自动控制原理第2章-数学基础课件

第第2章章 数学基础数学基础1第2章 数学基础12024/7/142.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换本章内容本章内容2.2拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.3MatlabMatlab运算基础运算基础第第2章章 数学基础数学基础22023/8/142.1拉普拉斯变换本章内容2.2拉普拉斯反2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2.1.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换可将时域函数拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换变换为频域函数为频域函数F(s)。只要。只要f(t)在区间在区间0,有定有定义，则有义，则有2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础32.1 拉普拉斯变换2.1.1 拉普拉斯变换的定义20232.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u上式是拉氏变换的定义式。由定义式可上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的一个复频域函数。式中的e-st称为称为收敛因收敛因子子，收敛因子中的，收敛因子中的s=+j 是一个复数形是一个复数形式的频率，称为式的频率，称为复频率复频率复频率复频率，其实部恒为正，其实部恒为正，虚部既可为正、为负，也可为零。上式虚部既可为正、为负，也可为零。上式左边的左边的F F(s s)称为复频域函数称为复频域函数称为复频域函数称为复频域函数，是，是时域函时域函时域函时域函数数数数f f(t t)的拉氏变换，的拉氏变换，F(s)也叫做也叫做f(t)的的象函象函象函象函数数数数。记作。记作2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础42.1 拉普拉斯变换上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u【例【例2-1】求】求单位位阶跃函数函数 、单位冲激函数位冲激函数 、指数函数、指数函数 的象函数。的象函数。解：解：2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础52.1 拉普拉斯变换【例2-1】求单位阶跃函数 2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2.1.2拉普拉斯变换的性质1线性性性性质设函数函数 和函数和函数 的象函数分的象函数分别为和和 ，和和 是两个任意的是两个任意的实数，数，则2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础62.1 拉普拉斯变换2.1.2 拉普拉斯变换的性质20232.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2微分性微分性质函数函数 的象函数与其的象函数与其导数数 的象的象函数之函数之间有如下关系：有如下关系：若：若：则有：有：2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础72.1 拉普拉斯变换2微分性质2023/8/14第2章 数2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3积分性分性质函数函数 的象函数与其的象函数与其积分分 的象的象函数之函数之间满足如下关系：足如下关系：若：若：则有：有：2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础82.1 拉普拉斯变换3积分性质2023/8/14第2章 数2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4延延迟性性质函数函数 的象函数与其延的象函数与其延迟函数函数 的的象函数之象函数之间有如下关系：有如下关系：若：若：则有：有：2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础92.1 拉普拉斯变换4延迟性质2023/8/14第2章 数2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换5终值定理定理函数函数 及其一及其一阶导数都是可拉氏数都是可拉氏变换的，的，则 的的终值为：2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础102.1 拉普拉斯变换5终值定理2023/8/14第2章 数2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换6初初值定理定理函数函数 及其一及其一阶导数都是可拉氏数都是可拉氏变换的，的，则 的初的初值为：2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础112.1 拉普拉斯变换6初值定理2023/8/14第2章 数2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换7卷卷积性性质卷卷积的定的定义为：若：若 和和 可以可以进行行拉氏拉氏变换，称，称积分分 为 和和 的的卷卷积。记为 ，即，即2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础122.1 拉普拉斯变换7卷积性质2023/8/14第2章 数2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u卷卷积定理定理为：若：若 ，则：即，即，两个原函数的卷两个原函数的卷积的拉氏的拉氏变换等于两等于两个象函数的乘个象函数的乘积。卷。卷积性性质在求解拉式反在求解拉式反变换的的时候，起着十分重要的作用。候，起着十分重要的作用。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础132.1 拉普拉斯变换卷积定理为：若 2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.2.1拉普拉斯反变换的定义拉式反拉式反变换的定的定义如下：如下：式中式中为正的有限常数。正的有限常数。通常可用符号通常可用符号 表示表示对方括号里的复方括号里的复变函数作拉氏反函数作拉氏反变换，记作作2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础142.2 拉普拉斯反变换2.2.1 拉普拉斯反变换的定义22.