矩阵特征值问题课件

第六章矩阵特征值问题一、方一、方阵特征特征值与特征向量的概念与特征向量的概念定义定义 设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式成立，那么这样的数 称为方阵 的特征值；非零向量 称为方阵 的对应于特征值 的特征向量.注意：关系式 是特征值与特征向量满足的条件式，由此可知 必须为方阵.零向量显然满足关系式 ，但零向量不 是特征向量.特征向量是非零向量.方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一.若 和 都是属于特征值 的特征向量,则 也是属于特征值 的特征向量.即,属于特征值 的特征向量的非零线性组合仍是 的特征向量.一个特征向量只能属于一个特征值.二、特征二、特征值与特征向量的求法与特征向量的求法1.结论的引入结论的引入若 是 的特征值，是 的对应于 的特征向量，则有方程 有非零解，且 是它的一个非零解 是代数方程 的根.以 为未知数的一元 次方程称为方阵 的特征方程.以 为变元的 次多项式 ，即称为方阵 的特征多项式.2.结论 矩阵 的特征方程 的根就是 的特征值.由行列式的定义(3)设 是方阵 的一个特征值，则齐次方程的全体非零解就是 的对应于特征值 的全部特征向量；齐次方程 的基础解系就是对应于特征值 的全体特征向量的极大无关组.(2)在复数范围内 阶矩阵有 个特征值(重根按重数计算).练习：求特征值、特征向量步骤：求出 即为特征值;把得到的每一个特征值 代入上式，即为所求特征向量。求齐次线性方程组的非零解or或例例 求矩阵 的特征值和特征向量.解：解：的特征多项式所以 的特征值为当 时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于 的全部特征向量为当 时，对应的特征向量应满足即解得得基础解系所以对应于 的全部特征向量为例例 求矩阵的特征值和特征向量.解：解：的特征多项式所以 的特征值为当 时，解齐次方程 ，得基础解系所以对应于 的全部特征向量为得基础解系当 时，解齐次方程 ，所以对应于 的全部特征向量为例例 求矩阵的特征值和特征向量.解：解：的特征多项式所以 的特征值为当 时，解齐次方程 ，得基础解系所以对应于 的全部特征向量为得基础解系当 时，解齐次方程 ，所以对应于 的全部特征向量为(不同时为0).说明：说明：例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值 仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值 有两个线性无关特征向量.可见,对角矩阵和三角矩阵的特征值就是这些矩阵对角线上的元素.练习练习:性质1：矩阵 和 的特征值相同。虽然 与 有相同的特征值,特征向量却不一定相同.3.特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质例如:可计算 与 有相同的特征值但易验证 是 对应于特征值2的特征向量,但却不是 的.定理定理1：设 阶方阵 的 个特征值为 则称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）推论:矩阵可逆的特征值都不为0.定理定理1 证证因为 是 的 个特征向量，则有即令 ，即得另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有这些项中不含比较两端的 的系数，可得即例例已知矩阵的特征值为显然有说明根据这两条性质，可以验证所求得的结果是否正确.练习练习:性质性质2：若 的特征值是 ，是 的对应于 的特征向量，则的特征值是是任意常数)的特征值是是正整数)若 可逆，则 的特征值是的特征值是且 仍然是矩阵 分别对应于 的特征向量。为x的多项式，则 的特征值为 实际上这里多项式幂可推广为所有整数例例 设3阶矩阵 的特征值为 求解解方阵 的行列式=的全部特征值之积.因为的特征值为 ，全不为0，所以 可逆，且则有故 的特征值为因此练习练习:求抽象矩阵的特征值练习练习:特征值,特征向量的逆问题则定理3：设 是方阵 的 个特征值，依次是与之对应的特征向量。如果 各不相等，则 线性无关。即，方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：证明：设常数 使得类推之，有把上列各式合写成矩阵形式，得等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，当 各不相同时，该行列式不等于零，所以存在逆矩阵。等号两边同时右乘它的逆矩阵，有即又因为 为特征向量，所以线性无关。进一步可以证明定理4:若为矩阵A对应特征值的线性无关的特征向量,则当互不相同时,向量组是线性无关的.性质:设是n阶矩阵A的k重特征值,而A中对应的线性无关的特征向量有r个,则性质:设是n阶矩阵A的1重特征值,则A中对应的线性无关的特征向量有1个.例例 设 和 是矩阵 的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为 和 ，证证 根据题设，有要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.用反证法，假设 是 的特征向量，则存在数 ，使 证明 不是 的特征向量.因为 ，所以 线性无关，故即有与题设矛盾.因此 不是 的特征向量.练习练习:例例 设解解：（1）求：（1）的特征值和特征向量。（2）求可逆矩阵 ，使得 为对角阵。自由未知量:得基础解系得自由未知量:得基础解系取存在本题启示:问题：矩阵 是否唯一？矩阵 是否唯一？2.提供了一种求 的方法.其中 为对角阵。1.通过求A的特征值,特征向量,有可能把A写成由定理知，若存在可逆矩阵 ，使(为对角阵)则有已知矩阵 ,求 .我们可以找到一个可逆矩阵 ，相似矩阵使二二.相似相似(similar)矩阵的定义及性质矩阵的定义及性质定义:设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，对 进行运算 称为对 进行相似变换，可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。或称矩阵 与矩阵 相似，记作注：矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：（2）对称性：若 则（3）传递性：若 则性质1:相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩推论：若矩阵 与对角阵 相似，则 是 的 个特征值。性质2:若特征向量.（3）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注：(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本。(2)若 ，则 的对 角元必定是 的全部特征值.于是在不计较 的对角元 次序的意义下,由 惟一确定.例如 设则有其中所以 与 相似.又设显然 与 的特征值相同，但是它们不相似.(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质：（介绍）(3)若 与 相似，则 与 相似。(为正整数)(2)若 与 相似，则 与 相似。(为正整数)(4)若 与 相似，而 是一个多项式，则 与 相似。练习练习: