理论力学第十五章课件

动力学 第第15章章 拉格朗日拉格朗日 方程方程7/10/20241第十五章第十五章第十五章第十五章 拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程 151 动力学普遍方程动力学普遍方程 152 拉格朗日方程拉格朗日方程 153 拉格朗日方程的首次积分拉格朗日方程的首次积分 2 本章在本章在达朗伯原理达朗伯原理和和虚位移原理虚位移原理的基础上，进一步导的基础上，进一步导出出动力学普遍方程动力学普遍方程和和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。得十分简捷、规范。3 设质点系有设质点系有n个质点，第个质点，第i个质点个质点 若质点系受有理想约束，若质点系受有理想约束，将将 作为主动力处理，则：作为主动力处理，则：解析式解析式：15-1动力学普遍方程动力学普遍方程。动力学普遍方程。在理想约束的条件下，质点系的各质点在在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时任一瞬时受到的受到的主动主动力力与与惯性力惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。在任意虚位移上所作的虚功之和为零。4例例1 已知：在已知：在图示滑示滑轮系系统中，中，动滑滑轮上上悬挂重挂重为W1的重的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂重为物，绳子绕过定滑轮后悬挂重为W2的重物，设滑轮和绳子的的重物，设滑轮和绳子的重量不计，求：重为重量不计，求：重为W1的重物的加速度。的重物的加速度。解：解：1，研究对象：整体系统，研究对象：整体系统2，分析主动力，分析主动力3，分析运动，虚加惯性力，分析运动，虚加惯性力，如图所示，其中如图所示，其中运运动学关系：学关系：54，任，任给系系统一一组虚位移如虚位移如图示，有示，有5，由动力学普遍方程求解：，由动力学普遍方程求解：将惯性力和虚位移关系代入上式，有将惯性力和虚位移关系代入上式，有因为因为r1是独立是独立变量，解得量，解得 615-2拉格朗日方程 设质点系有设质点系有n个质点，受个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度理想约束，自由度 k=3n-s。下面推导以下面推导以广义坐标广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。表示的动力学普遍方程的形式。质点质点 。若取系统的一组广义坐标为。若取系统的一组广义坐标为 ，则，则称称 为为广义速度广义速度。7 代入质点系动力学普遍方程，得：代入质点系动力学普遍方程，得：称称 为为广义力广义力 广义惯性力广义惯性力完整系统中，完整系统中，是彼此独立的，可得：是彼此独立的，可得：8 广义惯性力可改变为：广义惯性力可改变为：为简化计算为简化计算,需要用到以下两个关系式：需要用到以下两个关系式：下面来推导这两个关系式：下面来推导这两个关系式：9因为因为qj是彼此独立的，所以是彼此独立的，所以 所以所以式（式（2）的证明：）的证明：式（式（1）的证明：）的证明：10拉格朗日方程。拉格朗日方程。Ek表示质点系的动能表示质点系的动能广义广义惯性惯性力力代入式（代入式（f），并移项，得：），并移项，得：11 如果作用于质点系的力是有势力，则广义力如果作用于质点系的力是有势力，则广义力 可用质点系可用质点系的势能来表达。的势能来表达。代入拉氏方程代入拉氏方程,有有 上式变换为：上式变换为：令令，称为拉氏函数，可得：，称为拉氏函数，可得：保守系统的拉氏方程保守系统的拉氏方程12例例2已知：已知：质量量为为m长度长度为l的均质杆的均质杆AB，A端与钢性系数为端与钢性系数为C的弹簧相连并限制在铅垂方向运动，的弹簧相连并限制在铅垂方向运动，AB杆还可以绕过杆还可以绕过A的的水平轴摆动，如图所示，求：水平轴摆动，如图所示，求：AB杆的运动微分方程，杆的运动微分方程，解：解：1，研究对象：整体，研究对象：整体，广义坐标广义坐标x,2，分析运动，计算动能，分析运动，计算动能 AB杆作平面运动杆作平面运动13 3，分析主动力，计算势能，并写出拉氏函数，分析主动力，计算势能，并写出拉氏函数设平衡时设平衡时A点的位置为坐标原点点的位置为坐标原点O，并，并设平衡位置为弹力和重力的零势能点，设平衡位置为弹力和重力的零势能点，有：有：其中其中代入上式，整代入上式，整理后得：理后得：拉氏函数拉氏函数144，计算偏导数，代入拉氏方程，计算偏导数，代入拉氏方程 155，整理，整理(a),(b)两式，得：两式，得：16 例例3如图所示的系统中轮如图所示的系统中轮A沿水平面纯滚动沿水平面纯滚动,轮心以水平弹簧联轮心以水平弹簧联于墙上于墙上,质量为质量为 m1的物块的物块C以细绳跨过定滑轮以细绳跨过定滑轮B联于点联于点A,A，B两轮皆为均质圆盘两轮皆为均质圆盘,半径为半径为R,质量为质量为m2,弹簧刚度为弹簧刚度为k质量不质量不计计.