第二章图像增强与平滑课件

第二章图像增强与平滑 2.1 直方图直方图 2.2 灰度变换灰度变换 2.3 图像噪声图像噪声 2.4 去除噪声去除噪声 2.5 图像锐化图像锐化 2.1 直直 方方 图图 2.1.1 直方图的基本概念直方图的基本概念如果将图像中像素亮度（灰度级别）看成是一个随机变量，则其分布情况就反映了图像的统计特性，这可用ProbabilityDensity Function(PDF)来刻画和描述，表现为灰度直方图（Histogram）。灰度直方图是灰度级的函数，它表示图像中具有某种灰度级的像素的个数，反映了图像中每种灰度出现的频率，如图2-1所示。灰度直方图的横坐标是灰度级，纵坐标是该灰度级出现的频度，它是图像最基本的统计特征。图2-1图像灰度直方图设r代表图像中像素灰度级，作归一化处理后，r将被限定在0,1之内。在灰度级中，r=0代表黑，r=1代表白。对于一幅给定的图像来说，每一个像素取得0,1区间内的灰度级是随机的，也就是说r是一个随机变量。假定对每一瞬间，它们是连续的随机变量，那么就可以用概率密度函数pr(r)来表示原始图像的灰度分布。如果用直角坐标系的横轴代表灰度级r，用纵轴代表灰度级的概率密度函数pr(r)，这样就可以针对一幅图像在这个坐标系中作出一条曲线来。这条曲线在概率论中就是概率密度曲线，如图2-2所示。图2-2图像灰度分布概率密度函数从图像灰度级的分布可以看出一幅图像的灰度分布特性。例如，从图2-2中的(a)和(b)两个灰度分布概率密度函数中可以看出：(a)的大多数像素灰度值取在较暗的区域，所以这幅图像肯定较暗，一般在摄影过程中曝光过强就会造成这种结果；(b)图像的像素灰度值集中在亮区，因此，图像(b)将偏亮，一般在摄影中曝光太弱将导致这种结果。当然，从两幅图像的灰度分布来看图像的质量均不理想。2.1.2 直方图的性质直方图的性质（1）直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数（或频数）的统计结果，它只反映该图像中不同灰度值出现的次数（或频数），而未反映某一灰度值像素所在位置。也就是说，它只包含了该图像中某一灰度值的像素出现的概率，而丢失了其所在位置的信息。（2）任一幅图像，都能惟一地确定出一幅与它对应的直方图，但不同的图像，可能有相同的直方图。也就是说，图像与直方图之间是多对一的映射关系。如图2-3就是一个不同图像具有相同直方图的例子。图2-3图像与直方图间的多对一关系（3）由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到的，因此，一幅图像各子区的直方图之和就等于该图像全图的直方图，如图2-4所示。图2-4直方图的分解2.1.3 直方图的计算直方图的计算灰度直方图的计算非常简单，依据定义，在离散形式下，用rk代表离散灰度级，用pr(rk)代表pr(r)，并且有下式成立：式中：nk为图像中出现rk级灰度的像素数，n是图像像素总数，而nk/n即为频数。在直角坐标系中做出rk与pr(rk)的关系图形，即称为该图像的直方图。图2-5是灰度图像Lena图像及直方图，图2-6是彩色图像及其直方图。图2-5Lena图像及直方图（a）Lena图像；（b）Lena图像的直方图图2-6钟楼图像及其直方图（a）钟楼图像；（b）钟楼图像的直方图2.1.4 直方图的拉伸直方图的拉伸如上所述，一幅给定图像的灰度级分布在0r1范围内。可以对0,1区间内的任一个r值进行如下变换：s=T(r)(2-2)也就是说，通过上述变换，每个原始图像的像素灰度值r都对应产生一个s值。