第一章误差与误差理论课件

误差理论与测量平差误差理论与测量平差主 编:夏春林副 主 编:钱建国、张恒憬参 编:李伟东、文 晔编写高校:辽宁工程技术大学 吉林建筑大学 大连理工大学城市学院前 言为什么要学习误差理论与测量平差这门课程为什么要学习误差理论与测量平差这门课程?这门课程是测绘工程、摄影测量与遥感、地理信这门课程是测绘工程、摄影测量与遥感、地理信息系统等专业的一门专业理论基础课。息系统等专业的一门专业理论基础课。误差理论与测量平差是测绘数据处理和成果质量误差理论与测量平差是测绘数据处理和成果质量控制的理论基础，在地理信息、遥感等领域有着越控制的理论基础，在地理信息、遥感等领域有着越来越突出的地位。来越突出的地位。误差理论与测量平差的奠基人之一陶本藻教授曾误差理论与测量平差的奠基人之一陶本藻教授曾说过说过“在测绘领域，还未发现不懂误差理论与测量在测绘领域，还未发现不懂误差理论与测量平差成为院士和大家的平差成为院士和大家的”。在测量工作中，观测的未知量一般是角度、距离在测量工作中，观测的未知量一般是角度、距离和高差等。和高差等。任何未知量，通常观测值不会等于真值，因为观任何未知量，通常观测值不会等于真值，因为观测中不可避免地存在误差。测中不可避免地存在误差。测量平差就是以包含误差的观测数据为研究对象，测量平差就是以包含误差的观测数据为研究对象，利用所含误差的自身规律，采取一定的数学手段利用所含误差的自身规律，采取一定的数学手段消除或减弱其影响，从而得到未知量的最优估值消除或减弱其影响，从而得到未知量的最优估值(也称为最或然值也称为最或然值)。内内 容容 概概 要要第一章第一章 观测误差与测量平差的任务观测误差与测量平差的任务第二章第二章 条件平差条件平差第三章第三章 间接平差间接平差第四章第四章 平差综合模型平差综合模型第五章第五章 误差椭圆误差椭圆第六章第六章 统计假设检验在测量平差中的应用统计假设检验在测量平差中的应用第七章第七章 近代平差概述近代平差概述第一章第一章 误差与误差理论误差与误差理论1.1 1.1 观测误差与测量平差的任务观测误差与测量平差的任务1.2 1.2 偶然误差的统计性质偶然误差的统计性质1.3 1.3 衡量精度的指标衡量精度的指标1.4 1.4 协方差传播率协方差传播率1.5 1.5 权与定权的常用方法权与定权的常用方法1.6 1.6 协因数与协因数传播率协因数与协因数传播率1.7 1.7 由真误差计算中误差及实际应用由真误差计算中误差及实际应用1.8 1.8 系统误差的传播系统误差的传播1.9 1.9 参数估计与最小二乘估计参数估计与最小二乘估计1.1.1 1.1.1 测量误差来源测量误差来源1.1.2 1.1.2 观测误差的分类观测误差的分类1.1.3 1.1.3 测量平差的任务测量平差的任务1.1 观测误差与测量平差的任务学习的目的和要求学习的目的和要求:n明确测量误差产生的来源明确测量误差产生的来源n掌握偶然误差的定义、特性掌握偶然误差的定义、特性n掌握系统误差的定义、特性、消除或减弱的措施掌握系统误差的定义、特性、消除或减弱的措施n粗差的定义、特性、消除的措施粗差的定义、特性、消除的措施学习的重点和难点：学习的重点和难点：误差的分类；系统误差消除减弱的措施；发现粗差误差的分类；系统误差消除减弱的措施；发现粗差的方法的方法1.1.1 测量误差来源n测量数据中为什么存在不可避免的误差？n观测条件包含：测量仪器观测者外界条件每种仪器总是具有一定限度的准确度感官的局限性、工作水平、工作态度温度、湿度、大气折光、折射等观测条件的好坏观测条件的好坏 与与 观测成果的质量观测成果的质量密切相关。密切相关。换言之换言之:1.1.观测条件好则观测成果质量高观测条件好则观测成果质量高;2.2.观测条件差则观测成果的质量就差观测条件差则观测成果的质量就差;3.3.相同观测条件下观测的成果质量相同。相同观测条件下观测的成果质量相同。1.1.2 观测误差的分类根据误差对测量结果影响的性质，可以分为根据误差对测量结果影响的性质，可以分为三类：三类：1.1.系统误差（系统误差（s s）2.2.偶然误差（偶然误差（）3.3.粗差（粗差（g g）可以表示为：可以表示为：（1 1）系统误差）系统误差n概念：概念：在在相相同同的的观观测测条条件件下下作作一一系系列列的的观观测测，如如果果误误差差在在大大小小、符符号号上上表表现现出出系系统统性性，或或者者在在观观测测过过程程中中按按一一定定的的规规律律变变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。n实例：实例：钢尺的长度和标称长度不一致时，而使所测的距离钢尺的长度和标称长度不一致时，而使所测的距离产生误差；产生误差；水准仪的视准轴与水准轴不平行造成的水准仪的视准轴与水准轴不平行造成的i i角影响等；角影响等；三角高程测量中三角高程测量中,大气折光造成的误差从目前的研大气折光造成的误差从目前的研究成果来看究成果来看,也将其视为系统误差；也将其视为系统误差；GPSGPS接收机的时钟误差。最初的接收机的时钟误差。最初的GPSGPS伪距定位方程中伪距定位方程中并没有接收机钟差改正数。并没有接收机钟差改正数。