第5讲微分方程建模课件

信息与计算科学系信息与计算科学系第第6章章微分方程建模微分方程建模数学建模算法与应用数学建模算法与应用信息与计算科学系信息与计算科学系3数学数学建模建模6.4 放射性放射性废料的料的处理理6.4.1 问题的提出的提出信息与计算科学系信息与计算科学系4数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系5数学数学建模建模6.4.2 模型的建立与求解模型的建立与求解信息与计算科学系信息与计算科学系6数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系7数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系8数学数学建模建模subs是赋值函数是赋值函数，用数值替代符号变量替换函数，用数值替代符号变量替换函数例如例如:输入输入subs(a+b,a,4)意思就是把意思就是把a用用4替换掉，返回替换掉，返回4+b也可以替换多个变量，例如：也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2)分别用字符分别用字符alpha替换替换a和和2替换替换b，返回，返回cos(alpha)+sin(2)vpa函数是什么意思？函数是什么意思？除了利用除了利用MATLAB 的的help还可以借助于网络资源还可以借助于网络资源.信息与计算科学系信息与计算科学系9数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系10数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系11数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系12数学数学建模建模simplify和和simple是是Matlab符符号号数数学学工工具具箱箱提提供供的的两两个个简简化化函函数数，区区别别如下：如下：simplify的的调调用用格格式式为为：simplify(S)；对对表表达达式式S进行化简。进行化简。simple是是通通过过对对表表达达式式尝尝试试多多种种不不同同的的方方法法（包包括括simplify）进进行行化化简简，以以寻寻求求符符号号表表达达式式S的的最最简简形式形式。信息与计算科学系信息与计算科学系13数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系14数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系15数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系16数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系17数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系18数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系19数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系20数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系21数学数学建模建模6.5 初初值问题的的Matlab数数值解解信息与计算科学系信息与计算科学系22数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系23数学数学建模建模数学建模竞赛赛题讲评信息与计算科学系信息与计算科学系24数学数学建模建模全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛 1992年中国工业与应用数学学会年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织开始组织.1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同举办共同举办(每年每年9月月).