电磁场的数学物理基础知识课件

1章章电磁场的数学、电磁场的数学、物理基础知识物理基础知识7/12/20242第一章第一章电磁场的数学、物理基础知识电磁场的数学、物理基础知识1-1 电磁场与矢量代数电磁场与矢量代数 1-2 正交曲面坐标系正交曲面坐标系 1-3 标量场及其梯度标量场及其梯度 1-4 矢量场的通量、散度与高斯散度定理矢量场的通量、散度与高斯散度定理 1-5 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 1-6 亥姆赫兹定理亥姆赫兹定理 1-7 电磁场麦克斯韦方程组电磁场麦克斯韦方程组 1-8 矢量场惟一性定理矢量场惟一性定理 7/12/202431-1 电磁场与矢量代数电磁场与矢量代数1.1.1矢量及其表示方法矢量及其表示方法1.1.2矢量相加矢量相加(叠加叠加)1.1.3矢量的乘积运算矢量的乘积运算7/12/202441-1 电磁场与矢量代数电磁场与矢量代数 场的概念场的概念:场是一个以空间位置场是一个以空间位置(x,y,z)和时间和时间(t)为自为自变量的函数。变量的函数。标量场标量场矢量场矢量场稳恒场稳恒场均匀场均匀场描绘场的函数为标量函数描绘场的函数为标量函数=(x,y,z,t)描绘场的函数为矢量函数描绘场的函数为矢量函数A=A(x,y,z,t)不随时间变化的场不随时间变化的场 (x,y,z),A(x,y,z)不随空间变化的场不随空间变化的场 (t),A(t)只有大小而没有方向的量。如电压、只有大小而没有方向的量。如电压、电荷量、电流、面积等电荷量、电流、面积等在指定的时刻，空间每一点可以用一个在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等。密度等。具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量。磁场强具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量。磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。度矢量、作用力矢量、速度矢量等。在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等。量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等。7/12/202451.1.1 矢量及其表示方法矢量及其表示方法 矢量的定义与表示：矢量的定义与表示：几何表示：有向线段几何表示：有向线段代数表示：基于坐标系的参数表示代数表示：基于坐标系的参数表示 矢量的代数运算矢量的代数运算(四则运算四则运算)：几何方法及其意义几何方法及其意义代数方法及其运算规则代数方法及其运算规则(与坐标系相关与坐标系相关)7/12/202461.1.1 矢量及其表示方法矢量及其表示方法矢量：表示既有大小也有方向的量，如矢量：表示既有大小也有方向的量，如 或或 标量：只有大小的量，如标量：只有大小的量，如 矢量几何图示如右：矢量几何图示如右：矢量代数：矢量间的四则运算，即加减法、乘法。矢量代数：矢量间的四则运算，即加减法、乘法。7/12/202471.1.1 矢量及其表示方法矢量及其表示方法一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。，zxyAO单位矢量单位矢量模等于模等于1 1的矢量叫做单位矢量。的矢量叫做单位矢量。（1.1.1）矢量表示法矢量表示法在三维空间中，矢量可表示为一根有方向在三维空间中，矢量可表示为一根有方向的线段。该线段的长度的线段。该线段的长度 代表该矢量的模，该线段的方代表该矢量的模，该线段的方向向 代表该矢量的方向。代表该矢量的方向。7/12/20248在直角坐标系中矢量的表示在直角坐标系中矢量的表示例如：例如：7/12/20249一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。量。负矢量负矢量与原矢量大小相等，方向相反的矢量。与原矢量大小相等，方向相反的矢量。7/12/2024101.1.2 矢量相加矢量相加(几何表示几何表示)，图图1-11-1两矢量相加两矢量相加ABA+BABA+B(a)平行四边形法则平行四边形法则(b)首尾相接法则首尾相接法则 两矢量两矢量A和和B相加定义为一个新矢量相加定义为一个新矢量A+B 图图1-2 1-2 两矢量相减两矢量相减-BBAA-B交换律交换律 A+B=B+A结合律结合律 ABC=A(BC)=(AB)CA和和B相减为新矢量相减为新矢量A B 7/12/2024111.1.2 矢量相加矢量相加(代数表示代数表示)，直角坐标系中的矢量及运算直角坐标系中的矢量及运算AxAyAzAyzx图图 1-3 1-3 直角坐标中的直角坐标中的A及其各分矢量及其各分矢量若若则则7/12/2024121.1.2 矢量相加矢量相加(代数表示代数表示)矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。