n系统误差消除或减弱的方法：系统误差消除或减弱的方法：u在观测方法和观测程序上采取必要的措施，限制在观测方法和观测程序上采取必要的措施，限制或削弱系统误差的影响；或削弱系统误差的影响；u在平差计算前进行必要的预处理，即利用已有公在平差计算前进行必要的预处理，即利用已有公式对观测值进行系统误差改正；式对观测值进行系统误差改正；u将系统误差当作未知参数纳入平差函数模型中，将系统误差当作未知参数纳入平差函数模型中，一并解算。一并解算。（2）偶然误差n概念：概念：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。的统计规律，这种误差称为偶然误差。n实例：实例：经纬仪测角误差是安平、照准、读数、外界条件变化等经纬仪测角误差是安平、照准、读数、外界条件变化等所引起的误差的综合。而其中每一项误差都很小，没有那一所引起的误差的综合。而其中每一项误差都很小，没有那一项占主导地位，误差的大小和符号具有随机性。项占主导地位，误差的大小和符号具有随机性。n偶然误差是无法使用消除系统误差的方法来消除的。偶然误差是无法使用消除系统误差的方法来消除的。n测量平差研究的主要对象：测量平差研究的主要对象：偶然误差，即总是假定含粗差的观测偶然误差，即总是假定含粗差的观测值已被剔除，含系统误差的观测值已经过适值已被剔除，含系统误差的观测值已经过适当改正。当改正。n因此，在观测误差中，仅含偶然误差或是偶因此，在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。然误差占主导地位。（3）粗差n概念：粗差就是粗大误差，是观测过程中的错误造成的。概念：粗差就是粗大误差，是观测过程中的错误造成的。n产生原因：产生原因：主要由于测量人员的技术水平不高，工作态度不端正造成主要由于测量人员的技术水平不高，工作态度不端正造成的，如：控制点起始数据输入错误，数据记错，读错等。的，如：控制点起始数据输入错误，数据记错，读错等。n发现、剔除粗差：发现、剔除粗差：在观测中必须避免出现粗差：在观测中必须避免出现粗差：进行必要的重复观测，即多余观测；进行必要的重复观测，即多余观测；采用必要而又严格的检核、验算方式；采用必要而又严格的检核、验算方式；遵守国家测绘管理机构制定的各类测量规范和细则，一遵守国家测绘管理机构制定的各类测量规范和细则，一般也能起到防范粗差的作用。般也能起到防范粗差的作用。1.1.3 测量平差的任务第一项：对带有偶然误差的观测值进行处第一项：对带有偶然误差的观测值进行处理，消除观测结果之间的不符值，得到观理，消除观测结果之间的不符值，得到观测量的最可靠结果。测量的最可靠结果。通过数据处理求通过数据处理求未知量的最优估值。未知量的最优估值。第二项：评定观测值及其函数值的最可靠第二项：评定观测值及其函数值的最可靠结果的精度，也就是考核测量成果的质量。结果的精度，也就是考核测量成果的质量。评定最优估值的精度。评定最优估值的精度。1.2 偶然误差的统计性质 概念：概念：n真真值值:任任何何一一个个被被观观测测量量，客客观观上上总总是是存存在在着着一一个个能能代代表表其其真真正正大大小小的的数数值值。这这一一数数值值就就称称为该观测量的真值。习惯上用为该观测量的真值。习惯上用 来表示。来表示。n真误差真误差(偶然误差偶然误差):):真值与观测值之差真值与观测值之差,记为记为:真误差真误差 =真值真值 观测值观测值用向量表示：若进行n次观测，观测值：L1,L2,Ln;可表示为：偶然误差的特性例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计列表如下:误差区间-+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495(K/n)/d00.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数用直方图表示:当n时，概率密度函数曲线以正态分布为其极限例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计,列表如下:误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.2002.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501与之前具有类似的相同分布特征概率密度函数误差的概率分布曲线误差的概率分布曲线若将误差区间的间隔无限缩小，就会出现若将误差区间的间隔无限缩小，就会出现两条光滑的曲线，称为误差的概率分布曲两条光滑的曲线，称为误差的概率分布曲线或误差分布曲线，曲线所对应的函数则线或误差分布曲线，曲线所对应的函数则被称为概率密度函数。被称为概率密度函数。通过数据总结出偶然误差的规律性:在在一一定定的的观观测测条条件件下下，误误差差的的绝绝对对值值有有一一定定的的限限值值，或或者者说说，超超出出一一定定限限值值的的误误差差，其其出出现现的概率为零。的概率为零。绝绝对对值值较较小小的的误误差差比比绝绝对对值值较较大大的的误误差差出出现现的的概率大。概率大。绝对值相等的正负误差出现的概率相同。绝对值相等的正负误差出现的概率相同。偶然误差的数学期望为零，即：偶然误差的数学期望为零，即：换言之，偶然误差的理论平均值为零。换言之，偶然误差的理论平均值为零。根据数理统计知识，服从正态分布的随机变根据数理统计知识，服从正态分布的随机变量的概率密度函数为：量的概率密度函数为：概率密度式为概率密度式为 ：对于偶然误差对于偶然误差而言：而言：正态分布曲线都具有两个拐点正态分布曲线都具有两个拐点 :偶然误差偶然误差，拐点在横轴上的坐标为拐点在横轴上的坐标为:1.3.1 1.3.1 方差、中误差方差、中误差1.3.2 1.3.2 极限误差极限误差1.3.3 1.3.3 相对误差相对误差1.3.4 1.3.4 平均误差平均误差1.3.5 1.3.5 或然误差或然误差1.3.6 1.3.6 准确度、精确度准确度、精确度1.3 衡量精度的指标重点和难点:n衡量精度的各标准的定义及相互关系;学习目的和要求:n理解精度、准确度、精确度的定义；n掌握方差、均方差、中误差、平均误差、或然误差等精度估计标准的定义其相互关系；n离离散散度度:是是指指误误差差分分布布在在一一定定的的观观测测条条件件下下进进行行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。如如果果分分布布较较为为密密集集，即即离离散散度度较较小小时时，则则表表示示该该组组观观测测质质量量较较好好，也也就就是是说说，这这一一组组观观测测精精度度较较高高；反反之之，如如果果分分布布较较为为离离散散，即即离离散散度度较较大大时时，则则表表示示该该组组观观测测质质量量较较差差，也也就就是是说说，这这一一组观测精度较低。组观测精度较低。n精精度度：就就是是指指误误差差分分布布的的密密集集或或离离散散的的程程度度。是是指指观观测测结结果果与与其其数数学学期期望望的的接接近近程程度度，可可从从分分布布曲线的陡峭程度看出精度的高低。曲线的陡峭程度看出精度的高低。基本概念：n同精度观测值同精度观测值:在相同的观测条件下所进行的一在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于他们对应着同一种误差分布，对组观测，由于他们对应着同一种误差分布，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。观测值。1.3.1 1.3.1 方差和中误差方差和中误差 用表示误差分布的方差，误差的概率密度函数为：由方差的定义：由于在此主要包括偶然误差部分，所以有：方差为真误差平方的数学期望，可以写成：方差为真误差平方的数学期望，可以写成：中误差即为：中误差即为：方差和中误差的定义式，都是在理想情况下定义的。方差和中误差的定义式，都是在理想情况下定义的。方差和中误差的估值方差和中误差的估值 但在实际计算中，但在实际计算中，n n总是一个有限值，这意总是一个有限值，这意味着，由有限个真误差只能求得方差和中味着，由有限个真误差只能求得方差和中误差的估值。误差的估值。方差方差中误差中误差 1.3.2 1.3.2 极限误差极限误差 由于也就是说偶然误差的绝对值大于三倍中误差的概也就是说偶然误差的绝对值大于三倍中误差的概率仅有率仅有0.3%0.3%，是小概率事件，在有限次的测量中，是小概率事件，在有限次的测量中可看做不可能事件。因此以三倍中误差作为偶然可看做不可能事件。因此以三倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为极限误差。误差的极限值，并称为极限误差。置信概率1.3.3 1.3.3 相对误差相对误差 问题：问题：有两段距离有两段距离S S1 1和和S S2 2，经多次观测得到观测值及，经多次观测得到观测值及其中误差分别为其中误差分别为300.00m300.00m2cm2cm和和600.00m600.00m2cm2cm，请，请问哪段距离测量的精度高？问哪段距离测量的精度高？对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。须采用另一种办法来衡量精度，达观测结果的好坏。须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。在测量中一般将分子化为在测量中一般将分子化为1 1。其其意意义义可可简简单单理理解解为为：每每观观测测N N单单位位长长度度时时产产生生1 1单位长度的误差。单位长度的误差。1.3.4 1.3.4 平均误差平均误差 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。设以的数学期望称为平均误差。设以 表示平均误差，则表示平均误差，则有：有：如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，平如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，平均误差为均误差为 即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。均值之极限值。