二阶系统的时间响应汇总课件

第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析3.3二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应令：令：令：令：式中式中式中式中阻尼系数，阻尼系数，阻尼系数，阻尼系数，无阻尼振荡角频率。无阻尼振荡角频率。无阻尼振荡角频率。无阻尼振荡角频率。凡是能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。凡是能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。凡是能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。凡是能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。开环开环开环开环:闭环闭环闭环闭环:3.3.13.3.13.3.13.3.1 二阶系统数学模型及其标准形式二阶系统数学模型及其标准形式二阶系统数学模型及其标准形式二阶系统数学模型及其标准形式3.3 二阶系统的瞬态响应令：式中 阻尼系数，第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析RLCRLC电路、电动机转速控制系统电路、电动机转速控制系统电路、电动机转速控制系统电路、电动机转速控制系统典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分环节串联的单位负反馈系统。积分环节串联的单位负反馈系统。积分环节串联的单位负反馈系统。积分环节串联的单位负反馈系统。RLC电路、电动机转速控制系统典型二阶系统是一个前向通道为惯第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析3.3.23.3.2、二阶系统的特征根（极点）分布、二阶系统的特征根（极点）分布、二阶系统的特征根（极点）分布、二阶系统的特征根（极点）分布 求解二阶系统特征方程，求解二阶系统特征方程，求解二阶系统特征方程，求解二阶系统特征方程，可得可得可得可得 3.3.2、二阶系统的特征根（极点）分布 第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析二阶系统的时间响应汇总课件第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析 (1).(1).欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼 是一对共轭复数根。是一对共轭复数根。是一对共轭复数根。是一对共轭复数根。(2).(2).临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼 是两个相同的负实根。是两个相同的负实根。是两个相同的负实根。是两个相同的负实根。(3).(3).过阻尼过阻尼过阻尼过阻尼 是两个不同的负实根。是两个不同的负实根。是两个不同的负实根。是两个不同的负实根。(4).(4).无阻尼无阻尼无阻尼无阻尼 是一对共轭纯虚数根。是一对共轭纯虚数根。是一对共轭纯虚数根。是一对共轭纯虚数根。(1).欠阻尼第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析3.3.33.3.33.3.33.3.3、二阶系统的单位阶跃响应、二阶系统的单位阶跃响应、二阶系统的单位阶跃响应、二阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入对于单位阶跃输入对于单位阶跃输入对于单位阶跃输入于是于是于是于是由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为 下面按阻尼比分别讨论。下面按阻尼比分别讨论。下面按阻尼比分别讨论。下面按阻尼比分别讨论。3.3.3、二阶系统的单位阶跃响应 第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析1.1.当当当当时，称为欠阻尼时，称为欠阻尼时，称为欠阻尼时，称为欠阻尼称为有阻尼振荡角频率称为有阻尼振荡角频率称为有阻尼振荡角频率称为有阻尼振荡角频率共扼复根共扼复根共扼复根共扼复根:令令令令:1.当时，称为欠阻尼称为有阻尼振荡角频率共扼复根:令:第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析二阶系统的时间响应汇总课件第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析即：即：即：即：有阻尼振荡角频率；有阻尼振荡角频率；有阻尼振荡角频率；有阻尼振荡角频率；滞后角度。滞后角度。滞后角度。滞后角度。衰减指数；衰减指数；衰减指数；衰减指数；式中式中式中式中:即：有阻尼振荡角频率；滞后角度。衰减指数；式中:第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析s1s2s1s2第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析讨论讨论讨论讨论:(1)(1)(1)(1)欠欠欠欠阻阻阻阻尼尼尼尼情情情情况况况况下下下下，二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统的的的的单单单单位位位位阶阶阶阶跃跃跃跃响响响响应应应应是是是是衰衰衰衰减减减减的的的的正正正正弦弦弦弦振振振振荡荡荡荡曲曲曲曲线线线线。衰衰衰衰减减减减速速速速度度度度取取取取决决决决于于于于特特特特征征征征根根根根实实实实部部部部的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值n n n n的的的的大大大大小小小小，振振振振荡荡荡荡角角角角频频频频率率率率是是是是特特特特征征征征根根根根虚虚虚虚部部部部的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值，即即即即有阻尼自振角频率有阻尼自振角频率有阻尼自振角频率有阻尼自振角频率d d d d，(2)(2)(2)(2)振荡周期振荡周期振荡周期振荡周期为为为为 (3)(3)(3)(3)越越越越大大大大，振振振振幅幅幅幅衰衰衰衰减减减减越越越越快快快快，振振振振荡荡荡荡周周周周期期期期越越越越长长长长（频频频频率率率率越越越越低）。