矢量乘法矢量乘法图图1-4 1-4 f 与与A 相乘相乘A A(0)A(0)标量标量与矢量与矢量A的乘积用的乘积用A表示，它是表示，它是A的的倍。倍。若若则则7/12/202413两两个个矢矢量量的的标标量量积积（点点积积）定定义义为为这这两两个个矢矢量量的的模模以以及及这这两两个个矢矢量量 之之间间夹角的余弦三者的乘积。夹角的余弦三者的乘积。两两个个矢矢量量的的矢矢量量积积（叉叉积积）的的模模等等于于这这两两个个矢矢量量的的模模以以及及这这两两个个矢矢量量之之间间夹夹角角的的正正弦弦三三者者的的乘乘积积，而而方方向向垂垂直直于于两两矢矢量量所所构构成成的的平平面面，其其指向按指向按“右手法则右手法则”来确定。来确定。（1.1.26）1.1.3矢量的乘积运算矢量的乘积运算7/12/2024141.1.3矢量的乘积运算矢量的乘积运算 AB=ABcosAB=BA(A+B)C=AC+BC(A B)=(A)B=A(B)若若A B，则AB=0(5)A自身的点自身的点积，即，即=0，AA=A21.1.矢量的标量积矢量的标量积 dot product/scalar dot product/scalar productproduct Acos7/12/202415例如，例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：exey=eyez=exez=0exey=eyez=exez=0exex=eyey=ezez=1 exex=eyey=ezez=1 直角坐标系中的点积运算直角坐标系中的点积运算 由单位矢量的正交性由单位矢量的正交性得得7/12/2024162.矢量的矢量积矢量的矢量积 cross product C=AB=ABsinec ec为垂直于为垂直于A、B平面的单位矢量，平面的单位矢量，A、B、C服从右手螺旋法则。服从右手螺旋法则。(a)(a)矢量积的图示；矢量积的图示；(b)(b)右手螺旋右手螺旋7/12/202417 矢量积又称为叉积矢量积又称为叉积(Cross Product)(Cross Product)，如果两个不为零，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量矢量的叉积不服从交换律，的叉积不服从交换律，但服从分配律，但服从分配律，即即AB=-BA AB=-BA A(B+C)=AB+AC A(B+C)=AB+AC A、B相平行（相平行（=0或或180)时，时，A B=0，反之亦然；，反之亦然；A自身的叉积为零，自身的叉积为零，A A=0。7/12/202418 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：exey=ez eyez=ex,ezex=ey exey=ez eyez=ex,ezex=ey exex=eyey=ezez=0 exex=eyey=ezez=0 在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为 =ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx)7/12/2024192.矢量的矢量积矢量的矢量积 cross product ABBA AB=BA C (A+B)=C A+C B(AB)=(A)B=A(B)若若A/B，则AB=07/12/202420标量积满足交换律和分配律，矢量积只标量积满足交换律和分配律，矢量积只满足分配律。满足分配律。若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为90o90o，则它们的标量，则它们的标量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积；若积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积；若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于零，两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。