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章章恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场主要内容主要内容n恒定电流的电场恒定电流的电场n磁感应强度磁感应强度n恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程n矢量磁位矢量磁位n磁偶极子磁偶极子n磁介质中的场方程磁介质中的场方程n恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件n标量磁位标量磁位n互感和自感互感和自感n磁场能量磁场能量n磁场力磁场力3.1.1 3.1.1 电流与电流密度电流与电流密度说明说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定恒定电流电流，用，用I I 表示。表示。存在可以自由移动的电荷存在可以自由移动的电荷;存在电场。存在电场。单位单位:A（安）（安）电流方向电流方向:正电荷的流动方向正电荷的流动方向电流电流：单位时间内通过某一横截面单位时间内通过某一横截面S 的电荷量，即的电荷量，即形成电流的条件形成电流的条件：3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场 电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流，用体体电流，用体电流密度矢量电流密度矢量 来描述。大小为来描述。大小为与正与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电流强度电荷运动方向垂直的单位面积上的电流强度。设通。设通过垂直于该点的正电荷运动方向的截面过垂直于该点的正电荷运动方向的截面 S的电流的电流为为 I，则体电流密度，则体电流密度单位单位：A/m2（安（安/米米2）。电流密度电流密度的引入：的引入：电流强度电流强度描述的是描述的是一根导线一根导线上的电荷流动情况，上的电荷流动情况，电流密电流密度度描述的是电荷在描述的是电荷在空间空间和和薄层薄层上的流动情况。电流密度是一个矢量，方向为该上的流动情况。电流密度是一个矢量，方向为该点正电荷运动的方向。电流密度分为点正电荷运动的方向。电流密度分为体密度体密度J J、面密度、面密度J JS S、线密度、线密度I I。1.体电流密度体电流密度 流过任意曲面流过任意曲面S 的电流为电流密度的电流为电流密度J J在在S S上的通量：上的通量：体电流密度矢量体电流密度矢量该点正电荷运动的方向该点正电荷运动的方向2.面电流密度面电流密度 电荷在一个厚度可以忽略的薄荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向内定向运运动所形成的所形成的电流称流称为面面电流，用面流，用面电流密流密度矢量度矢量 来描述其分布。来描述其分布。的大小等于的大小等于通通过垂直于垂直于电流方向的流方向的单位位长度上度上l上的上的电流流I I（电流流线的疏密程度），方向的疏密程度），方向为该点点正正电荷运荷运动的方向。的方向。单位：单位：A/m（安（安/米）米）。通过薄导体层上任意有向曲线通过薄导体层上任意有向曲线 的电流总量为的电流总量为该点正电荷运动的方向该点正电荷运动的方向面电流密度矢量面电流密度矢量3.1.2 3.1.2 电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。到另一个物体。电流连续性方程电流连续性方程积分形式积分形式微分形式微分形式流出闭曲面流出闭曲面S 的的电流等于体积电流等于体积V 内单位时间所减内单位时间所减少的电荷量。少的电荷量。恒定电流的连续性方程恒定电流的连续性方程恒定电流是无源场。恒定电流是无源场。电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。恒定电流的电荷分布恒定电流的电荷分布不随时间变化。不随时间变化。3.1.3 3.1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式实验表明，各向同性的导体实验表明，各向同性的导体式式中中称称为为电电导导率率，其其单单位位为为S/m（西西门门子子/米米）。值值愈愈大大表表明明导导电电能能力力愈愈强强，即即使使在在微微弱弱的的电电场场作用下，也可形成很强的电流。作用下，也可形成很强的电流。欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 电导率为无限大的导体称为电导率为无限大的导体称为理想导电体理想导电体。显然，在理想导电体。显然，在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质理想介质。媒媒 质质电导率电导率(S/m)媒媒 质质电导率电导率(S/m)银银海海 水水4紫紫 铜铜淡淡 水水金金干干 土土铝铝变压器油变压器油黄黄 铜铜玻玻 璃璃铁铁橡橡 胶胶非静电力所作的功非静电力所作的功n非静电力非静电力：不是由静止电荷产生的力。：不是由静止电荷产生的力。n在电源内部，需要有一个非静电力将电荷从负极搬运到正在电源内部，需要有一个非静电力将电荷从负极搬运到正极。这个非静电力对电荷的影响等效为一个非保守电场极。这个非静电力对电荷的影响等效为一个非保守电场E。电源内部既有保守场电源内部既有保守场E（满足环量为零），也有非保守场（满足环量为零），也有非保守场E。电源内部搬运正电荷从负极到正极非静电力所做的功。电源内部搬运正电荷从负极到正极非静电力所做的功由由得得3.1.4 焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式n电流的热效应：电流的热效应：金属导体内部的自由电金属导体内部的自由电子在电场力的作用下定向运动，与金子在电场力的作用下定向运动，与金属晶格点阵上的质子碰撞，把自身的属晶格点阵上的质子碰撞，把自身的能量传递给质子，使晶格点阵的热运能量传递给质子，使晶格点阵的热运动加剧，导体温度就上升了。动加剧，导体温度就上升了。功率：功率：单位时间内电场力对电荷所作的功。单位时间内电场力对电荷所作的功。热功率密度：热功率密度：导体内单位体积消耗的功率。导体内单位体积消耗的功率。焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式此式表明：在单位时间内，电流在导此式表明：在单位时间内，电流在导体内的单位体积产生热量的计算方法。体内的单位体积产生热量的计算方法。3.1.5 恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程微分形式微分形式积分形式积分形式3.1.6 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件（1）电流密度的边界条件：电流密度的边界条件：（2）电场强度的边界条件：）电场强度的边界条件：（3）电位的边界条件）电位的边界条件由由由由得得得得102h 1 2E2E11324lh 1 2et 2 1n（4）方向关系）方向关系hS 1 2此时此时 2 1特例：在导体表面特例：在导体表面根据根据3.1.7 3.1.7 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程静电场（静电场（区域）区域）本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对偶量对偶量静电场静电场恒定电场恒定电场对偶量代换：静电比拟法对偶量代换：静电比拟法n恒定磁场恒定磁场：如果电流的分布不随时间变化，即恒：如果电流的分布不随时间变化，即恒定电流（直流），那么其周围的磁场也是不随时定电流（直流），那么其周围的磁场也是不随时间变化的，称为恒定磁场。间变化的，称为恒定磁场。n安培定律安培定律：恒定磁场的重要定律。是法国物理学：恒定磁场的重要定律。是法国物理学家安培根据实验结果总结出的一个基本定律。研家安培根据实验结果总结出的一个基本定律。研究的是两电流元之间的作用力。究的是两电流元之间的作用力。n毕奥毕奥萨伐尔定律：萨伐尔定律：实验结果总结出的一个基实验结果总结出的一个基本定律。研究磁场对移动电荷的作用力。本定律。研究磁场对移动电荷的作用力。3.2 磁感应强度磁感应强度真真空空中中两两个个线线电电流流回回路路。回回路路1 1是是引引起起场场的的源源回回路路，回回路路2 2是是试验回路。试验回路。安培定律安培定律安培定律说明：两个电流元段安培定律说明：两个电流元段 之间的力正比之间的力正比于于 ,反比于他们之间距离的平方。反比于他们之间距离的平方。可测得试验回路可测得试验回路2 2所受到回路所受到回路1 1的作用力为的作用力为 式中式中 0 为真空磁导率，为真空磁导率，(H/m)。磁感应强度磁感应强度F F1212可理解为回路可理解为回路1 1在空间产生磁场，回路在空间产生磁场，回路2 2在这一磁场中受的力。在这一磁场中受的力。