变换函数T(r)要满足单调增加，且在01。满足这两个条件的变换函数的例子如图2-7所示。从s到r的反变换可用下式表示：r=T-1(s)(2-3)图2-7灰度拉伸变换函数2.1.5 直方图均衡直方图均衡直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基础的直方图修正法。假定变换函数为式中：是积分变量，而就是r的累积分布函数。这里，累积分布函数是r的函数，并且单调地从0增加到1，所以这个变换函数满足关于T(r)在0r1内单值单调增加。在0r1内有0T(r)1的两个条件。(2-6)在变换后的变量s在定义域内的概率密度是均匀分布的。因此，用r的累积分布函数作为变换函数，可产生一幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像。其结果扩展了像素取值的动态范围。例如，在图2-9中，(a)是原始图像的概率密度函数。从图中可知，该图像的灰度集中在较暗的区域，是一幅曝光过强的照片。由图(a)可知，原始图像的概率密度函数为用累积分布函数原理求变换函数变换后的s值与r值的关系为按照这样的关系变换，就可以得到一幅改善质量的新图像。这幅图像的灰度层次将不再是呈现较暗色调的图像，而是一幅灰度层次较为适中，比原始图像清晰，明快得多的图像。可以证明，变换后的灰度及概率密度是均匀分布的。图2-9(b)和(c)分别为变换函数和变换后的均匀的概率密度函数。图2-9直方图变换法（a）原始概率密度函数；（b）变换函数；（c）变换后的概率密度函数上述方法是以连续随即变量为基础进行讨论的。当灰度级是离散值时，可用频数近似替代概率值。假如一幅大小为6464，灰度级为8级的图像，对其进行均衡化处理。其灰度直方图如图2-10（a），变换函数如图2-10（b），变换后的直方图如图2-10（c）。图2-10直方图均衡化处理(a)变换前的直方图；(b)变换函数；(c)变换后的直方图由上可见，利用累积分布函数作为灰度变换函数，经变换后得到的新直方图虽然不很平坦，但毕竟比原始图像的直方图平坦的多，而且其动态范围也大大地扩展了。因此，这种方法对于对比度较弱的图像进行处理是很有效的。图2-11是经直方图均衡化后的Lena图像和其直方图。因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换一般得不到完全平坦的结果。图2-11经直方图均衡化后的Lena图像及直方图（a）经直方图均衡化后的Lena图像；（b）均衡化后的Lena图像的直方图2.2 灰灰 度度 变变 换换 2.2.1 灰度线性变换灰度线性变换假定原图像f(x,y)的灰度范围为a,b，希望变换后图像g(x,y)的灰度范围扩展至c,d，则线性变换可表示为如图2-12。图2-12灰度范围的线性变换图2-13线性灰度变换(a)原始图像；(b)灰度变换后的图像对图2-13（a）的图像进行现行变换后如图2-13（b）。2.2.2 分段线性变换分段线性变换为了突出感兴趣的目标或灰度区间，相对抑制那些不感兴趣的灰度区域，可采用分段线性变换。常用的三段线性变换法如图2-14所示，其数学表达式如下：图2-14分段线性变换2.2.3 非线性变换非线性变换 图2-15常见的几种非线性变换函数非线性点运算对应于非线性映射函数，典型的应设包括平方函数、对数函数等，如图2-15给出了几种典型的非线性点运算的映射函数。2.3 图图 像像 噪噪 声声 2.3.1 概述概述噪声在理论上可以定义为“不可预测，只能用概率统计方法来认识的随机误差”。