反过来说也是而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。反过来说也是对的。若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相对的。若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂直；若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互垂直；若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。互平行。7/12/202421 3.3.矢量的混合积矢量的混合积转换性性 C (AB)=A(BC)=B(CA)C (AB)=|C|AB|cos三个矢量共面的条件三个矢量共面的条件 C (AB)=0 Cx Cy Cz C (AB)=Ax Ay Az Bx By Bz坐标表示式坐标表示式7/12/202422（1）矢量混合积的几何意义：）矢量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：7/12/202423bc a baS=|a b|hc7/12/202424h ac a bb其混合积其混合积(abc)=0三矢三矢 a,b,c共面共面因此，因此，7/12/202425定理定理1三个不共面的矢量三个不共面的矢量的混合积的绝的混合积的绝对值等于以对值等于以为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积,并且并且当当构成右手系时混合积为正数构成右手系时混合积为正数;当当构成左手系时混合积为负数构成左手系时混合积为负数,也就是有也就是有定理定理2证明证明:先证明必要性先证明必要性“”，即已知三个矢量，即已知三个矢量共面，求证共面，求证因为因为，所以，所以7/12/202426证毕证毕.再证明充分性再证明充分性“”，即已知，即已知求证求证:三个矢量共面三个矢量共面.由由及定义及定义,得得即即而又而又所以所以,矢量矢量垂直垂直,首先首先,若若即即结论显然成立结论显然成立.以下设以下设所以所以证毕证毕.7/12/202427定理定理3证明证明:三个矢量共面时三个矢量共面时,结论显然成立结论显然成立.以下设它们不以下设它们不共面共面.的绝对值都等于以的绝对值都等于以为为棱的平行六面体的体积棱的平行六面体的体积,即它们的绝对值相等即它们的绝对值相等.又因为又因为具有相同的左右手系具有相同的左右手系,(因为轮换不改变左右手系因为轮换不改变左右手系)即它们的符号也相同即它们的符号也相同.证毕证毕.只证明第一组只证明第一组.第二组可以类似考虑第二组可以类似考虑.7/12/202428推论推论1例例1设三向量设三向量满足满足证明证明:由由两边与两边与所以所以,7/12/202429矢量混合积在直角坐标系下的分量表示矢量混合积在直角坐标系下的分量表示设直角坐标系设直角坐标系定理定理4证明证明:7/12/202430所以所以,推论推论2 三个矢量三个矢量共面的充要条件为共面的充要条件为7/12/202431例例2.已知四面体已知四面体ABCD的顶点坐标的顶点坐标A(0,0,0),B(6,0,6),C(4,3,0),D(2,-1,3),求它的体积求它的体积.ABCD解解:它的体积等于以它的体积等于以为棱的平行六面体体积的六分之一为棱的平行六面体体积的六分之一所以所以7/12/202432解解7/12/202433式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.7/12/202434解解例例47/12/202435例例5求矢量求矢量对对的分解式的分解式.(也即将也即将表示成表示成的的线性组合线性组合)解解:所以可设所以可设上式两边同时点乘上式两边同时点乘得得则得则得同理可以得到同理可以得到7/12/202436向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）小结7/12/202437例例6证明证明:证毕证毕.7/12/202438 4.矢量的三重积矢量的三重积 A (BC）A(BC）（AB）C 不满足结合律 A(BC）=（AC)B(AB)C 7/12/202439 矢量代数运算式均为矢量均为矢量垂直于垂直于所在平面并与所在平面并与 成右手螺旋关系。成右手螺旋关系。7/12/202440矢量代数运算式矢量代数运算式7/12/202441位置矢量与距离矢量位置矢量与距离矢量位置矢量位置矢量由坐标原点出发引向空间某一点由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。