磁感应强度与毕奥-萨瓦定律课件

4-1 磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥-萨瓦定律萨瓦定律4-2 磁通及其连续性原理磁通及其连续性原理 4-3 真空中的安培环路定理真空中的安培环路定理 4-4 非真空媒质中的安培环路定理非真空媒质中的安培环路定理 4-5 两媒质交界面上磁场的边界条件两媒质交界面上磁场的边界条件 4-6 磁场中的两个基本定理的微分形式磁场中的两个基本定理的微分形式4-7 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程4-8 磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程4-9 磁场的镜象法磁场的镜象法 4-10 自感及其计算自感及其计算 4-11 互感及其计算互感及其计算 4-12 载电流回路系统的磁场能量及其分布载电流回路系统的磁场能量及其分布 4-13 磁场力的计算磁场力的计算第四章第四章 恒恒 定定 磁磁 场场1一、磁感应强度一、磁感应强度 1.磁场磁场 存在于载流回路或永久磁铁周围空间存在于载流回路或永久磁铁周围空间的能对运动电荷施力的客观存在。的能对运动电荷施力的客观存在。2.磁感应强度磁感应强度 运动的单位正点电荷在场中某运动的单位正点电荷在场中某点以单位速度向与磁场垂直方向运动时，所受的最点以单位速度向与磁场垂直方向运动时，所受的最 大大磁场力。磁场力。4-1 磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥萨瓦定律萨瓦定律2磁感应强度矢量磁感应强度矢量 的定的定义式与前一式等效义式与前一式等效 导线中的电流为运动电荷所形成导线中的电流为运动电荷所形成 磁场中载流微小线元磁场中载流微小线元 的受力的受力国际单位制中，磁感应强度国际单位制中，磁感应强度 的单位特（的单位特（T），），1T1Wb/m2仿恒定磁场的磁感应强度仿恒定磁场的磁感应强度 线，使磁场形象化，线，使磁场形象化，磁感应线磁感应线磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥萨瓦定律萨瓦定律3微小载流线元微小载流线元 在无限大空间某点所产生的磁感应强度为在无限大空间某点所产生的磁感应强度为 为线元 至被研究点之距离 为线元指向被研究点方向上的单位矢量0表示媒质为真空时的磁导率其值为4107H/m。二、毕奥萨瓦定律二、毕奥萨瓦定律(实验定律实验定律)磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥萨瓦定律萨瓦定律4闭合载流回路在空间某点所产生的磁闭合载流回路在空间某点所产生的磁感应强度感应强度 为空间媒质的磁导率，在通常情况下，也引用媒质的相对为空间媒质的磁导率，在通常情况下，也引用媒质的相对磁导率磁导率r(=0)。除铁磁物质（铁、钴、镍等）以外的其它。除铁磁物质（铁、钴、镍等）以外的其它物质的磁导率均相差无几。物质的磁导率均相差无几。磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥萨瓦定律萨瓦定律5例例4-1:真空中长度为真空中长度为2L的细直导线通有电流的细直导线通有电流I，试，试确定直线外任一点确定直线外任一点P的磁感应强度的磁感应强度 。解解:在细直导线上截取电流元，它在点在细直导线上截取电流元，它在点P（r，z）的磁感的磁感应强度应强度dB的大小的大小dB的方向由的方向由 确定确定磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥萨瓦定律萨瓦定律6 R=r cscl=zrctgdl=r csc2d 说明：说明：1和和2分别是细直导线两端电流元方向与其到场点分别是细直导线两端电流元方向与其到场点的矢径方向之间的夹角；的矢径方向之间的夹角；r为场点到直导线的垂直距离。为场点到直导线的垂直距离。磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥萨瓦定律萨瓦定律71、对应于不同的坐标、对应于不同的坐标，只要场点的坐标，只要场点的坐标r、z相同，则相同，则磁感应强度磁感应强度B的大小相同而方向不同。的大小相同而方向不同。2、当导线为无限长时，、当导线为无限长时，10，2，则，则讨论：讨论：对于距无限长直细导线的对于距无限长直细导线的垂直距离相同的各场点，垂直距离相同的各场点，磁感应强度的大小相同。磁感应强度的大小相同。磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥萨瓦定律萨瓦定律8IbaP解：练习：练习：分别求出图示各种形状的线电流在真空中所产生分别求出图示各种形状的线电流在真空中所产生的磁感应强度的磁感应强度。IPR磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥萨瓦定律萨瓦定律9例例4-2:两平行的，轴线间距离为两平行的，轴线间距离为d的半无限长直导线的半无限长直导线1、2，以直导线，以直导线3连接，导线为铜线，其半径均为连接，导线为铜线，其半径均为a。通以电。通以电流流I，试确定连接，试确定连接1，2的导线段的导线段3所受的磁场力。所受的磁场力。解：解：坐标系如图所示。坐标系如图所示。连接连接1、2的导的导线段为线段为x=a至至x=d-a 在区间（在区间（a，da）内任一点）内任一点x处处截取长度元截取长度元dx，则导线，则导线1，2在在x处的磁处的磁感应强度感应强度B1和和B2的方向相同的方向相同 由于空气以及非铁磁物质的磁导由于空气以及非铁磁物质的磁导率与真空中的磁导率率与真空中的磁导率0极其接近极其接近磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥萨瓦定律萨瓦定律10 它垂直于导线所在平面并指向读者，亦与电流元它垂直于导线所在平面并指向读者，亦与电流元Idx的方的方向相垂直。向相垂直。