第2章-连续系统的数学模型课件

1导导 读读为什么要介绍本章为什么要介绍本章?一方面，自动控制系统的组成可以是一方面，自动控制系统的组成可以是电气的、机械的、液电气的、机械的、液压的、气动的压的、气动的等等，这些表面上看来似乎毫无共同之处的控制等等，这些表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，描述这些系统的数学模型也系统，其运动规律可能完全一样，描述这些系统的数学模型也可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律。律。另一方面，我们了解系统的具体的性能指标，只是另一方面，我们了解系统的具体的性能指标，只是定性定性地地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行理论上对系统的性能进行定量定量的分析和计算。要做到这一点，的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。第2章 连续系统的数学模型 2本章主要内容本章主要内容 1.控制系统数学模型的概念控制系统数学模型的概念 2.控制系统常用的几种数学模型控制系统常用的几种数学模型(微分方程、传微分方程、传递函数和动态结构图递函数和动态结构图)。3.了解这些数学模型之间的相互关系。了解这些数学模型之间的相互关系。31系统数学模型的概念2系统的微分方程3传递函数4动态结构图5系统数学模型的MATLAB表示第2章 连续系统的数学模型4 自动控制技术的方法是先将系统抽象成数学模型，然后自动控制技术的方法是先将系统抽象成数学模型，然后用数学的方法处理。控制系统的用数学的方法处理。控制系统的数学模型是描述系统内部各数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式。物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式。建立数学模型的方法建立数学模型的方法 u 分析法（机理分析法）分析法（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。u 实验法（系统辨识法）实验法（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。2.1 系统数学模型的概念5 表达形式表达形式u 时域时域：微分方程、差分方程微分方程、差分方程、状态方程、状态方程u 复复域：域：传递函数、动态结构图传递函数、动态结构图u 频域：频域：频率特性频率特性线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换62.2 系统的微分方程由（由（2）代入（）代入（1）消去中间变量）消去中间变量i(t)，得：，得：完全不同物理性质的系统，其数学模型可以具有相似性！完全不同物理性质的系统，其数学模型可以具有相似性！整理得：整理得：与前述方程与前述方程比较比较8系统r(t)c(t)其中，其中，、(i =0,1,2,.n;j=0,1,2.m)均为实数，是由系统本身的结构参数所决定。均为实数，是由系统本身的结构参数所决定。aibj一般地，一般地，n阶系统可以用下述的阶系统可以用下述的n阶微分方程来描述阶微分方程来描述92.2.3 3.1 .1 传递函数的定义传递函数的定义 系统微分方程与传递系统微分方程与传递函数可以直接转换函数可以直接转换!2.3 传递函数系统r(t)c(t)G(s)R(s)C(s)定义定义：在零初始条件下，线性定常系：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与输入的统（环节）输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。的传递函数。1011单位脉冲输入信号下系统的输出单位脉冲输入信号下系统的输出 单位脉冲输入信号的拉氏变换为单位脉冲输入信号的拉氏变换为1 1 单位脉冲位脉冲输入信号下系入信号下系统的的输出的拉氏出的拉氏变换为 单位脉冲输入信号下系统的输出为单位脉冲输入信号下系统的输出为思考：思考：求系统在单位阶跃信号作用下的输出求系统在单位阶跃信号作用下的输出响响应（单位阶跃响应）。应（单位阶跃响应）。并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？脉冲响应是系统的数学模型脉冲响应是系统的数学模型!阶跃响应不是系统的数学模型阶跃响应不是系统的数学模型!系统G(s)R(s)C(s)系统G(s)1G(s)系统g(t)12传递函数的性质：传递函数的性质：（1 1）传递函数反映的是系统本身的一种属性，其各项系数完全）传递函数反映的是系统本身的一种属性，其各项系数完全取决于取决于系统本身的结构与参数系统本身的结构与参数，与输入量的大小和性质无关，与输入量的大小和性质无关;（2 2）传递函数概念仅适用于）传递函数概念仅适用于线性定常系统线性定常系统，具有复变函，具有复变函 数的所有性质；数的所有性质；（3 3）传递函数是复变量）传递函数是复变量s s 的的有理真分式有理真分式，即，即nmnm；（4 4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；（5 5）传递函数描述了系统的）传递函数描述了系统的外部特性外部特性,不反映系统的内部物理不反映系统的内部物理结构的有关信息结构的有关信息,传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系系,许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数;（6 6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为为实数实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对的共轭复数。，故零点和极点可以是实数，也可以是成对的共轭复数。132.2.3 3.2 .2 传递函数的表示方式传递函数的表示方式 1 1有理分式形式有理分式形式 2 2零极点形式零极点形式多应用于根轨迹法中多应用于根轨迹法中如14 3 3时间常数形式时间常数形式多应用于频域分析法中多应用于频域分析法中152.2.3 3.3 .3 线性系统的典型环节线性系统的典型环节 无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个分为若干个典型环节典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。的一种重要方法。1.1.