或然误差的定义是：误差出现在 之间概率等于1/2，即：将的概率密度代入上式，作变量代换，令 ,则得：由概率积分表查得，当概率为1/2时，积分限为0.6745，即得 1.3.5 1.3.5 或然误差或然误差 因此：中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标，但由于的指标，但由于:u当当n n不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大误差的影响；误差的影响；u中误差具有明确的几何意义中误差具有明确的几何意义(分布曲线的拐点坐标分布曲线的拐点坐标););u平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系；平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系；所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。1.3.6 1.3.6 准确度、精确度准确度、精确度前述：精度是指误差分布的密集或离散的程前述：精度是指误差分布的密集或离散的程度，即各个观测值与其数学期望的接近程度，度，即各个观测值与其数学期望的接近程度，所以精度是衡量观测结果中偶然误差大小的所以精度是衡量观测结果中偶然误差大小的指标。指标。但由于各种原因，观测值中可能含有残余的但由于各种原因，观测值中可能含有残余的系统误差，这时就有必要引进准确度与精确系统误差，这时就有必要引进准确度与精确度的概念。度的概念。准确度准确度：描述系统误差和粗差，指观测值的真值与其数学：描述系统误差和粗差，指观测值的真值与其数学期望之差，即：期望之差，即：精确度精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，指观测：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，指观测结果与其真值的接近程度，包括观测结果与其数学期望接结果与其真值的接近程度，包括观测结果与其数学期望接近程度和数学期望与其真值的偏差，是一个全面衡量观测近程度和数学期望与其真值的偏差，是一个全面衡量观测质量的指标。精确度可用观测值的均方误差来描述，即：质量的指标。精确度可用观测值的均方误差来描述，即：当当 ，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。时精确度就是精度。结合刚才讲到的精度，准确度、精确度的概念结合刚才讲到的精度，准确度、精确度的概念请说明三个打靶的质量如何？请说明三个打靶的质量如何？当观测列中的系统误差或其残余与偶然误差相比当观测列中的系统误差或其残余与偶然误差相比处于次要地位时，观测值与偶然误差便都可看成处于次要地位时，观测值与偶然误差便都可看成是随机变量，那么需要是随机变量，那么需要“次要次要”到什么程度呢？到什么程度呢？当含有的系统误差为中误差的当含有的系统误差为中误差的1/5：当系统误差为中误差的当系统误差为中误差的1/3：系统误差大小不超过偶然中误差的系统误差大小不超过偶然中误差的1/31/3时，则可以时，则可以将系统误差的影响忽略不计。将系统误差的影响忽略不计。1.4 协方差传播律1.4.1 1.4.1 协方差与协方差阵协方差与协方差阵1.4.2 1.4.2 观测值线型函数的协方差误观测值线型函数的协方差误差率差率1.4.3 1.4.3 观测值非线性函数的协方差观测值非线性函数的协方差误差率误差率1.4.4 1.4.4 协方差传播律的应用协方差传播律的应用1.4.1协方差与协方差阵协方差与协方差阵在测量数据处理中，观测值分成两种：在测量数据处理中，观测值分成两种：直接观测值；直接观测值；间接观测值；间接观测值；通过直接观测值所构成的函数计算得到通过直接观测值所构成的函数计算得到一个平差问题，待求量的估值也总是可以一个平差问题，待求量的估值也总是可以利用观测值的某种函数进行描述和表达。利用观测值的某种函数进行描述和表达。观测值函数的中误差与观测值的中误差观测值函数的中误差与观测值的中误差在三角高程测量中，在三角高程测量中，A A、C C两点间的高差可以通过两点间的高差可以通过以下公式求出，即以下公式求出，即观测值的函数值由于观测值误差存在的原因，肯定也观测值的函数值由于观测值误差存在的原因，肯定也是不可避免地存在误差。是不可避免地存在误差。阐述这种误差传递关系的公式称为误差传播律阐述这种误差传递关系的公式称为误差传播律 ，也称，也称为协方差传播律为协方差传播律 。协方差协方差传播律是阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间关系的公式。协方差是用数学期望来定义的。设有观测值X和Y，它们的协方差定义是：即:式中:和分别是X和Y的真误差。协方差由定义可知,协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即实用上总n总是有限值，只能求得它的估值，记为:观测值误差之间互不相关，称不相关观测值误差之间相关，称相关观测值对于正态分布的随机变量而言，不相关与独立是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值。