长度元长度元dx处的磁感应强度处的磁感应强度B的大小的大小磁感应强度与毕奥磁感应强度与毕奥萨瓦定律萨瓦定律114-2 磁通及其连续性原理磁通及其连续性原理 当当S为空间闭合曲面时，则穿过此闭合曲面磁通为空间闭合曲面时，则穿过此闭合曲面磁通 一、磁通一、磁通 磁感应强度矢量磁感应强度矢量 的通量的通量作作出场的矢量线，穿过某微小面元出场的矢量线，穿过某微小面元 的磁感应强度矢量的磁感应强度矢量 线数（磁感应线线数（磁感应线数），简称为磁通量或磁通。数），简称为磁通量或磁通。12二、磁通连续性原理二、磁通连续性原理 穿过空间任意闭合曲面穿过空间任意闭合曲面S的磁通恒等于零的磁通恒等于零磁磁感应强度线是绵延连续无源无汇的感应强度线是绵延连续无源无汇的磁通连续性原理。它说明磁感应强度矢量线是连续而不中断磁通连续性原理。它说明磁感应强度矢量线是连续而不中断的闭合矢量线，因而磁场空间没有磁感应强度矢量线的源和汇，的闭合矢量线，因而磁场空间没有磁感应强度矢量线的源和汇，磁场是一个无源场。磁场是一个无源场。磁通及其连续性原理磁通及其连续性原理13与其距离为与其距离为r的各点上的各点上 的方向相的方向相同。窄长条上穿进的磁通同。窄长条上穿进的磁通例例4-3 无限长直导线通以电流无限长直导线通以电流 I，图示直角三角形，图示直角三角形ABC与之共平面，求通过与之共平面，求通过ABC的磁通。设的磁通。设a=12cm，b=7cm，d=5cm，I=10A，求出数值结果，求出数值结果。解：长直导线外任一点的磁感应强度解：长直导线外任一点的磁感应强度磁通及其连续性原理磁通及其连续性原理14穿过穿过ABC磁通为磁通为磁通及其连续性原理磁通及其连续性原理154-3 真空中的安培环路定理真空中的安培环路定理 设真空媒质中，有一无限长载电流设真空媒质中，有一无限长载电流I的直导线，在与导线垂的直导线，在与导线垂直的平面上，作任意积分路径直的平面上，作任意积分路径l，根据毕奥萨定律，根据毕奥萨定律，l上任一点上任一点的磁感应强度的磁感应强度 一、推导一、推导 真空中的安培环路定理真空中的安培环路定理16 当积分路径不与电流交链时，上式右端项将为零。当积分路径不与电流交链时，上式右端项将为零。当积分路径当积分路径k次交链电流次交链电流I时，上式右端项的电流应记为时，上式右端项的电流应记为kI。一般情况下一般情况下真空中的安培环路定理真空中的安培环路定理 真空中的安培环路定理真空中的安培环路定理17二、物理意义二、物理意义 当所交链的电流流向与闭合有向曲线当所交链的电流流向与闭合有向曲线l的绕行方向符合右的绕行方向符合右螺旋法则时，该电流取为正，反之取为负。螺旋法则时，该电流取为正，反之取为负。若电流不与闭合有向曲线若电流不与闭合有向曲线l交链时，该电流应记为零。当交链时，该电流应记为零。当积分路径积分路径k次交链某一电流次交链某一电流I时，则应记为时，则应记为kI。电流的方向电流的方向 真空媒质中，磁感应强度真空媒质中，磁感应强度 沿任意闭合有向曲线沿任意闭合有向曲线l的环路积的环路积分，等于与该闭合有向曲线分，等于与该闭合有向曲线l所交链的电流的代数和与真空媒质所交链的电流的代数和与真空媒质磁导率的乘积。磁导率的乘积。真空中的安培环路定理真空中的安培环路定理18 磁场的环路积分不恒为零，说明磁场图形与静电磁场的环路积分不恒为零，说明磁场图形与静电场不同。它的分布具有旋涡形，是非位场。场不同。它的分布具有旋涡形，是非位场。三、磁场的无旋性三、磁场的无旋性 真空中的安培环路定理真空中的安培环路定理19例例4-4：空气中无限长直圆柱导体载有电流空气中无限长直圆柱导体载有电流I，其半径为，其半径为a。试确试确定导体内、外的磁感应强度。设空气和导体的磁导率均为定导体内、外的磁感应强度。设空气和导体的磁导率均为0。解：解：磁场以长直圆柱导体的轴线磁场以长直圆柱导体的轴线作对称分布，取半径为作对称分布，取半径为r的圆周为的圆周为闭合曲线闭合曲线l半径为半径为r（ra）的圆所）的圆所交链的仅是电流交链的仅是电流I的一部分：的一部分：204-4 非真空媒质中的安培环路定理非真空媒质中的安培环路定理 磁场的分布具有旋涡性这一重要特性，不会因为空间媒质磁场的分布具有旋涡性这一重要特性，不会因为空间媒质的更换而有质的改变。但是对真空中的安培环路定理作数量方的更换而有质的改变。但是对真空中的安培环路定理作数量方面的修改则是必要的。面的修改则是必要的。一、磁媒质一、磁媒质顺磁性媒质顺磁性媒质反磁性媒质反磁性媒质顺磁性媒质顺磁性媒质在外磁场中，其分子磁矩有秩序地排列而在外磁场中，其分子磁矩有秩序地排列而使整个磁场加强的媒质。使整个磁场加强的媒质。反磁性媒质反磁性媒质在外磁场作用下产生的附加磁矩，和外磁在外磁场作用下产生的附加磁矩，和外磁场方向相反，从而削弱了外磁场，呈现出反磁性。场方向相反，从而削弱了外磁场，呈现出反磁性。21引入矢量引入矢量 表示媒质分子圆电流的磁效应表示媒质分子圆电流的磁效应 称为分子圆电流的称为分子圆电流的磁偶极矩磁偶极矩，简称分子磁矩，简称分子磁矩，单位为安培平方米（单位为安培平方米（Am2）若从导磁的观点看问题，除铁磁物质外，无论是若从导磁的观点看问题，除铁磁物质外，无论是顺磁媒质，或反磁媒质，其磁导率均接近于真空媒质顺磁媒质，或反磁媒质，其磁导率均接近于真空媒质磁导率，即均接近于磁导率，即均接近于1。如顺磁媒质铝，其相对磁导率如顺磁媒质铝，其相对磁导率r=1.0000214；而反磁媒质铜，其相对磁导率而反磁媒质铜，其相对磁导率r=0.999991非真空媒质中的安培环路定理非真空媒质中的安培环路定理22磁化强度与媒质表面的磁化电流磁化强度与媒质表面的磁化电流 1、磁化强度定义：、磁化强度定义：研究宏观媒质的微小体积元中，单位研究宏观媒质的微小体积元中，单位体积内分子磁矩的平均磁效应，以体积内分子磁矩的平均磁效应，以 表示单位体积内分表示单位体积内分子磁矩之和子磁矩之和 二、磁化强度矢量二、磁化强度矢量 媒质的媒质的磁化强度磁化强度，它描述媒质被磁化时，媒质，它描述媒质被磁化时，媒质中各点所呈现的磁化强弱状态。中各点所呈现的磁化强弱状态。