第四章-2-分段插值-和-数据拟合课件

School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4 4章章 数据近似数据近似 2.2.分段插值分段插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值u u School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.1 分段线性插值分段线性插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.1 分段线性插值分段线性插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.1 分段线性插值分段线性插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.2 分段二次插值分段二次插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.2 分段二次插值分段二次插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.2 分段二次插值分段二次插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值 实实实实际际际际中中中中有有有有许许许许多多多多计计计计算算算算问问问问题题题题对对对对插插插插值值值值函函函函数数数数的的的的光光光光滑滑滑滑性性性性有有有有较较较较高高高高的的的的要要要要求求求求，例例例例如如如如飞飞飞飞机机机机机机机机翼翼翼翼外外外外形形形形、发发发发动动动动机机机机进进进进、排排排排气气气气口口口口都都都都要要要要求求求求有有有有连连连连续续续续的的的的二二二二阶阶阶阶导导导导数。数。数。数。显显然然我我们们前前面面介介绍绍的的方方法法已不能解决这个问题。已不能解决这个问题。早早早早期期期期工工工工程程程程师师师师制制制制图图图图时时时时，把把把把富富富富有有有有弹弹弹弹性性性性的的的的细细细细长长长长木木木木条条条条（所所所所谓谓谓谓样样样样条条条条）用用用用压压压压铁铁铁铁固固固固定定定定在在在在样样样样点点点点上上上上，在在在在其其其其它它它它地地地地方方方方让让让让它它它它自自自自由由由由弯弯弯弯曲曲曲曲，然然然然后后后后画画画画下下下下长长长长条条条条的的的的曲曲曲曲线线线线，称称称称为为为为样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线。它它它它实实实实际际际际上上上上是是是是由由由由分分分分段段段段三三三三次次次次曲曲曲曲线线线线并并并并接接接接而而而而成成成成，在在在在连连连连接接接接点点点点即即即即样样样样点点点点上上上上要要要要求求求求二二二二阶阶阶阶导导导导数数数数连连连连续续续续，从从从从数数数数学学学学上上上上加加加加以以以以概概概概括括括括就就就就得得得得到到到到数数数数学学学学样条样条样条样条这一概念。这一概念。这一概念。这一概念。School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值3.2.3 三次样条插值三次样条插值f(x)H(x)S(x)注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于插值的根本区别在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值（除了在的导数值（除了在2个端点可能需要）个端点可能需要）；而；而 Hermite 插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。定义定义 设设 a x0 x1 xn b,三次样条函数三次样条函数三次样条函数三次样条函数 s(x)C2a,b,且在每个且在每个 xi,xi+1 上为上为三次多项式三次多项式三次多项式三次多项式。若它同时还满足。若它同时还满足s(xi)f(xi)，i 0,1,n.则则 s 称为称为 f 的的三次样条插值函数三次样条插值函数三次样条插值函数三次样条插值函数 (cubic spline interpolant).School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics 道道冲冲而而用用之之，或不盈。或不盈。渊渊兮兮似似万万物物之之宗宗。解解其其纷纷，和和其其光光，同其尘，湛兮似或存。同其尘，湛兮似或存。吾吾不不知知谁谁之之子子，象帝之先。象帝之先。School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics例1.对于给定的节点及函数值解:可得可得可得可得第第4章章 数据近似数据近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics得基本方程组得基本方程组得基本方程组得基本方程组将上述结果代入(10)式第第4章章 数据近似数据近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似3.2 分段插值分段插值3.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.2 分段插值分段插值4.2.3 三次样条插值三次样条插值School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第3 3节节 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似 给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。函数会将这些误差也包括在内。函数会将这些误差也包括在内。函数会将这些误差也包括在内。因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：不要求过所有的点（可以消除误差影响）；不要求过所有的点（可以消除误差影响）；不要求过所有的点（可以消除误差影响）；不要求过所有的点（可以消除误差影响）；尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：5 5个风景点，要修一条公路个风景点，要修一条公路个风景点，要修一条公路个风景点，要修一条公路S S使得使得使得使得S S为直线，且到所有风景点的距为直线，且到所有风景点的距为直线，且到所有风景点的距为直线，且到所有风景点的距离和最小。离和最小。离和最小。离和最小。School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics 天地不仁，以万物天地不仁，以万物为刍狗。圣人不仁，以为刍狗。圣人不仁，以百姓为刍狗。百姓为刍狗。天地之间，其犹橐天地之间，其犹橐迭乎？迭乎？虚而不屈，动而愈虚而不屈，动而愈出。多言数穷，不如守出。多言数穷，不如守中。中。School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似4.3 最小二乘近似最小二乘近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics第第4章章 数据近似数据近似School of mathematics and statisticsSchool of mathematics and statistics 谷神不死，是谓谷神不死，是谓玄牝。玄牝。玄牝之门是谓天玄牝之门是谓天地根。地根。绵绵若存，用之绵绵若存，用之不勤。不勤。