不不同同电电流流元元产产生生的磁感应强度的磁感应强度面电流元面电流元线电流元线电流元体电流元体电流元电流回路电流回路 C 产生的磁感应强度产生的磁感应强度体电流产生的磁感应强度体电流产生的磁感应强度面电流产生的磁感应强度面电流产生的磁感应强度几种典型几种典型电流分布的磁感流分布的磁感应强强度度 载流直线段的磁感应强度载流直线段的磁感应强度：载流圆环轴线上的磁感应强度：载流圆环轴线上的磁感应强度：（有限长）（有限长）（无限长）（无限长）载流直线段载流直线段载流圆环载流圆环解：建立一个最好的坐标系，如图。解：建立一个最好的坐标系，如图。对于轴线上任意一点对于轴线上任意一点P(0,0,(0,0,z)的磁场的磁场,因为：因为：例：计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。例：计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。载流圆环载流圆环则：则：P(0,0,z)点的磁感应强度为点的磁感应强度为 所以所以讨讨 论论 远远场点的点的场如何？（即如何？（即z a 时）由于由于 ，所以，所以 为什么为什么P点的磁场只有点的磁场只有z分量？分量？在圆环的中心点上，即在圆环的中心点上，即z=0：何处磁感应强度最大？何处磁感应强度最大？n电流元电流元Idl在外磁在外磁场B中所受的力中所受的力为n整个整个电流流环I在外磁在外磁场B中所受的力中所受的力为磁感应强度磁感应强度B与安培力与安培力F的关系的关系电流：流：传导电流和运流流和运流电流。流。传导电流流：导体中自由体中自由电子的定向运子的定向运动。如金属、。如金属、电解液中的解液中的电流；流；运流运流电流流：带电粒子在真空或空气中运粒子在真空或空气中运动。如点。如点电荷在真空中运荷在真空中运动形成的形成的电流。流。点点电荷荷q在真空中以速度在真空中以速度v运运动形成的运流形成的运流电流流为qv，在外磁，在外磁场B中所受的力中所受的力洛洛伦兹力力在外在外电场E和外磁和外磁场B共同作用下的共同作用下的电磁力磁力洛洛伦兹方程方程3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程n由毕奥萨伐尔定律导出由毕奥萨伐尔定律导出恒定磁场的通量恒定磁场的通量3.3.1 3.3.1 磁通连续性原理磁通连续性原理若若S S为闭曲面为闭曲面由矢量恒等式由矢量恒等式表明：表明：B穿过任意闭合曲面的通量恒为零。穿过任意闭合曲面的通量恒为零。得得磁通连续性原理的微分形式磁通连续性原理的微分形式磁通连续性原理磁通连续性原理3.3.2 3.3.2 安培环路定律（安培环路定律（B B的环量和旋度）的环量和旋度）P PP PCCCCCC复习：立体角复习：立体角它表明在真空中磁感应强度沿任意回路的环量等它表明在真空中磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以与该回路交链的电流代数和。于真空磁导率乘以与该回路交链的电流代数和。安培环路定律的微分形式安培环路定律的微分形式安培环路定律的微分形式：安培环路定律的微分形式：它表明在磁场是有旋场，磁场的漩涡源是电流。它表明在磁场是有旋场，磁场的漩涡源是电流。解解：分析场的分布，取安培环路如图，则：分析场的分布，取安培环路如图，则 根据对称性，有根据对称性，有 ，故，故 在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。定理计算磁感应强度。利用安培环路定理计算磁感应强度：利用安培环路定理计算磁感应强度：例例1.求电流面密度为求电流面密度为 的无限大电流薄板产生的磁感应强的无限大电流薄板产生的磁感应强度。度。解：解：选用圆柱坐标系，则选用圆柱坐标系，则应用安培环路定理，得应用安培环路定理，得例例2.求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。取安培环路取安培环路 ，交链的电流为，交链的电流为应用安培环路定理，得应用安培环路定理，得3.4 矢量磁位矢量磁位B的散度为零，那么它总可以表示成一个矢量的旋度。这个的散度为零，那么它总可以表示成一个矢量的旋度。这个矢量称为矢量称为矢量磁位矢量磁位（磁矢位），用（磁矢位），用A表示。表示。单位是特斯拉单位是特斯拉米（米（Tm）或韦伯）或韦伯/米（米（Wb/m）。）。