第二矩阵及其运算课件

第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算u 矩阵概念u 矩阵运算u 特殊矩阵u 逆矩阵u 分块矩阵u 初等矩阵u 矩阵的秩矩阵的基本概念矩阵的基本概念 一一.历史历史“矩阵矩阵(matrix)”这个这个 词首先是英国数学家词首先是英国数学家 西尔维斯特西尔维斯特使用的使用的.他为了将数字的矩形他为了将数字的矩形他为了将数字的矩形他为了将数字的矩形 阵列区别于阵列区别于阵列区别于阵列区别于 行行行行 列列列列 式式式式 (determinantdeterminant)而发明而发明而发明而发明了这个述语了这个述语了这个述语了这个述语.James JosephJames Joseph Sylvester Sylvester(1814.9.31814.9.3 1897.3.151897.3.15)英国数学家英国数学家凯莱凯莱 被公认为是矩阵被公认为是矩阵 论的创立者论的创立者.他首先把矩阵作为他首先把矩阵作为他首先把矩阵作为他首先把矩阵作为 一个独立的数学概一个独立的数学概一个独立的数学概一个独立的数学概 念念念念,并发表了一系并发表了一系并发表了一系并发表了一系 列关于这个题目的列关于这个题目的列关于这个题目的列关于这个题目的 文章文章文章文章.ArthurArthur CayleyCayley (1821.8.161821.8.16 1895.1.261895.1.26)例例1.某厂家向某厂家向A,B,C三个商场发送四款产品三个商场发送四款产品.200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 180 150 15015020 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 甲甲甲甲 乙乙乙乙 丙丙丙丙 丁丁丁丁 单价单价单价单价 重量重量重量重量 二二.实例实例 例例2.四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示.1 41 42 32 3若用若用aij表示从表示从i市到市到j市航线的条数市航线的条数,则上图信息可表示为则上图信息可表示为a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44即即 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 三三.定义定义 1.m n矩阵矩阵 元素元素(element/entry)aij(1 i m,1 j n)a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn注注:今后除非特别说明今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都我们所考虑的矩阵都 是实矩阵是实矩阵.元素都是实数元素都是实数实矩阵实矩阵(real)元素都是复数元素都是复数复矩阵复矩阵(complex)行行(row)列列(column)3.向量向量(vector)行向量行向量(column vector)a1,a2,an 列向量列向量(row vector)a1a2an第第i分量分量(ith component)ai(i=1,n)n阶方阵阶方阵:n n矩阵矩阵 2.方阵方阵(square matrix)见见例例2.一个一个一个一个1 1 1 1的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵 就是一个就是一个就是一个就是一个数数数数 n维维(n ndimensional)dimensional)4.同型同型(same-sized):行数相等行数相等,列数也相等列数也相等 5.两个矩阵两个矩阵相等相等(equal)20 50 3020 50 3016 20 16 16 20 16 与与 a a b b c c 1 2 3 1 2 3 同型同型 20 50 3020 50 3016 20 1616 20 16 与与 不不同型同型 20 20 16 16 5050 20 20 3030 16 16 A=aijm n与与B=bijm n相等相等:对对 1 i m,1 j n,aij=bij都成立都成立 记为记为A=B.大前提大前提大前提大前提:同型同型同型同型 定义1 设有两个 矩阵 和 ，那么矩阵 与矩阵 的和记作 规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算1.矩阵的加法一、矩阵运算运算规律（设 ，都是 矩阵）其中 ，称为矩阵 的负矩阵.（1）（2）（3）由此可规定矩阵的减法为定义2 数 与矩阵 的乘积记作 或2.数与矩阵相乘规定为运算规律(设 ，都是 矩阵，是数)（1）（2）（3）（4）（5）当且仅当 或规定:矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵3.矩阵的乘法定义3 设 ，其中并把此乘积记作 矩阵的第 行第 列的元 就是 的第 行与 的第 列的乘积注意：注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，乘积 才是有意义的；并且 的行数等于第一个矩阵 的行数，的列数等于第二个矩阵 的列数 例1求解显然求 ，并问 是否有意义？