2、磁化强度与磁化电流的关系：、磁化强度与磁化电流的关系：若在被磁化的媒质中，若在被磁化的媒质中，截取一微小圆柱体，截取一微小圆柱体，设单位体积内所含分子数为设单位体积内所含分子数为N，则包围则包围轴线的磁化电流为轴线的磁化电流为 23 故场中某点的故场中某点的磁化强度磁化强度 可理解为该点所在处可理解为该点所在处 方向上，方向上，单位长度所交链的磁化电流单位长度所交链的磁化电流在极限情况下在极限情况下在考虑了媒质边缘处所出现的在考虑了媒质边缘处所出现的表面磁化电流（亦可称为束缚电流）表面磁化电流（亦可称为束缚电流）之后，可视磁场处于真空媒质之中。之后，可视磁场处于真空媒质之中。媒质的磁化电流媒质的磁化电流若若 的取向与的取向与 方向一致时方向一致时非真空媒质中的安培环路定理非真空媒质中的安培环路定理24 在非真空媒质中，考虑磁化电流后，可得磁感应强度在非真空媒质中，考虑磁化电流后，可得磁感应强度矢量矢量 的环路定理的环路定理三、安培环路定理三、安培环路定理 安培环路定理：安培环路定理：磁场强度矢量磁场强度矢量 ，沿任意闭合有向曲线的，沿任意闭合有向曲线的积分，等于与该曲线所交链的宏观电流（自由电流）的代数和。积分，等于与该曲线所交链的宏观电流（自由电流）的代数和。安培环路定理为磁场的又一个基本定理，它说明磁场是有旋场。安培环路定理为磁场的又一个基本定理，它说明磁场是有旋场。磁场强度磁场强度非真空媒质中的安培环路定理非真空媒质中的安培环路定理25 媒质的媒质的磁化率磁化率，是一个无量纲的纯量。，是一个无量纲的纯量。对于各向同性媒质，根据实验有对于各向同性媒质，根据实验有非真空媒质中的安培环路定理非真空媒质中的安培环路定理对对比比26介质极化（电极化强度介质极化（电极化强度P）媒质磁化（磁化强度媒质磁化（磁化强度M）极化时介质内部正负位移电荷互极化时介质内部正负位移电荷互相抵消，只在介质电场方向的边相抵消，只在介质电场方向的边缘处出现束缚电荷缘处出现束缚电荷媒质磁化内部相邻分子圆电流彼此互相媒质磁化内部相邻分子圆电流彼此互相抵消，只在媒质的边缘表面形成磁化电抵消，只在媒质的边缘表面形成磁化电流流考虑了束缚电荷效应，可视电场考虑了束缚电荷效应，可视电场处于真空介质中处于真空介质中考虑了媒质表面磁化电流效应，可视磁考虑了媒质表面磁化电流效应，可视磁场处于真空媒质中场处于真空媒质中 引入电极化强度引入电极化强度 引入磁化强度引入磁化强度静电场与恒定磁场的类比静电场与恒定磁场的类比非真空媒质中的安培环路定理非真空媒质中的安培环路定理27例例4-5：空气中有一长直钢芯铝线，钢芯半径为空气中有一长直钢芯铝线，钢芯半径为R1，铝，铝线的内外半径分别为线的内外半径分别为R1、R2。钢的电导率为。钢的电导率为1，相对磁，相对磁导率为导率为r，铝的电导率为，铝的电导率为2。设此导线中电流强度为。设此导线中电流强度为I，求导线内部的磁感应强度及磁化强度。求导线内部的磁感应强度及磁化强度。解：解：设电流依次为设电流依次为I1和和I2，则应有，则应有I1I2I。在钢芯和铝线的分界面上，电场强度的在钢芯和铝线的分界面上，电场强度的轴向分量连续轴向分量连续非真空媒质中的安培环路定理非真空媒质中的安培环路定理28非真空媒质中的安培环路定理非真空媒质中的安培环路定理29将安培环路定理应用于不同媒质交界面处将安培环路定理应用于不同媒质交界面处4-5 两媒质交界面上磁场的边界条件两媒质交界面上磁场的边界条件将磁通连续性原理运用于不同媒质交界处将磁通连续性原理运用于不同媒质交界处2、若不同媒质交界面处存有宏观面电、若不同媒质交界面处存有宏观面电流，以流，以a表示垂直流过单位长度上的面表示垂直流过单位长度上的面电流值。当面电流的方向与积分路径电流值。当面电流的方向与积分路径成右手螺旋法则时，运用安培环路定成右手螺旋法则时，运用安培环路定理于上述积分路径理于上述积分路径两不同导磁媒质交界两不同导磁媒质交界面处的面电流示意面处的面电流示意1、当、当积分路径不交链电流时积分路径不交链电流时30在不同媒质交界面处，磁场的边界条件为在不同媒质交界面处，磁场的边界条件为安培环路定理安培环路定理 磁场的折射定理磁场的折射定理 无面电流媒质交界面处，磁场的折射定理无面电流媒质交界面处，磁场的折射定理 铁磁媒质的磁导率远大于顺磁、反磁媒质，在两者交界面铁磁媒质的磁导率远大于顺磁、反磁媒质，在两者交界面处，不管磁场从何方射向交界面，非铁磁物质中磁场总是趋向处，不管磁场从何方射向交界面，非铁磁物质中磁场总是趋向垂直于铁质交界面磁媒质的表面。垂直于铁质交界面磁媒质的表面。两媒质交界面上磁场的边界条件两媒质交界面上磁场的边界条件31例例4-6：磁场由磁导率磁场由磁导率115000的钢进入空气中，已知钢的钢进入空气中，已知钢中中B115T，=87。求分界面空气一侧的。求分界面空气一侧的B2和和 。解解 钢内磁感应强度B1的两分量为两媒质交界面上磁场的边界条件两媒质交界面上磁场的边界条件32 微分形式的磁通连续性原理：微分形式的磁通连续性原理：磁场中，空间任一点的磁磁场中，空间任一点的磁感应强度矢量感应强度矢量 的散度恒为零的散度恒为零。它说明了。它说明了磁场是无源场磁场是无源场，磁，磁感应强度矢量感应强度矢量 线处连续而不断。线处连续而不断。4-6 磁场中的两个基本定理的微分形式磁场中的两个基本定理的微分形式一、微分形式的磁通连续性原理一、微分形式的磁通连续性原理磁通连续性原理磁通连续性原理在直角坐标系中，散度公式为在直角坐标系中，散度公式为33二、微分形式的安培环路定理二、微分形式的安培环路定理1.1.推导推导yozyozxozxozxoyxoy微分形式的安培环路定理微分形式的安培环路定理磁场中的两个基本定理的微分形式磁场中的两个基本定理的微分形式34 设设A点的磁场强度矢量为点的磁场强度矢量为 ，三个分量为，三个分量为Hx，Hy，Hz，沿，沿无限小闭合矩形的环路积分无限小闭合矩形的环路积分当此无限小闭合矩形所交链的电流为当此无限小闭合矩形所交链的电流为dIx时，可得磁场强度时，可得磁场强度 的旋度在的旋度在x方向上的分量为方向上的分量为设空间有设空间有 场，为适应直角坐标系的需要，场中以任意场，为适应直角坐标系的需要，场中以任意点点A（x，y，z）为中心，如图作一无限小闭合矩形）为中心，如图作一无限小闭合矩形 。