全国高校规模最大的学科竞赛全国高校规模最大的学科竞赛信息与计算科学系信息与计算科学系25数学数学建模建模内容内容赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文形式形式3名大学生组队，在名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛天内完成的通讯比赛可使用任何可使用任何“死死”材料（图书、计算机、软材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论件、互联网等），但不得与队外任何人讨论宗旨宗旨创新意识创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争标准标准假设的合理性，建模的创造性，假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性结果的正确性，表述的清晰性信息与计算科学系信息与计算科学系26数学数学建模建模年份年份A题题B题题C题题D题题2004 奥运会临时超市奥运会临时超市网点设计网点设计电力市场的输电力市场的输电阻塞管理电阻塞管理饮酒驾车饮酒驾车公务员招聘公务员招聘2005 长江水质的评价长江水质的评价和预测和预测DVD在线租赁在线租赁雨量预报方雨量预报方法的评价法的评价DVD在线租在线租赁赁2006 出版社的资源配出版社的资源配置置艾滋病疗法的艾滋病疗法的评价和疗效的评价和疗效的预测预测易拉罐形状易拉罐形状和尺寸的最和尺寸的最优设计优设计煤矿瓦斯和煤矿瓦斯和煤尘的监测煤尘的监测与控制与控制2007 中国人口增长预中国人口增长预测测 乘公交，看奥乘公交，看奥运运手机手机“套餐套餐”优惠几何优惠几何 体能测试时体能测试时间安排间安排 2008 数码相机定位数码相机定位高等教育收费高等教育收费标准探讨标准探讨地面搜索地面搜索NBA赛程的赛程的分析与评价分析与评价2009 制动器试验台的制动器试验台的控制方法分析控制方法分析眼科病床的合眼科病床的合理安排理安排卫星和飞船卫星和飞船的跟踪测控的跟踪测控会议筹备会议筹备2010 储油罐的油罐的变位位识别与罐容表与罐容表标定定上海世博会影上海世博会影响力定量响力定量评估估输油管的布油管的布置置学生宿舍学生宿舍设计方案方案评价价 信息与计算科学系信息与计算科学系27数学数学建模建模题目的特点题目的特点题目来源题目来源:实际研究课题的简化、改编；有实际背景问题的编撰；合适的社会热实际研究课题的简化、改编；有实际背景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题点（或兴趣）问题题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干课（非数学专业）内容及统计、题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本方法；专科题目力求少用大学数学内容优化、计算等基本方法；专科题目力求少用大学数学内容解题所用的数学方法尽量多元化、综合化解题所用的数学方法尽量多元化、综合化可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献兼顾数据的处理与数据的收集兼顾数据的处理与数据的收集基础性基础性实践性实践性综合性综合性开放性开放性挑战性挑战性信息与计算科学系信息与计算科学系28数学数学建模建模A题：中国人口增长预测题：中国人口增长预测信息与计算科学系信息与计算科学系29数学数学建模建模题目分析：题目分析：题目属于那种类型：连续的、离散的？题目属于那种类型：连续的、离散的？需要解决什么问题；需要解决什么问题；最优化方案、预测模型、最短路径等等；最优化方案、预测模型、最短路径等等；可以用哪些相关模型、算法求解、可以用哪些相关模型、算法求解、需要什么数学工具；需要什么数学工具；论文写作：论文写作：（1 1）问题提出和假设的合理性问题提出和假设的合理性 论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达达;所提出的假设确实是建立数学模型所必需的所提出的假设确实是建立数学模型所必需的;假假设应验证其合理性设应验证其合理性.信息与计算科学系信息与计算科学系30数学数学建模建模（2 2）模型的建立模型的建立 在在作作出出假假设设后后，我我们们就就可可以以在在论论文文中中引引进进变变量量及及其其记记号号，抽抽象象而而确确切切地地表表达达它它们们的的关关系系，通通过过一一定定的的数数学学方方法法，最最后后顺顺利利地地建建立立方方程程式式或或归归纳纳为为其其他他形形式式的的数数学学问问题题，把把得得到到数数学学模模型型的的过过程程表表达达清清楚楚，使使读读者获得判断模型科学性的一个依据者获得判断模型科学性的一个依据.信息与计算科学系信息与计算科学系31数学数学建模建模（3 3）模型的计算与分析）模型的计算与分析 把把实实际际问问题题归归结结为为一一定定的的数数学学问问题题后后，就就要要求求解解或或进进行行分分析析.在在数数值值求求解解时时应应对对计计算算方方法法有有所所说说明明，并并给给出出所所使使用用软软件件的的名名称称或或者者给给出出计计算算程程序序（通通常常以以附附录录形形式式给给出出）.还还可可以以用用计计算算机机软软件件绘绘制制曲曲线线和和曲曲面面示示意意图图，来来形形象象地地表表达达数数值值计计算算结结果果。基基于于计计算算结结果果，可可以以用用由由分分析析方方法法得得到到一一些些对对实实践践有有所所帮帮助助的的结结论论.信息与计算科学系信息与计算科学系32数学数学建模建模（4 4）模型的讨论模型的讨论 对对所所作作的的数数学学模模型型，可可以以作作多多方方面面的的讨讨论论.