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一、有理数的基本概念一、有理数的基本概念1.1.负数负数在正数前面加在正数前面加“”的数；的数；0既既不是正数，也不是负数。不是正数，也不是负数。判断：判断：1 1）a a一定是正数；一定是正数；2 2）a a一定是负数；一定是负数；3 3）（）（a a）一定大于一定大于0 0；4 4）0 0是正整数。是正整数。有理数一、与有理数概念有关的问题1、有理数有两种不同的分类，它们是（）A、正数，负数或整数，小数B、零，自然数或正数，负数C、自然数，分数或正有理数，负有理数和零D、整数，分数或正有理数，负有理数和零D2、把下列各数分别填在相应的集合里：-10，6，5，+40，-8，-3，3，0，3.14，正数集合：6，5，+40，3，3.14，负数集合：-10，-8，-3，整数集合：分数集合：-10，6，5，+40，-8，-3，3，0，3.14，3、几个判断题实数a与-a中必有一个表示负数（）一个数的前面添上正号，得到正数；一个数的前面添上负号，得到负数（）在有理数集合中，不属于分数集合的数必属正整数集合或负整数集合（）规定了规定了原点、正方向和单位长度原点、正方向和单位长度的直线的直线.1)1)在数轴上表示的两个数，在数轴上表示的两个数，右边右边的数总比的数总比左边左边的数大；的数大；2 2）正数都大于）正数都大于0,0,负数都小于负数都小于0 0；正数大于一切负数；正数大于一切负数；-3 2 1 -3 2 1 0 1 2 3 40 1 2 3 43 3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。但）所有有理数都可以用数轴上的点表示。但数轴上的点并不都表示有理数。数轴上的点并不都表示有理数。4)4)数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的两数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的两数的差的绝对值。数的差的绝对值。3.3.数数 轴轴数轴的知识下列数轴正确吗？3 2 1 0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 73 2 1 0 1 2 3 0 2 1 0 1 2 3 原点正方向单位长度单位长度不一致只有只有符号不同符号不同的两个数，的两个数，其中一个是另一个的其中一个是另一个的相反数相反数。1 1）数）数a a的相反数是的相反数是-a-a2 2）相反数是它本身的数是相反数是它本身的数是相反数是它本身的数是相反数是它本身的数是0 0 0 0，一个数乘以，一个数乘以，一个数乘以，一个数乘以-1-1-1-1就变就变就变就变为原数的相反数为原数的相反数为原数的相反数为原数的相反数-4-3 2 1 -4-3 2 1 0 1 2 3 40 1 2 3 4-2-22 2-4-44 43 3）若）若a a、b b互为相反数，则互为相反数，则a+b=0.a+b=0.（a a是任意一个有理数）；是任意一个有理数）；4)4)4)4)互为相反数的两个数的绝对值相等，互为相反数的两个数的绝对值相等，互为相反数的两个数的绝对值相等，互为相反数的两个数的绝对值相等，5)5)到原点的距离等于到原点的距离等于5 5的数是的数是_ 5 54.4.相反数相反数6)a+b6)a+b6)a+b6)a+b的相反数为的相反数为的相反数为的相反数为 ,a-ba-b的相反数为的相反数为 -（a+b)b-ab-a三、相反数、倒数判断正误1、一个有理数的相反数一定是负数（）2、符号不同的两个数叫做相反数 （）3、6是相反数 （）4、任何一个有理数都有相反数 （）5、任何一个有理数都有倒数 （）6、数轴上原点两旁的数是相反数 （）7、3.75和是互为相反数 （）8、任何一个正数的相反数都是负数（）互为相反数，下列各组数中不是互为相反数的是（）A.B.C.D.D两个有理数的和是正数，积是负数，那么这两个数（）A.是互为相反数B.是绝对值相等的数C.其中绝对值大的数是正数，另一个是负数D.其中绝对值大的数是负数，另一个是正数C乘积是乘积是1 1的两个数互为倒数的两个数互为倒数 .1 1）a a的倒数是的倒数是 （a0a0）；）；3 3）若）若a a与与b b互为倒数，则互为倒数，则abab=1.=1.2 2）0 0没有倒数没有倒数 ；1 1 1 1除以一个不为零的数就变为这个数的倒数除以一个不为零的数就变为这个数的倒数除以一个不为零的数就变为这个数的倒数除以一个不为零的数就变为这个数的倒数例：下列各数，哪两个数互为倒数？例：下列各数，哪两个数互为倒数？8 8，-1-1，+（-8-8），），1 1，5.5.倒数倒数 一个数一个数a a的绝对值的绝对值就是数轴上表示数就是数轴上表示数a a的点与原点的的点与原点的距离距离。1 1）数）数a a的绝对值记作的绝对值记作a a;-3 2 1 -3 2 1 0 1 2 3 40 1 2 3 42 23 34 4 若若a a0 0，则，则a a=;2 2）若若a a0 0，则，则a a=;若若a=0a=0，则，则a a=;a a-a-a0 03)3)对任何有理数对任何有理数a,a,总有总有a a0.0.