第二章弹性力学的基本方程和一般定理1课件

第二章第二章 弹性力学的基本方程和一般定理弹性力学的基本方程和一般定理2-1 2-1 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念2-2 2-2 平衡（运动）微分方程平衡（运动）微分方程2-4 2-4 广义广义HookeHooke定律定律2-5 2-5 斜面应力公式与应力边界条件斜面应力公式与应力边界条件2-6 2-6 位移边界条件位移边界条件1-2 1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念基本概念：基本概念：外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。1.外力外力体力、面力体力、面力（材力：集中力、分布力。）（材力：集中力、分布力。）(1)体体力力 弹性体内单位体积上所受的外力弹性体内单位体积上所受的外力 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位：N/m3kN/m3说明：说明：(1)F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2)F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3)X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。(2)面面力力 作用于物体表面单位面积上的外力作用于物体表面单位面积上的外力 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzO 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：说明：(1)F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2)F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。2.应力应力(1)一点应力的概念一点应力的概念AQ内力内力(1)物体内部分子或原子间的相互物体内部分子或原子间的相互作用力作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)P(1)P点的内力面分布集点的内力面分布集度度(2)应力矢量应力矢量.-P点的应点的应力力的极限方向的极限方向由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的(2)一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：y面的应力：面的应力：z面的应力：面的应力：用矩阵表示：用矩阵表示：其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。剪应力互等定理剪应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.应力正负号的规定：应力正负号的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO与材力中剪应力与材力中剪应力正负正负号规定的区别：号规定的区别：xy规定使得单元体顺时规定使得单元体顺时转的剪应力转的剪应力为正，为正，反之为负。反之为负。在用应力莫尔圆时必须在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题用此规定求解问题xyzO3.形变形变形变形变 物体的形状改变物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。PBCA用线（正）应变用线（正）应变度量度量用剪应变用剪应变度量度量（剪应变（剪应变两垂直线段夹角（直角）的改变量）两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的线应变：三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：三个平面内的剪应变：(1)一点形变的度量一点形变的度量应变的正负：应变的正负：线应变：线应变：伸长时为正，缩短时为负；伸长时为正，缩短时为负；剪应变：剪应变：以直角变小时为正，变大时为负；以直角变小时为正，变大时为负；(2)一点应变状态一点应变状态xyzOPBCA其中其中应变无量纲；应变无量纲；4.位移位移注：注：一点的位移一点的位移 矢量矢量S应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即xyzOSwuvP位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移 分量；分量；v y方向的位移方向的位移 分量；分量；w z方向的位移方向的位移 分量。分量。量纲：量纲：m 或 mm弹性力学问题：弹性力学问题：已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：应力与外力应力与外力(体力、面力体力、面力)间的关系；间的关系；（2）几何学关系：）几何学关系：形变与位移间的关系；形变与位移间的关系；（3）物理学关系）物理学关系：(本构关本构关系系)形变与应力间的关系。形变与应力间的关系。2-2 2-2 平衡平衡(运动运动)微分方程微分方程 在物体内的任意一点在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。oxyzzzdzzss+zyzydzztt+zxzxdzztt+yydyyss+yzyzdyytt+yxyxdyytt+xsxytxztzszytzxtysyztyxtxxdxxss+xyxydxxtt+xzxzdxxtt+eeBPCAdxdydz首先，以连接六面体前后两面中心的直线首先，以连接六面体前后两面中心的直线 为矩轴，列出为矩轴，列出力矩的平衡方程力矩的平衡方程oxyzzzdzzss+zyzydzztt+zxzxdzztt+yydyyss+yzyzdyytt+yxyxdyytt+zszytzxtysyztyxteeBPCAdxdydz整理，并略去微量后，得整理，并略去微量后，得同样可以得出同样可以得出剪应力互等定理列出列出x轴方向的力的平衡方程轴方向的力的平衡方程 由其余两个平衡方程由其余两个平衡方程 和和 可以得出与之相似的两个方可以得出与之相似的两个方程。化简，除以程。化简，除以dxdydz，得，得空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 （纳维叶方程）（纳维叶方程）l如物体处于运动状态如物体处于运动状态,根据达朗伯根据达朗伯(dAlembert)原理原理,在在体力项中引入惯性力体力项中引入惯性力:运动微分方程2-3 2-3 几何方程和连续性方程几何方程和连续性方程第二节有关力学基本概念描述已知第二节有关力学基本概念描述已知:*在载荷作用下在载荷作用下,物体的形状和位置要发生变化物体的形状和位置要发生变化,*力学中用应变来度量一点形状的改变力学中用应变来度量一点形状的改变;用位移来用位移来度量一点位置的改变度量一点位置的改变.如已知物体中每一点的位移如已知物体中每一点的位移,则受载物体的位则受载物体的位置和形状均可确定置和形状均可确定.即位移与应变之间存在一定的即位移与应变之间存在一定的关系关系.描述位移与应变之间关系的方程称为几何方程描述位移与应变之间关系的方程称为几何方程 研究在研究在oxy平面平面内投影的变形，内投影的变形，PABCABCPPA=dxPB=dyPC=dz一一.几何方程几何方程一点的变形一点的变形线段的伸长或缩短；线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；线段间的相对转动；xyOP考察考察P点邻域内线段的变形：点邻域内线段的变形：AdxBdyuv变形前变形前变形后变形后PABuv注：这里略去了二阶注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。以上高阶无穷小量。xyOPAdxBdyuvPA的正应变：的正应变：PB的正应变：的正应变：P点的剪应变：点的剪应变：P点两直角线段夹点两直角线段夹角的变化角的变化xyOPAdxBdyuv整理得：整理得：几何方程几何方程l同样方法研究另外两平面同样方法研究另外两平面yoz和和zox上投影线元的变形可上投影线元的变形可得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也称柯西称柯西(Cauchy)方程方程几何方程几何方程（1）几何方程反映任一点的位移几何方程反映任一点的位移(3个分量个分量)与该点应变与该点应变(6个分量个分量)间的关系，是弹性力学的基本方程之一。间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当当 位移分量位移分量u、v、w已知，则已知，则6个应变分量可完全个应变分量可完全确定；反之，已知确定；反之，已知6个应变分量，不能确定位移分个应变分量，不能确定位移分量。量。（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）说明：说明：（3）几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运动的原因和材料的物理性能，对一切连续介质力动的原因和材料的物理性能，对一切连续介质力学问题都适用。学问题都适用。二二.连续性方程连续性方程l应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示；应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示；l已知位移分量已知位移分量,可通过求偏导数得到可通过求偏导数得到6个应变分量；个应变分量；这是唯一确定的。这是唯一确定的。l反之反之,已知应变分量求位移分量已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。需通过积分运算。-从数学上看，从数学上看，6个方程求个方程求3个未知量，如有解，个未知量，如有解，则则6个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才有可能得到唯一的位移解。才有可能得到唯一的位移解。-从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，应变间必须满足一定关系。称为相容性。应变间必须满足一定关系。称为相容性。表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续性方程，也称为变形相容方程或变形协调方程。性方程，也称为变形相容方程或变形协调方程。第1式对y求两阶偏导第2式对x求两阶偏导两式相加：将第4式代入得：l同理：同理：后三式分别对z、y、x求偏导得：l同理：同理：连续性方程p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后谢谢你的到来学习并没有结束，希望大家继续努力Learning Is Not Over.I Hope You Will Continue To Work Hard演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日