比例环节比例环节（放大环节（放大环节/无惯性环节）无惯性环节）特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系，无失真和时特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系，无失真和时间延迟。间延迟。KR(s)C(s)r(t)c(t)c(t)/r(t)实例：电子放大器，齿轮，电位器，感应式变送器（电压互感器）等。实例：电子放大器，齿轮，电位器，感应式变送器（电压互感器）等。2.2.惯性环节惯性环节 特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟。化，存在时间上的延迟。R(S)C(S)0tr(t)/c(t)c(t)r(t)3.3.积分环节积分环节 特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。可用来改善系统的稳态性能。功能。可用来改善系统的稳态性能。C(s)R(s)tr(t)0c(t)c(t)/r(t)实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。实例：实例：RCRC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。4.微分环节微分环节 特点：是积分环节的逆运算，输出量正比输入量变化的速度，其输特点：是积分环节的逆运算，输出量正比输入量变化的速度，其输出量反映了输入信号的变化趁势，而不反映输入量本身的大小。出量反映了输入信号的变化趁势，而不反映输入量本身的大小。实践中，实践中，理想的微分环节难以实现，实用中常用含惯性的微分或一阶微分（比例理想的微分环节难以实现，实用中常用含惯性的微分或一阶微分（比例微分）。可用来改善系统的动态性能。微分）。可用来改善系统的动态性能。tr(t)c(t)c(t)/r(t)实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。一阶微分（比例微分）一阶微分（比例微分）:含惯性的微分含惯性的微分:实例：实例：RLCRLC电路的输出与输入电压间的传递函数。电路的输出与输入电压间的传递函数。5.振荡环节振荡环节 特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质，振荡的程度与阻尼系数元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质，振荡的程度与阻尼系数有关。有关。nt=0.2=0.5=1c(t)/r(t)C(s)R(s)0 6.6.延迟环节延迟环节（时滞环节、滞后环节）（时滞环节、滞后环节）特点：输出信号经过一段延迟时间特点：输出信号经过一段延迟时间后，可完全复现输入信号。后，可完全复现输入信号。tr(t)c(t)c(t)/r(t)0R(s)C(s)实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；段时间才接近所要求的输出值；惯性环节与延迟环节的区别：惯性环节与延迟环节的区别：延迟环节从输入开始后在延迟环节从输入开始后在0时间内没有输出，在时间内没有输出，在t=之后，才有输出。之后，才有输出。2.2.4 4.1 .1 动态结构构图的基本的基本组成成 控制系统的动态结构图是系统数学模型的图解形式，可控制系统的动态结构图是系统数学模型的图解形式，可以形象直观地描述系统中各元件的功能、相互关系以及信号以形象直观地描述系统中各元件的功能、相互关系以及信号在系统中的传递、变换过程。在系统中的传递、变换过程。特点：既有图示模型的直观，又有数学模型的精确。特点：既有图示模型的直观，又有数学模型的精确。2.4 动态结构图22动态结构图包含四个基本元素动态结构图包含四个基本元素：信号线：信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。引出点（测量点）引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。：引出或者测量信号的位置。这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。从这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。从同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同。同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同。比较点（综合点）比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。方框：方框：表示对输入信号进行的数学变换。表示对输入信号进行的数学变换。对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。231.串联串联两个环节串联的变换如图：两个环节串联的变换如图：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效等效可得可得n个环个环 节的串联节的串联 G(s)=Gi(s)n i=12.2.4 4.2 2 几种基本的几种基本的结构框构框图 242.并联并联+G2(s)R(s)C(s)G1(s)G1(s)+G2(s)R(s)C(s)n个环节的并联个环节的并联 G(s)=Gi(s)n i=1两个环节并联的变换如图：两个环节并联的变换如图：253.反馈连接反馈连接G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)G(s)1G(s)H(s)C(s)R(s)R(s)C(s)1 G(s)H(s)G(s)=261.比较点后移比较点后移 2.2.4 4.3 3 结构构图的的变换法法则272.比较点前移比较点前移 283.比较点合并比较点合并 294.引出点前移引出点前移 305.引出点后移引出点后移 结构图等效变换方法总结结构图等效变换方法总结1 1.三种典型结构可直接用公式三种典型结构可直接用公式2 2.相邻比较点可互换位置、可合并相邻比较点可互换位置、可合并3 3.相邻引出点可互换位置、可合并相邻引出点可互换位置、可合并注意：注意：1 1.不是不是典型结构典型结构不可不可直接用公式直接用公式2 2.引出点比较点引出点比较点相邻相邻，不可互换位置，不可互换位置G1G2G3H1错错！G1G2G3H1G2H1G1G3无用功无用功G1G2G3H1G2向向同类同类移动移动例例1:比较比较点移动点移动G1G2G3H1G1例例2:引出引出点移动点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H11/G4请你写出结果请你写出结果,行吗？行吗？