上式说明旋度相同的矢量并不是唯一的，旋度相同散度却不同，上式说明旋度相同的矢量并不是唯一的，旋度相同散度却不同，这里我们取这里我们取若若库伦规范库伦规范有有对于无源区（对于无源区（J=0）：）：由安培环路定律：由安培环路定律：使用矢量恒等式：使用矢量恒等式：再代入库伦规范：再代入库伦规范：得：得：即：即：磁矢位的泊松方程磁矢位的泊松方程对比静电场中电位的泊松方程：对比静电场中电位的泊松方程：电位：电位：点电荷：点电荷：面电荷：面电荷：线电荷：线电荷：体电荷：体电荷：磁通与矢量磁位的关系：磁通与矢量磁位的关系：例：求长度为例：求长度为l的直导线的矢量磁位的直导线的矢量磁位A，并用矢量磁，并用矢量磁位计算位计算B。解解：（1）计算）计算A：取柱坐标系，场点取柱坐标系，场点P(r,z)。A只有只有z方向分量。方向分量。Po（2）计算）计算B：用柱坐标的旋度公式得：当当r=r0时时3.5 3.5 磁偶极子磁偶极子磁荷磁荷：是磁单极子的基本量化单位。在客观上是不存在的，它是在磁场场源：是磁单极子的基本量化单位。在客观上是不存在的，它是在磁场场源特征描述中借助于电荷概念的一种形象的比喻。特征描述中借助于电荷概念的一种形象的比喻。磁偶极子磁偶极子：一个载流的小闭和圆环称为磁偶极子。：一个载流的小闭和圆环称为磁偶极子。当场点到载流小线圈的距当场点到载流小线圈的距离远大于它的尺寸时，这个载流小线圈就是一个磁偶极子。磁荷观点认为，磁离远大于它的尺寸时，这个载流小线圈就是一个磁偶极子。磁荷观点认为，磁场是由磁荷产生的，磁针的场是由磁荷产生的，磁针的N极带正磁荷，极带正磁荷，S极带负磁荷，构成的系统叫磁偶极带负磁荷，构成的系统叫磁偶极子。极子。磁偶极子A的方向是沿着的方向是沿着dl的方向，即电流环的方向，所以在球坐标中，的方向，即电流环的方向，所以在球坐标中，A A只有只有方向的分量方向的分量取载流回路位于取载流回路位于xoy平面，场点平面，场点P P位于位于xoz平面。平面。要计算磁偶极子的矢量磁位，先考虑半径要计算磁偶极子的矢量磁位，先考虑半径a a、载流为、载流为I I的电流环在远离回路的区域产生的磁场。的电流环在远离回路的区域产生的磁场。3.6 3.6 磁介质中的场方程磁介质中的场方程3.6.1 磁介质的磁化磁介质的磁化 介质中分子或原子内的电子运动形成分子介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，分子电流的磁矩叫分子磁矩电流，分子电流的磁矩叫分子磁矩无外加磁场无外加磁场外加磁场外加磁场B 在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的磁化磁化。磁介质与磁场的关系体现在：一磁介质与磁场的关系体现在：一.外加场作用外加场作用下分子的定向排列；自身产生的附件场，改下分子的定向排列；自身产生的附件场，改变原来的磁场分布。变原来的磁场分布。无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。宏观上不显磁性。B3.6.2 磁化强度矢量磁化强度矢量 磁化强度磁化强度 是描述磁介质磁化是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即的分子磁矩的矢量和，即 单位为单位为A/m。3.6.3 磁化电流磁化电流 磁介质被磁化后，在其内部磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。布，称为磁化电流。考察穿过任意围线考察穿过任意围线C 所围曲面所围曲面S 的磁化电流的磁化电流IM。只有分子电流与围线相交。只有分子电流与围线相交链的分子才对电流有贡献。作底面链的分子才对电流有贡献。作底面 S，高，高dl的斜圆柱，分子电流的中心位于斜的斜圆柱，分子电流的中心位于斜圆柱内的分子电流才对圆柱体内的磁化电流有贡献。与线元圆柱内的分子电流才对圆柱体内的磁化电流有贡献。与线元dl 相交链的磁化电相交链的磁化电流为：流为：BC穿过曲面穿过曲面S 的磁化电流为（的磁化电流为（用斯托克斯定理用斯托克斯定理）（1 1）磁化电流体密度磁化电流体密度由由 ，即得到磁化电流体密度，即得到磁化电流体密度 在紧贴磁介质表面取一长度元在紧贴磁介质表面取一长度元d dl，与此交链的磁化电流为，与此交链的磁化电流为（2）磁化电流面密度磁化电流面密度则则即即的切向分量的切向分量用矢量磁位分析磁化电流：用矢量磁位分析磁化电流：磁介质被磁化后，可以看成一系列磁偶极子的有序排列。设磁介质被磁化后，可以看成一系列磁偶极子的有序排列。设磁介质内部磁介质内部r处体积元内的磁偶极矩为处体积元内的磁偶极矩为MV，它在，它在r处产处产生的磁矢位为生的磁矢位为全部磁介质在全部磁介质在r处产生的磁矢位为处产生的磁矢位为根据根据和和得得得得3.6.4 磁场强度磁场强度 介质中安培环路定理介质中安培环路定理 分别是传导电流密度和磁化电流密度。分别是传导电流密度和磁化电流密度。