例例如如可可以以就就不不同同的的情情景景，探探索索模模型型将将如如何何变变化化.或或可可以以根根据据实实际际情情况况，改改变变文文章章一一开开始始所所作作的的某某些些假假设设，指指出出由由此此数数学学模模型型的的变变化化.还还可可以以用用不不同同的的数数值值方方法法进进行行计计算算，并并比比较较所所得得的的结结果果.有有时时不不妨妨拓拓广广思思路路，考考虑虑由由于于建建模模方方法法的的不不同同选选择择而而引引起起的的变变化化.通通常常，应应该该对对所所建建立立模模型型的的优优缺缺点点加加以以讨讨论论比比较较，并并实实事事求求是是地地指指出出模模型型的的使使用用范围范围.信息与计算科学系信息与计算科学系33数学数学建模建模2007A题 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1)还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。信息与计算科学系信息与计算科学系34数学数学建模建模实际或竞赛实际或竞赛的建模问题的建模问题课程学习与培训中课程学习与培训中的数学建模案例的数学建模案例 引用案例引用案例 借鉴案例借鉴案例类比、引用和借鉴是很有效的方法：类比、引用和借鉴是很有效的方法：现状！现状！数学建模方法数学建模方法=创造性的本质方法创造性的本质方法+模型类比方法模型类比方法数学建模数学建模=数学荐模数学荐模+数学引模数学引模 一种初步实用一种初步实用的，基于的，基于类比与经验的类比与经验的方法方法但是：但是：信息与计算科学系信息与计算科学系35数学数学建模建模 Logistic Logistic模型模型(阻滞增长模型阻滞增长模型)基于基于Logistic Logistic 模型，建立了含市、镇、乡人口相模型，建立了含市、镇、乡人口相互流动关系的微分方程模型，求得全国总人口数在短互流动关系的微分方程模型，求得全国总人口数在短期内将持续增长，到期内将持续增长，到2010 2010 年、年、2020 2020 年分别为年分别为13.59 13.59 亿和亿和14.4414.44亿，具有较好的中短期预测效果亿，具有较好的中短期预测效果.1.中国人口增长的中短期预测中国人口增长的中短期预测信息与计算科学系信息与计算科学系36数学数学建模建模从网上可查得2000-2005年的总人数如下表1表1年份/年总人数/万2000126583200112762720021284532003129227200412998820051307562006131448(1)(1)数据预处理数据预处理 信息与计算科学系信息与计算科学系37数学数学建模建模 题中所给题中所给5 5年我国人口年我国人口1%1%调查数据是对人口的抽样调查调查数据是对人口的抽样调查数据，由于数据的不完备性，并不能由它来估计当时的全数据，由于数据的不完备性，并不能由它来估计当时的全国总人口数国总人口数.但基于抽样调查的等概率性，可以认为它所但基于抽样调查的等概率性，可以认为它所反应的市、镇、乡三个地区的人口比例及男女比例是与实反应的市、镇、乡三个地区的人口比例及男女比例是与实际较为接近的际较为接近的.根据网上得到的具体的全国总人口数根据网上得到的具体的全国总人口数.进而进而可以得到各部分人口数可以得到各部分人口数.所得数据见表所得数据见表2 2。例：。例：信息与计算科学系信息与计算科学系38数学数学建模建模表2信息与计算科学系信息与计算科学系39数学数学建模建模 （2 2）模型建立）模型建立考虑单一地区只受自然资源和环境条件限制考虑单一地区只受自然资源和环境条件限制Logistic Logistic 模型：模型：其其中中 为为固固有有增增长长率率.,分分别别表表示示第第t t 年年的的人人口口数数和和此此条条件件限限制制下下的的最最大大人人口口容容量量.因因子子 体体现现了了人人口口自自身身的的增增长长趋趋势势，因因子子 则则体体现现了了资资源源和和环环境境对对人人口增长的阻滞作用，人口增长是两个因子共同作用的结果口增长的阻滞作用，人口增长是两个因子共同作用的结果.信息与计算科学系信息与计算科学系40数学数学建模建模现在考虑市、镇、乡三个地区的总人口变化规律，假定在一现在考虑市、镇、乡三个地区的总人口变化规律，假定在一段时期内，这三个地区各自均处于稳定状态，出生率和死亡段时期内，这三个地区各自均处于稳定状态，出生率和死亡率都没有太大变化。然而居民在三个地区间的迁移会对总人率都没有太大变化。然而居民在三个地区间的迁移会对总人口产生一定的影响。对原口产生一定的影响。对原Logistic Logistic 模型进行修改，得到多地模型进行修改，得到多地区条件下的改进模型：区条件下的改进模型：信息与计算科学系信息与计算科学系41数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系42数学数学建模建模信息与计算科学系信息与计算科学系43数学数学建模建模（3 3）模型求解）模型求解 未知参数为：未知参数为：，：3.1 3.1 求解求解r r信息与计算科学系信息与计算科学系44数学数学建模建模3.23.3信息与计算科学系信息与计算科学系45数学数学建模建模表3 迁移系数3.4信息与计算科学系信息与计算科学系46数学数学建模建模表4 模型对全国总人口的预测信息与计算科学系信息与计算科学系47数学数学建模建模（4 4）模型分析模型分析1.1.