因此，将图像噪声看成是多维随机过程是合适的，描述噪声的方法完全可以借用随机过程及其概率分布函数和概率密度函数。但在很多情况下，这种描述方法很复杂，甚至不可能，而且实际应用往往也不必要，通常是用其数字特征，即均值方差、相关函数等进行处理。2.3.2 图像噪声分类图像噪声分类图像噪声按其产生的原因可分为外部噪声和内部噪声。外部噪声是指系统外部干扰从电磁波或经电源传进系统内部而引起的噪声，如电气设备、天体放电现象等引起的噪声。主要外部干扰如下：（1）由光和电的基本性质所引起的噪声。（2）电器的机械运动产生的噪声。如,各种接头因抖动引起的电流变化所产生的噪声；磁头、磁带抖动引起的抖动噪声等。（3）元器件材料本身引起的噪声。如,磁带、磁盘表面缺陷所产生的噪声。（4）系统内部设备电路所引起的噪声。如,电源系统引入的交流噪声，偏转系统和箝位电路引起的噪声等。图像噪声从统计特性可分为平稳噪声和非平稳噪声两种。统计特性不随时间变化的噪声称为平稳噪声；统计特性随时间变化的噪声称为非平稳噪声。另外，按噪声和信号之间的关系可分为加性噪声和乘性噪声。假定信号为S(t)，噪声为n(t)，如果混合叠加波形是S(t)+n(t)形式，则称其为加性噪声；如果叠加波形为S(t)1+n(t)形式，则称其为乘性噪声。为了分析处理方便，往往将乘性噪声近似认为加性噪声，而且总是假定信号和噪声是互相独立的。2.3.3 图像系统噪声特点图像系统噪声特点如图2-16是一幅含有噪声的图像，由此可知图像中的噪声有以下三个特点。1.噪声在图像中的分布和大小不规则2.噪声与图像之间具有相关性3.噪声具有叠加性图2-16有噪声的图像2.4 去去 除除 噪噪 声声 改善降质图像的方法有两类：一类是不考虑图像降质的原因，只将图像中感兴趣的部分加以处理或突出有用的图像特征，故改善后的图像并不一定要去逼近原图像。这一类图像改善方法称为图像增强，主要目的是要提高图像的可懂度。另一类方法是针对图像降质的具体原因，设法补偿降质因素，使改善后的图像尽可能地逼近原始图像。这类方法称为图像恢复或图像复原技术。图像增强处理的方法基本上可分为空间域法和频率法两大类。前者是在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。它又分为两类，一类是对图像作逐点运算，称为点运算；另一类是在与处理像点邻域有关的空间域上进行运算，称为局部运算。频域法是在图像的变换域上进行处理，增强感兴趣的频率分量，然后进行反变换，得到增强了的图像。2.4.1 模板操作和卷积运算模板操作和卷积运算模板操作是数字图像处理中常用的一种运算方式，图像的平滑、锐化以及后面将要讨论的细化、边缘检测等都要用到模板操作。例如，有一种常见的平滑算法是将原图中的一个像素的灰度值和它周围邻近8个像素的灰度值相加，然后将求得的平均值作为新图像中该像素的灰度值。可用如下方法来表示该操作：上式有点类似于矩阵，通常称之为模板（Template），带星号的数据表示该元素为中心元素，即这个元素是将要处理的元素。模板操作实现了一种邻域运算，即某个像素点的结果不仅和本像素灰度有关，而且和其邻域点的值有关。模板运算的数学含义是卷积（或互相关）运算。卷积是一种用途很广的算法，可用卷积来完成各种处理变换，图2-17说明了卷积的处理过程。图2-17卷积运算示意图卷积运算中的卷积核就是模板运算中的模板，卷积就是作加权求和的过程。邻域中的每个像素（假定邻域为33大小，卷积核大小与邻域相同），分别与卷积核中的每一个元素相乘，乘积求和所得结果即为中心像素的新值。卷积核中的元素称作加权系数（亦称为卷积系数），卷积核中的系数大小及排列顺序，决定了对图像进行区处理的类型。