将极化电荷体密度表达式将极化电荷体密度表达式 代入代入 ，有有,即即 外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度强度B 应是所有电流源激励的结果：应是所有电流源激励的结果：定义磁场强度定义磁场强度 为：为：则得到介质中的安培环路定理为：则得到介质中的安培环路定理为：磁通连续性定理为磁通连续性定理为其中，其中，称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。这种情况下这种情况下其中其中,称为介质的磁导率，称为介质的磁导率，称为介质称为介质的相对磁导率（无量纲）。的相对磁导率（无量纲）。顺磁质顺磁质抗磁质抗磁质铁磁质铁磁质磁介质的分类：磁介质的分类：3.6.5 磁介质的本构关系、磁导率磁介质的本构关系、磁导率 磁化强度磁化强度 和磁场强度和磁场强度 之间的关系由磁介质的物理性质决之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质，定，对于线性各向同性介质，与与 之间存在简单的线性关系：之间存在简单的线性关系：顺磁质是一类磁性较弱的磁介质。它的结构顺磁质是一类磁性较弱的磁介质。它的结构特点是分子的固有磁矩不等于零。在外加磁特点是分子的固有磁矩不等于零。在外加磁场下分子磁矩产生的附件磁场与外加磁场方场下分子磁矩产生的附件磁场与外加磁场方向相同向相同。如铝、铂、铬、氧。如铝、铂、铬、氧。抗磁质：磁性较弱。分子固有磁矩为零，对外抗磁质：磁性较弱。分子固有磁矩为零，对外不显磁性。在外加磁场下分子磁矩产生的附件不显磁性。在外加磁场下分子磁矩产生的附件磁场与外加磁场方向相反。如铋、汞、铜、氢。磁场与外加磁场方向相反。如铋、汞、铜、氢。铁磁质：磁性很强的磁介质。内部有许多电子自旋磁矩整齐排列的自发磁化小区，叫磁畴。附加磁铁磁质：磁性很强的磁介质。内部有许多电子自旋磁矩整齐排列的自发磁化小区，叫磁畴。附加磁场场H与外磁场与外磁场H的方向相同，而且磁化后产生的附加磁场的方向相同，而且磁化后产生的附加磁场H远远大于所施加的外磁场远远大于所施加的外磁场H，即能使总，即能使总磁场强度比原外磁场强度大大加强的磁质。如磁场强度比原外磁场强度大大加强的磁质。如 铁、钴、镍、钆、镝、铁氧体。铁、钴、镍、钆、镝、铁氧体。3.6.6 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程磁介质中描述磁场的基本方程：磁介质中描述磁场的基本方程：积分形式：积分形式：微分形式：微分形式：磁场强度磁场强度磁化强度磁化强度磁感应强度磁感应强度例：例：有一磁导率为有一磁导率为 ，半径为，半径为a a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流的线电流 I，圆柱外是空气（，圆柱外是空气（0 0），试求圆柱内外的），试求圆柱内外的 、和和 的分布。的分布。解：解：磁场为平行平面场磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定理，得且具有轴对称性，应用安培环路定理，得(1)磁场强度磁场强度H的边界条件的边界条件对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质，上式又可表示为媒质，上式又可表示为(2)磁感应强度磁感应强度B的的边界条件边界条件 对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质，有媒质，有若分界面上没有自由表面电流若分界面上没有自由表面电流3.7 3.7 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件hSB2B1 1 2n0h1 2l由由由由得得得得(3)方向角方向角 的关系的关系由由得得3.8 3.8 标量磁位标量磁位磁场强度可以表示为一个标量函数的负梯度：磁场强度可以表示为一个标量函数的负梯度：m为为标量磁位（磁标位），单位为安培（标量磁位（磁标位），单位为安培（A）。）。在均匀介质中，在均匀介质中，磁标位的拉普拉斯方程磁标位的拉普拉斯方程磁标位的边界条件：磁标位的边界条件：永磁体表面是一个等磁位面。永磁体表面是一个等磁位面。在非均匀介质中，对无源区（在非均匀介质中，对无源区（J=0），引入磁荷的概念，），引入磁荷的概念，磁标位的泊松方程磁标位的泊松方程等效磁荷体密度等效磁荷体密度式中：式中：在在线性线性媒质中，媒质中，单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电流流 I 成成正比正比，因此穿过回路的，因此穿过回路的磁通磁通也与回路也与回路电流电流 I 成正比。