结果分析结果分析 由表4可以看出，我国人口在短时间内仍会继续增长，增长水平为每年1000 万人左右，到2010 年和2020 年，全国总人口将达13.59 亿人与14.44 亿.2.2.灵敏性分析灵敏性分析信息与计算科学系信息与计算科学系48数学数学建模建模3.3.模型优点模型优点 基于传统的基于传统的Logistic Logistic 模型，建立起市、镇、乡人口间模型，建立起市、镇、乡人口间的相互流动关系，综合考虑了出生率、死亡率与迁入迁出对的相互流动关系，综合考虑了出生率、死亡率与迁入迁出对人口增长的影响，对人口增长的影响，对Logistic Logistic 原模型做了合理的扩充，使原模型做了合理的扩充，使其更符合实际情况，预测效果良好其更符合实际情况，预测效果良好.同时根据实际情况，对同时根据实际情况，对难以求解的微分方程采用差分方程代替，降低了解题难度，难以求解的微分方程采用差分方程代替，降低了解题难度，使模型易于实现使模型易于实现.4.4.模型缺点模型缺点i.i.由于采用了差分方程的近似代替，整个预测结果均随着由于采用了差分方程的近似代替，整个预测结果均随着时间的增长而增大，这是不符合生物学规律的，故此模型对时间的增长而增大，这是不符合生物学规律的，故此模型对人口的中短期预测较好，长期预测则难以让人信服人口的中短期预测较好，长期预测则难以让人信服.ii.ii.没有考虑性别比对年龄结构的影响，且只能对总人口数没有考虑性别比对年龄结构的影响，且只能对总人口数进行预测，无法对性别比和年龄结构做出相应的预测进行预测，无法对性别比和年龄结构做出相应的预测.信息与计算科学系信息与计算科学系49数学数学建模建模5.5.改进方向：改进方向：i.i.采用先进的工具软件对微分方程求解，得到模型预测采用先进的工具软件对微分方程求解，得到模型预测的准确结果的准确结果.ii.ii.分段对模型进行调整和改进，减少累加误差分段对模型进行调整和改进，减少累加误差.信息与计算科学系信息与计算科学系50数学数学建模建模the endthe end信息与计算科学系信息与计算科学系51数学数学建模建模储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的变位识别与罐容表标定全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛2010年年A题题信息与计算科学系信息与计算科学系52数学数学建模建模题目题目题目的背景与分析题目的背景与分析问题（问题（1）的通常做法）的通常做法问题（问题（2）的通常做法）的通常做法一种建立储油量模型的新方法一种建立储油量模型的新方法对学生论文的评述对学生论文的评述题目的启示题目的启示信息与计算科学系信息与计算科学系53数学数学建模建模 通通常常加加油油站站都都有有若若干干个个储储存存燃燃油油的的地地下下储储油油罐罐，并并且且一一般般都都有有与与之之配配套套的的“油油位位计计量量管管理理系系统统”，采采用用流流量量计计和和油油位位计计来来测测量量进进/出出油油量量与与罐罐内内油油位位高高度度等等数数据据，通通过过预预先先标标定定的的罐罐容容表表（即即罐罐内内油油位位高高度度与与储储油油量量的的对对应应关关系系）进进行行实实时时计计算算，以以得得到到罐罐内内油油位位高高度度和储油量的变化情况。和储油量的变化情况。许许多多储储油油罐罐在在使使用用一一段段时时间间后后，由由于于地地基基变变形形等等原原因因，使使罐罐体体的的位位置置会会发发生生纵纵向向倾倾斜斜和和横横向向偏偏转转等等变变化化（以以下下称称为为变变位位），从从而而导导致致罐罐容容表表发发生生改改变变。按按照照有有关关规规定定，需需要要定定期期对对罐罐容容表表进进行行重重新新标标定定。图图1是是一一种种典典型型的的储储油油罐罐尺尺寸寸及及形形状状示示意意图图，其其主主体体为为圆圆柱柱体体，两两端端为为球球冠冠体体。图图2是是其其罐罐体体纵纵向向倾倾斜斜变变位位的的示示意意图图，图图3是是罐罐体横向偏转变位的截面示意图。体横向偏转变位的截面示意图。题题 目目信息与计算科学系信息与计算科学系54数学数学建模建模油油 浮子出 油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3 m油位高度图图1储油罐正面示意图储油罐正面示意图油位探针油位探针 地平线图图2储油罐纵向倾斜变位后示意图储油罐纵向倾斜变位后示意图油油 浮子出 油管油位探测装置注油口检查口水平线信息与计算科学系信息与计算科学系55数学数学建模建模图图3储油罐截面示意图储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置3m(b)小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小椭圆油罐正面示意图图图4小椭圆型油罐形状及尺寸示意图小椭圆型油罐形状及尺寸示意图信息与计算科学系信息与计算科学系56数学数学建模建模请请你你们们用用数数学学建建模模方方法法研研究究解解决决储储油油罐罐的的变变位位识识别别与与罐罐容表标定的问题。