解解显然 无意义 例例2 2例3求解解显然总之，一般说来，不过，在有些情况下，也可能有例如：即矩阵的乘法不满足交换律不难验证：一般地，如果矩阵 ，的乘积与次序无关即 ，称矩阵 ，可交换结合律和分配律：（1）（2）（3）上式称为从变量 ，到变量 ，的线性变换.的线性函数，即例4 设变量 均可表示成变量其中 为常数令利用矩阵的乘法，则上述线性变换可写成矩阵形式:利用矩阵的乘法和矩阵乘法的结合律，可以方便地连续施行线性变换例5 已知两个线性变换 求到的线性变换.解 上述两个线性变换的系数矩阵分别为 记则上述两个线性变换可分别写成为:于是即即这就是由到的线性变换.由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足：设 是 阶方阵，定义显然，就是 个 连乘4.方阵的幂其中 为正整数只有 是方阵时，它的幂才有意义（1）（2）由于矩阵的乘法不满足交换律，所以对于同阶方阵 和 ，一般说来但是，如果方阵与可交换，即则仍为一个 阶方阵，称 为方阵 的多项式n阶单位矩阵设为 次多项式，为 阶方阵，则 其中例6 设求解因为用数学归纳法，设则故称为 阶单位矩阵简记作形如的 阶方阵记作二.特殊矩阵1.单位矩阵特点：从左上角到右下角的直线（即主对角线）上的元素都是1，其他元素都是0，即单位矩阵 的第行第列的元素结论：的 阶方阵称为对角矩阵形如记作特点：主对角线上以外的元素全是零2.对角矩阵性质：（1）（2）（3）（4）其中为正整数.特别地，主对角线上元素都相等的对角矩阵称为数量矩阵即记作 设 为任一 阶方阵，为任一 阶数量矩阵即 阶数量矩阵与任一 阶方阵 相乘可交换则当 时，数量矩阵即为单位矩阵 例1 设计算（n为正整数）解其中显然因数量矩阵 与可交换，所以利用二项式定理得到形如的矩阵称为上三角矩阵特点特点：主对角线的左下方的元素全为零3.三角矩阵其中*表示主对角线上方的元素，即两个同阶的上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵直接验证可知 类似地，我们同样可以定义下三角矩阵，也就是：主对角线右上方的元素全为零矩阵，它具有与上三角矩阵类似性质例如：性质：（1）（2）（3）（4）4.转置矩阵证 性质（1）（3）是显然的，这里仅给出（4）的证明.设记于是按矩阵乘法的定义，有 而的第行为的第 列为所以即亦即由（4），根据数学归纳法可证因此那么 称为对称矩阵；则称 为反对称矩阵设 为 阶方阵，如果特点特点：对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等即有反对称矩阵有该矩阵主对角线上的元素全为0.如果5.对称矩阵和反对称矩阵反对称矩阵对称矩阵形式：例2是对称矩阵.证明 因 是 阶矩阵，且 故 是 阶对称矩阵同理，是 阶对称矩阵是一个矩阵，则 和 都设例3 设列矩阵 满足为 阶单位矩阵，证明是对称矩阵，且证 首先请注意是一阶方阵，即一个数，所以 是对称矩阵.是阶方阵而基本性质：（1）若都是对称矩阵，则对称矩阵（其中 为任意常数）.都是（2）若都是对称矩阵，则为对称矩阵的充要条件是定理定理 设 ，是两个 阶方阵，则推论设 均为 阶方阵，则6.方阵乘积的行列式称为矩阵 的伴随矩阵伴随矩阵试证（2）当 时，例4 阶方阵 的各个元素的代数余子式 所构成的如下的矩阵（1）证 （1）设 ，则于是类似地，（2）由（1）且根据本节定理1可知由于 ，故 在数的乘法中，如果常数 ，则存在 的逆 ：，使这使得求解一元线性方程 变得非常简单对 阶方阵 ，是否也存在着“逆”即是否存在一个 阶方阵 使三.逆矩阵如果有一个 阶方阵定义 对于 阶方阵则称 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵如果方阵 可逆，则它的逆矩阵是唯一的使注意注意：在定义中，、的地位是平等的即如果（1）成立，则 也可逆，并且例1 设且求解解 因为所以定理 方阵 可逆的充分必要条件是且当 可逆时，其中 为矩阵的伴随矩阵.注：当 时，称 为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵p可逆矩阵就是非奇异矩阵同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法伴随矩阵法因为 可逆，即存在 ，故所以由本章第二节例知，因为故有所以，按逆矩阵的定义，即有证 必要性.使充分性.例2 设 ，试问：满足什么条件时，方阵 可逆？可逆.这时解解 当时，当 可逆时，求则（1）若 阶方阵 可逆，则 也可逆且（2）若 可逆，数 ，则 可逆且推论 若 阶方阵 、满足运算规律运算规律（3）若 、为同阶方阵且均可逆，则亦可逆，且（4）若 可逆，则 也可逆，且（5）若 可逆，且 ，则例3 求方阵 的逆矩阵解所以 存在，且而类似可得从而例4 设 为4阶方阵，求 的值.解解 因为 ，所以 可逆，且 所以所以例5 设 均为 阶可逆矩阵，证明证证 （1）由 可知，（1）（2）为可逆矩阵.又所以（2）由从而可得将矩阵 用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的子块子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵1.概念例如：对于矩阵分成子块的分法很多上面只举出了两种分块形式四、分块矩阵即 、为 的子块，而 形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵.可记为对上述第一种分法（1）加法：设同型矩阵 与 有相同的分块法2.