磁场中的两个基本定理的微分形式磁场中的两个基本定理的微分形式35同理可得旋度在同理可得旋度在y及及z方向上的分量方向上的分量n微分形式的安培环路定理。微分形式的安培环路定理。空间任一点的磁场强度的旋度等于空间任一点的磁场强度的旋度等于该点的电流密度矢量。在电流密度不为零的区域磁场强度该点的电流密度矢量。在电流密度不为零的区域磁场强度H的的旋度不为零，说明磁场是旋涡场，或有旋场旋度不为零，说明磁场是旋涡场，或有旋场。n磁场中的两个积分形式定理及两个微分形式定理的数学表达式，磁场中的两个积分形式定理及两个微分形式定理的数学表达式，统称为磁场的基本方程式。统称为磁场的基本方程式。磁场中的两个基本定理的微分形式磁场中的两个基本定理的微分形式36证明：证明：半径为半径为a，载有电流，载有电流I长直圆柱导体内磁感应强度长直圆柱导体内磁感应强度r=a处分界面处分界面例例4-4：空气中无限长直圆柱导体载有电流空气中无限长直圆柱导体载有电流I，其半径为，其半径为a。试确定试确定导体内、外的磁感应强度。设空气和导体的磁导率均为导体内、外的磁感应强度。设空气和导体的磁导率均为0。例例4-7：证明由证明由 的环路定理所求得例的环路定理所求得例4-4的结果，满的结果，满足磁场的两个微分形式定理及边界条件。足磁场的两个微分形式定理及边界条件。磁场中的两个基本定理的微分形式磁场中的两个基本定理的微分形式37r=a处分界面处分界面磁场中的两个基本定理的微分形式磁场中的两个基本定理的微分形式384-7 无电流区域中磁场的标量磁位与拉无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程普拉斯方程一、磁场的标量磁位一、磁场的标量磁位磁场中电流密度磁场中电流密度 处处引入标量磁位引入标量磁位 磁位函数磁位函数 是一个没有物理意义的计算量，单位为（是一个没有物理意义的计算量，单位为（A）39可得任意方向可得任意方向l上的磁场强度上的磁场强度UmAP定义为定义为A、P两点间的磁压两点间的磁压选定选定P为参考点时，则得为参考点时，则得A点的磁位函数为点的磁位函数为 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程40若积分路径穿越的方向改变时有若积分路径穿越的方向改变时有 磁位函数为一多值函数。当两点间积磁位函数为一多值函数。当两点间积分路径穿越载流回路时，则磁位函数有一分路径穿越载流回路时，则磁位函数有一附加常数附加常数I。二、标量磁位的多值性与磁障碍面二、标量磁位的多值性与磁障碍面无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程41积分路径积分路径 k次穿越载流次穿越载流当积分路径穿越某载流回路当积分路径穿越某载流回路k次时次时两点间的磁压要随积分路径而变。两点间的磁压要随积分路径而变。为了使磁位函数具有单值性，我们通常约定，在求载流回为了使磁位函数具有单值性，我们通常约定，在求载流回路空间的磁位时，不得穿越载流回路所界定的面积，此面积称路空间的磁位时，不得穿越载流回路所界定的面积，此面积称之为之为磁障碍面。磁障碍面。这样，磁位函数即为单值函数，磁压亦为单值这样，磁位函数即为单值函数，磁压亦为单值函数。函数。从原则上讲，磁障碍面可任意选取，然而为方便起见，对从原则上讲，磁障碍面可任意选取，然而为方便起见，对于平面载流回路，一般选择平面载流回路所界定的平面。于平面载流回路，一般选择平面载流回路所界定的平面。磁场中的两个基本定理的微分形式磁场中的两个基本定理的微分形式无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程42磁位函数的拉普拉斯方程磁位函数的拉普拉斯方程在空间媒质的磁导率在空间媒质的磁导率为常数情况下为常数情况下三、磁场的拉普拉斯方程三、磁场的拉普拉斯方程在磁场的无电流区域，即在磁场的无电流区域，即 处处无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程43 满足拉普拉斯方程，且满足一定边界条件的标量磁位函满足拉普拉斯方程，且满足一定边界条件的标量磁位函数是唯一的。数是唯一的。以磁位函数所表示的媒质交界面处边界条件为以磁位函数所表示的媒质交界面处边界条件为磁场的唯一性定理为：磁场的唯一性定理为：无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程44例例4-8 有一载电流有一载电流I的无限长直圆导线，试求图示导线外的无限长直圆导线，试求图示导线外A、P两点之间的磁压两点之间的磁压UmAP。A、P两点间的磁压两点间的磁压在直线在直线OP上取点上取点C，令，令OC=OA=r。磁场强度沿着点。磁场强度沿着点A到到P的曲的曲线线l的曲线积分，只要曲线的曲线积分，只要曲线l不绕电流，则积分值与路径无关。不绕电流，则积分值与路径无关。解：解：载有电流载有电流I的无限长直圆导线外的磁场强度的无限长直圆导线外的磁场强度无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程45解：解：取取ox轴，通过轴，通过 0的射线作一磁障碍面，可以设想的射线作一磁障碍面，可以设想空间将被分割，被分割的空间内，导线以外区域标量磁位具空间将被分割，被分割的空间内，导线以外区域标量磁位具有单值性。磁障碍面构成这一问题的边界，即平面上下两侧有单值性。磁障碍面构成这一问题的边界，即平面上下两侧分别是等磁位面。分别是等磁位面。例例4-9 通过求解标量磁位的拉普拉斯方程，确定载电流通过求解标量磁位的拉普拉斯方程，确定载电流I的无限长直圆导线外的磁场。的无限长直圆导线外的磁场。设定磁场标量磁位的参考点设定磁场标量磁位的参考点无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程46（ra）设设A、B分别取为磁障碍上、下侧极为邻近的两点，分别取为磁障碍上、下侧极为邻近的两点，l为为自自A到到B围绕电流围绕电流I（I的方向如图示）的曲线，则的方向如图示）的曲线，则 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程474-8 磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程一、矢量磁位及其所满足的泊松方程一、矢量磁位及其所满足的泊松方程1.引入矢量磁位引入矢量磁位由于旋度场的散度恒为零由于旋度场的散度恒为零引入引入 后，没有破坏磁通连续性原理后，没有破坏磁通连续性原理48当媒质均匀或分区均匀时当媒质均匀或分区均匀时由矢量恒等式有由矢量恒等式有2.方程推导方程推导无电流密度区域无电流密度区域矢量磁位矢量磁位 不具不具有直接的物理意义，但有直接的物理意义，但却是一个用途广泛的重却是一个用途广泛的重要计算量，单位为韦伯要计算量，单位为韦伯每米（每米（Wb/m）。）。有电流密度区域有电流密度区域磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程49在恒定磁场中，当磁导率为在恒定磁场中，当磁导率为的各向同性、线性导磁物质充的各向同性、线性导磁物质充满空间时，泊松方程为满空间时，泊松方程为磁场中各点的矢量磁位磁场中各点的矢量磁位二、分布型问题泊松方程的解二、分布型问题泊松方程的解 在静电场中，当电容率在静电场中，当电容率为为的的各向同性、线性介质各向同性、线性介质充满空间时，泊松方程为充满空间时，泊松方程为其解其解类比类比磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程50 当电流的分布已知时，求解磁场的矢量磁位，当电流的分布已知时，求解磁场的矢量磁位，因而称为因而称为分布型问题分布型问题。如果电流在导线截面尺度。如果电流在导线截面尺度微小的线型回路中流动时，由于微小的线型回路中流动时，由于磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程51在直角坐标系中，矢量磁位在直角坐标系中，矢量磁位 泊泊松方程可分解为三个标量方程松方程可分解为三个标量方程因而矢量磁位因而矢量磁位 三个分量分别三个分量分别磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程52穿过有向回路界穿过有向回路界定的曲面的磁通定的曲面的磁通三、运用矢量磁位求磁通三、运用矢量磁位求磁通 l为界定有向曲面为界定有向曲面 的有向闭合曲的有向闭合曲线线l的绕行方向与曲面的正侧法线间具有的绕行方向与曲面的正侧法线间具有右螺法则关系。右螺法则关系。当求解曲面当求解曲面S所穿过的磁通时，仅需所穿过的磁通时，仅需求解矢量磁位求解矢量磁位 此曲面此曲面S的有向周界的有向周界l的的闭合曲线积分。闭合曲线积分。磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程53 具有唯一性定理，即：满足泊松方程且满足一定边界条件的具有唯一性定理，即：满足泊松方程且满足一定边界条件的磁场矢量位函数是唯一的。磁场矢量位函数是唯一的。H1t-H2t=a四、边值型问题中矢量磁位四、边值型问题中矢量磁位 场的边界条件场的边界条件它说明在不同媒质交界面处，矢量它说明在不同媒质交界面处，矢量磁位具有连续性，磁位具有连续性，B才有限才有限此边界条件与此边界条件与B1n=B2n等效。等效。无面电流线密度，无面电流线密度，0磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程54交界面处，矢量磁位所满足的交界面处，矢量磁位所满足的边界条件边界条件 当磁场为平行平面场时，磁场只有当磁场为平行平面场时，磁场只有x、y方向分量，此时方向分量，此时电流必沿电流必沿z轴方向流动，可知矢量磁位亦仅有轴方向流动，可知矢量磁位亦仅有z轴方向分量，轴方向分量，且矢量磁位沿且矢量磁位沿z轴方向的变化率为零。轴方向的变化率为零。x为为t方向，方向，y为为n方向方向 的边界条件为的边界条件为磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程55例例4-10：求长度为求长度为2L，通以电流，通以电流I的直导线外任一点的直导线外任一点P的的矢量磁位。矢量磁位。l为积分变量，令为积分变量，令t=lz，则，则dldt解解：电流：电流I 沿沿 z 轴方向，任一点轴方向，任一点P（r，z）的矢量磁位）的矢量磁位 将只有将只有Az分量分量 磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程例4-156 例例4-11：求无限长的平行双输电线的磁场。求无限长的平行双输电线的磁场。解：解：双输电线磁场的矢量磁位方向显然平行于双输电线磁场的矢量磁位方向显然平行于z轴。由于输电轴。由于输电线为无限长，在平行于线为无限长，在平行于xoy平面上磁场分布相同，研究点平面上磁场分布相同，研究点P（x，y，o）的情况。点）的情况。点P的矢量磁位由导线的矢量磁位由导线1和和2的矢量磁位的矢量磁位 、叠加而得。单独考虑导线叠加而得。单独考虑导线1的矢量位时，若选定坐标原点的矢量位时，若选定坐标原点o为参考点为参考点磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程57求半径为求半径为a，载电流，载电流 I 的长直导线内、外磁场的矢量磁位的长直导线内、外磁场的矢量磁位 选圆柱坐标系。选圆柱坐标系。A只有只有z分量，且分量，且Az只与只与r 有关。有关。5859606162当当r1=r2时，时，A=0，yoz平面为矢量磁位的零位面平面为矢量磁位的零位面磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程63在在xoy平面上磁感应强度平面上磁感应强度B线的微分方程为线的微分方程为Bxdy-Bydx=0，故磁感应线的方程故磁感应线的方程AzK1（常数）（常数）r2/r1=K1。对照静电场，双电轴电场。