容表标定的问题。（1）为为了了掌掌握握罐罐体体变变位位后后对对罐罐容容表表的的影影响响，利利用用如如图图4的的小小椭椭圆圆型型储储油油罐罐（两两端端平平头头的的椭椭圆圆柱柱体体），分分别别对对罐罐体体无无变变位位和和倾倾斜斜角角为为=4.10的的纵纵向向变变位位两两种种情情况况做做了了实实验验，实实验验数数据据如如附附件件1所所示示。请请建建立立数数学学模模型型研研究究罐罐体体变变位位后后对对罐罐容容表表的的影影响响，并给出罐体变位后油位高度间隔为并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。的罐容表标定值。（2）对对于于图图1所所示示的的实实际际储储油油罐罐，试试建建立立罐罐体体变变位位后后标标定定罐罐容容表表的的数数学学模模型型，即即罐罐内内储储油油量量与与油油位位高高度度及及变变位位参参数数（纵纵向向倾倾斜斜角角度度 和和横横向向偏偏转转角角度度 ）之之间间的的一一般般关关系系。请请利利用用罐罐体体变变位位后后在在进进/出出油油过过程程中中的的实实际际检检测测数数据据（附附件件2），根根据据你你们们所所建建立立的的数数学学模模型型确确定定变变位位参参数数，并并给给出出罐罐体体变变位位后后油油位位高高度度间间隔隔为为10cm的的罐罐容容表表标标定定值值。进进一一步步利利用用附附件件2中中的的实实际际检检测数据来分析检验你们测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性模型的正确性与方法的可靠性。信息与计算科学系信息与计算科学系57数学数学建模建模流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明1150159.022010-08-20 10:32:18(1)罐体无变位进油，罐内油量初值262L；12100176.142010-08-20 10:33:18(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-20 10:34:18(3)D列是原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值。流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明11747.86411.292010-08-19 15:10:2712797.86423.452010-08-19 15:11:2713847.86438.332010-08-19 15:12:3714897.86450.542010-08-19 15:13:27(1)罐体纵向倾斜变位进油，纵向倾斜角4.10,罐内油量初值215L；(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值，个别的有小数零头；(3)D列是原罐内油量加入相应油量后油位高度值。附件附件1实验数据实验数据信息与计算科学系信息与计算科学系58数学数学建模建模流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:421)C列进油量,通常进油是一次性连续完成203068.4568.452620.67 60248.03 2010-08-01 08:23:412)D列出油量是加油机不同时段的出油量vi2040199.27199.272610.29 60065.11 2010-08-01 08:38:143)E列显示油高是进/出油vi后对应的罐内油位显示高度hi；205070.0570.052606.61 59999.69 2010-08-01 08:53:084)F列显示油量容积是进/出油vi后,罐内油位5020显示高度为hi时的罐容表显示储油量i。50360.8160.81469.74 6086.74 51124511242486.21 57704.79 2010-08-08 11:43:402010-08-08 12:52:52一次性补充进油附件附件2检测数据检测数据信息与计算科学系信息与计算科学系59数学数学建模建模来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题.（2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题反问题”。题目背景题目背景问题分析问题分析问题由两部分组成：问题由两部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正问题正问题”。