成正比。式中式中L 称为回路的称为回路的电感电感，单位为，单位为H（亨利）。由该定义可见，电感又可（亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与理解为与单位单位电流交链的电流交链的磁通链磁通链。单个回路的电感仅与回路的单个回路的电感仅与回路的形状形状及及尺寸有关尺寸有关，与回路中，与回路中电流无关电流无关。与与回回路路电电流流 I 交交链链的的磁磁通通称称为为回回路路电电流流 I 的的磁磁通通链链，以以 表表示示，令令 与与 I 的比值为的比值为L，即，即应注意，磁通链与磁通应注意，磁通链与磁通不同不同，磁通链是指与某磁通链是指与某电流交链电流交链的磁通的磁通。3.9 3.9 互感和自感互感和自感 若交链若交链 N 次，则磁通链增加次，则磁通链增加N 倍；若倍；若部分部分交链，则必须给予适当交链，则必须给予适当的的折扣折扣。因此，与。因此，与N 匝回路电流匝回路电流 I 交链的磁通链为交链的磁通链为 =N。那么，。那么，由由 N 匝回路组成的线圈的电感为匝回路组成的线圈的电感为 与回路电流与回路电流 I1交链的交链的磁通链磁通链是由是由两部分磁通形成的，其一是两部分磁通形成的，其一是 I1本身本身产产生的磁通形成的磁通链生的磁通形成的磁通链 11，另一是，另一是电流电流 I2 在回路在回路 l1 中产生的磁通形成中产生的磁通形成的磁通链的磁通链 12。dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1那么，与电流那么，与电流 l1 交链的磁通链交链的磁通链1为为同理，与回路电流同理，与回路电流 I2 交链的磁通链为交链的磁通链为 在线性媒质中，比值在线性媒质中，比值 ，及及 均为常数。均为常数。式中式中L11称为回路称为回路 l1的的自感自感，M12称为回路称为回路 l2 对对 l1 的的互感，单位为互感，单位为H。同理定义同理定义式中式中L22 称为回路称为回路 l2的的自感自感，M21称为回路称为回路 l1对对 l2的的互感互感。令令 自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。互感还与两个回路的相互位置有关。将上述参数将上述参数 L11，L22，M12 及及 M21 代入前式，得代入前式，得 可以证明，在线性均匀媒质中可以证明，在线性均匀媒质中 因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为 考虑到考虑到 ，所以由上两式可见，所以由上两式可见，诺伊曼公式诺伊曼公式若若 dl1与与 dl2处处处处保持保持垂直垂直，则互感，则互感 。因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。互感可正可负互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感电感始终应为正值始终应为正值。若处处保持若处处保持平行平行，则互感，则互感 M 值达到值达到最大最大。若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加增加，互感应为，互感应为正正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少减少，互感，互感为为负负值。值。例例1 1 求双线传输线单位长度的自感。导线半径为求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a a，导线间距离，导线间距离DaDa。得二导线在得二导线在x处产生的磁场分别为处产生的磁场分别为总的磁感应强度总的磁感应强度单位长度的自感为单位长度的自感为解：由解：由单位长度传输线交链的磁通为单位长度传输线交链的磁通为例例2 2 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，周围媒质为真空，如图示。周围媒质为真空，如图示。abdrrD0I1I2zS2解解 建立圆柱坐标系，令建立圆柱坐标系，令 z 轴方向与电流轴方向与电流 I1一一致，则致，则 I1 产生的磁感应强度为产生的磁感应强度为 与线圈电流与线圈电流 I I2 交链的磁通链交链的磁通链 21 为为 若线框电流如图所示的顺时针方向，则若线框电流如图所示的顺时针方向，则dS 与与B1方向相同。那么方向相同。