第三章-随机变量与概率分布课件

第三章第三章 随机变量和概率分布随机变量和概率分布l概率分布概率分布l正正态分布分布l二二项分布分布随机变量及其种类随机变量及其种类l随机随机变量（量（random variable）在一定范围内随机取值的变量在一定范围内随机取值的变量 以一定的概率分布取值的变量以一定的概率分布取值的变量l分分类离散型离散型(discrete)随机变量：只取有限个可能值（通随机变量：只取有限个可能值（通常为整数）常为整数）例：发病个体数，产仔数例：发病个体数，产仔数连续型连续型(continuous)随机变量：在一定范围内可取随机变量：在一定范围内可取无限个可能值（实数）无限个可能值（实数）例：产奶量，体长，日增重例：产奶量，体长，日增重概率分布概率分布l概率函数概率函数(probability function)随机变量取某一特定值的概率函数（离散型随机变量取某一特定值的概率函数（离散型随机变量）随机变量）l概率密度函数概率密度函数(probability density function)随机变量取某一特定值的密度函数（连续型随机变量取某一特定值的密度函数（连续型随机变量）随机变量）l概率分布函数概率分布函数(probability distribution function)随机变量取值小于或等于某特定值的概率随机变量取值小于或等于某特定值的概率离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l概率函数概率函数X：随机变量，随机变量，x：该随机变量的某一可能取值该随机变量的某一可能取值l概率分布函数概率分布函数离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l例例1：掷一次骰子所得点数的概率函数掷一次骰子所得点数的概率函数概率分布列概率分布列离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l例例2：掷二次骰子所得点数之和的概率分布掷二次骰子所得点数之和的概率分布离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布概率分布图概率分布图离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l随机随机变量的期望量的期望(expectation)期望也称数学期望，是一次试验中所期望的随机变量的取值，也期望也称数学期望，是一次试验中所期望的随机变量的取值，也等于总体平均数等于总体平均数对于例对于例1：离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l期望的性期望的性质(a是常量)1.2.3.4.（当X和Y彼此独立）离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l随机变量函数的期望随机变量函数的期望设H(X)是随机变量X的某个函数例：例：对于例对于例1：离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l随机随机变量的方差量的方差(variance)-总体方差体方差对于例对于例1：离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l方差的性方差的性质1.Var(a)=0 （a是常量）是常量）2.Var(aX)=a2Var(X)3.Var(X Y)=Var(X)+Var(Y)(X和和Y彼此独立）彼此独立）4.Var(XY)=Var(X)Var(Y)/连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布l概率密度函数概率密度函数满足以下条件的函数满足以下条件的函数f(x)称为连续性随机变称为连续性随机变量量X的概率密度函数的概率密度函数:(x是X的任一可能取值)连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布l概率分布函数概率分布函数l期望期望l方差方差连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布l正正态分布（分布（normal distribution）具有如下概率密度函数的随机变量称为正态具有如下概率密度函数的随机变量称为正态分布随机变量：分布随机变量：=期望 2=方差（可以证明这个函数满足概率密度函数的（可以证明这个函数满足概率密度函数的3个条件）个条件）正态分布正态分布l正正态分布概率密度函数的几何表示分布概率密度函数的几何表示正态曲线正态曲线f(x)x曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率正态分布正态分布l正正态分布的特点分布的特点只有一个峰，峰值在只有一个峰，峰值在x=处处曲线关于曲线关于x=对称，因而平均数对称，因而平均数=众数众数=中中位数位数x轴为曲线向左、右延伸的渐进线轴为曲线向左、右延伸的渐进线由两个参数决定：由两个参数决定：平均数平均数 和和 标准差标准差 决定曲线在决定曲线在x 轴上的位置轴上的位置 决定曲线的形状决定曲线的形状正态分布正态分布平均数的影响平均数的影响标准差的影响标准差的影响正态分布正态分布l标准正准正态分布分布(standard