相似矩阵的定义课件

称为对称为对A进行进行相似变换相似变换 设设A,B 都是都是 n 阶方阵阶方阵,若有可逆矩阵若有可逆矩阵P,使使则称则称 B 是是 A 的的相似矩阵相似矩阵,或说矩阵或说矩阵A 与与B 相似相似其中可逆矩阵其中可逆矩阵 P 称为把称为把A变成变成B的的相似变换矩阵。相似变换矩阵。对对 A 进行运算进行运算一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念 定义定义（1）自反性）自反性 AA（其中（其中 k 是正整数）是正整数）（5）若）若AB，（2）对称性）对称性 若若AB，则，则BA（3）传递性）传递性 若若AB，BC，则，则AC相似相似是关于是关于A 的多项式的多项式 二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质k个个特别地特别地，若有可逆矩阵，若有可逆矩阵P,使使 为对角矩阵，为对角矩阵，即即则则，而对于矩阵，而对于矩阵有有利用上述结论可以很方便计算矩阵利用上述结论可以很方便计算矩阵A 的多项式的多项式 若若n 阶矩阵阶矩阵 A 与与 B 相似，则相似，则 A与与 B 有有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证明证明:因因 A 与与 B 相似，所以有可逆矩阵相似，所以有可逆矩阵P,使使故故 定理定理推论推论若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵与对角矩阵 相似相似是是A 的的n 个特征值。个特征值。又特征值就是特征方程的根又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值从而有相同的特征值.对一个对一个 n 阶方阵阶方阵 A，是否存在相似变换，是否存在相似变换问题问题：矩阵矩阵 P,使使三、相似变换矩阵的求法三、相似变换矩阵的求法若存在，如何找出这个矩阵？若存在，如何找出这个矩阵？讨论讨论：把把 P 用其列向量表示为用其列向量表示为也即也即反之反之,如果如果 n 阶方阵阶方阵 A 有有n 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，则则 P 可逆，且可逆，且满足满足那么令那么令注意注意因为特征向量不唯一，所以上述矩阵因为特征向量不唯一，所以上述矩阵P也是不唯一的。并且由上面的讨论即有：也是不唯一的。并且由上面的讨论即有：n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵相似与对角矩阵相似(即即A能对角化能对角化)的的充分必要条件充分必要条件是是 A 有有 n 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。定理定理 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 的的 n 个特征根互不相同个特征根互不相同,则则 A 与对角矩阵相似。与对角矩阵相似。推论推论如果如果 的特征方程有重根，此时的特征方程有重根，此时 不一定有不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，还是能对角化还是能对角化例例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解(1)得得因为因为 A 有三个不同的特征值，所以由推论知有三个不同的特征值，所以由推论知 A 可对角化。可对角化。解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.解解(2)解解(3)解之得解之得基础解系基础解系求得基础解系求得基础解系例例 设设判断判断A是否可以对角化，是否可以对角化，若可以对角化，若可以对角化，为对角阵，并求为对角阵，并求求出可逆阵求出可逆阵P，解解 （1）求特征值求特征值 求特征向量求特征向量将将代入代入得得解得特征向量解得特征向量 再将再将代入代入得得解得特征向量解得特征向量线性无关，故线性无关，故A可对角化可对角化(2)令令 则有则有（3）直接计算）直接计算比较麻烦，但由比较麻烦，但由可得可得易求易求问问A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角解解练练习习解之得基础解系解之得基础解系所以所以 可对角化可对角化.即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应注意注意思思考考题题1 满足什么条件的矩阵一定可以对角化？满足什么条件的矩阵一定可以对角化？第四节第四节 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相关结论实对称矩阵的相关结论用正交矩阵用正交矩阵 P 化实对称矩阵化实对称矩阵 A 为对角形为对角形矩阵的方法矩阵的方法 实对称矩阵的特征根是实数。实对称矩阵的特征根是实数。一、一、实对称矩阵的相关结论实对称矩阵的相关结论定理定理定理的意义定理的意义 由于实对称矩阵由于实对称矩阵A A的特征值的特征值 是实数是实数所以实系数齐次线性方程组所以实系数齐次线性方程组 必有实必有实的基础解系的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量从而对应的特征向量可以取实向量.证明证明于是有于是有两式相减，得两式相减，得是实对称矩阵是实对称矩阵A的两个特征根，的两个特征根，分别是对应于分别是对应于 设设的特征向量，若的特征向量，若定理定理证明证明于是于是设设A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵，从而对应特征根从而对应特征根恰有恰有r个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量。定理定理 为对角元素的对角矩阵。为对角元素的对角矩阵。设设A是是n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P定理定理证明证明:设设A的互不相等的特征根为的互不相等的特征根为它们的重数依次为它们的重数依次为 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得n个。个。按定理按定理 知对应于不同特征根的特征向量正交，知对应于不同特征根的特征向量正交，故这故这n个单位特征向量两两正交。个单位特征向量两两正交。则对应特征根则对应特征根 线性无关的实线性无关的实于是以它们为列向量构成的正交矩阵于是以它们为列向量构成的正交矩阵P,其中对角矩阵其中对角矩阵的对角元素的对角元素特征向量特征向量，把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化,即得即得 个单位个单位正交的特征向量正交的特征向量.1)求求A 的特征值的特征值.其中其中 2)2)对于每个对于每个求特征向量求特征向量设设二二 正交矩阵正交矩阵P P化对称阵化对称阵A A为对角阵为对角阵 的代数重数的代数重数.的基础解系的基础解系,3)对重特征值算出的特征向量对重特征值算出的特征向量,分别作施密特正交分别作施密特正交化化,(没有重特征值或已经正交的可以省略此步骤没有重特征值或已经正交的可以省略此步骤),然后再单位化然后再单位化,得标准正交基得标准正交基.则则P是一个是一个n 阶正交阵阶正交阵,且且3)对重特征值算出的特征向量对重特征值算出的特征向量,分别作施密特正交分别作施密特正交化化,(没有重特征值或已经正交的可以省略此步骤没有重特征值或已经正交的可以省略此步骤),然后再单位化然后再单位化,得标准正交基得标准正交基.则则P是一个是一个n 阶正交阵阶正交阵,且且于是得正交阵于是得正交阵的基础解系为的基础解系为标准正交化得：标准正交化得：可以验知仍有可以验知仍有 此例中对应于此例中对应于若求得方程若求得方程注意注意：例例 已知三阶矩阵已知三阶矩阵A的特征值的特征值求矩阵求矩阵B的特征值以及与之相似的对角矩阵的特征值以及与之相似的对角矩阵。解解 因为三阶矩阵因为三阶矩阵A有三个不同的特征值，所以有三个不同的特征值，所以从而从而:存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使使 所以所以B的特征值为的特征值为-4，-6，-12 从而所求与从而所求与B相似的对角矩阵为：相似的对角矩阵为：1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：(1)(1)特征值为实数；特征值为实数；(2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交；(3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等；特征向量的个数相等；(4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向 量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化小小 结结练练习习 对实对称矩阵对实对称矩阵 ，求出正交矩阵，求出正交矩阵 使使 为对角阵为对角阵.解解 第一步第一步 求求 的特征值的特征值=解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化