当弹簧较软当弹簧较软,在细绳能始终保持张紧的条件下在细绳能始终保持张紧的条件下,求此系统的运求此系统的运动微分方程动微分方程.17解：解：此系统具有一个自由度此系统具有一个自由度 以物块平衡位置为原点以物块平衡位置为原点取取x为广义坐标如图为广义坐标如图以平衡位置为重力零势能点以平衡位置为重力零势能点取弹簧原长处为弹性力零势能点取弹簧原长处为弹性力零势能点系统在任意位置系统在任意位置x处的势能为处的势能为其中其中 为平衡位置处弹簧的伸长量为平衡位置处弹簧的伸长量由运动学关系式由运动学关系式 当物块速度为当物块速度为 时时 轮轮B角速度为角速度为轮轮A质心速度为质心速度为角速度亦为角速度亦为此系统的动能为此系统的动能为18系统的动势能为系统的动势能为代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程得得注意到注意到则系统的运动微分方程为则系统的运动微分方程为19 15-3 拉格朗日方程的首次积分 对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。步简化。保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。环积分。一、能量积分 设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L=T-U 中不显含中不显含t，则，则20 广义能量积分。广义能量积分。保守系统的拉格朗日函数不显含时间保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时，保守系统的时，保守系统的广广义能量守恒义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为。可以证明，当系统约束为定常时，上式为=021系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。二、循环积分 如果拉格朗日函数如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标中不显含某一广义坐标 qr ,则该坐标则该坐标称为保守系统的称为保守系统的循环坐标或可遗坐标循环坐标或可遗坐标。当当 为系统的循环坐标时，必有为系统的循环坐标时，必有于是拉氏方程成为于是拉氏方程成为22 积分得：积分得：循环积分循环积分因因L=T-U，而，而U中不显含中不显含 ，故上式可写成，故上式可写成Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。23 例例 3 楔形体重楔形体重P，斜面倾角，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆，置于光滑水平面上。均质圆柱体重柱体重Q，半径为，半径为 r，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分系统的运动微分方程；方程；(2)楔形体的加速度；楔形体的加速度；(3)系统的能量积分与循环积分。系统的能量积分与循环积分。解：研究楔形体与圆柱体组成解：研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、的系统。系统受理想、完整、定常约束，具有两个自由度。定常约束，具有两个自由度。取广义坐标为取广义坐标为x,s；各坐标原；各坐标原点均在初始位置。点均在初始位置。24 系统的动能系统的动能：系统的势能系统的势能：取水平面为重力势能零点。取水平面为重力势能零点。拉格朗日函数：拉格朗日函数：25 代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方程。方程。（d）解得楔形体的加速度为解得楔形体的加速度为拉格朗日函数拉格朗日函数L中不显含中不显含 t，故系统存在能量积分。，故系统存在能量积分。26 当当t=0时，时，x=s=0,代入上式中，得代入上式中，得 27 由于拉格朗日函数由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标中不显含广义坐标x，故，故 x 为系统循环坐为系统循环坐标，故有循环积分：标，故有循环积分：t=0时时 ，故上式中，故上式中C2=0，可得，可得 （f)，(g)式即为系统的能量积分和循环积分。式即为系统的能量积分和循环积分。(f)式式实际上是系统的机械能守恒方程。实际上是系统的机械能守恒方程。(g)式实质上是系统的动式实质上是系统的动量在量在x方向守恒。方向守恒。28 29 更多精品资请访问更多精品资请访问 更多品资源请访问更多品资源请访问