设设P P点点的的坐坐标标为为 ，则则 其模其模设设P P点点的的坐坐标标为为 ，则则 其模其模图图 位置矢量与相对位置矢量位置矢量与相对位置矢量7/12/202442相对位置矢量及模相对位置矢量及模其中，其中，P P 点点的位置矢量为的位置矢量为图图 位置矢量与相对位置矢量位置矢量与相对位置矢量r P (x,y,z)RrP(x,y,z)Royzx习题习题1-77/12/202443 标量体元 矢量面元 矢量线元矢量积分运算矢量积分运算矢量线积分矢量线积分矢量面积分矢量面积分标量体积分标量体积分7/12/2024441-2 正交曲面坐标系正交曲面坐标系矢量线元 把长度元与坐标元之比定义为拉梅(Lame)系数 7/12/202445 直角坐标系直角坐标系 7/12/202446 直角坐标系直角坐标系 7/12/2024477/12/202448 圆柱坐标系圆柱坐标系空间任一点空间任一点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量变量(,z)来表示，来表示，如下图示。如下图示。其中，其中，是位是位置矢量置矢量OP在在xy面上的投影，面上的投影，是从是从+x轴到位置轴到位置矢量矢量OP在在xy面上的投影之间的夹角，面上的投影之间的夹角，z是是OP在在z轴上的投影。由图可以看出，圆柱坐标与直角坐轴上的投影。由图可以看出，圆柱坐标与直角坐标之间的关系为标之间的关系为x=cos y=sinz=z 如同直角坐标系一样，如同直角坐标系一样，圆柱坐标系圆柱坐标系也具有三个相互垂直的坐标面，也具有三个相互垂直的坐标面，7/12/202449圆柱坐标系一点的投影圆柱坐标系一点的投影 圆柱坐标系三个互相垂直的坐标圆柱坐标系三个互相垂直的坐标7/12/202450 圆柱坐标系圆柱坐标系7/12/202451 圆柱坐标系圆柱坐标系7/12/202452 圆柱坐标系圆柱坐标系7/12/2024537/12/202454 7/12/202455 球坐标系球坐标系在在球球坐坐标标系系中中，空空间间一一点点P P 唯唯一一地地用用三三个个坐坐标标变变量量(r,)(r,)来来表表示示，如如图图示示.位位置置矢矢量量r r又又称称为为矢矢径径(Radius(Radius Vector)Vector)，r r是是其其大大小小，是是位位置置矢矢量量r r与与z z轴轴的的夹夹角角，是是从从+x+x轴轴到到位位置置矢矢量量r r在在xyxy面面上上的投影的投影OMOM之间的夹角。之间的夹角。球坐标与直角坐标之间的关系为球坐标与直角坐标之间的关系为 x=rsincos y=rsinsin z=rcos x=rsincos y=rsinsin z=rcos 同样，同样，球坐标也有三个坐标面坐标面球坐标也有三个坐标面坐标面 表示一个半径为表示一个半径为r r的球面，的球面，r r的变化范围为的变化范围为0 r 0 r。7/12/202456坐标面坐标面=常数常数 表示一个以原点为顶点、表示一个以原点为顶点、z z轴为轴线的轴为轴线的圆锥面，圆锥面，的变化范围的变化范围00。坐标面坐标面表表示示一一个个以以z z轴轴为为界界的的半半平平面面，的的变化范围为变化范围为 02 0 0 0 (有正源有正源)0 h1。7/12/202488解：（解：（1）由圆柱坐标散度式（）由圆柱坐标散度式（1-28）可）可知知7/12/202489解：（解：（2）设圆柱侧面为）设圆柱侧面为S1，上下底面，上下底面分别为分别为S2、S3，由通量式（，由通量式（1-24）可知）可知由于矢量由于矢量F只有半径方向的分量，即矢量垂直于只有半径方向的分量，即矢量垂直于圆柱侧面圆柱侧面S1，平行于上下底面，平行于上下底面S2、S3，因此上，因此上式中只有第一项存在，故其矢量积分可以简化为式中只有第一项存在，故其矢量积分可以简化为标量积分，即标量积分，即7/12/202490对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法设曲面设曲面：z=z(x,y)(1)(2)(3)(4)z=z(x,y)单值，即与单值，即与 z 轴平行的直线轴平行的直线与与的交点只有一个；的交点只有一个；z=z(x,y)在在Dxy 上具有连续偏导数；上具有连续偏导数；f(x,y,z)在光滑曲面在光滑曲面上连续；则上连续；则7/12/202491同理：同理：7/12/202492例：例：zxy0h问题：问题：1 能否投影到能否投影到xoy面上面上?dS=?