分块矩阵的运算与 也是同型阵则（2）数乘 用数 乘一个分块矩阵时，等于用 去乘矩阵的每一个块，即 设 为 矩阵，为 矩阵，分块成 其中 ，的列数分别等于 ,的行数（3）分块矩阵的乘法其中则（4）分块矩阵的转置 设矩阵A可写成分块矩阵则矩阵 的转量阵 为（5）分块对角矩阵 设 为 阶方阵，若 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其它子块都是零矩阵，且非零子块都是方阵，即 其中 都是方阵，则称为分块对角矩阵 设其中 ，是同阶的子方块等于多少呢？例1 设矩阵 求 及解解 令则所以由于例2 设 阶方阵 与 阶方阵 都是可逆矩阵，求解 令有于是解此得所以上式可以作为公式应用.如 等3.矩阵按行分块和按列分块 矩阵 有 行，称为矩阵 的 个行向量将第 行记作 这里列向量（列矩阵）常用小写黑体字母表示而行向量（行矩阵）则用列向量的转置表示如 等注：则矩阵 可记为 同理也可以按列分块，此时对于线性方程组 此方程组可记作 若将系数矩阵按行分成 块，则线性方程组这就相当于把每个线性方程记作 可记成对于矩阵 与矩阵 的乘积 ，若把 按行分成 块，把 按列分成 块，便有其中另外，若记则五.初等矩阵1.初等矩阵定义定义 由 n 阶单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为 n 阶初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵（1）对调 阶单位矩阵 的第 两行（或两列），得到的初等矩阵记为（2）用数 乘 的第 行（或第 列）得到的矩阵，记为 （3）用数 乘 的第 行加到第 行上（或以 乘 的第 列加到第 列上）得到的矩阵，记为由于所以定理1（初等变换和初等矩阵的关系）设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在矩阵 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在矩阵 的右边乘以相应的 阶初等矩阵，即 证 将矩阵 表示成按行分块的分块矩阵其中于是其结果相当于矩阵 进行一次第一种初等行变换，即交换矩阵的第 两行.其结果相当于矩阵 进行一次第二种初等行又变换，即用数 乘矩阵 的第 行各元素.又其结果相当于矩阵 进行一次第三种初等行变换，即用数 乘矩阵 的第 行加到第 元素.2.利用初等变换求逆矩阵 定理2 对于任一 矩阵 ，一定存在有限个 阶初等矩阵 和 阶初等方阵 使 标准形 定理3 阶矩阵 可逆的充要条件是存在有限个 阶初等矩阵即使得可逆矩阵 一定与单位矩阵等价证 必要性 由定理2，对 阶矩阵存在 阶初等矩阵若 ，则 的对角线上必有零元素使下面证明：如果矩阵 可逆，则在（1）的两端取行列式，并利用方阵的行列式性质，有于是，仍可逆，故 可逆.中必至少有一个是零，这与均为可逆矩阵相矛盾.充分性：设因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积故定理4 设 为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵推论 矩阵 与 等价的充要条件使是存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵使例1 设求解所以矩阵的初等行变换还可用于求解矩阵方程显然而且 可写成有限个初等方阵的乘积，即 其中 为可逆矩阵从而当把 变成 时，就变成例2 解矩阵方程 因此，若对矩阵 施行初等行变换解故六.矩阵的秩1.矩阵的秩 定义1 在矩阵 中任选 行 列 其交叉处的 个元素按原来的位置构成的 阶行列式称为矩阵 的 阶子式其中不为零的子式称为非零子式矩阵的 阶子式共有 个例1选取第一行和第三行，第二列和第三列，其交叉处的元素按原来位置构成的二阶行列式 就是矩阵 的一个二阶子式 定义2 如果在矩阵 中有一个 阶非零子式 ，且所有的 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵 的秩，记作 ，即 规定零矩阵的秩为 在矩阵 中,当所有的 阶子式全等于零时，由行列式的性质3可知，所有高于 阶的子式（如果存在的话）也全等于零，因此 的秩 就是 中不等于零的子式的最高阶数例2 证明（1）（2）阶方阵 可逆的充要条件充要条件为（3）若删去矩阵 的一行（列）得到矩阵 则 证证 （1）由于行列式转置后值不变所以 中非零子式的最高阶数与 中非零子式的最高阶数相等即（2）阶方阵 可逆的充要条件是（3）由于矩阵 的非零子式必是矩阵 的补充补充：由（2）知，可逆矩阵的秩等于其阶数，故可逆矩阵又称满秩矩阵满秩矩阵不可逆的方阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵降秩矩阵 由矩阵秩的定义得一个非零子式，故例例3 求矩阵的秩的子式的最高阶数是3解解它共有4个3阶子式容易算出，它们的值都为零又 中的二阶子式 故2.用初等变换求矩阵的秩 即若 ，则由此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，行阶梯形矩阵中中非零行的行数非零行的行数即是该矩阵的秩 定理 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，例例4 设且 ，求 及解 用初等行变换将矩阵 化为行阶梯形矩阵 ，则 即为 的行阶梯形矩阵，故可从 中同时求出因此从矩阵 的行阶梯形矩阵可知本例中的 与 所对应的线性方程组是无解的