信息与计算科学系信息与计算科学系60数学数学建模建模问题（问题（1）的通常做法）的通常做法根据附件根据附件1的实验数据画出罐体不变位（的实验数据画出罐体不变位（=0）和罐体变位（）和罐体变位（=4.10）时油位高）时油位高度度h和储油量和储油量V的曲线的曲线.实验数据实验数据表明，在表明，在同样的油位高度同样的油位高度h下，下，罐体变位时储罐体变位时储油量油量V减少减少.信息与计算科学系信息与计算科学系61数学数学建模建模zx0z=HabS(H)z=H下的面积下的面积油位高度油位高度h时坐标时坐标y处处z=H油位高度油位高度h时坐标时坐标y处的截面处的截面面积面积罐体变位罐体变位时油位高度时油位高度h和储油量和储油量(体积体积)V的数学模型的数学模型化重积分为定积分化重积分为定积分zyxhyH0L1L油位计油位计L2V(h,)z=H信息与计算科学系信息与计算科学系62数学数学建模建模高度高度h与储油量与储油量V的模型的模型D3D2D1yh10L1L2h2y1y2油位计信息与计算科学系信息与计算科学系63数学数学建模建模高度高度h与储油量与储油量V的模型的模型V(h,)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74=4.10的罐容表的罐容表(部分部分)按照模型讨论变位对罐容表的影响按照模型讨论变位对罐容表的影响与实验数据表示的影响与实验数据表示的影响一致一致.变位后储油量平均约小变位后储油量平均约小200L.信息与计算科学系信息与计算科学系64数学数学建模建模模型结果与实验数据的比较模型结果与实验数据的比较=4.10=0模型结果与实验数据基本吻合，而在同样的油位高度模型结果与实验数据基本吻合，而在同样的油位高度h下，下，储油量储油量V的实验数的实验数据均比模型结果小据均比模型结果小.可以有各种解释可以有各种解释.是否要修正、怎样修正模型？是否要修正、怎样修正模型？信息与计算科学系信息与计算科学系65数学数学建模建模问题（问题（2）的通常做法）的通常做法1.罐体变位罐体变位,时油位高度时油位高度h和储油量和储油量V的数学模型的数学模型hD1D2D3整体考整体考虑虑hVxy0z写出左右球面、圆柱面及油位高度写出左右球面、圆柱面及油位高度h的油平面方程的油平面方程.将罐体分为将罐体分为3个区域：个区域：D1,D2,D3在在3个区域中分别写出体积的重积分，并化为（对个区域中分别写出体积的重积分，并化为（对z的）定积的）定积分分.油平面油平面信息与计算科学系信息与计算科学系66数学数学建模建模将罐体分为圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（将罐体分为圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（1）考虑）考虑z=H下的面积下的面积zx0rhhz=H截面面积截面面积S(y,h,)圆柱体体积圆柱体体积V1(h,)0 xzyD1D2D3h信息与计算科学系信息与计算科学系67数学数学建模建模将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独考虑将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独考虑精确计算球缺部分体积精确计算球缺部分体积V2将倾斜角将倾斜角的油平面的油平面近似为水平面近似为水平面（=0）计算球缺部分体积）计算球缺部分体积V2.直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成圆柱，一起计算直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成圆柱，一起计算.用各种方法得到罐体体积用各种方法得到罐体体积V(h,),一般是积分表达式一般是积分表达式,给定给定,可以数可以数值计算算油位油位高度高度h时的储油量时的储油量V.信息与计算科学系信息与计算科学系68数学数学建模建模问题（问题（2）的通常做法）的通常做法2.根据储油量的数学模型根据储油量的数学模型V(h,)和实测数据（附件和实测数据（附件2）辨识罐体变位参数）辨识罐体变位参数,流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集（i=0=0）2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:42 i=1=1hiViuiVi=Vi(hi,0,0)不能用！不能用！应该用数据应该用数据ui,hi与模型与模型V(h,)辨识参数辨识参数,确定确定,应应使使储油量的改变储油量的改变Vi与与出油量出油量ui 相吻合！相吻合！信息与计算科学系信息与计算科学系69数学数学建模建模辨识准则辨识准则确定确定,使使Q最小最小搜索法：按照搜索法：按照,的可能范围划分区间，逐步搜索的可能范围划分区间，逐步搜索.