低）。低）。低）。讨论:第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析2.临界阻尼临界阻尼(1)此时，系统具有此时，系统具有此时，系统具有此时，系统具有二重负实极点二重负实极点二重负实极点二重负实极点，则，则，则，则2.临界阻尼(1)第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析 单位阶跃响应为单位阶跃响应为单位阶跃响应为单位阶跃响应为表明临界阻尼系统的阶跃响应是表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升单调上升的。的。单位阶跃响应的变化率为：单位阶跃响应的变化率为：单位阶跃响应的变化率为：单位阶跃响应的变化率为：临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值 单位阶跃响应为表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。单位第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析特点：特点：单调上升，无振单调上升，无振荡、无超调；荡、无超调；xo()=1，无，无稳态误差。稳态误差。特点：单调上升，无振荡、无超调；xo()=1，无第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析3.过阻尼过阻尼(1)这种情况下，系统存在这种情况下，系统存在这种情况下，系统存在这种情况下，系统存在两个不等的负实根两个不等的负实根两个不等的负实根两个不等的负实根，则，则，则，则3.过阻尼(1)第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析 拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：稳态分量稳态分量：1 1瞬瞬态态分分量量：两两个个指指数数函函数数之之和和，指指数数部部分分由由系系统统传传递递函数极点确定。函数极点确定。拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：稳态分量：1第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析特点：特点：单调上升，无振上升，无振荡，过渡渡过程程时间长xo()=1，无，无稳态误差差特点：单调上升，无振荡，过渡过程时间长 xo()=第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析4.4.零阻尼情况（零阻尼情况（零阻尼情况（零阻尼情况（）这是一条平均值为这是一条平均值为这是一条平均值为这是一条平均值为1 1的余弦形式等幅振荡，其振荡频的余弦形式等幅振荡，其振荡频的余弦形式等幅振荡，其振荡频的余弦形式等幅振荡，其振荡频率为率为率为率为故称为故称为故称为故称为无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率。4.零阻尼情况（）这是一条平均值为1的余弦形第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析5.5.负阻尼情况（负阻尼情况（负阻尼情况（负阻尼情况（）分析方法与正阻尼情况类似，只是其响应表达式的指分析方法与正阻尼情况类似，只是其响应表达式的指分析方法与正阻尼情况类似，只是其响应表达式的指分析方法与正阻尼情况类似，只是其响应表达式的指数项变为正指数，故随着时间数项变为正指数，故随着时间数项变为正指数，故随着时间数项变为正指数，故随着时间时，其输出时，其输出时，其输出时，其输出，即负阻尼系统的响应是发散的，系统不稳定。即负阻尼系统的响应是发散的，系统不稳定。即负阻尼系统的响应是发散的，系统不稳定。即负阻尼系统的响应是发散的，系统不稳定。0t xo(t)-10 t 0 xo(t)-1 特点：特点：单调发散单调发散特点：特点：振荡发散振荡发散5.负阻尼情况（）分析方法第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0不同不同下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图0123456789101112nt c(t)0.20.4第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析几点结论：几点结论：几点结论：几点结论：q二阶系统的阻尼比二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：决定了其振荡特性：0时，阶跃响应发散，系统不稳定；时，阶跃响应发散，系统不稳定；1时，无振荡、无超调，过渡过程长；时，无振荡、无超调，过渡过程长；0 1时，有振荡，时，有振荡，愈小，振荡愈严重，愈小，振荡愈严重，但响应愈快但响应愈快;=0时，出现等幅振荡。时，出现等幅振荡。几点结论：二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：0第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析q工程中除了一些不允许产生振荡的应用，工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在尼系统，且阻尼比通常选择在0.4-0.8之间，之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。大的振荡。q 一定时，一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。的快速性越好。几点结论：几点结论：几点结论：几点结论：工程中除了一些不允许产生振荡的应用，一定时，n越大第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析系统性能指标可以在时间域里提出，也可以在频率系统性能指标可以在时间域里提出，也可以在频率系统性能指标可以在时间域里提出，也可以在频率系统性能指标可以在时间域里提出，也可以在频率域里提出，时域内的比较直观。