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.2.2拉普拉斯反变换的部分分式展开自自动控制系控制系统的响的响应的象函数的象函数F(s)通常可通常可以表示以表示为两个两个实系数的系数的s的多的多项式之比，即式之比，即s的一个有理分式：的一个有理分式：其中其中m和和n为正整数，且正整数，且nm。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础152.2 拉普拉斯反变换2.2.2 拉普拉斯反变换的部分分2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换把上式把上式F(s)分解成若干分解成若干简单项之和，之和，需要需要对分母多分母多项式作因式分解，求出式作因式分解，求出D(s)=0的根，可以有三种情况：的根，可以有三种情况：D(s)=0有有n个个单根根D(s)=0有重根有重根D(s)=0有共有共轭复根复根2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础162.2 拉普拉斯反变换把上式F(s)分解成若干简单项之和2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换1、D(s)=0有有n个个单根根设n个个单根分根分别为p1,p2，,pn，于是，于是F(s)可可以展开以展开为：式中，式中，k1,k2，,kn为待定系数。待定系数。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础172.2 拉普拉斯反变换1、D(s)=0有n个单根2023/2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换待定系数确定方法：待定系数确定方法：上式两上式两边同乘以同乘以 ，得得令令 ，等式除右，等式除右边第一第一项外其余都外其余都变为零，即可求得零，即可求得同理，可求得其余的系数。同理，可求得其余的系数。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础182.2 拉普拉斯反变换待定系数确定方法：2023/8/142.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换待定系数确定之后，待定系数确定之后，对应的原函数的原函数求解公式求解公式为：2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础192.2 拉普拉斯反变换2023/8/14第2章 数学基础12.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换u【例【例2-1】求】求 的原的原函数函数f(t)。解：解：的两个根的两个根为：,代入公式得代入公式得2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础202.2 拉普拉斯反变换【例2-1】求 2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换u得到象函数得到象函数为：u得到原函数得到原函数为：2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础212.2 拉普拉斯反变换得到象函数为：2023/8/14第22.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2、D(s)=0有重根有重根设p1为D(s)=0的重根，其余的全部都的重根，其余的全部都为单根，根，则F(s)可以分解可以分解为对于于单根，仍然采用前面的方法根，仍然采用前面的方法计算。算。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础222.2 拉普拉斯反变换2、D(s)=0有重根2023/82.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换对于于 和和 ，则需要用到下式需要用到下式：由上式把由上式把 单独分离出来，可得：独分离出来，可得：再再对式式上上中的中的s求一求一阶导数，数，分离分离 ，得，得2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础232.2 拉普拉斯反变换对于 和 ，则2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换如果如果D(s)=0具有具有q阶重根重根时，其余，其余为单根根时的分解式的分解式为式中式中2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础242.2 拉普拉斯反变换如果D(s)=0具有q阶重根时，其余2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换【例【例2-2】求】求 的原函数的原函数f(t)解：令解：令 =0重根重根为p1=0，单根根为 p2=-22024/7/14第第2章章 数学基础数学基础252.2 拉普拉斯反变换【例2-2】求 2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础262.2 拉普拉斯反变换2023/8/14第2章 数学基础22.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换u得到象函数得到象函数为：u得到原函数得到原函数为：2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础272.2 拉普拉斯反变换2023/8/14第2章 数学基础22.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换3、D(s)=0有共有共轭复根复根设共共轭复根复根为 ，则2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础282.2 拉普拉斯反变换3、D(s)=0有共轭复根2023/2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换u由于由于F(s)是是实系数多系数多项式之比，故式之比，故k1和和k2也也为共共轭复数。复数。u设 ，则 ，有，有2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础292.2 拉普拉斯反变换由于F(s)是实系数多项式之比，故k2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换【例【例2-3】求】求 的原函数的原函数f(t)u解：解：求得两共求得两共轭复根复根为2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础302.2 拉普拉斯反变换【例2-3】求 2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础312.2 拉普拉斯反变换2023/8/14第2章 数学基础32.