即即a a是非负数是非负数.4 4）绝对值小于绝对值小于5 5的整数有的整数有_0,0,1,1,2,2,3,3,4 4绝对值不大于绝对值不大于5 5的非负整数有的非负整数有_0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5绝对值大于绝对值大于2.52.5而小于而小于5.55.5的整数有的整数有_ 3,3,4,4,5 56.6.绝对值绝对值1 1）可通过数轴比较：）可通过数轴比较：在数轴上的两个数，在数轴上的两个数，右边右边的数总比的数总比左边左边的数大；的数大；正数都大于正数都大于0 0，负数都小于，负数都小于0 0；正数大于一切负数；正数大于一切负数；2 2）两个负数，绝对值大的反而小）两个负数，绝对值大的反而小。即即:若若a a0,b0,b0,0,且且a ab b,则则a a b.b.倒数是它本身的数是倒数是它本身的数是倒数是它本身的数是倒数是它本身的数是_+1+1和和-1 1绝对值是它本身的数是绝对值是它本身的数是绝对值是它本身的数是绝对值是它本身的数是_正数与正数与0 0bb平方是它本身的数是平方是它本身的数是平方是它本身的数是平方是它本身的数是_0 0和和1 1bb立方是它本身的数是立方是它本身的数是立方是它本身的数是立方是它本身的数是_1 1 1 1，0 0 0 0，-1 1 1 17.7.有理数大小的比较有理数大小的比较1.1.把一个大于把一个大于1010的数记成的数记成a10a10n n的形式，其中的形式，其中a a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法科学记数法 .2.2.一个近似数，从左边第一个不是一个近似数，从左边第一个不是0 0的数字起到，到精确到的数位止，所的数字起到，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有的数字，都叫做这个数的有效数字有效数字。8.8.科学记数法、近似数与有效数字科学记数法、近似数与有效数字科学记数法、近似数、有效数字65.342（保留3个有效数字）1.3999（保留3个有效数字）60700（保留1个有效数字）3.2473（精确到十分位）40.6985（精确到千分位）0.36481（精确到0.01）65.31.4061043.240.6990.36近似数1.60和1.6有什么不同？2)2)有理数减法法则有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数减去一个数，等于加上这个数的相反数.即即 a-b=a+(-b)a-b=a+(-b)例：分别求出数轴上两点间的距离：例：分别求出数轴上两点间的距离：表示表示2 2的点与表示的点与表示-7-7的点；的点；表示表示-3-3的点与表示的点与表示-1-1的点。的点。解：解：2-2-（-7-7）=2+72+7=9 9=9=9 -3-3-（-1-1）=-3+1-3+1=-2-2=2=23 3）有理数的乘法法则）有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同任何数同0 0相乘，都得相乘，都得0.0.几个不等于几个不等于0 0的数相乘，积的符号由的数相乘，积的符号由负因数的个数负因数的个数决定，当负因数有决定，当负因数有奇数奇数个时，个时，积为负积为负；当负因数有；当负因数有偶数偶数个时，个时，积为正积为正.几个数相乘，有一个因数为几个数相乘，有一个因数为0 0，积就为，积就为0 0.5)5)有理数的乘方有理数的乘方 求求n n个相同因数的积的运算个相同因数的积的运算,叫做乘方。叫做乘方。正数的任何次幂都是正数；正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数负数的偶次幂是正数.幂幂指数指数 底数底数 即aaa a=n n 个个1、(-)3 2、-()2 3、-(-1)100 4、-232 5、-(23)2 6、(-2)3+32例例1 在在-3.14，-2/5，12，-3，0,-(-2/9),|-8|,1/2,-1/4中哪些是整数、分数、正整数、负分数、中哪些是整数、分数、正整数、负分数、非负数？非负数？n答答：整数有：整数有：12，|-8|，0n分数有：分数有：-3.14，-2/5,-(-2/9),1/2,-1/4n正整数有：正整数有：12,|-8|n负分数有：负分数有：-3.14,-2/5,-1/4n非负数有：非负数有：12,0,-(-2/9),|-8|,1/2例例例例2,2,2,2,在数轴上表示绝对值不少于在数轴上表示绝对值不少于在数轴上表示绝对值不少于在数轴上表示绝对值不少于2 2 2 2而又不大于而又不大于而又不大于而又不大于5.15.15.15.1的的的的所有整数；并求出绝对值少于所有整数；并求出绝对值少于所有整数；并求出绝对值少于所有整数；并求出绝对值少于4 4 4 4的所有整数的和与积的所有整数的和与积的所有整数的和与积的所有整数的和与积解：解：绝对值不少于绝对值不少于绝对值不少于绝对值不少于2 2 2 2而又不大于而又不大于而又不大于而又不大于5.15.15.15.1的的的的所有整数有所有整数有所有整数有所有整数有 2 2，3 3，4 4，5.5.