域里提出，时域内的比较直观。域里提出，时域内的比较直观。域里提出，时域内的比较直观。瞬态响应性能指标包括：瞬态响应性能指标包括：瞬态响应性能指标包括：瞬态响应性能指标包括：（1 1 1 1）上升时间）上升时间）上升时间）上升时间 （RiseTimeRiseTime）：响应曲线从零时刻到：响应曲线从零时刻到：响应曲线从零时刻到：响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到达稳态值所需的时间。达稳态值所需的时间。达稳态值所需的时间。达稳态值所需的时间。（3 3 3 3）最大超调量）最大超调量）最大超调量）最大超调量 （MaximumOvershootMaximumOvershoot）：单位阶跃：单位阶跃：单位阶跃：单位阶跃输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示。分数表示。分数表示。分数表示。（2 2 2 2）峰值时间）峰值时间）峰值时间）峰值时间 （PeakTimePeakTime）：响应曲线从零时刻到：响应曲线从零时刻到：响应曲线从零时刻到：响应曲线从零时刻到达峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所达峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所达峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所达峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所需的时间。需的时间。需的时间。需的时间。3.3.43.3.4时域分析性能指标时域分析性能指标 系统性能指标可以在时间域里提第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析（6 6 6 6）振荡次数）振荡次数）振荡次数）振荡次数 ：在调整时间响应曲线振荡的次数。：在调整时间响应曲线振荡的次数。：在调整时间响应曲线振荡的次数。：在调整时间响应曲线振荡的次数。上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统的快速性，而最大超调量的快速性，而最大超调量的快速性，而最大超调量的快速性，而最大超调量 、振荡次数反映系统的相对稳定、振荡次数反映系统的相对稳定、振荡次数反映系统的相对稳定、振荡次数反映系统的相对稳定性。性。性。性。（4 4 4 4）调整时间）调整时间）调整时间）调整时间 （SettlingTimeSettlingTime）：响应曲线达到并：响应曲线达到并：响应曲线达到并：响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。一直保持在允许误差范围内的最短时间。一直保持在允许误差范围内的最短时间。一直保持在允许误差范围内的最短时间。（5 5 5 5）延迟时间）延迟时间）延迟时间）延迟时间 （DelayTimeDelayTime）：响应曲线从零上升：响应曲线从零上升：响应曲线从零上升：响应曲线从零上升稳态值稳态值稳态值稳态值50505050所需的时间。所需的时间。所需的时间。所需的时间。常用的指标常用的指标常用的指标常用的指标:最大超调量、峰值时间、调整时间和振最大超调量、峰值时间、调整时间和振最大超调量、峰值时间、调整时间和振最大超调量、峰值时间、调整时间和振荡次数。荡次数。荡次数。荡次数。3.3.43.3.4时域分析性能指标时域分析性能指标（6）振荡次数：在调整时间响应曲线振荡的次数。第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析二阶系统的时间响应汇总课件第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析欠阻尼时二阶系统单位阶跃响应性能指标的计算欠阻尼时二阶系统单位阶跃响应性能指标的计算欠阻尼时二阶系统单位阶跃响应性能指标的计算欠阻尼时二阶系统单位阶跃响应性能指标的计算:11上升时间上升时间上升时间上升时间当当当当时，时，时，时，由于上升时间是输出首次达到稳态值的时间，故由于上升时间是输出首次达到稳态值的时间，故由于上升时间是输出首次达到稳态值的时间，故由于上升时间是输出首次达到稳态值的时间，故欠阻尼时二阶系统单位阶跃响应性能指标的计算:1 上升时间当时第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析结论：当结论：当结论：当结论：当 n n一定时，阻尼比越大，则上升时间一定时，阻尼比越大，则上升时间一定时，阻尼比越大，则上升时间一定时，阻尼比越大，则上升时间t tr r 越长；越长；越长；越长；当阻尼比一定时，当阻尼比一定时，当阻尼比一定时，当阻尼比一定时，n n 越大，则越大，则越大，则越大，则t tr r 越短。越短。越短。越短。结论：当n一定时，阻尼比越大，则上升时间tr 越长；当阻第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析当当当当时，时，时，时，22峰值时间峰值时间峰值时间峰值时间当时，2 峰值时间第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析33最大超调量最大超调量最大超调量最大超调量00.10.20.30.40.50.60.7110072.952.7 37.2 25.4 16.3 9.44.30不同阻尼比的最大超调量不同阻尼比的最大超调量不同阻尼比的最大超调量不同阻尼比的最大超调量3 最大超调量00.10.20.30.40.50.60.71第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析结论：结论：结论：结论：二阶系统的最大超调量与阻尼比二阶系统的最大超调量与阻尼比二阶系统的最大超调量与阻尼比二阶系统的最大超调量与阻尼比 值有密切值有密切值有密切值有密切的关系的关系的关系的关系阻尼比越小，超调量越大。阻尼比越小，超调量越大。阻尼比越小，超调量越大。阻尼比越小，超调量越大。