例：在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为是独立观测值。协方差阵 假定有假定有n n个不同精度的相关观测值，它们的数学期望和个不同精度的相关观测值，它们的数学期望和方方差差分分别别为为 和和 ，它它们们两两两两之之间间的的协协方方差差为为 ,用矩阵表示为用矩阵表示为:为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵。互协方差阵设有观测值向量设有观测值向量 和和 ，它们的数学期望分，它们的数学期望分别为别为 和和 。令：令：；则；则 的方差阵为：的方差阵为：其中：其中：且：且：式中：式中：和和 分别为分别为X X和和Y Y的协方差阵，的协方差阵，是是X X关于关于Y Y的互协方差阵。的互协方差阵。1.4.2.1 单个观测值线性函数的协方差 设有观测值向量设有观测值向量X X，其数学期望为，其数学期望为 ，协方差，协方差阵为阵为 ,即即 式中：为 的方差，为 和 的协方差，又设有X的线性函数为：1.4.2 1.4.2 观测值线性函数的协方差传播观测值线性函数的协方差传播率率 令：则：对上式两边取数学期望：对上式两边取数学期望：则有：纯量形式为：纯量形式为：当向量观测值中的各分量两两独立时，它们当向量观测值中的各分量两两独立时，它们之间的协方差之间的协方差 ，此时上式为：，此时上式为：1.4.2.2 1.4.2.2 多个观测值线性函数的协方差多个观测值线性函数的协方差阵阵 设有观测值向量 ,X 的数学期望和协方差阵分别如下:若有X的t个线性函数Z：若令：则：即 设另有X 的m个线性函数Y：令则：根据互协方差阵的定义有DZY：同理:推广公式：设有观测值向量 和 的线性函数：已知X的方差阵DXX，Y的方差阵DYY，X关于Y的互协方差阵为DXY,K,K0,F0 为常系数阵。则有如下方差和协方差计算公式：设有观测值 的非线性函数：,或表示为:已知 的协方差阵 ，求Z的方差 。假定观测值X有近似值：,将函数式按泰勒级数在点 处展开为如下(略去二次以上项)：1.4.3 1.4.3 观测值非线性函数的协方差传播观测值非线性函数的协方差传播率率 令：得：这样，就将非线性函数式化成了线性函数式，然这样，就将非线性函数式化成了线性函数式，然后用线性函数的协方差传播律计算协方差后用线性函数的协方差传播律计算协方差,即即:如果令：则上式可写为 上式是非线性函数式的全微分。根据协方差传播律：结论:求非线性函数的方差，只需求它的全微分。如果同时有X 的t个非线性函数 将t个函数求全微分得：若记：则有：根据协方差传播律得 的协方差阵：因此，对于非线性函数，首先将其线性化，然后用线性函数的协方差传播律计算。线性化方法可用台劳级数展开或求全微分。同样地，若还有同样地，若还有r个非线性函数，即：个非线性函数，即：应用误差传播律，同样可得：应用误差传播律，同样可得：函数的互协方差阵为：函数的互协方差阵为：1)找出观测值与其函数的函数表达式如：2)如果为非线性函数，则对函数式求全微分得：3)写成矩阵形式：或 4)应用协方差传播律求方差或协方差阵。总结：应用协方差传播律的步骤 1.4.4 1.4.4 协方差传播律的应用协方差传播律的应用(1)(1)同精度独立观测值的算术平均值的精度同精度独立观测值的算术平均值的精度设对某量以同精度独立观测了次，即得到个独立设对某量以同精度独立观测了次，即得到个独立观测值，中误差均为，则个观测值的算术平均值为：观测值，中误差均为，则个观测值的算术平均值为：应用协方差传播律，平均值的方差为：应用协方差传播律，平均值的方差为：则中误差为：则中误差为：也就是说，个同精度独立观测值的算术平均值的中也就是说，个同精度独立观测值的算术平均值的中误差等于各观测值的中误差的误差等于各观测值的中误差的倍。倍。(2)(2)水准测量高差中误差水准测量高差中误差经经N N个测站测定个测站测定A A、B B两水准点间的高差，其中第两水准点间的高差，其中第i i站的观测高站的观测高差为差为hihi，则，则A A、B B两水准点间的总高差为两水准点间的总高差为设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，方差均为设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，方差均为 ，的方差的方差：得中误差为：得中误差为：若水准路线布设在平坦地区，前、后两测站间的距离若水准路线布设在平坦地区，前、后两测站间的距离s s大致相大致相等，设等，设A A、B B 间的距离为间的距离为S S，则测站数，则测站数 ，代入上式得：，代入上式得：如果如果 ，s s以以kmkm为单位，则为单位，则1km1km的测站数为：的测站数为：而而1km1km观测高差的中误差即为：观测高差的中误差即为：距离为距离为S Skmkm的的A A、B B两点的观测高差的中误差为：两点的观测高差的中误差为：(3)(3)若干独立误差的联合影响若干独立误差的联合影响测量工作中经常会遇到这种情况，一个观测结果同时受到测量工作中经常会遇到这种情况，一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响，如照准误差、读数误差、目标许多独立误差的联合影响，如照准误差、读数误差、目标偏心误差和仪器偏心误差对测角的影响。