对照静电场，双电轴电场中的等位线就是载有相反电流的两中的等位线就是载有相反电流的两直导线所产生的磁场中的等直导线所产生的磁场中的等A线，线，就是就是B线。线。磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程引申讨论：引申讨论：64导线外的矢量磁位导线外的矢量磁位例例4-12：利用矢量磁位重新计算例利用矢量磁位重新计算例4-3中通过中通过ABC的磁通。的磁通。解：解：ABC 周界的绕行方向应如图中箭头所示周界的绕行方向应如图中箭头所示 通过通过ABC的磁通的磁通磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程65CB点点B相应于相应于z=a点点A相应相应z=0综上，得到进入纸面内的磁通综上，得到进入纸面内的磁通BA磁场的矢量磁位及泊松方程磁场的矢量磁位及泊松方程66 磁导率为磁导率为1及及2的导磁媒质，其交接处为无限大平面，的导磁媒质，其交接处为无限大平面，一线形载电流一线形载电流I的导体与平面平行。的导体与平面平行。4-9 磁场的镜象法磁场的镜象法一、无限大媒质平面的镜象一、无限大媒质平面的镜象用集中的镜象电流代替媒质交界面上分散的磁化电流用集中的镜象电流代替媒质交界面上分散的磁化电流交界面上满足交界面上满足媒质媒质1中中媒质媒质2中中6768两不同媒质交界面上由邻近的分两不同媒质交界面上由邻近的分子电流引起的磁化面电流子电流引起的磁化面电流 电流电流I就是虚拟（集中量）电就是虚拟（集中量）电流，等效于边界上实际出现的分散流，等效于边界上实际出现的分散量（分子束缚电流）。电流量（分子束缚电流）。电流I为原为原电流电流I与磁化电流的合成与磁化电流的合成对比对比691.上半空间为磁导率为上半空间为磁导率为1的媒质的媒质下半空间充满铁磁媒质下半空间充满铁磁媒质2 2 1，故，故邻近铁磁物质平面邻近铁磁物质平面二、无限大铁磁平面的镜象二、无限大铁磁平面的镜象上半域中的磁场可按图求解上半域中的磁场可按图求解用镜象法处理后的磁场用镜象法处理后的磁场70由安培环路定理由安培环路定理 整个铁磁体将为一个等磁位体，整个铁磁体将为一个等磁位体，1媒质中所有穿过界面媒质中所有穿过界面的磁力线与铁磁媒质平面垂直的磁力线与铁磁媒质平面垂直下半域中，由于下半域中，由于I=0，故，故 H2=0。但但 B2=0由于铁的磁导率为无穷大，则有由于铁的磁导率为无穷大，则有B2=2H2为一不定式。为为一不定式。为了确定铁中之磁感应强度了确定铁中之磁感应强度B2，只需重新引用式，只需重新引用式71铁磁物质内磁场求解示意图铁磁物质内磁场求解示意图 非铁磁物质内，磁场求解示意图非铁磁物质内，磁场求解示意图2.若导线埋设在铁磁媒质中，可设若导线埋设在铁磁媒质中，可设17273右边各项依次为电流右边各项依次为电流I、-I、-I的磁场的磁场对电流对电流I的作用力的作用力例例4-13:将两根平行长直导线平行放置在一块十分厚的大铁板将两根平行长直导线平行放置在一块十分厚的大铁板外，两线相距外，两线相距1m，它们与铁板平面相距均为，它们与铁板平面相距均为0.5m，载有彼此反，载有彼此反向的电流，电流强度为向的电流，电流强度为10A，计算每根导线单位长度的受力。，计算每根导线单位长度的受力。解解:设设1、2为两根长直导线，考虑导线为两根长直导线，考虑导线l的受力时必须分析的受力时必须分析铁块对磁场的影响。导线铁块对磁场的影响。导线1、2的镜象分别为的镜象分别为导线单位长度受力导线单位长度受力74754-10 自感及其计算自感及其计算 1.自感过程（自感现象）自感过程（自感现象）变化的磁通在回路中感生电动势变化的磁通在回路中感生电动势的过程。的过程。2.自感电动势：自感电动势：自感过程所感生的电动势，称为自感电动势。自感过程所感生的电动势，称为自感电动势。线圈的自感电动势的大小，不仅与回路的电流有关，而且与线线圈的自感电动势的大小，不仅与回路的电流有关，而且与线圈的几何尺寸，以及周围媒质的磁导率有关。圈的几何尺寸，以及周围媒质的磁导率有关。3.线圈回路的自感系数线圈回路的自感系数线性媒质中，线圈的几何尺寸及周线性媒质中，线圈的几何尺寸及周围媒质磁导率在自感过程中所表现的效应，以系数围媒质磁导率在自感过程中所表现的效应，以系数L表示。表示。一、自感及自感系数一、自感及自感系数 4.自感系数：自感系数：回路电流所交链的磁（通）链回路电流所交链的磁（通）链与产生此磁（通）与产生此磁（通）链的回路电流链的回路电流I之比。之比。76二、内自感与外自感二、内自感与外自感 按定义计算自感时，其中的磁链必须是与整个电流按定义计算自感时，其中的磁链必须是与整个电流I所交链的全磁通。所交链的全磁通。自感电动势自感电动势线性媒质中线性媒质中根据定义可计算线圈回路的自感：给定回路电流根据定义可计算线圈回路的自感：给定回路电流I，求此电，求此电流所产生并与回路交链的磁链流所产生并与回路交链的磁链，然后按定义式即得线圈回路，然后按定义式即得线圈回路的自感量。的自感量。77 磁通分两部分：磁通分两部分：外磁通（或外磁链）外磁通（或外磁链）与整个电流交链的磁通，包围整与整个电流交链的磁通，包围整个导线截面的电流，是交链整个导线截面电流的磁通。个导线截面的电流，是交链整个导线截面电流的磁通。内磁通（或内磁链）内磁通（或内磁链）仅与电流的部分量交链的磁通。仅与电流的部分量交链的磁通。如图所示，当有电流如图所示，当有电流I流过时，其产流过时，其产生的磁通，虽大部分与整个电流交链，然生的磁通，虽大部分与整个电流交链，然而萦绕于导线内部的磁通，仅与部分电流而萦绕于导线内部的磁通，仅与部分电流相交链。相交链。