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第九章第九章第九章第九章 拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程 运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多，方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力的动力学方程？将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。19-1 9-1 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程9-1-1 方程的建立9-1-2 典型问题21.一般形式n个质点。对 有9-1 动力学普遍方程9-1-1 方程的建立给,则有而双面理想约束故有动力学普遍方程或达朗贝尔拉格朗日原理(9-1)不论约束完整，定常与否均适用。则有32.广义坐标形式 设完整约束系统有k个自由度，可取 为广义坐标。9-1 动力学普遍方程9-1-1 方程的建立则代入式(9-1),交换 i，j次序，得广义主动力广义惯性力式中4因各 线性无关 故有(9-2)等价形式仅(9-3)9-1-1 方程的建立9-1 动力学普遍方程式中包含了惯性力虚功!59-1-2 典型问题1.1.已知重量轮转动惯量 ，求加速度?加惯性力，受主动力如图。给连杆 ，则由 有9-1 动力学普遍方程61.1.由动能定理求导，如何求解?2.2.如何求约束力?2.2.已知重量 轮纯滚,水平面光滑,求三棱柱加速度。9-1-2 典型问题9-1 动力学普遍方程7 加惯性力，受力如图。选 广义坐标。由有即 (a)又由 有9-1 动力学普遍方程9-1-2 典型问题8式(a)代入(b),可得令 时，牵连惯性力 并不为零；令 时，相对惯性力 并不为零，两者相互独立。(b)即9-1 动力学普遍方程9-1-2 典型问题9 3.3.均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。图(a)9-1 动力学普遍方程9-1-2 典型问题10 自由度k=2的理想约束系统，取两轮转角 为广义坐标，其受力与运动分析，如图(b)所示，图(b)令，由(a)有(b)9-1 动力学普遍方程9-1-2 典型问题11将式(a)及代入(b)式，得(c)再令由有 联立(c)和(d)式，可得即(d)图(b)9-1-2 典型问题9-1 动力学普遍方程12 对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后，各独立虚位移可任意给定，与受力状态无关。1.1.如何求绳的张力?圆柱纯滚的条件?2.2.用动力学普遍定理如何求解?3.3.计入滑轮A质量,结果有何变化?9-1-2 典型问题9-1 动力学普遍方程13 9-2 9-2 拉格朗日方程拉格朗日方程对于完整约束系统，动力学普遍方程为 不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。9-2-1 两个经典微分关系第九章 拉格朗日方程将 能量化 导出拉氏方程。9-2-2 拉氏方程基本形式9-2-4 拉氏方程的应用14再对广义速度求偏导数，得式(9-7)表明，可对 的分子与分母“同时消点”。因对时间t求导数，得(9-6)(9-7)1)“同时消点”证明:9-2-1 两个经典微分关系 9-2 拉格朗日方程n个质点，s个完整约束，k3ns，15 2)“交换关系”(求导)将式(9-6)两边对广义坐标证明:求偏导数，有而比较以上两式，可得(9-8)式(9-8)表明,可对求导“交换关系”。9-2 拉格朗日方程9-2-1 两个经典微分关系16 9-2-2 拉氏方程基本形式 9-2 拉格朗日方程17 为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量，为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，需2k个初始条件 。故关于 的计算由 (见下述例题中)(仅qi0时，计算所有主动力虚功)9-2 拉格朗日方程 9-2-2 拉氏方程基本形式 9-2 拉格朗日方程189-2-3 势力场中的拉氏方程 若有势主动力 引入拉格朗日函数 又称动势。注意 ，有:此为势力场中第二类拉氏方程，是关于k个广义坐标的二阶常微分方程组。则有 9-2 拉格朗日方程199-2-4 拉氏方程的应用 1.1.图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆AB与两轮心铰接。已知 微分方程及圆频率 。试求系统微振动 应用拉格朗日方程求解受约束系统的动力问题，首先需要判断约束是否完整，这是应用拉氏方程的前提；其次看主动力是否有势，由此选择拉氏方程形式。9-2 拉格朗日方程20，代入拉氏方程 中，有 即 为所求微分方程。系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，系统动势 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用211.1.此处势能V为什么与弹簧初始变形和重力无关?2.2.试用动能定理求解例1，并比较两种方法的异同。与简谐振动微分方程 对比可知振动圆频率 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用22 本系统为完整约束，主动力非有势，采用基本形式的拉氏方程求解。2.2.如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J，其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为 不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度 判断系统的自由度，取广义坐标。本题中，取 为广义坐标，9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用23计算系统的T与 则有 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用24代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。代入 中，得(a)代入 中，得(b)解方程，求加速度。，得 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用25 试用动力学普遍方程，动力学普遍定理，达朗贝尔原理求解例2，并比较各种方法的特点。完整系统多自由度动力问题，采用拉氏方程，步骤规范，便于求解。拉氏方程与动力学普遍方程对于完整系统本质上一致，前者从能量，后者从受力入手考察系统的运动。9-2 拉格朗日方程题型特点:9-2-4 拉氏方程的应用263.3.如图所示，物A重为，物B重为 刚度系数为k，其O端固定于物A上，另一端与物B相连。系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物A的加速度。弹簧9-2-4 拉氏方程的应用 9-2 拉格朗日方程27(弹簧的绝对伸长量)为广义坐标。