解：解：解：解：把把1 投影到投影到yoz面上，则面上，则R17/12/202493zxy0h1R关于关于yoz面对称，被积面对称，被积函数是函数是x的偶函数的偶函数.7/12/202494zxy0h解：解：解：解：把把1 投影到投影到yoz面上，则面上，则R17/12/202495zxy0h1R7/12/202496散度的意义 在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。(无源）(正源)(负源)图0.3.3 通量的物理意义 7/12/202497上式称上式称为为散度定理散度定理,也称也称为为高斯公式。高斯公式。1.4.4 矢量矢量场场高斯散度定理高斯散度定理 The divergence theorem既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即 散度定理：散度定理：通量元密度通量元密度 7/12/2024981.4.4 矢量矢量场场高斯散度定理高斯散度定理 The divergence theoremv从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。v从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V V 中的场和包围区中的场和包围区域域 V V 的闭合面的闭合面 S S 上的场之间的关系。上的场之间的关系。v如果已知区域如果已知区域 V V 中的场，根据高斯定理即可求出边界中的场，根据高斯定理即可求出边界 S S 上的上的场，反之亦然。场，反之亦然。散度定理的物理意义：散度定理的物理意义：矢量函数的面积分与体积分的相互转换。矢量函数的面积分与体积分的相互转换。矢量场散度的体积分矢量场散度的体积分=该矢量穿过包围该体积的该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量封闭曲面的总通量7/12/202499 1-5 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度环量环量 矢量矢量A沿某封闭曲线的线积分沿某封闭曲线的线积分,定义为定义为A沿沿该曲线的环量该曲线的环量(或旋涡量或旋涡量),记为记为 矢量场的环量是一个标量，用来描述一个矢量场矢量场的环量是一个标量，用来描述一个矢量场的旋涡特性。大小和正负取决于矢量场的分布以的旋涡特性。大小和正负取决于矢量场的分布以及该闭合曲线积分的环绕方向。及该闭合曲线积分的环绕方向。可见，若在闭合有向曲线可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 的方向处处与线元的方向处处与线元 dl 的方的方向保持一致，则环量向保持一致，则环量 0；若处处相反，则；若处处相反，则 0。可见，环量。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。可以用来描述矢量场的旋涡特性。图1.4.1 环流的计算7/12/2024100水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。例：流速场流速场流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。7/12/2024101矢量场的旋度矢量场的旋度(curl)引出：研究闭合曲线内每一点处的环流。引出：研究闭合曲线内每一点处的环流。过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限1.环流密度环流密度环流密度是单位面积上的环量。7/12/20241022.旋旋度度：旋旋度度是是一一个个矢矢量量。若若以以符符号号 rot A 表表示示矢矢量量 A 的的旋旋度度，则则其其方方向向是是使使矢矢量量 A 具具有有最最大大环环量量强强度度的的方方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中式中 rot rot 是英文字母是英文字母 rotation rotation 的缩写，的缩写，en en 为为S S的法的法线方向，线方向，S S 为闭合曲线为闭合曲线 l l 包围的面积。包围的面积。矢量场的旋度矢量场的旋度(curl)它与环量密度的关系为 S S 的法线方向的法线方向7/12/2024103p矢量的旋度：在矢量场A中，围绕P点做一闭合回路c，所围面积为S，其法线方向单位矢量为n；pA的旋度是矢量，其大小为S0时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即 7/12/2024104p物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向无关。