偏心误差和仪器偏心误差对测角的影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即：和，即：由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是纯由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是纯属偶然属偶然(随机随机)的，因而也可由误差传播律并顾及得出它们的，因而也可由误差传播律并顾及得出它们之间的方差关系式，即：之间的方差关系式，即：1.5 权与定权的常用方法n方差是表示精度的一个绝对数字特征，一定的观方差是表示精度的一个绝对数字特征，一定的观测条件就对应着一定的误差分布，而一定的误差测条件就对应着一定的误差分布，而一定的误差分布就对应着一个确定的方差。分布就对应着一个确定的方差。n表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。权是表示精度的相对数字特征，在平差计为权。权是表示精度的相对数字特征，在平差计算中起着很重要的作用。算中起着很重要的作用。n在平差计算之前，精度的绝对数字特征往往是不在平差计算之前，精度的绝对数字特征往往是不知道的，而精度的相对的数字特征（权）却可以知道的，而精度的相对的数字特征（权）却可以根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的结果估算出表示精度的绝对的数字特征（方差）。结果估算出表示精度的绝对的数字特征（方差）。1.5.1 1.5.1 权权 的的 定定 义义 设有观测值 ，它们的方差为 ，选定任一常数 ，定义观测值的权为：由权的定义可知：观测值的权与其方差成反比。即方差愈小，其权愈大，或者说，精度愈高，其权愈大。用权来比较各观测值之间的精度高低，不限于是对同一类的观测值，同样也适用于对不同类的观测值。选定了一个值选定了一个值0 02 2，即有一组对应的权。或者说，有一组，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应的权，必有一个对应的0 02 2值。值。一一组组观观测测值值的的权权，其其大大小小是是随随0 02 2的的不不同同而而异异，但但不不论论0 02 2选用何值，权之间的比例关系始终不变。选用何值，权之间的比例关系始终不变。为为了了使使权权能能起起到到比比较较精精度度高高低低的的作作用用，在在同同一一问问题题中中0 02 2只能选定一个值，否则就破坏了权之间的比例关系。只能选定一个值，否则就破坏了权之间的比例关系。事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。关系。权的性质：权的量纲：u权等于权等于1 1的观测值称为单位权观测值。的观测值称为单位权观测值。u权等于权等于1 1的观测值的方差称为单位权方差。的观测值的方差称为单位权方差。u权等于权等于1 1的观测值的中误差称为单位权中误差。的观测值的中误差称为单位权中误差。u在确定一组同量纲的观测值的权时，所选取的单位权方差的在确定一组同量纲的观测值的权时，所选取的单位权方差的单位是与观测值方差的单位相同，在这种情况下权是一组无单位是与观测值方差的单位相同，在这种情况下权是一组无量纲的数值。量纲的数值。u在确定不同量纲的观测值的权时，所选取的单位权方差的单在确定不同量纲的观测值的权时，所选取的单位权方差的单位一般是与其中一类观测值方差的单位相同，在这种情况下，位一般是与其中一类观测值方差的单位相同，在这种情况下，权就不完全是一组无量纲的数值。权就不完全是一组无量纲的数值。单位权中误差：单位权中误差：1.5.2 1.5.2 权权 的的 定定 义义 1.5.3 1.5.3 测量上常用的定权方法测量上常用的定权方法 在测量实际工作中，往往是要根据事先给定的条在测量实际工作中，往往是要根据事先给定的条件，首先确定出各观测值的权，也就是先确定它件，首先确定出各观测值的权，也就是先确定它们精度的相对数字指标，然后通过平差计算：们精度的相对数字指标，然后通过平差计算：求出各观测值的最可靠值，求出各观测值的最可靠值，求出它们精度的绝对数字指标。求出它们精度的绝对数字指标。(1)同精度观测值的算术平均值的权 设有 ，它们分别是 次同精度观测值 的平均值，若每次观测的方差均为 ；则 的方差为：取 ，则 的权为：特别地：(1)若，则，表明C是单次观测的权倒数。(2)若，则，表明C是单位权观测值的观测次数。(2)(2)水准测量的权水准测量的权设每一测站观测高差精度相同，中误差均为，设通过架设个测站测得两水准点间的高差h，根据协方差传播律，得h 的方差为：则中误差为：水准网中的各条路线观测高差的中误差可写为取：,则权为：特别地：(1)若，则，表明C是一测站的观测高差的权。(2)若，则，表明C是单位权观测高差的测站数，或者说是以C个测站的观测高差的中误差作为单位权中误差。除了上述利用测站数除了上述利用测站数进行定权的方法外，还可进行定权的方法外，还可以采用路线长度以采用路线长度来定权。来定权。