-5-4 3 2 1 0 1 2 3 4 5-5-4 3 2 1 0 1 2 3 4 5绝对值少于绝对值少于绝对值少于绝对值少于4 4 4 4的所有整数的和与积都是的所有整数的和与积都是的所有整数的和与积都是的所有整数的和与积都是0 0.的相反数的倒数是的相反数的倒数是；.的倒数的相反数是的倒数的相反数是。1 15 52 23.3.如果如果25m25m表示向北走表示向北走25m,25m,则则-60m-60m 表示表示 。向南走向南走60m60m4.4.数轴的三要素数轴的三要素 ，。原点原点正方向正方向单位长度单位长度5.5.相反数是本身的是相反数是本身的是 ；绝对值是；绝对值是 它本身的是它本身的是 。6.6.近似数近似数0.0270.027有有 个有效数字；个有效数字；5.4100005.410000有有 个有效数字。个有效数字。7.7.用科学记数法表示：用科学记数法表示：2450000=2450000=；574800574800保留保留3 3个有效数字为个有效数字为 。0 0正数和正数和0 02 27 710106 62.452.455.755.7510105 5 关于绝对值如何化简绝对值符号例：a、b、c 在数轴上的位置如图化简|c b|a c|b c|c 0 b acb 是负数，|cb|（cb）ac 是正数，|ac|acbc 是负数，|bc|（bc）原式=（cb）（ac）（bc）a3c解解:x x、y y互为相反数，互为相反数，a a、b b互为倒数，互为倒数，m m的绝对值为的绝对值为3 3 x+y=0 x+y=0，abab=1=1，m=m=3 3 即即 m m2 2=（3 3）2 2=9=9 4 4（x xy y）-ab+m-ab+m2 2=4=4 0-1+90-1+91 1、已知、已知x x、y y互为相反数，互为相反数，a a、b b互为倒数，互为倒数，m m的绝对值为的绝对值为3 3。求代数式。求代数式 4 4（x xy y）-ab+m-ab+m2 2的值的值2.2.现定义两种运算：现定义两种运算：“”、“*”“*”对于任意两个整数对于任意两个整数a b=a+b-1;a*b=ab-1,a b=a+b-1;a*b=ab-1,则则 4*4*(6(6 8)(3*5)8)(3*5)的结果是的结果是()()(A)26 (B)103 (C)104 (D)105 (A)26 (B)103 (C)104 (D)105B B3.3.若（若（x-1)x-1)2 2+|y+4|=0,+|y+4|=0,则则3x+5y=_3x+5y=_4.4.若若|3-|3-|+|4-|+|4-|=_.|=_.5.5.若若|a-3|+|3a-4b|=0,|a-3|+|3a-4b|=0,则则-2a+8b=_-2a+8b=_6.6.已知已知|x|=3,|y|=2,|x|=3,|y|=2,且且xy,xy,则则x+y=_x+y=_7.4895477.489547保留三个有效数字是保留三个有效数字是_,_,近似数近似数1.201.20万精万精确到确到_位，有位，有_个有效数字个有效数字.8.a 0,-1 b 0,8.a 0,-1 b(A)aabababab2 2(B)ab(B)ab2 2 abab a(C)aba(C)abaabaab2 2(D)abD)ababab2 2aa9.9.数轴上与数轴上与-2-2的距离为的距离为5 5个单位长度的点表示的数是个单位长度的点表示的数是_10._10._的平方得的平方得6464，_的立方得的立方得-27-27 17171 11212 1 1或或 5 54.904.90 10105 5百百3 3D D3 3或或-7-7 8 8-3-3来,迎接检测.电子跳蚤落在数轴上表示2004这个数的点上。它第一步往左跳一个单位，第二步往右跳2个单位，第三步往左跳3个单位，第四步往右跳4个单位，依次类推，当跳了一百步时，电子跳蚤恰好落在了K点。你能求出点K所表示的数吗？0数的旅行记数的旅行记例4n已知X是绝对值最小的有理数，Y是最大的负整数，求代数式X3+3x2y+3xy2+y3的值。n解：由已知得X0，Y1，n X3+3x2y+3xy2+y3=0+0+0+(-1)3n =-1n当|x|=3时，X（7）一定等于4吗？a为整数，a的倒数是1/a吗？请说明原因。n解：|x|=3 n X3或3，n X（7）=-4或-10n a为整数，a可以是0，0没有倒数。n 当当 a0a0时，时，a的倒数是1/a.n 当当 a=0a=0时，时，a a没有没有倒数.例5n当a 0，b 0，且a b时，n则 与 哪个大？b当a 0，b 0，且a b时，b则1/a与1/b哪个大？1/a 1/b当a 0，b 0，且a b时，则 1/a2 与 1/b2 哪个大？1/a2 1/b2bb如果ab0,比较a、a、b、b的大小a b b a例6
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