圆柱形截流导体圆柱形截流导体78三、平行双输电线外自感的计算三、平行双输电线外自感的计算 e表示外磁链，表示外磁链，Le表示外自感表示外自感半径为半径为R0，相距为，相距为D的平行双输电线，的平行双输电线，所流过的电流为所流过的电流为I，任一点任一点A的磁感应强的磁感应强度为度为79四、线圈回路外自感的计算四、线圈回路外自感的计算如设回路导线的半径为如设回路导线的半径为R，流过电流为，流过电流为I，则此，则此电流所产生的磁通与回路电流交链者，必须通电流所产生的磁通与回路电流交链者，必须通过以回路内沿周界过以回路内沿周界l2所界定的面积，磁链为所界定的面积，磁链为 设线圈长度尺寸，远大于导线直径，故可设线圈长度尺寸，远大于导线直径，故可认定回路电流集中于回路之轴心线认定回路电流集中于回路之轴心线l1上上80密绕线圈密绕线圈当线圈匝数为当线圈匝数为且绕制密集时，可近似认且绕制密集时，可近似认为各线圈的几何位置相同为各线圈的几何位置相同磁链磁链ee，交链的电流为，交链的电流为I，故外，故外磁链为磁链为此线圈回路的外自感为此线圈回路的外自感为81 其中：其中：I为流过回路的电流为流过回路的电流 i是与整个回路电流交链的磁通是与整个回路电流交链的磁通 回路的内磁通，仅与回路部分电流相链，故必须将此回路的内磁通，仅与回路部分电流相链，故必须将此部分内磁通折合为与回路电流部分内磁通折合为与回路电流I全交链的磁通，亦即折合为内磁全交链的磁通，亦即折合为内磁链。链。五、长直导线内自感的计算五、长直导线内自感的计算线圈回路的内自感线圈回路的内自感82 设长直导线截面半径为设长直导线截面半径为R，当通以电流，当通以电流I时，电流均匀时，电流均匀分布于导线的截面，由安培环路定理，可求得离轴线分布于导线的截面，由安培环路定理，可求得离轴线r处处的磁感应强度的磁感应强度此时通过图示单位长度小环侧面积的磁通为此时通过图示单位长度小环侧面积的磁通为 这一磁通仅交链部分电流这一磁通仅交链部分电流I，而非整个电流，而非整个电流I，因此必须乘，因此必须乘以折合比以折合比 I/I。(即即r2/R2)。83进行折合后的磁链为进行折合后的磁链为导线单位长度内自感导线单位长度内自感导线单位长度内磁链导线单位长度内磁链长直导线的内自感与导长直导线的内自感与导线的截面积无关线的截面积无关84其中其中l1为线圈回路轴心线的长度，为线圈回路轴心线的长度，l2为线圈回路内周界的为线圈回路内周界的长度。长度。平行双输电线单位长度的外自感，若再计入其内自感则平行双输电线单位长度的外自感，若再计入其内自感则得平行双输电线单位长度的自感得平行双输电线单位长度的自感线圈回路自感则等于外自感与内自感之和线圈回路自感则等于外自感与内自感之和 85解：解：钢与铝的磁导率不同，而且电导率不同。后者使得导线钢与铝的磁导率不同，而且电导率不同。后者使得导线内部的磁通所交链的电流不能按内部的磁通所交链的电流不能按 计算。令单位长计算。令单位长度上钢芯部分的内自感为度上钢芯部分的内自感为Li1，当直接推求出，当直接推求出Li1，Li2，则，则L=Li1+Li2。通过单位长度上面积通过单位长度上面积1dr的磁通为的磁通为钢芯部分（钢芯部分（0rR1），半径为），半径为r处处例例4-14 计算例计算例4-5钢芯铝线单位长度的内自感钢芯铝线单位长度的内自感Li。86折合后的磁链为折合后的磁链为钢芯部分内磁链、内自感为钢芯部分内磁链、内自感为87 半径为半径为r处单位长度上面积处单位长度上面积1dr部分的磁通折合为磁链部分的磁通折合为磁链铝线部分（铝线部分（R1rR2）电流折合系数电流折合系数 电流折合系数即这部分磁通所交链的电流电流折合系数即这部分磁通所交链的电流I1与电流与电流I之比为之比为88 则整个钢芯铝线单位长度的内自感为则整个钢芯铝线单位长度的内自感为 Li=Li1+Li2如果如果 ，120，则由上式可验证，则由上式可验证因此这部分的内磁链、内自感为因此这部分的内磁链、内自感为89例例4-15 求密绕求密绕w匝线圈的螺线环的自感。圆环的平匝线圈的螺线环的自感。圆环的平均半径为均半径为d，截面为半径等于，截面为半径等于a的圆形。的圆形。这一磁通与这一磁通与w匝线圈交链，其磁链匝线圈交链，其磁链w，所以外自感为，所以外自感为解：解：当通入电流当通入电流I时截面上的磁通为时截面上的磁通为 90两线圈间的磁耦合两线圈间的磁耦合：当有两个线圈回路同时存在时，若一线圈当有两个线圈回路同时存在时，若一线圈回路中有电流，此回路电流产生的磁通不仅与本线圈回路相交回路中有电流，此回路电流产生的磁通不仅与本线圈回路相交链，而且与另一线圈回路相交链。链，而且与另一线圈回路相交链。互感应现象：互感应现象：当某回路电流变化时，根据电磁感应定律，变化当某回路电流变化时，根据电磁感应定律，变化磁通不仅在本线圈回路感生电动势，而且由于两线圈间的磁耦磁通不仅在本线圈回路感生电动势，而且由于两线圈间的磁耦合，亦将在另一线圈回路中感生电动势。后一过程称为两线圈合，亦将在另一线圈回路中感生电动势。后一过程称为两线圈间的互感应过程，所感生的电动势，称为互感电动势。间的互感应过程，所感生的电动势，称为互感电动势。4-11 互感及其计算互感及其计算互感磁通示意图互感磁通示意图 一、互感及互感系数一、互感及互感系数91互感系数互感系数(简称互感简称互感)：定义为与任一线圈所交链的互感磁定义为与任一线圈所交链的互感磁链与产生此互感磁链的回路电流之比。链与产生此互感磁链的回路电流之比。设线圈回路设线圈回路1的电流的电流I1，其所产生并与线，其所产生并与线圈回路圈回路2所交链的互感磁链为所交链的互感磁链为21，在线性媒质，在线性媒质中，磁通与产生此磁通的电流成正比，故设中，磁通与产生此磁通的电流成正比，故设21与与I1的的比例系数为线圈比例系数为线圈1对于线圈对于线圈2的互感系的互感系数数M21 同理同理12表示线圈表示线圈2对于线圈对于线圈1的互感磁链，的互感磁链，M12表示线圈表示线圈2对于线圈对于线圈1的互感系数，的互感系数，I2表示线表示线圈圈2的电流，的电流，两线圈本身几何尺寸两线圈本身几何尺寸及其相互间的几何位及其相互间的几何位置，以及周围媒质的置，以及周围媒质的磁导率，而与其所交磁导率，而与其所交链的互感磁链以及产链的互感磁链以及产生互感磁链的电流大生互感磁链的电流大小无关。小无关。互感及其计算互感及其计算92 两线圈回路两线圈回路几何轴线的长度分别为几何轴线的长度分别为l1及及l2，线圈回路，线圈回路1的电的电流流I1为时，线圈回路为时，线圈回路2所交链的互感磁链为所交链的互感磁链为二、两线圈间互感系数的计算二、两线圈间互感系数的计算方法：设线圈回路方法：设线圈回路1的电流的电流I1 设线圈回路设线圈回路2的电流的电流I2两线圈的互感示意图两线圈的互感示意图互感及其计算互感及其计算93线圈回路线圈回路2所流过的电流所流过的电流I2 两线圈间互感系数彼此相等，仅取决于线圈本身尺寸及两两线圈间互感系数彼此相等，仅取决于线圈本身尺寸及两线圈回路的相对几何位置以及媒质的磁导率。