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础2.3.1矩阵运算1矩矩阵的建立的建立矩矩阵是以是以“”为开始，以开始，以“”为结束，束，矩矩阵同一行之同一行之间以空格或者逗号分隔，行以空格或者逗号分隔，行和行之和行之间以分号或者回以分号或者回车符分隔。建立矩符分隔。建立矩阵的方法有直接的方法有直接输入矩入矩阵的元素、在的元素、在现有有矩矩阵中添加或者中添加或者删除元素、采用除元素、采用现有的矩有的矩阵组合、矩合、矩阵转向、矩向、矩阵移位及直接通移位及直接通过函数建立矩函数建立矩阵等。等。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础322.3 MATLAB运算基础2.3.1 矩阵运算2022.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础2矩矩阵的函数建立的函数建立（1）单位矩位矩阵单位矩位矩阵可以用函数可以用函数“eye(m,n)”实现，其中：其中：m是要生成的矩是要生成的矩阵的行数，的行数，n是要生是要生成的矩成的矩阵的列数。的列数。（2）全）全为1的矩的矩阵全部元素全部元素为1的矩的矩阵可以用函数可以用函数“ones(m,n)”来生成，其中：来生成，其中：m是要生成的是要生成的矩矩阵的行数，的行数，n是要生成的矩是要生成的矩阵的列数。的列数。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础332.3 MATLAB运算基础2矩阵的函数建立2023/2.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础（3）全）全为0的矩的矩阵元素全部元素全部为0的矩的矩阵可以用函数可以用函数“zeros(m,n)”来生成，其中：来生成，其中：m是要生成的是要生成的矩矩阵的行数，的行数，n是要生成的矩是要生成的矩阵的列数。的列数。（4）魔方矩）魔方矩阵魔方矩魔方矩阵可以用函数可以用函数“magic(m)”来来生成，其中：生成，其中：m是要生成的矩是要生成的矩阵的的维数。数。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础342.3 MATLAB运算基础（3）全为0的矩阵2023/2.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础（5）随机矩）随机矩阵随机矩随机矩阵可由函数可由函数“rand(m,n)”或者或者“randn(m,n)”来来实现，它，它们分分别表示生成表示生成的元素服从的元素服从01间的均匀分布的随机矩的均匀分布的随机矩阵，元素服从均元素服从均值为0和方差和方差为1的正的正态分布的分布的随机矩随机矩阵。3矩矩阵的基本运算的基本运算矩矩阵之之间可以可以进行加行加“+”、减、减“-”、乘、乘“*”、除、除“/”、“”、幂“”、对数数“logm”、和指数和指数“expm”运算。在运算。在进行左除行左除“/”和右和右除除“”时，两个矩，两个矩阵的的维数必数必须相同。相同。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础352.3 MATLAB运算基础（5）随机矩阵2023/8/2.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础4矩矩阵的函数运算的函数运算（1）矩）矩阵的行列式和的行列式和转置置矩矩阵的行列式的的行列式的值可以用函数可以用函数“det()”来来计算；算；转置矩置矩阵是矩是矩阵元素的元素的转换，可用函数可用函数“rot90”、“fliplr”等来等来实现。（2）矩）矩阵的特征的特征值和特征向量和特征向量矩矩阵的特征的特征值和特征向量的运算可和特征向量的运算可用函数用函数“eig()”或者或者“eigs()”来来实现。（3）矩）矩阵的秩和迹的秩和迹矩矩阵的秩可用函数的秩可用函数“rank()”来来实现，矩矩阵的迹可用函数的迹可用函数“trace()”来来实现。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础362.3 MATLAB运算基础4矩阵的函数运算2023/2.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础2.3.2 符号运算符号运算1、符号符号对象的象的创建和使用建和使用符号符号对象的象的创建可由函数建可由函数“sym()”和和“syms()”完成完成2、符号表达式的操作符号表达式的操作MATLAB符号表达式的操作涉及符号运算符号表达式的操作涉及符号运算中的因式分解、展开、化中的因式分解、展开、化简等，它等，它们在符在符号运算中非常重要，其相关的一些函数操号运算中非常重要，其相关的一些函数操作命令及功能如下表作命令及功能如下表2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础372.3 MATLAB运算基础2.3.2 符号运算2022.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础382.3 MATLAB运算基础2023/8/14第2章 数2.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础2.3.3关系运算和逻辑运算u在在MATLAB中，关系运算和中，关系运算和逻辑运算有运算有其其规定的关系运算符号和定的关系运算符号和逻辑运算符号，运算符号，其符号和功能如表其符号和功能如表2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础39关系运算符逻辑运算符2.3 MATLAB运算基础2.3.3 关系运算和逻辑2.3 MATLAB2.3 MATLAB运算基础运算基础u此外此外MATLAB还提供了几个关系和提供了几个关系和逻辑函数函数这些些函数有：函数有：uxor(x,y)，该函数表示函数表示逻辑异或，如果异或，如果x或者或者y中的中的任意一个不任意一个不为零，而另一个零，而另一个为零，就返回零，就返回true，如果如果x和和y同同时为零或者同零或者同时不不为零，就返回零，就返回false。uany(x)，该函数表示如果向量函数表示如果向量x的任意一个元素不的任意一个元素不为零，就返回零，就返回true，对于数于数组x的每一列，如果任的每一列，如果任何一个元素不何一个元素不为零，零，该列返回列返回true。uall(x)，该函数表示如果向量函数表示如果向量x中的所有元素都不中的所有元素都不为零，零，则返回返回true，对于数于数组x的每一列，如果所的每一列，如果所有的元素都不有的元素都不为零，零，该列返回列返回true。2024/7/14第第2章章 数学基础数学基础402.3 MATLAB运算基础此外MATLAB还提供了几个结结 束束41谢谢大家！结 束41