取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻t，有 系统处于势力场中，是保守系统，且自由度为2，取A的绝对位移,B的相对位移 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用28将以上各项代入下列拉氏方程得(a)(b)9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用29由式(a)和式(b)消去，得(c)其中由式(c)解得由 时，得 故(d)9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用30将式(d)代入式(c)，再将式(c)和(d)代入式(b)得 顺便指出，由式(c)和(d)可知，物B相对于物A作在常力作用下的简谐振动，其振幅为，固有频率为 多自由度完整约束保守系统问题，应用含L的拉氏方程，不需求广义力，求解较为简便。题型特点:9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用31 例题中(a)试求A，B两物块所受光滑面的支承力。若初瞬时弹簧有一初始伸长 结果有何变化?(b)试用质心运动定理和动能定理求解例3，并比较各种方法特点。9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用32 3.3.两个相同单摆，用刚度为k的弹簧连接已知m,k,l,a,系统静止时，弹簧无变形，不计杆重试求系统振动微分方程及固有频率。9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用33自由度为2，选 为广义坐标，选平衡位置势能为0，则(较小时，)9-2-4 拉氏方程的应用 9-2 拉格朗日方程34而 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用35代入 和 中 有即 9-2 拉格朗日方程设代入式(a)，得9-2-4 拉氏方程的应用36方程(b)有非0解条件，即频率方程为即 (c)为系统的主频率，将 分别代入式(b)得 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用37 即 ，为系统的第一主振型，振动时弹簧不变形。振动时弹簧中点不动。将代入(b)得第二主振型，两振型图如下:9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用38 4.4.1,2,3,4刚性杆长均为a，可不计质量。均质刚杆AB长 ，质量为2m，C,D 小球质量均为m，求微小运动微分方程及3,4杆相对运动。系统为定常理想完整保守系统。选为广义坐标。9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用39而代入得 9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用40(a)并设 得同理可得故为简谐运动。9-2 拉格朗日方程9-2-4 拉氏方程的应用419-3-1 广义动量积分(守恒)完整、理想约束、保守系统，若L中不含qr，则qr叫循环坐标，且有即 常数循环积分，广义动量守恒。代入中，得即 如在重力场中质点质量为m，取x、y、z为广义坐标，可见x、y为循环坐标，则有常量，常量第九章 拉格朗日方程42 如图所示，质量为 的某行星A受太阳的引力 ，为太阳质量，G为万有引力常数，r为极坐标的极轴，为其单位矢。试写出行星作平面曲线运动的循环积分。该系统有二个自由度。选 为广义坐标，质点受重力沿 方向，在x和y方向均为动量守恒。9-3-1 广义动量积分(守恒)第九章 拉格朗日方程43 可见L中不显含 ，即 是循环坐标，则有循环积分。常数 该广义动量积分表明，行星A对点O的动量矩守恒。若选x、y为广义坐标，有无循环积分？问:9-3-1 广义动量积分(守恒)第九章 拉格朗日方程449-3-2 广义能量积分(机械能守量)定常、完整、理想约束保守系统，(n个质点)，k个自由度有:则有 故 第九章 拉格朗日方程45(1)而的二次齐次函数。T为 将 代入上式，得 则 由Euler公式，若 为 的m次齐次函数9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程46故=2T（T为 的二次齐次函数）将式(2)代入式(1)，得 故 常数此即拉氏方程能量积分，表明上述系统机械能守恒。即9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程47 均质轮与均质杆质量均为m，轮半径为r，杆长 。轮纯滚。若杆由水平静止释放，求 时 及 。1.1.选x和为广义坐标。9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程48故有循环积分，常数(初始为0)又约束定常，且完整理想。即 (b)x方向广义动量守恒，并非系统x方向动量。故常数9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程49时，(a)，(b)两式为解之得 1.1.若接触平面光滑(f=0)，结果如何?2.2.若左边连接一水平弹簧(k)，结果又如何?9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程50 如图所示，质量为m，半径为r的匀质轮在质量为 、半径为R的薄壁筒内无滑动地滚动，设起始 时系统静止，且OC与重力方向夹角 。试求运动中圆筒转角 与 的关系。2.2.9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程51 系统保守且约束完整、定常，自由度为2，取 与 为广义坐标。设圆轮角速度为 ，则从轮C的速度分析，有 。因L不含 (其中 为循环坐标)，故相应的广义动量守恒，并考虑到 时，设O为零势能位置，系统动势为9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程52 此处利用拉氏方程的循环积分，使问题求解大为简化。即 对t积分，并注意到 时，得故 9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程53解出 和 ，再积分，可得 和 的变化规律。该约束定常，故有T+V=常数，即将此式与例2中(a)式联立，如何求上述 和 的变化规律9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程54 3.3.两等长均质杆水平悬挂，已知m、l ，AC=OB，求BD绳断瞬间，O处约束力。绳断瞬时，加速度如图，先研究CD杆。9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程55如何求CD杆内力?由由由从D端任取x段，加惯性力，复力如图。9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程56初瞬时间，可直接加惯性力求解类似题型特点:9-3-2 广义能量积分(机械能守量)第九章 拉格朗日方程57个人观点供参考，欢迎讨论！
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