线圈回路的相对几何位置以及媒质的磁导率。诺以曼公式诺以曼公式互感及其计算互感及其计算94 当两线圈回路分别为当两线圈回路分别为w1及及w2匝，并绕制密集时，可以认为线匝，并绕制密集时，可以认为线圈每匝均处于同一几何位置，因而有圈每匝均处于同一几何位置，因而有两线圈间的互感系数近似为两线圈间的互感系数近似为互感及其计算互感及其计算95一对输电线产生的磁场一对输电线产生的磁场 根据磁通连续性原理，流经导线根据磁通连续性原理，流经导线B的电流，其所产生并通的电流，其所产生并通过面积过面积1CD的磁通，与该电流所产生并通过面积的磁通，与该电流所产生并通过面积1CD的磁的磁通相等。同理流经导线通相等。同理流经导线A的电流，其所产生并通过面积的电流，其所产生并通过面积1CD的的磁通，与该电流所产生并通过面积磁通，与该电流所产生并通过面积1CD的磁通相等。的磁通相等。方法方法1、两对平行输电回路两对平行输电回路A、B及及C、D，求其间的互感。给定回路的电流为求其间的互感。给定回路的电流为I，作，作A、B轴心联线，将其延长交以轴心联线，将其延长交以B为圆心，联线为圆心，联线BC、BD为半径的圆于为半径的圆于C、D点。点。三、两对平行双输电线的互感计算三、两对平行双输电线的互感计算互感及其计算互感及其计算96 导线导线A、B所载的电流大小相等，方向相反，其值为所载的电流大小相等，方向相反，其值为I，在平，在平面上任一点所产生的磁场强度矢量分别为面上任一点所产生的磁场强度矢量分别为 及及 ，通过平面，通过平面1CD之磁通分别为之磁通分别为 互感及其计算互感及其计算根据叠加原理可得通过平面根据叠加原理可得通过平面1CD的总磁通的总磁通97两对平行输电线间之互感系数两对平行输电线间之互感系数方法方法2、A、B载流流回路在导线载流流回路在导线C及导线及导线D上任一点上任一点所产生的矢量磁位为所产生的矢量磁位为互感及其计算互感及其计算98例例4-164-16:计算算无无限限长直直导线同同与与其其平平行行但但不不共共平平面面的的单匝匝矩形矩形导线框框BCDEBCDE之之间的互感。的互感。将矢量磁位参考点将矢量磁位参考点选在在线段段CDCD上上较为方便，即令方便，即令OD=OD=x0 0，则CDCD段上段上BC、DE段上段上A A与与d dl垂直，故垂直，故 。因此磁通因此磁通解解:设无限长直导线电流为设无限长直导线电流为I，根据无限根据无限长直载流导线的矢量磁位公式长直载流导线的矢量磁位公式互感及其计算互感及其计算99无限无限长直直导线与与EBEB线的距离的距离为r=d，与与CDCD线的距离的距离为 根据互感的定根据互感的定义得得互感及其计算互感及其计算100例例4-17 两单匝长方形导线框的平面互相正对着，如图所示，平面间距离为x5cm，长边a20cm，短边b=10cm，求其间的互感。解：解：运用诺以曼公式运用诺以曼公式 l1分为直线段分为直线段1，2，3，4；l2分为直线段分为直线段1，2，3，4 M11和和M33分分别别为为直直线线段段1与与1及及直直线线段段3与与3的的积积分分值值，M22和和M44分分别别为为直直线线段段2与与2及及直直线线段段4与与4的的积积分分值值，M13和和M31分分别别为为直直线线段段1与与3及及直直线线段段3与与1的的积积分分值值，M24和和M42分别为直线段分别为直线段2与与4及直线段及直线段4与与2的积分值。的积分值。互感及其计算互感及其计算101 由于线段由于线段1与线段与线段2、4垂直垂直 同样，直线段同样，直线段2与与1 、3 的积分值亦为零，的积分值亦为零，3与与2、4，4与与1、3的积分值同样为零。的积分值同样为零。互感及其计算互感及其计算102互感及其计算互感及其计算103细小圆形镯环上，密绕线圈所产生的磁场磁能密度细小圆形镯环上，密绕线圈所产生的磁场磁能密度 磁场能量系以能量密磁场能量系以能量密度的形式，储存于磁场度的形式，储存于磁场所遍及的整个场域。计所遍及的整个场域。计算磁场能量的普遍公式算磁场能量的普遍公式4-12 4-12 载电流回路系流回路系统的磁的磁场能量及其分布能量及其分布磁场能量磁场能量一、镯环线圈的磁场能量与磁场能量密度一、镯环线圈的磁场能量与磁场能量密度104 为研究方便，提出三项约定：为研究方便，提出三项约定：1.基基于于场场的的物物质质性性，一一定定的的物物质质状状态态，对对应应唯唯一一的的能能量量状状态态，因因而而磁磁场场能能量量确确定定于于场场的的最最终终分分布布状状态态，而而与与建建立立此此最终分布状态的方式与过程无关。最终分布状态的方式与过程无关。2.磁磁场场所所处处空空间间，媒媒质质为为线线性性，因因而而每每一一载载回回路路的的电电流流，与与其其所所产产生生的的磁磁通通，具具有有线线性性关关系系，磁磁场场各各量量适适用用叠叠加加原原理理。3.不考虑磁场建立过程所产生诸如辐射、热耗等一切不不考虑磁场建立过程所产生诸如辐射、热耗等一切不可逆的能量损耗。因而在电流流动过程中，电源所作之功，可逆的能量损耗。因而在电流流动过程中，电源所作之功，均转换为磁场能量。均转换为磁场能量。二、载流导体回路系统的磁场能量二、载流导体回路系统的磁场能量载电流回路系统的磁场能量及其分布载电流回路系统的磁场能量及其分布105n个载流导体回路示意图个载流导体回路示意图 n个个载流流导体回路体回路所所载电流分流分别为I1 1、I2 2Ik k、In n每个每个导体回路所交体回路所交链的磁的磁链：1 1、2 2、k k、n n每个每个导体回路的自感：体回路的自感：L1 1、L2 2Lk k、Ln n每两每两导体回路的互感体回路的互感则 Mijij（i,j=1,2n,ij）同同一一瞬瞬间，第第1 1、第第2 2诸导体体回回路路中中的的电流流分分别为xI1 1、xI2 2、xIk k、xIn n，其中，其中x为小小于于1的百分数的百分数若磁若磁场建立某瞬建立某瞬间第第k个个导体回路的体回路的