若水准路线布设在平坦地区，测站间的距离若水准路线布设在平坦地区，测站间的距离大致大致相等，每千米的测站数也大致相等，则每公里的观相等，每千米的测站数也大致相等，则每公里的观测高差的中误差测高差的中误差可看作是相等的，这种情况就可看作是相等的，这种情况就可利用路线长度来定权。可利用路线长度来定权。各路线观测高差的中误差为各路线观测高差的中误差为:取：取：权：权：特别地：(1)若，则，表明C是1km观测高差的权。(2)若，则，表明C是单位权观测高差的路线千米数，或者说是令C km观测高差的权为1。小结在实际的水准测量工作中，定权方法最终应该是在实际的水准测量工作中，定权方法最终应该是选择利用水准路线的距离选择利用水准路线的距离S S定权，还是选择利用测定权，还是选择利用测站数站数N N 定权，需根据实际问题具体分析而定。定权，需根据实际问题具体分析而定。通常：通常：(1)(1)在地形起伏不大、比较平坦的区域，每千米在地形起伏不大、比较平坦的区域，每千米的测站数的测站数N N 大致相同，就可根据水准路线的距离大致相同，就可根据水准路线的距离S S进行定权。进行定权。(2)(2)在地形起伏较大的区域，由于每千米的测站在地形起伏较大的区域，由于每千米的测站数相差会比较大，因此需按照测站数数相差会比较大，因此需按照测站数N N 进行定权。进行定权。(3)(3)丈量距离的权丈量距离的权在丈量距离S 时，设用长度为的钢尺丈量了n尺段，则有：可得：取：权：总结通过上述内容，不难总结出以上定权方法的共同点都是：在实际进行定权时，不用知道各观测值方差的具体数值信息，只需应用测站数、千米数等信息就能够定权了。其重要意义在于可以避开平差前方差未知的情况，这已经成为定权的常用方法。1.61.6 协因数与协因数传播率协因数与协因数传播率1.6.1 1.6.1 协因数、协因数阵协因数、协因数阵1.6.21.6.2 权阵权阵1.6.21.6.2 协因数传播率协因数传播率1.6.1 协因数、协因数阵的概念设有观测值 和 ，它们的权分别为 和 ，它们的方差分别为 和 ，它们之间的协方差为 ，单位权方差为 。令称为的协因数或权倒数，为的协因数或权倒数，为关于的协因数或相关权倒数。协因数与权成反比，因此，也可作为衡量精度的相对指标。当=0，说明两观测值独立（不相关）。设有观测值向量X和Y，它们的方差阵分别为 和 ，关于 的互协方差阵为单位权方差为令：称 为X X X X的协因数阵，为Y的协因数阵，为X关于Y的互协因数阵。协因数阵 中的主对角线元素就是各个 的权倒数，它的非主对角线元素是 关于 的相关权倒数；中的元素就是 关于Yj的相关权倒数。也称为X的权逆阵，为Y权逆阵，为X关于Y的相关权逆阵。当 说明X与Y相互独立（不相关）1.6.2 权阵一个观测值的权 与其协因数 互为倒数关系 n维观测向量 的权阵权阵与其协方差阵的关系 一：设有独立观测值 ，其方差为 ，单位权方差为 ，X的协因数阵为：则有：二：当观测值相关时，协因数阵 与权阵 都是非对角阵，中主对角线上的元素依然是观测值的权倒数，这是观测向量相关时求观测值权的唯一办法；而权阵主对角线上的元素不再是观测值的权 了，在这里 ，因此 中的元素同时 也就不再具有权的意义了。但相关观测向量的权阵在平差计算中，仍能起到与独立观测向量的权阵一样的作用。1.6.3 协因数传播率设有观测值向量设有观测值向量 和和 的线的线性函数性函数根据协方差传播律：根据协方差传播律：顾及协方差阵与协因数阵的关顾及协方差阵与协因数阵的关系系 化简得：上式称为协因数传播律协因数传播律协因数传播律协因数传播律。协方差传播律与协因数传播律联合称为广义传播律广义传播律广义传播律广义传播律。代入得：如果如果Z Z和和W W的各个分量是的各个分量是X X和和Y Y的非线性函数的非线性函数 线性化：线性化：非线性情况非线性情况对于独立观测值，假定各的权为，则的权阵、协因数阵均为对角阵：特殊情况：观测值独立特殊情况：观测值独立特殊情况：观测值独立特殊情况：观测值独立若有函数：若有函数：线性化：线性化：则得：则得：权倒数传播律：权倒数传播律：不难看出，协因数传播律与协方差传播律在形式上具有相同的性质，也同时具有类似的应用步骤。1.7 1.7 由真误差计算中误差及实际应用由真误差计算中误差及实际应用1.7.1 1.7.1 由三角形闭合差求测角中误由三角形闭合差求测角中误差差1.7.2 1.7.2 用不等精度的真误差计算单用不等精度的真误差计算单位权中误差位权中误差 1.7.3 1.7.3 由双观测值之差求中误差由双观测值之差求中误差设设在在一一个个三三角角网网中中，以以同同精精度度独独立立观观测测了了各各三三角角形形之之内内角角，由由各观测角值计算而得的各观测角值计算而得的三角形闭合差三角形闭合差分别为分别为它们是一组真误差，则三角形它们是一组真误差，则三角形闭合差的方差闭合差的方差为为 设设测角方差测角方差均为均为 ，根据协方差传播律得：，根据协方差传播律得：1.7.1 由三角形闭合差求测角方差这就是大家熟知的菲列罗公这就是大家熟知的菲列罗公式，在三角测量中经常用它式，在三角测量中经常用它来初步评定测角的精度。来初步评定测角的精度。