p计算公式：7/12/2024105旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处 A=0，称之为无旋场。它描述它描述A在该点处的旋涡源强度。在该点处的旋涡源强度。7/12/2024106旋度的展开式旋度的展开式 P14广义正交曲面坐标系中旋度的展开式为广义正交曲面坐标系中旋度的展开式为直角坐直角坐标标系中拉梅系数均系中拉梅系数均为为1，故，故7/12/2024107矢量函数矢量函数A A在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式分别为在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式分别为7/12/2024108u一一个个标标量量函函数数的的梯梯度度是是一一个个矢矢量量函函数数，它它描描述述了了空空间间各各点点标量位的最大变化率及其方向；标量位的最大变化率及其方向；u一一个个矢矢量量函函数数的的散散度度是是一一个个标标量量函函数数，它它描描述述了了空空间间各各点点场矢量与通量源之间的关系；场矢量与通量源之间的关系；u一一个个矢矢量量函函数数的的旋旋度度是是一一个个矢矢量量函函数数，它它描描述述了了空空间间各各点点场矢量与旋涡源之间的关系。场矢量与旋涡源之间的关系。u只只有有当当场场函函数数具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数时时，梯梯度度、散散度度、旋旋度度的的定定义义才才是是有有意意义义的的。在在某某些些场场量量不不连连续续的的交交界界面面上上，就不可能定义梯度、散度和旋度。就不可能定义梯度、散度和旋度。3、梯度、散度、旋度的比较梯度、散度、旋度的比较：7/12/2024109 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；在旋度公式中，矢量场的场分量在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；分量在与其垂直的方向上的变化规律；在散度公式中，矢量场的场分量在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。上的变化规律。3、梯度、散度、旋度的比较梯度、散度、旋度的比较：7/12/20241101.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 The Stokess theorem矢量函数的线积分与面积分的相互转化。矢量函数的线积分与面积分的相互转化。斯托克斯定理下 页上 页 在电磁场理论中，在电磁场理论中，高斯高斯定理定理 和和 斯托克斯斯托克斯定理定理 是是两个非常重要的公式。返 回7/12/2024111场的旋度和散度场的旋度和散度形象说明形象说明p根据散度或旋度的定义式可知，它们都是在曲根据散度或旋度的定义式可知，它们都是在曲p面或体积趋于零，即缩小到一点时定义的。面或体积趋于零，即缩小到一点时定义的。p矢量对一闭合曲面的通量（或所包围区域散度矢量对一闭合曲面的通量（或所包围区域散度p的体积分）等于零，并不能说该区域每点无源。的体积分）等于零，并不能说该区域每点无源。7/12/2024112场的旋度和散度场的旋度和散度形象说明形象说明场的旋度和散度用水流来作比较最形象，旋度场的旋度和散度用水流来作比较最形象，旋度就是考察水中是否存在漩涡，在电磁场中就是就是考察水中是否存在漩涡，在电磁场中就是看电场线或磁感线是否闭合，磁感线是闭合的看电场线或磁感线是否闭合，磁感线是闭合的就是说它是有旋场，散度可以认为是看水在何就是说它是有旋场，散度可以认为是看水在何处有源头何处有汇聚，在电磁场中就是看是否处有源头何处有汇聚，在电磁场中就是看是否某处有发射场线或收回场线。某处有发射场线或收回场线。7/12/2024113 1-6 矢量场中的常用定理矢量场中的常用定理1.矢量场的分类矢量场的分类2.梯度场、散度场和旋度场的关系定理梯度场、散度场和旋度场的关系定理3.矢量场的积分定理矢量场的积分定理4.矢量场唯一性定理矢量场唯一性定理5.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理7/12/20241141.6.1 矢量场的分类矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1)1)调和场调和场 若矢量场若矢量场F F在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有：F=0F=0和和F=0 F=0 则在该区域则在该区域V V内，场内，场F F为调和场。