改变卷积核中的加权系数，会影响到总和的数值与符号，从而影响到所求像素的新值。在模板或卷积的加权运算中，还存在一些具体问题需要解决：首先是图像边界问题，当在图像上移动模板（卷积核）至图像的边界时，在原图像中找不到与卷积核中的加权系数相对应的9个像素，即卷积核悬挂在图像缓冲区的边界上，这种现象在图像的上下左右四个边界上均会出现。解决这个问题可以采用两种简单方法：一种方法是忽略图像边界数据，另一种方法是在图像四周复制原图像边界像素的值，从而使卷积核悬挂在图像四周时可以进行正常的计算。实际应用中，多采用第一种方法。2.4.2 邻域平均法邻域平均法邻域平均法是一种利用Box模板对图像进行模板操作（卷积运算）的图像平滑方法，所谓Box模板是指模板中所有系数都取相同值的模板，常用的33和55模板如下：Box模板对当前像素及其相邻的的像素点都一视同仁，统一进行平均处理，这样就可以滤去图像中的噪声。例如，用33Box模板对一幅数字图像处理结果，如图2-18所示（图中计算结果按四舍五入进行了调整，对边界像素不进行处理）。图2-1833Box模板平滑处理示意图邻域平均法的思想是通过一点和邻域内像素点求平均来去除突变的像素点，从而滤掉一定的噪声，其主要优点是算法简单，计算速度快，但其代价是会造成图像一定程度上的模糊。采用邻域平均法对图2-19(a)中的图像进行处理后的结果如图2-19(b)所示。可以看出经过邻域平均法处理后，虽然图像的噪声得到了抑制，但图像变得相对模糊了。图2-19图像的领域平均法(a)原始图像；(b)邻域平均后的结果邻域平均法的平滑效果与所采用邻域的半径（模板大小）有关。半径愈大，则图像的模糊程度越大，因此，减少图像的模糊是图像平滑处理研究的主要问题之一。为解决邻域平均法造成图像模糊的问题，可采用阈值法、K邻点平均法、梯度倒数加权平滑法、最大均匀性平滑法、小斜面模型平滑法等。2.4.3 中值滤波中值滤波中值滤波是一种非线性信号处理方法，与其对应的中值滤波器也就是一种非线性滤波器。它在一定条件下，可以克服线性滤波器（如邻域平滑滤波等）所带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰及图像扫描噪声最为有效。在实际运算过程中并不需要图像的统计特性，这也带来不少方便。但是对一些细节多，特别是点、线、尖顶细节多的图像不宜采用中值滤波。由于中值滤波是一种非线性运算，对随机输入信号的严格数学分析比较复杂，下面采用直观方法简要介绍中值滤波的原理。中值滤波就是用一个奇数点的移动窗口，将窗口中心点的值用窗口内各点的中值代替。假设窗口内有五点，其值为80、90、200、110和120，那么此窗口内各点的中值即为110。设有一个一维序列f1,f2,fn，取窗口长度（点数）为m（m为奇数），对其进行中值滤波，就是从输入序列中相继抽出m个数fi-v,fi-1,fi,fi+1,fi+v（其中fi为窗口中心点值，v=(m-1)2），再将这m个点按其数值大小排序，取其序号为中心点的那个数作为滤波输出。用数学公式表示为例如，有一序列0,3,4,0,7，重新排序后为0,0,3,4,7，则Med0,0,3,4,7=3。此列若用平滑滤波，窗口也是取5，那么平滑滤波输出为（0+3+4+0+7）5=2.8。图2-20使用内含5个像素的窗口对离散阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数以及三角形函数进行中值滤波和平均值滤波的示例。左边一列为原波形，中间为平均值滤波结果，右边为中值滤波结果。可以看出，中值滤波器不影响阶跃函数和斜坡函数。