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第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 关键词：关键词：依概率收敛依概率收敛 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 大数定律大数定律 中心极限定理中心极限定理1 随机变量序列依概率收敛的定义随机变量序列依概率收敛的定义 1 1 大数定律大数定律2性质：性质：在给出大数定律之前，先介绍两个重要不等式在给出大数定律之前，先介绍两个重要不等式3 马尔可夫不等式和切比雪夫不等式马尔可夫不等式和切比雪夫不等式 456切比雪夫不等式说明切比雪夫不等式说明789 例例2 2：n重贝努里试验中，已知每次试验事件重贝努里试验中，已知每次试验事件A A出现出现的概率为的概率为0.750.75，试利用切比雪夫不等式，试利用切比雪夫不等式,(1),(1)若若n=7500,=7500,估计估计A A出现的频率在出现的频率在0.740.74至至0.760.76之间的概率至少有多之间的概率至少有多大；（大；（2 2）估计）估计n,使使A A出现的频率在出现的频率在0.740.74至至0.760.76之间的之间的概率不小于概率不小于0.900.90。10 几种大数定律几种大数定律“服从大数定律服从大数定律”即即“依概率收敛依概率收敛”1112131415161718贝努里大数定律的重要意义贝努里大数定律的重要意义 贝努里大数定律揭示了在大量重复独立贝努里大数定律揭示了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率的方法，既然频率nA/n与概率与概率p有较大偏差有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法就是第计，这种方法就是第7 7章将要介绍的参数估章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就是大计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。数定理。19 前面的定理和推论中均要求随机变量的方差存在，前面的定理和推论中均要求随机变量的方差存在，但当随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求了。但当随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求了。2021变量变量常数常数22 232425 例例6 6：262 2 中心极限定理中心极限定理背景：背景：有许多随机变量，它们是由大量的有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成相互独立的随机变量的综合影响所形成的，而其中每个个别的因素作用都很小，的，而其中每个个别的因素作用都很小，这种随机变量往往服从或近似服从正态这种随机变量往往服从或近似服从正态分布，或者说它的极限分布是正态分布。分布，或者说它的极限分布是正态分布。中心极限定理正是从数学上论证了这一中心极限定理正是从数学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的时期内曾是现象，它在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。概率论研究的中心课题。272829例例1 1：设某种电器元件的寿命服从均值为：设某种电器元件的寿命服从均值为100100小时的指数分小时的指数分布，现随机取得布，现随机取得1616只，设它们的寿命是相互独立的只，设它们的寿命是相互独立的,求这求这1616只元件的寿命的总和大于只元件的寿命的总和大于19201920小时的概率。小时的概率。30 例例2 2：设保险公司的某项保险业务有：设保险公司的某项保险业务有50005000人参加，人参加，投保人交投保人交1616元元,若符合赔付条件时，保险公司付给若符合赔付条件时，保险公司付给投保人投保人20002000元。设赔付率为元。设赔付率为0.0050.005，试求保险公司，试求保险公司在这项保险业务中盈利在这项保险业务中盈利2 2万到万到4 4万元的概率万元的概率.例例2 2：设保险公司的某项保险业务有：设保险公司的某项保险业务有50005000人参加，人参加，投保人交投保人交1616元元,若符合赔付条件时，保险公司付给若符合赔付条件时，保险公司付给投保人投保人20002000元。设赔付率为元。设赔付率为0.0050.005，试求保险公司，试求保险公司在这项保险业务中盈利在这项保险业务中盈利2 2万到万到4 4万元之间的概率万元之间的概率.31 例例3 3：设某工厂有：设某工厂有400400台同类机器，各台机器发生故台同类机器，各台机器发生故障的概率都是障的概率都是0.020.02，各台机器工作是相互独立的，试，各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障的台数不小于求机器出故障的台数不小于2 2的概率。的概率。32 例例4 4：某校某校15001500名学生选修名学生选修“概率论与概率论与数理统计数理统计”课程课程,共有共有1010名教师主讲此名教师主讲此课课,假定每位学生可以随意地选择一位假定每位学生可以随意地选择一位教师教师(即即,选择任意一位教师的可能性均选择任意一位教师的可能性均为为1/10),1/10),而且学生之间的选择是相互独而且学生之间的选择是相互独立的立的.问问:每位教师的上课教室应该设有每位教师的上课教室应该设有多少座位才能保证该班因没有座位而使多少座位才能保证该班因没有座位而使学生离开的概率小于学生离开的概率小于5%.5%.33343536例例6:6:在在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件重贝努里试验中，若已知每次试验事件A A出现的概率出现的概率为为0.750.75，试利用，试利用中心极限定理中心极限定理,(1),(1)若若n=7500,=7500,估计估计A A出现出现的频率在的频率在0.740.74至至0.760.76之间的概率近似值；（之间的概率近似值；（2 2）估计）估计n,使使A出现的频率在出现的频率在0.740.74至至0.760.76之间的概率不小于之间的概率不小于0.900.90。37
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