线性方程组试就试就 p、t 讨论方程组的解的情况讨论方程组的解的情况.无解无解?有解有解?唯一解唯一解?无穷多无穷多解解?Solution:r1p 是不是不方便的方便的讨论讨论1、当、当 t(p-1)0 即即 t0，p1 时，方程组有唯一解；时，方程组有唯一解；2、当、当 p=1 且且 1 4t+2pt =1 2t 即即 t=时，时，R(A)=R(B)A 的列数，方程组有无穷多解；的列数，方程组有无穷多解；3、当、当 p=1,但但 t=时时,则则 R(A)=2,R(B)=3,方程组无解方程组无解;4、当、当 t=0 时，则时，则 R(A)=2,R(B)=3,方程组无解方程组无解.另：也可先求出系数行列式另：也可先求出系数行列式6 线性方程组解的理论线性方程组解的理论Example 28 设设设设 A A 是是是是 n n 阶方阵，证明存在阶方阵，证明存在阶方阵，证明存在阶方阵，证明存在 矩矩矩矩阵阵阵阵 使得使得使得使得 AB AB=0 0 的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是 (R R(A A)n n).).).).8080Proof：B B 按列分块按列分块按列分块按列分块 B B=(=(B B1 1 B B2 2 B Bs s)，则，则，则，则 AB AB=0=0 等等等等价价价价于于于于 ABABj j=0 =0 j=j=1 1s s 即即即即 B B 的每一列都是的每一列都是的每一列都是的每一列都是 Ax Ax=0=0 的解的解的解的解.如果如果如果如果 ，则，则，则，则 有非零解，取有非零解，取有非零解，取有非零解，取如果如果 则则 有非零解，有非零解，故故 .的的 s 个非零解作为个非零解作为 B 的的 s 个列，则个列，则 使得使得 AB=0.把矩阵问题与方程问题、矩阵的秩与方程组的解把矩阵问题与方程问题、矩阵的秩与方程组的解联系起来，方法重要联系起来，方法重要.第第 3 章章 矩矩 阵阵 完完