为调和场。注意：工程实际中不存在在整个空间内旋度和注意：工程实际中不存在在整个空间内旋度和散度处处均为零的矢量场。散度处处均为零的矢量场。调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场有旋场7/12/2024115 标量场的梯度为无旋场标量场的梯度为无旋场;矢量场的旋度为无源矢量场的旋度为无源(散散)场场;无旋场必可表示为标量场的梯度；无旋场必可表示为标量场的梯度；如如 ，则必存在某一标量场，则必存在某一标量场，使，使 得得 。无源场必可表示为另一矢量场的旋度；无源场必可表示为另一矢量场的旋度；如如 ，则必存在某一矢量场，则必存在某一矢量场 ，使，使 得得 。1.6.2 梯度场、散度场和旋度场的关系定理梯度场、散度场和旋度场的关系定理7/12/2024116 如果一个矢量场如果一个矢量场B为另一个矢量场为另一个矢量场 的旋度，的旋度，即即 ，则任意选择，则任意选择 的值，矢量场的值，矢量场 的的值不受影响。值不受影响。这说明不论这说明不论 是有源场，还是无源场，或是有源场，还是无源场，或 取任何值，对取任何值，对 的涡旋性皆无影响。即矢的涡旋性皆无影响。即矢量场的散度和旋度是彼此独立的，不能相互代量场的散度和旋度是彼此独立的，不能相互代替。因此，对于一个矢量场只有同时研究它的替。因此，对于一个矢量场只有同时研究它的散度和旋度才能准确的把握场的变化规律。散度和旋度才能准确的把握场的变化规律。7/12/2024117(1)高斯高斯(散度散度)定理定理1.6.3 矢量场的积分定理矢量场的积分定理此定理揭示了矢量场的此定理揭示了矢量场的“表里表里”关系。关系。(2)斯托克斯定理斯托克斯定理 此定理揭示了矢量场的此定理揭示了矢量场的“边面边面”关系。关系。7/12/2024118 设有矢量场设有矢量场 ，在以，在以S为界面的区域为界面的区域V内，它的内，它的散度和旋度及其散度和旋度及其S面上的法向分量均已知面上的法向分量均已知,1.6.4 矢量场唯一性定理矢量场唯一性定理 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。7/12/20241191.6.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1)场与源，源与散度、旋度场与源，源与散度、旋度 矢量场是由场源激发出来的矢量场是由场源激发出来的,应把源看作是应把源看作是产生场的起因；矢量场的散度对应于一个激发通量产生场的起因；矢量场的散度对应于一个激发通量的源；矢量场的旋度对应于一个激发涡旋量的源；矢量场的旋度对应于一个激发涡旋量(环流量环流量)的源。的源。进进一一步步说说,用用场场的的散散度度 可可唯唯一一确确场场中中任任一一点点的的通通量量源源密密度度，用用场场的的旋旋度度 可可唯唯一一确确定场定场 中任一点的环量源密度。中任一点的环量源密度。7/12/2024120 假如在有限空间假如在有限空间内内,一个场矢量的散一个场矢量的散度和旋度处处已给定度和旋度处处已给定,边界条件也已确定边界条件也已确定,那么那么,这个矢量场就是给定的了这个矢量场就是给定的了.进而这个进而这个矢量场还可用无旋场矢量场还可用无旋场,一个标量函数的梯一个标量函数的梯度度 ;无散场无散场,一个矢量函数的旋度一个矢量函数的旋度 之和来表示之和来表示,即即2)定理定理7/12/2024121说明说明:无旋场无旋场 应存在如下关系应存在如下关系:无散场无散场 应存在如下关系应存在如下关系:7/12/2024122 研究一个矢量场时一定要从散度和研究一个矢量场时一定要从散度和旋度两个方面进行。旋度两个方面进行。既要导出矢量场散度应满足的关系，既要导出矢量场散度应满足的关系，又要导出矢量场旋度应满足的关系，这种又要导出矢量场旋度应满足的关系，这种关系决定了场的基本性质关系决定了场的基本性质,故又称为微分故又称为微分形式的基本方程。形式的基本方程。也可用矢量沿闭合面的通量和矢量也可用矢量沿闭合面的通量和矢量沿闭合路径的环流去研究，从而得到积分沿闭合路径的环流去研究，从而得到积分形式的基本方程。形式的基本方程。