normal distribution)令令Z服从正态分布服从正态分布标准正态分布标准正态分布对于对于标准化标准化正态分布正态分布l标准正准正态分布的概率密度函数分布的概率密度函数0正态分布正态分布l标准正准正态分布的概率分布的概率计算算 附表附表1(p.294)正态分布正态分布(1)P(Z u)或或 P(Z -u)(u 0)直接查表直接查表正态分布正态分布(2)P(Z -u)或或 P(Z u)查表查表正态分布正态分布(3)P(a Z b)或或例：设 Z N(0,1)，求 (1)P(Z 0.64)(2)P(Z 1.53)(3)P(-2.12 Z -0.53)(4)P(-0.54 Z 0.84)正态分布正态分布正态分布正态分布P(-1 Z 1)=68.26%P(-2 Z 2)=95.45%P(-3 Z 3)=99.73%P(-1.96 Z 1.96)=95%P(-2.58 Z 2.58)=99%几个特殊的标准正态分布概率几个特殊的标准正态分布概率 正态分布正态分布68.3%95.5%99.7%正态分布正态分布l对于于给定的两尾概率定的两尾概率 求求标准正准正态分布在分布在x轴上的分位点上的分位点附表附表2（p.297）/2/2正态分布正态分布用用2 查附表查附表2，可得一尾概率为，可得一尾概率为 时的分位点时的分位点ul对于于给定的一尾概率定的一尾概率 求求标准正准正态分布在分布在x轴上的分位点上的分位点正态分布正态分布l一般正一般正态分布的概率分布的概率计算算转换为标准正态分布计算转换为标准正态分布计算例：设 X N(30,102)，求P(X 40)X N(,2)正态分布正态分布P(-X +)=68.26%P(-2 X +2 )=95.45%P(-3 X +3 )=99.73%P(-1.96 X +1.96 )=95%P(-2.58 X +2.58 )=99%几个特殊的一般正态分布概率几个特殊的一般正态分布概率 正态分布正态分布-3 -2 -+2 +3x68.3%95.5%99.7%偏度与峭度偏度与峭度l偏度（偏度（skewness）度量一个分布的对称性的指标度量一个分布的对称性的指标（总体）（总体）（样本）（样本）偏度和峭度可以用来辅助判断样本数据服从正态分布的程度偏度和峭度可以用来辅助判断样本数据服从正态分布的程度偏度为负（负偏态）就意味着在概率密度函数左侧的尾部比偏度为负（负偏态）就意味着在概率密度函数左侧的尾部比右侧的长，绝大多数的值位于平均值的右侧。右侧的长，绝大多数的值位于平均值的右侧。偏度为正（正偏态）就意味着在概率密度函数右侧的尾部比偏度为正（正偏态）就意味着在概率密度函数右侧的尾部比左侧的长，绝大多数的值位于平均值的左侧左侧的长，绝大多数的值位于平均值的左侧。偏度与峭度偏度与峭度l峭度（峭度（kurtosis）度量一个分布的尖峭或平坦程度的指标度量一个分布的尖峭或平坦程度的指标（总体）（总体）（样本）（样本）峭度为正表示分布曲线比正态分布更尖峭，说明变量值的峭度为正表示分布曲线比正态分布更尖峭，说明变量值的次数较为密集地分布在众数的周围。次数较为密集地分布在众数的周围。峭度为负表示分布曲线比正态分布更平坦，说明变量值的峭度为负表示分布曲线比正态分布更平坦，说明变量值的次数分布比较均匀地分散在众数的两侧。次数分布比较均匀地分散在众数的两侧。峭度为零，说明分布为正态的峭度为零，说明分布为正态的。离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l二二项分布（分布（binomial distribution）假设：假设：1.在相同条件下进行了在相同条件下进行了n次试验次试验 2.每次试验只有两种可能结果（每次试验只有两种可能结果（1或或0）3.结果为结果为1的概率为的概率为p，为，为0的概率为的概率为1-p 4.各次试验彼此间是独立的各次试验彼此间是独立的 在在n次试验中，结果为次试验中，结果为1的次数（的次数（X=0，1，2，n）服从二项分布，表示为）服从二项分布，表示为离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l二二项分布的概率函数分布的概率函数l二项分布的期望二项分布的期望l二项分布的方差二项分布的方差离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布l例例3：一头母猪一窝产了一头母猪一窝产了10头仔猪，分别求其头仔猪，分别求其中有中有2头公猪和头公猪和6头公猪的概率。头公猪的概率。产公猪头数的期望值：产公猪头数的期望值：产公猪头数的方差：产公猪头数的方差：3.5 普哇松（Poisson）分布 当二项分布中n很大，P很小时,二项分布就变成为Poisson分布，所以Poisson分布实际上是二项分布的极限分布。若随机变量x(x=k)只取零和正整数值0，1，2，且其概率分布为其中0；e=2.7182是自然对数的底数，则称x服从参数为的波松分布，记为xP()。k=0，1，l是是Poisson分布分布所依所依赖的唯一参数。的唯一参数。值愈小分布愈偏愈小分布愈偏倚，随着倚，随着的增大，分布的增大，分布趋于于对称。当称。当=20时分布接分布接近于正近于正态分布；当分布；当=50时，可以，可以认为波松分布呈正波松分布呈正态分布。所以在分布。所以在实际工作中，当工作中，当20时就可以用正就可以用正态分分布来近似地布来近似地处理波松分布的理波松分布的问题。图411 不同的波松分布