周期小于m/2（窗口之半）的脉冲受到抑制，另外三角函数的顶部变平。图2-20中值滤波和平均值滤波比较（a）阶跃；（b）斜坡；（c）单脉冲；（d）双脉冲；（e）三脉冲；（f）三角波二维中值滤波可由下式表示：式中：A为窗口；fij为二维数据序列。二维中值滤波的窗口形状和尺寸对滤波效果影响较大，不同的图像内容和不同的应用要求，往往采用不同的窗口形状和尺寸。常用的二维中值滤波窗口有线状、方形、圆形、十字形以及圆环形等。窗口尺寸一般先用33，再取55逐渐增大，直到滤波效果满意为止。就一般经验来讲，对于有缓变的较长轮廓线物体的图像，采用方形或圆形窗口为宜。对于包含有尖顶物体的图像，用十字形窗口，而窗口大小则以不超过图像中最小有效物体的尺寸为宜。如果图像中点、线、尖角细节较多，则不宜采用中值滤波。在计算机上制作了一组用于平滑实验的图像，如图2-24所示。图(d)和(e)分别是采用33窗口算术平均平滑去除噪声后的图像，图(f)和(g)分别是采用55十字中值滤波后的图像。显然，算术平均平滑对含有高斯噪声的图像有效；而中值滤波对含有椒盐噪声图像的去噪声效果较好。图2-24噪声平滑实验图像（a）Lena原图；（b）高斯噪声；（c）椒盐噪声；(d)对(b)平均平滑；(e)对(c)平均平滑；(f)对(b)55中值滤波；(g)对(c)55中值滤波abcdefg2.4.4 其他去噪技术其他去噪技术1.空间域低通滤波空间域低通滤波从信号频谱角度来看，信号的缓慢变化部分在频率域属于低频部分，而信号的迅速变化部分在频率域是高频部分。对图像来说，它的边缘以及噪声干扰的频率分量都处于频率域较高的部分，因此，可以采用低通滤波的方法来去除噪声。而频域的滤波又很容易从空间域的卷积来实现，为此只要适当设计空间域的单位冲激响应矩阵，就可以达到滤除噪声的效果。下面是几种用于噪声平滑低通卷积模板。这些模板中引入了加权系数，以区分邻域中不同位置像素对输出像素值的影响，常称其为加权模板。与邻域平均法中采用的Box模板相比较可知，Box模板并没有考虑邻域中各点位置的影响，对于所有的邻点都一视同仁，所以其平滑的效果并不理想。另外，二维Gaussian离散模板也是一种常用的低通卷积模板。由于Gaussian函数有着一些良好的特性，对二维连续Gaussian分布经采样、量化，并使模板归一化，便可得到二维Gaussian离散模板。33二维Gaussian模板如下：可见Gaussian离散模板也是一种加权模板，并且它是按二维正态分布进行加权的。2.频率域低通滤波频率域低通滤波利用卷积定理，频率域低通滤波形式如下：(2-25)式中：F(u,v)是含噪声图像的傅立叶变换，G(u,v)是平滑后图像的傅立叶变换，H(u,v)是低通滤波器传递函数。利用H(u,v)使F(u,v)的高频分量得到衰减，得到G(u,v)后再经过反变换就得到所希望的图像g(x,y)。低通滤波平滑图像的系统框图如图2-26所示。图2-26低通滤波平滑图像的系统框图常用的频率域低通滤波器有：理想低通滤波器（ILPF）、巴特沃思低通滤波器（BLPF）、指数低通滤波器（ELPF）。这三种频率域低通滤波器的频率特性比较如图2-27所示。图2-27ILPF、BLPF、ELPF特征曲线(a)ILPF特征曲线；(b)BLPF特征曲线；(c)ELPF特征曲线3.多幅图像平均法多幅图像平均法一幅有噪声的图像f(x,y),可以看作是由原始无噪声图像g(x,y)和噪声n(x,y)叠加而成（加性噪声），即f(x,y)=g(x,y)+n(x,y)(2-26)若叠加在图像上的噪声n(x,y)是非相关、具有零均值的随机噪声时，那么，把针对一目标物(景物)在相同条件下，把作M次重复摄取的图像相加，取平均值作为输出图像，便可对图像中的噪声进行平滑。