1.7.2 用不等精度的真误差计算单位权方差一组同精度独立观测值一组同精度独立观测值它们的数学期望为它们的数学期望为真误差为真误差为有有观测值观测值 的方差为的方差为上式是根据上式是根据一组同精度独立的真误差计算一组同精度独立的真误差计算一组同精度独立的真误差计算一组同精度独立的真误差计算方差的基本公式。方差的基本公式。方差的基本公式。方差的基本公式。现在设是一组不同精度的独立观测值现在设是一组不同精度的独立观测值数学期望、方差和权分别为数学期望、方差和权分别为 和和为求单位权中误差，需要得到一组精度相同且其权均为为求单位权中误差，需要得到一组精度相同且其权均为1 1的独的独立的真误差，为此做如下变换：立的真误差，为此做如下变换：设设 是一组同精度独立的真误差，并令：是一组同精度独立的真误差，并令：则：则：设对量 ，分别观测两次，得独立观测值和权：第一次：第二次：权：观测值 和 是对同一量 的两次观测的结果，称为一个观观观观测对测对测对测对，这种成对的观测，称为双双双双观测观测观测观测。对内精度相同，对间不同。1.7.3 由双观测值之差求中误差两次观测值的差数：两次观测值的差数：由于差数的真值为由于差数的真值为0 0，所以差数的真误差就是差数本身。，所以差数的真误差就是差数本身。这样我们就得到了一组真误差。这样我们就得到了一组真误差。差数（真误差）的权：差数（真误差）的权：观测值观测值 和和 的方差的方差第第i i对平均值的方差：对平均值的方差：1.8 1.8 系统误差的传播系统误差的传播1.8.1 1.8.1 系统误差的传播率系统误差的传播率1.8.2 1.8.2 系统误差与偶然误差的联合传播系统误差与偶然误差的联合传播1.8.1 系统误差的传播设有观测值 （i1，2，n）的线性函数 将此函数的真值 与上式求差，则得函数的综合误差 与各个 的综合误差 之间的关系式为根据数学期望的运算规律可知线性函数的系统误差的传播公式当观测值中同时含有偶然误差和残余的系统误差时，还有当观测值中同时含有偶然误差和残余的系统误差时，还有必要考虑它们对观测值函数的联合影响问题。必要考虑它们对观测值函数的联合影响问题。设有函数设有函数其中其中和和是独立观测值，假定它们的综合误差为是独立观测值，假定它们的综合误差为并假定并假定、由偶然误差产生的方差为由偶然误差产生的方差为。1.8.2 系统误差与偶然误差的联合传播得函数得函数Z Z 的综合误差方差为的综合误差方差为再顾及再顾及所以得所以得1.9 1.9 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理1.9.1 1.9.1 参数估计与最小二乘估计参数估计与最小二乘估计1.9.2 1.9.2 最小二乘估计最小二乘估计参数估计及其最优性质参数估计及其最优性质测量平差就是对平差函数模型的参数进行估计。测量平差就是对平差函数模型的参数进行估计。也就是在众多的解中，找出一个最为合理的解，作也就是在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为平差参数的最终估计。为平差参数的最终估计。这样，就需对估计值提出某种要求（附加约束条件）这样，就需对估计值提出某种要求（附加约束条件），来得到最优估计值。，来得到最优估计值。如下图按条件平差测量平差中的参数估计：测量平差中的参数估计：在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为平差参数的最终估计。1.9.1 参数估计与最小二乘估计同样是：在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为平差参数的最终估计。为了在在众多的解中，找出一个最为合理的解，需对最终为了在在众多的解中，找出一个最为合理的解，需对最终估计值提出某种要求；估计值提出某种要求；考虑平差所处理的是随机观测值，故这种要求自然从数理考虑平差所处理的是随机观测值，故这种要求自然从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质；统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质；从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。的参数唯一解。这种约束是用某种准则实现的，其中最广泛采用的准则是这种约束是用某种准则实现的，其中最广泛采用的准则是最小二乘原理。最小二乘原理。v估计量的最优性质v数理统计中估计量最优性质是指估计量应有：数理统计中估计量最优性质是指估计量应有：（1 1）无偏性：）无偏性：（2 2）一致性：）一致性：（3 3）有效性：）有效性：v方差最小的估计量，称为方差最小的估计量，称为最优无偏估计量最优无偏估计量。所谓的最小二乘原理就是在满足：所谓的最小二乘原理就是在满足：满足以上条件下，解出参数的估值，这种求估计满足以上条件下，解出参数的估值，这种求估计量的方法就称为量的方法就称为“最小二乘法最小二乘法”。p p是观测值的权阵。是观测值的权阵。或1.9.2 最小二乘估计例：等精度独立观测了某量例：等精度独立观测了某量n n次次,观测值观测值 L Li i，求该量，求该量的估值。的估值。解：（解：（1 1）函数模型）函数模型-（2 2）随机模型）随机模型-（3 3）平差准则）平差准则-