那么求得求得 若若线线圈圈电电流流为为逆逆时时针针方方向向时时，则则B1与与dS 反向，反向，M21 为负。为负。abdrrD0I1I2zS2但在任何线性媒质中，但在任何线性媒质中，M21=M12。若若在在回回路路中中加加入入外外源源，回回路路中中产产生生电电流流。在在电电流流建建立立过过程程中中，回回路路中中产产生生的的反反磁磁通通企企图图阻阻碍碍电电流流增增长长，为为了克服反磁通产生反电动势，了克服反磁通产生反电动势，外源外源必须必须作功作功。由此可见，由此可见，磁场具有能量磁场具有能量。若若电电流流变变化化非非常常缓缓慢慢，可可以以不不计计辐辐射射损损失失，则则外外源源输出的能量输出的能量全部全部储藏在回路电流周围的储藏在回路电流周围的磁场磁场中。中。根根据据外外源源在在建建立立磁磁场场过过程程中中作作的的功功即即可可计计算算磁磁场场能能量量。3.10 3.10 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 若以若以 Wm 表示表示磁场能量磁场能量，那么，那么考考虑虑到到 ，则则单单个个回回路路电电流流周周围围的的磁磁场场能能量量又又可可表表示为示为式中式中 为与电流为与电流 I 交链的交链的磁通链磁通链。N 个回路产生的磁场能量为个回路产生的磁场能量为 附加：附加：电场能量密度的计算电场能量密度的计算电场能量密度：研究能量在电场中的分布情况。电场能量密度：研究能量在电场中的分布情况。设在空间某区域有体电荷和面电荷，体电设在空间某区域有体电荷和面电荷，体电荷在两曲面之间，面电荷在荷在两曲面之间，面电荷在S S上，法线方上，法线方向如图。该系统的总电场能量为向如图。该系统的总电场能量为矢量恒等式矢量恒等式电场能量密度电场能量密度电场能量电场能量对于对于各向同性各向同性的的线性线性介质，介质，电场能量密度电场能量密度式中式中V 为磁场所占据的为磁场所占据的整个空间整个空间。可见，上式中的。可见，上式中的被积函数被积函数即是磁场能量的分布即是磁场能量的分布密度密度。若以小写字母若以小写字母 wm 表示表示磁场能量密度磁场能量密度，则，则已知已知各向同性各向同性的的线性线性媒质，媒质，因此磁场能量密度，因此磁场能量密度又可表示为又可表示为 磁场能量不只是存在于磁场能量不只是存在于I0的电流回路中，而是分的电流回路中，而是分布在磁感应强度布在磁感应强度B0的整个空间内，所以的整个空间内，所以例例 计算同轴介质线中计算同轴介质线中单位长度单位长度内的磁场能量。设同轴线中内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流为通过的恒定电流为 I，内层介质的半径为，内层介质的半径为a，外层介质的厚，外层介质的厚度可以忽略，其半径为度可以忽略，其半径为 b，内外介质之间为真空。，内外介质之间为真空。解解 已知同轴线内的已知同轴线内的磁场强度磁场强度为为因此，单位长度内同轴介质线中磁场能量为因此，单位长度内同轴介质线中磁场能量为 baO3.11 3.11 磁场力磁场力n磁场力的求法：虚位移法。磁场力的求法：虚位移法。n虚位移法求磁场力的思路：假设某一个电流回路虚位移法求磁场力的思路：假设某一个电流回路在磁场力的作用下发生了一个虚位移，这时回路在磁场力的作用下发生了一个虚位移，这时回路的互感要发生变化，磁场能量也要发生变化，然的互感要发生变化，磁场能量也要发生变化，然后根据能量守恒，求出磁场力。后根据能量守恒，求出磁场力。n为简单起见，仅讨论两个回路的情况。但得到的为简单起见，仅讨论两个回路的情况。但得到的结果可以推广到一般。假设回路结果可以推广到一般。假设回路C1在磁场力的作在磁场力的作用下移动了用下移动了 r，回路，回路C2不动。以下分两种假设情不动。以下分两种假设情况来讨论。况来讨论。1.磁链不变的情形磁链不变的情形2.电流不变的情形电流不变的情形由由得得两种情形的表达式不同，计算结果是相同的。两种情形的表达式不同，计算结果是相同的。小结小结积分形式积分形式微分形式微分形式基本方程：基本方程：1.恒定电流的基本方程和边界条件恒定电流的基本方程和边界条件2.恒定磁场中的基本方程和边界条件恒定磁场中的基本方程和边界条件积分形式积分形式微分形式微分形式拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：边界条件：边界条件：基本方程：基本方程：3.矢量磁位矢量磁位A的计算的计算4.4.磁感应强度磁感应强度B B的计算的计算5.5.能量与能量密度能量与能量密度6.6.磁场力磁场力
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