直接利用直接利用MATLAB的非线性曲线拟合程序的非线性曲线拟合程序lsqcurvefit辨识方法辨识方法辨识结果辨识结果ui,hi取进油前的取进油前的300组数据组数据信息与计算科学系信息与计算科学系70数学数学建模建模h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.2761768.9064026.17=2.110,=4.310的修正罐容表的修正罐容表(部分部分)罐体变位后罐体变位后显示储油量显示储油量与与实实际储油量际储油量的比较的比较信息与计算科学系信息与计算科学系71数学数学建模建模模型及结果检验模型及结果检验 取进油后的取进油后的300组数据检验辨识结果组数据检验辨识结果,的灵敏性检验的灵敏性检验的灵敏度的灵敏度的灵敏度的灵敏度纵向向倾斜角斜角比比横向偏横向偏转角角 对罐容量的影响显著得多！对罐容量的影响显著得多！信息与计算科学系信息与计算科学系72数学数学建模建模一种建立模型一种建立模型V(h,)的新方法的新方法xy0zhhYZX0绕绕x轴转动轴转动绕绕z轴转动轴转动T2T1=T1T2?信息与计算科学系信息与计算科学系73数学数学建模建模hYZX0VVxy0zhLdh-r油浮子坐标油浮子坐标(0,h-r,L/2-d)过油浮子的油平面方程过油浮子的油平面方程坐标变坐标变换换信息与计算科学系信息与计算科学系74数学数学建模建模xy0zhrsRV油位高度油位高度h的储油区域的储油区域为为D油位高度油位高度h时的储油时的储油量量V定义示性函数定义示性函数信息与计算科学系信息与计算科学系75数学数学建模建模利用利用MATLAB的三重积分程序计算储油量的三重积分程序计算储油量triplequad(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)*cos(b)+z*sin(a)=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)*(L/2-d).*(x.2+y.2=-s-sqrt(R2-x.2-y.2).*(z=s+sqrt(R2-x.2-y.2),-r,r,-r,r,-(s+R),s+R)triplequad(function,x1,x2,y1,y2,z1,z2)被积函数被积函数function在长方体中的三重积分在长方体中的三重积分:用于用于function是示性函数是示性函数I(x,y,z)的情况的情况:计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响.在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角为负为负(正负无关正负无关).信息与计算科学系信息与计算科学系76数学数学建模建模1）罐体变位后储油量的计算（重积分）：）罐体变位后储油量的计算（重积分）：两端有油和一端有油区域的划分；两端有油和一端有油区域的划分；积分限的确定；积分限的确定；积分顺序的选择。积分顺序的选择。对学生论文缺陷的评述对学生论文缺陷的评述2）用所谓）用所谓“等效高度等效高度”：得出不变位时高度与体积的关系：得出不变位时高度与体积的关系V(h)；变位后根据；变位后根据(主主)截截面面积不变得到等效高度与原高度的关系面面积不变得到等效高度与原高度的关系h=f(h)；将它代入原式；将它代入原式V(h)得到变位后得到变位后高度与体积的关系高度与体积的关系V(h)。信息与计算科学系信息与计算科学系77数学数学建模建模3）辨识变位参数所用的数据和准则不对：用附件）辨识变位参数所用的数据和准则不对：用附件2中的中的“显示油量显示油量”与模型与模型在在“显示油高显示油高”下的计算油量作拟合。下的计算油量作拟合。如果模型正确，用这种错误方法得到的变位参数应该是如果模型正确，用这种错误方法得到的变位参数应该是=0,=0。反映对该问题的理解根本错误反映对该问题的理解根本错误4）含混地叙述：）含混地叙述：“用数据和最小二乘得到用数据和最小二乘得到=,=”“显示油量显示油量”是罐体未变位时的计量值是罐体未变位时的计量值.信息与计算科学系信息与计算科学系78数学数学建模建模5）对问题（）对问题（1）用实验数据修正模型投入的精力过多（解释误差、用多项式拟合）用实验数据修正模型投入的精力过多（解释误差、用多项式拟合误差、用比例系数修正模型等）误差、用比例系数修正模型等）.6）对问题（）对问题（1）的要求）的要求“罐体变位后对罐容表的影响罐体变位后对罐容表的影响”未作讨论未作讨论.7）对问题（）对问题（2）的参数辨识不做检验和灵敏性分析）的参数辨识不做检验和灵敏性分析。8）问题（）问题（1）,（2）未按要求给出罐容表）未按要求给出罐容表.9）从文献中引用工程算法、近似公式的问题）从文献中引用工程算法、近似公式的问题.信息与计算科学系信息与计算科学系79数学数学建模建模题目的启示题目的启示微积分在工程实际问题中是有用的！微积分在工程实际问题中是有用的！熟练地使用软件对有效、快速地求解模型是重要的！熟练地使用软件对有效、快速地求解模型是重要的！仔细审题，准确、完整地理解题目的含义和要求是做好论文仔细审题，准确、完整地理解题目的含义和要求是做好论文的首要的和关键的一步！的首要的和关键的一步！