结论：二阶系统的最大超调量与阻尼比 值有密切 阻第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析（4 4）调整时间）调整时间）调整时间）调整时间包络线函数为：包络线函数为：包络线函数为：包络线函数为：以进入以进入以进入以进入5 5误差范围为误差范围为误差范围为误差范围为例：例：例：例：（4）调整时间包络线函数为：以进入5误差范围为例：第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析当阻尼比较小时：当阻尼比较小时：当阻尼比较小时：当阻尼比较小时：此时，欠阻尼的二阶系统进入此时，欠阻尼的二阶系统进入此时，欠阻尼的二阶系统进入此时，欠阻尼的二阶系统进入5 5的误差范围。的误差范围。的误差范围。的误差范围。同理可证，欠阻尼的二阶系统进入同理可证，欠阻尼的二阶系统进入同理可证，欠阻尼的二阶系统进入同理可证，欠阻尼的二阶系统进入2 2的误差范围，的误差范围，的误差范围，的误差范围，则有：则有：则有：则有：结论：结论：调节时间调节时间调节时间调节时间t ts s 近似与近似与近似与近似与成反比关系。成反比关系。成反比关系。成反比关系。当阻尼比较小时：此时，欠阻尼的二阶系统进入5的误差范围。同第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析（5 5）延迟时间）延迟时间）延迟时间）延迟时间令令令令在较大的在较大的在较大的在较大的 值范围内，近似有值范围内，近似有值范围内，近似有值范围内，近似有 时，亦可用时，亦可用时，亦可用时，亦可用（5）延迟时间 令在较大的值范围内，近似有 时，亦可用第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析二二阶系系统的的动态性能由性能由 n和和 决定。决定。结论结论 通常根据允通常根据允许的最大超的最大超调量来确定量来确定。一般一般选择在在0.40.8之之间，然后再，然后再调整整 n以以获得合得合适的瞬适的瞬态响响应时间。一定，一定，n越大，系越大，系统响响应快速性越好，快速性越好，tr、tp、ts越小。越小。增加增加 可以降低振可以降低振荡，减小超，减小超调量量Mp 和振和振荡次数次数N，但系，但系统快速性降低，快速性降低，tr、tp增加；增加；二阶系统的动态性能由n和决定。结论 通常根据允许的第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析例例题1 图图a)所示机械系统，当在质量块所示机械系统，当在质量块M上施加上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，的阶跃力后，M的位移时间响应如图的位移时间响应如图b)。试求系统。试求系统的质量的质量M、弹性系数、弹性系数K和粘性阻尼系数和粘性阻尼系数D的值。的值。m f(t)KDxo(t)a)00.030.00292t/s 13xo(t)/mtpb)例题1 图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析解：根据牛顿第二定律：解：根据牛顿第二定律：其中，系统的传递函数为：系统的传递函数为：解：根据牛顿第二定律：其中，系统的传递函数为：第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析由于由于F(s)=Lf(t)=L8.9=8.9/s，因此，因此根据拉氏根据拉氏变换的的终值定理：定理：由由图b)知知xo()=0.03m，因此：，因此：K=8.9/0.03=297N/m由于F(s)=Lf(t)=L8.9=8.9/s，因此第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析又由又由图b)知：知：解得：解得：=0.6又由：代入代入，可得，可得 n=1.96rad/s根据解得解得M=77.3Kg，D=181.8Nm/s又由图b)知：解得：=0.6又由：代入，可得n=1第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析例例题2 已知已知单位反位反馈系系统的开的开环传递函数函数为：求求K=200时，系，系统单位位阶跃响响应的的动态性能性能指指标。若。若K 增大到增大到1500或减小到或减小到13.5，试分分析析动态性能指性能指标的的变化情况。化情况。例题2 已知单位反馈系统的开环传递函数为：求K=200时第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析解：系解：系统闭环传递函数函数为：1）K=200时 n=31.6rad/s，=0.545解：系统闭环传递函数为：1）K=200时 n=31.第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析2）K=1500时 n=86.2rad/s，=0.2，同，同样可可计算得：算得：tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%，ts=0.174s可可见，增大，增大K，减小，减小，n提高，引起提高，引起tp减小，减小，Mp增增大，而大，而ts无无变化化2）K=1500时 n=86.2rad/s，=0.2第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析3）K=13.5时 n=8.22rad/s，=2.1，系，系统工作于工作于过阻尼状阻尼状态，传递函数可以改写函数可以改写为：即系即系统可以可以视为由两个由两个时间常数不同的一常数不同的一阶系系统串串联组成，其中：成，其中：T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5时 n=8.22rad/s，=2.1第三章第三章控制系统的时域分析控制系统的时域分析对于于过阻尼系阻尼系统，tp，Mp已无意已无意义，而，而调整整时间ts可以通可以通过其中其中时间常数大的一常数大的一阶系系统进行估算，即：行估算，即：ts=3T1=1.443s(=0.05)显然，然，ts比前两种情形要大得多，比前两种情形要大得多，虽然系然系统无超无超调，但但过渡渡过程程缓慢。慢。对于过阻尼系统，tp，Mp已无意义，而调整时间ts可以通过其