多幅图像的平均输出图像的期望值是无噪声的理想图像g(x,y)。需要注意的是对多幅图像平均，要求多幅图像之间相互对准，而大多数图像要做到严格对准是相当困难的。多幅图像取平均处理常用于摄像机的视频图像中，用以减少电视摄像机光电摄像管或CCD器件所引起的噪声。这是对同一景物连续摄取多幅图像并数字化，再对多幅图像平均，一般选用8幅图像取平均。这种方法在实际应用中的难点是如何把多幅图像配准起来，以便使相应的像素能正确地对应排列。2.5 图像锐化图像锐化 图像锐化的目的是使模糊图像变得清晰。图像模糊的实质就是受到平均或积分运算，因此对其进行逆运算，如微分运算、梯度运算，就可以使图像清晰。从频谱的角度分析，图像模糊的实质就是其高频分量衰减。因而用高频加重滤波来使图像清晰。但要注意的是进行锐化的图像必须具有较高的信噪比。2.5.1 微分法微分法 1.梯度法梯度法对于图像函数f(x,y)，它在点(x,y)处的梯度是一个矢量，定义为(2-27)梯度的两个重要性质是：（1）梯度的方向在函数f(x,y)最大变化率的方向上。（2）梯度的幅度用Gf(x,y)表示，并由下式算出:(2-28)由上式可知，梯度的数值就是f(x,y)在其最大变化率方向上的单位距离所增加的量。对于数字图像而言，式(2-28)可以近似为Gf(x,y)=f(i,j)-f(i+1,j)2+f(i,j)-f(i,j+1)212(2-29)式中：各像素的位置如图2-28(a)所示。图2-28求梯度的两种差分运算式(2-29)可简化成为Gf(x,y)=|f(i,j)-f(i+1,j)|+f(i,j)-f(i,j+1)|(2-30)以上梯度法又称为水平垂直差分法。另一种梯度法叫做罗伯特梯度法（RobertGradient），它是一种交叉差分计算法，如图2-28(b)所示。其数学表达式为 Gf(x,y)=f(i,j)-f(i+1,j+1)2+f(i+1,j)-f(i,j+1)212(3-31)同样可近似为Gf(x,y)=|f(i,j)-f(i+1,j+1)|+|f(i+1,j)-f(i,j+1)(3-32)以上两种梯度近似算法在图像的最后一行和最后一列的各像素的梯度无法求得，一般就用前一行和前一列的梯度值近似代替。由梯度的计算可知，图像中灰度变化较大的边缘区域其梯度值大，在灰度变化平缓的区域其梯度值较小，而在灰度均匀区域其梯度值为零。图2-29(b)是采用水平垂直差分法对图2-29(a)锐化的结果，锐化后仅留下灰度值急剧变化的边沿处的点。图2-29图像梯度锐化结果(a)二值图像；(b)梯度运算结果当梯度计算完之后，可以根据需要生成不同的梯度增强图像。第一种是使各点的灰度g(x,y)等于该点的梯度幅度，即g(x,y)=Gf(x,y)(2-33)此法的缺点是增强的图像仅显示灰度变化比较陡的边缘轮廓，而灰度变化平缓的区域则呈黑色。第二种增强的图像是使(2-34)式中：T是一个非负的阈值，适当选取T，即可使明显的边缘轮廓得到突出，又不会破坏原灰度变化比较平缓的背景。第三种增强图像是使（2-35）式中：T是根据需要指定的一个灰度级，它将明显边缘用一固定的灰度级LG来实现。第四种增强图像是使（2-36）此法将背景用一个固定灰度级LG来实现，便于研究边缘灰度的变化。第五种增强图像是使（2-37）此法将背景和边缘用二值图像表示，便于研究边缘所在位置。2.Sobel算子算子采用梯度微分锐化图像，同时会使噪声、条纹等得到增强，Sobel算子则在一定程度上克服了这个问题。