3)定理的意义定理的意义7/12/20241231-7 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电荷守恒定律电荷守恒定律法拉弟电磁感应定律法拉弟电磁感应定律修正的安培环路定律修正的安培环路定律电场高斯定律电场高斯定律磁场高斯定律磁场高斯定律7/12/20241241-7 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电荷守恒定律电荷守恒定律法拉弟电磁感应定律法拉弟电磁感应定律修正的安培环路定律修正的安培环路定律电场高斯定律电场高斯定律磁场高斯定律磁场高斯定律积分形式积分形式微分形式微分形式7/12/20241251-7 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电荷守恒定律电荷守恒定律法拉弟电磁感应定律法拉弟电磁感应定律修正的安培环路定律修正的安培环路定律电场高斯定律电场高斯定律磁场高斯定律磁场高斯定律积分形式积分形式微分形式微分形式法拉弟电磁感应定律，法拉弟电磁感应定律，表明对应电场的环量源表明对应电场的环量源是变化的磁场，若电磁是变化的磁场，若电磁场是静态的，场源不随场是静态的，场源不随时间变化，时间变化，则电场为守则电场为守恒场，不构成涡旋状。恒场，不构成涡旋状。7/12/20241261-7 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电荷守恒定律电荷守恒定律法拉弟电磁感应定律法拉弟电磁感应定律修正的安培环路定律修正的安培环路定律电场高斯定律电场高斯定律磁场高斯定律磁场高斯定律积分形式积分形式微分形式微分形式修正的安培环路定律，修正的安培环路定律，表明对应磁场的环量源表明对应磁场的环量源是传导电流和位移电流，是传导电流和位移电流，其中位移电流是由变化其中位移电流是由变化的电场产生的。的电场产生的。7/12/20241271-7 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电荷守恒定律电荷守恒定律法拉弟电磁感应定律法拉弟电磁感应定律修正的安培环路定律修正的安培环路定律电场高斯定律电场高斯定律磁场高斯定律磁场高斯定律积分形式积分形式微分形式微分形式电场高斯定律，电场高斯定律，表明电场的通量源是电表明电场的通量源是电荷。荷。7/12/20241281-7 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电荷守恒定律电荷守恒定律法拉弟电磁感应定律法拉弟电磁感应定律修正的安培环路定律修正的安培环路定律电场高斯定律电场高斯定律磁场高斯定律磁场高斯定律积分形式积分形式微分形式微分形式磁场高斯定律，磁场高斯定律，表明磁场的通量总表明磁场的通量总为零，即产生磁场为零，即产生磁场的通量源不存在，的通量源不存在，这与自然界没有孤这与自然界没有孤立的磁荷是一致的。立的磁荷是一致的。7/12/2024129积分方程与微分方程的对应关系积分方程与微分方程的对应关系积分形式的麦克斯韦方程组积分形式的麦克斯韦方程组 Maxwells Equations in Integral Form 从宏观的角度描述电磁场的场量与场源之间的整体从宏观的角度描述电磁场的场量与场源之间的整体对应关系对应关系 微分形式的麦克斯韦方程组微分形式的麦克斯韦方程组 Maxwells Equations in Point Form 从微观的角度描述场域内每个点处场量与场源之间的从微观的角度描述场域内每个点处场量与场源之间的对应关系对应关系 在很多情况下人们对电磁场的局部特性更为关在很多情况下人们对电磁场的局部特性更为关注，这就要求以微分形式的方程去分析问题。此时注，这就要求以微分形式的方程去分析问题。此时矢量分析就是必不可少的，所以在这个意义上说：矢量分析就是必不可少的，所以在这个意义上说：矢量分析是建立电磁场理论的语言工具矢量分析是建立电磁场理论的语言工具7/12/2024130Maxwell方程的哲学性方程的哲学性深刻揭示了电与磁的相互转化，相互以来，相深刻揭示了电与磁的相互转化，相互以来，相互对立，共存在电磁波中，正是由于电不断转互对立，共存在电磁波中，正是由于电不断转化为磁，而磁又不断转化为电，才会发生能量化为磁，而磁又不断转化为电，才会发生能量交换和储存，因此，电磁波是一对立统一的整交换和储存，因此，电磁波是一对立统一的整体。体。7/12/2024131电磁场主要内容电磁场主要内容7/12/2024132场定律物理意义场定律物理意义7/12/2024133小结小结1、电磁场的数学物理基础知识，包括、电磁场的数学物理基础知识，包括矢量代数、正交坐标系、标量场和矢量矢量代数、正交坐标系、标量场和矢量场的积分微分定理。场的积分微分定理。2、电磁场的分类及其特点。、电磁场的分类及其特点。7/12/2024