2.2.4 4.4 4 结构构图的化的化简举例例_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)1.系统的开环传递函数系统的开环传递函数 闭环控制系统的闭环控制系统的典型结构：典型结构：开环传递函数：开环传递函数：系统反馈量与误差信号的比值系统反馈量与误差信号的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)=G1(s)G2(s)H(s)=G(s)H(s)2.2.4 4.5 5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数2.系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数(1)给定信号给定信号R(s)作用作用_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)系统的典型系统的典型 结构：结构：D(s)=0典型结构图典型结构图 可变换为：可变换为：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)系统的闭环系统的闭环 传递函数传递函数:R(s)C(s)(s)=1+G(s)H(s)G(s)(2)扰动信号扰动信号D(s)作用作用R(s)=0D(s)动态结构图动态结构图 转换成转换成:前向通道前向通道:G1(s)H(s)G2(s)D(s)C(s)反馈通道反馈通道:闭环传递函数为：闭环传递函数为：D(s)C(s)d(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)3.系统的误差传递函数系统的误差传递函数(1)给定信号给定信号R(s)作用作用 R(s)作用下误作用下误差输出的动态差输出的动态 结构图结构图:_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)前向通道前向通道:反馈通道反馈通道:R(s)E(s)D(s)=0R(s)E(s)er(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)1+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)(2)扰动信号扰动信号D(s)作用作用_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)D(s)作用下误作用下误差输出的动态差输出的动态 结构图结构图:前向通道前向通道:反馈通道反馈通道:D(s)E(s)R(s)=0D(s)E(s)ed(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)MATLAB是由美国是由美国Mathworks开发的大型数学软开发的大型数学软件包，在自动控制、图象及信号处理等许多领域得到件包，在自动控制、图象及信号处理等许多领域得到广泛应用。广泛应用。MATLAB的安装、启动等与一般软件相同。的安装、启动等与一般软件相同。Simulink是用于连续、离散以及混合的线性、非是用于连续、离散以及混合的线性、非线性控制系统建模、仿真和分析的软件包，并为用户线性控制系统建模、仿真和分析的软件包，并为用户提供了用方框图进行建模的图形接口，很适合用于控提供了用方框图进行建模的图形接口，很适合用于控制系统的仿真。制系统的仿真。MATLAB只能作为辅助的分析与设计系统的工具，只能作为辅助的分析与设计系统的工具，不能代替控制理论分析与设计方法。不能代替控制理论分析与设计方法。2.5 控制系统数学模型的MATLAB表示2.2.5 5.1.1 传递函数模型的传递函数模型的MATLABMATLAB表示表示1有理分式形式的传递函数有理分式形式的传递函数在在MATLAB中表示为中表示为在在MATLAB窗口中键入窗口中键入按回车键，命令窗口输出如下结果按回车键，命令窗口输出如下结果Tramsfer function：2零极点形式的传递函数零极点形式的传递函数在在MATLAB中表示为中表示为在在MATLAB窗口中键入窗口中键入按回车键，命令窗口输出如下结果按回车键，命令窗口输出如下结果Zero/pole/gain：422.2.5 5.2.2 结构图的结构图的MATLABMATLAB表示表示两个环节的串联两个环节的串联两个环节的并联两个环节的并联反馈连接反馈连接Sign默认值为默认值为-1，即负反馈，故可以不写，但正反馈必须写，即负反馈，故可以不写，但正反馈必须写1。43本章小结本章小结所谓所谓数学模型数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，写就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，写出的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式。出的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式。系统建模有两大类方法：系统建模有两大类方法：机理建模方法和实验建模方法机理建模方法和实验建模方法。系统输出量及其各阶导数和系统输入量及其各阶导数之间的关系统输出量及其各阶导数和系统输入量及其各阶导数之间的关系式，称为系统微分方程描述。系式，称为系统微分方程描述。微分方程描述是系统微分方程描述是系统最基本最基本的数学模型，可以描述各种连续时的数学模型，可以描述各种连续时间系统。线性系统用线性微分方程描述，非线性系统用非线性间系统。线性系统用线性微分方程描述，非线性系统用非线性微分方程描述。线性时变系统的微分方程的系数是时间的函数。微分方程描述。线性时变系统的微分方程的系数是时间的函数。线性定常系统的微分方程的系数与时间无关。线性定常系统的微分方程的系数与时间无关。44在零初始条件下，线性定常系统（环节）在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。，称为该系统（环节）的传递函数。传递函数是控制理论中最重要的一种数学模型，但它只能描传递函数是控制理论中最重要的一种数学模型，但它只能描述述线性定常系统线性定常系统。传递函数一般是复变函数，可以表示为传递函数一般是复变函数，可以表示为有理分式形式、零极有理分式形式、零极点形式、时间常数形式点形式、时间常数形式。线性连续定常系统总是由比例、积分、微分、惯性、振荡、线性连续定常系统总是由比例、积分、微分、惯性、振荡、一阶微分、纯滞后这几种基本环节，或者称为典型环节组成。一阶微分、纯滞后这几种基本环节，或者称为典型环节组成。结构图变换法则及其简化结构图求传递函数的方法。结构图变换法则及其简化结构图求传递函数的方法。运用运用MATLAB表示系统的传递函数模型。表示系统的传递函数模型。