Sobel算子法的基本原理是：按式(2-38)计算33窗口（如图2-30所示）的灰度，将其作为变换后图像f(i,j)的灰度。图2-30Sobel算子图像坐标(2-38)式中：为简化计算，可用g=|Sx|+|Sy|来代替式(2-38)，从而得到锐化后的图像。Sobel算子不像普通梯度算子那样用两个像素的差值，这就导致了以下两个优点：（1）由于引入了平均因素，因而对图像中的随机噪声有一定的平滑作用。（2）由于它是相隔两行或两列之差分，故边缘两侧元素得到了增强，边缘显得粗而亮。表表2-2 常用的梯度算子常用的梯度算子 2.5.2 拉普拉斯运算拉普拉斯运算拉普拉斯算子是常用的边缘增强算子，拉普拉斯运算也是偏导数运算的线性组合运算，而且是一种各向同性（旋转不变性）的线性运算。拉普拉斯算子为(2-41)如果图像的模糊是由扩散现象引起的（如胶片颗粒化学扩散等），则锐化后的图像g为 式中：f、g分别为锐化前后的图像，k为与扩散效应有关的系数。(2-42)式(2-42)表示模糊图像f经拉普拉斯算子锐化以后得到新图像g。k的选择要合理，太大会使图像中的轮廓边缘产生过冲；k太小，锐化不明显。对数字图像来讲，f(x,y)的二阶偏导数可表示为(2-43)为此，拉普拉斯算子为(2-44)可见，数字图像在（i,j）点的拉普拉斯算子，可以由（i,j）点灰度值减去该点邻域平均灰度值来求得。当k=1时，拉普拉斯锐化后的图像为(2-45)例例设有1n的数字图像f(i,j)，其各点的灰度如下：,0,0,0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,3,3,3,3,3,计算及锐化后的各点灰度值g（设k=1）。1首先按式（2-44)计算各点的。例如：第3点：第8点：各点拉普拉斯算子如下：,0,0,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,-3,3,0,0,0,2按式(2-42)计算g=f-2f。例如：第3点：第8点：g=5-(-1)=6锐化后各点的灰度值如下：,0,0,-1,1,2,3,4,6,5,5,5,5,4,7,6,6,6,6,9,0,3,3,3,从上例可以看出，在灰度级斜坡底部（如第3点）和界线的低灰度级侧（如第13、20点）形成下冲。在灰度级斜坡顶部（如第8点）和界线的高灰度级侧（如第14、19点）形成上冲。在灰度级平坦区域（如第912点，第1518点），运算前后没有变化。如图2-31所示。图2-31拉普拉斯锐化前、后图像的灰度(a)原图像灰度；(b)拉普拉斯锐化后图像的灰度拉普拉斯算子可以表示成模板的形式，如图2-32所示。同梯度算子进行锐化一样，拉普拉斯算子也增强了图像的噪声，但与梯度法相比，拉普拉斯算子对噪声的作用较梯度法弱。故用拉普拉斯算子进行边缘检测时，有必要先对图像进行平滑处理。图图2-32 拉普拉斯模板图拉普拉斯模板图 图2-33拉普拉斯锐化结果（a）二值图像；（b）拉普拉斯运算结果实际中还常用到如下的拉普拉斯算子（模板）：类似于低通滤波器，高通滤波亦可在频率域中实现，有3种常见类型。为了简单起见，现将它们的传输函数的频域滤波特性如图2-34所示。2.5.3 高通滤波高通滤波 图像中边缘或线条等细节部分与图像频谱的高频分量相对应，因此采用高通滤波计算让高频分量通过，使图像的边缘或线条等细节变得更清楚，实现图像的锐化。高通滤波可用空域法或频域法来实现。在空间域是用卷积方法。模板H如图2-343种频域高通滤波特性曲线(a)IHPF特征曲线；(b)BHPF特征曲线；(c)EHPF特征曲线 类似于低通滤波，高通滤波也可在频率域中实现，有3种常见的类型，其传输函数如图2-34。