理论力学刚体的平面运动课件

42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析41 刚体平面运动的简化与分解刚体平面运动的简化与分解43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析44 刚体转动的合成刚体转动的合成第第四四章章 刚刚体体的的平平面面运运动动运运 动动 学学目录目录第四章第四章第四章第四章 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解 刚体平面运动简化刚体平面运动简化 刚体平面运动方程刚体平面运动方程41 刚体平面运动刚体平面运动 简化与分解简化与分解 刚体平面运动实例刚体平面运动实例 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体上处于同一平面内各点到某一固定刚体上处于同一平面内各点到某一固定刚体上处于同一平面内各点到某一固定刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。平面的距离保持不变。平面的距离保持不变。平面的距离保持不变。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解1.1.刚体平面运动简化刚体平面运动简化刚体平面运动简化刚体平面运动简化41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 平面平面平面平面运动实例运动实例运动实例运动实例 刚体平面运动实例刚体平面运动实例 刚体的平面运刚体的平面运刚体的平面运刚体的平面运动动动动 刚体上处于同刚体上处于同刚体上处于同刚体上处于同一平面内各点到某一平面内各点到某一平面内各点到某一平面内各点到某一固定平面的距离一固定平面的距离一固定平面的距离一固定平面的距离保持不变。保持不变。保持不变。保持不变。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 平面平面平面平面运动实例运动实例运动实例运动实例 刚体平面运动实例刚体平面运动实例 刚体的平面运刚体的平面运刚体的平面运刚体的平面运动动动动 刚体上处于同刚体上处于同刚体上处于同刚体上处于同一平面内各点到某一平面内各点到某一平面内各点到某一平面内各点到某一固定平面的距离一固定平面的距离一固定平面的距离一固定平面的距离保持不变。保持不变。保持不变。保持不变。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 平面平面平面平面运动实例运动实例运动实例运动实例 刚体平面运动实例刚体平面运动实例 刚体的平面运刚体的平面运刚体的平面运刚体的平面运动动动动 刚体上处于同刚体上处于同刚体上处于同刚体上处于同一平面内各点到某一平面内各点到某一平面内各点到某一平面内各点到某一固定平面的距离一固定平面的距离一固定平面的距离一固定平面的距离保持不变。保持不变。保持不变。保持不变。(1)刚体平面运动特点刚体平面运动特点 刚体上所有各点均在平行于某刚体上所有各点均在平行于某固定平面的平面内运动。固定平面的平面内运动。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 平面平面平面平面运动简化运动简化运动简化运动简化 平面图形平面图形平面图形平面图形刚体平行刚体平行于某固定平面作平面运动，于某固定平面作平面运动，以平行于该固定平面的另一以平行于该固定平面的另一平面截割这刚体，得一截面平面截割这刚体，得一截面S，称为平面图形。，称为平面图形。平面图形平面图形(2)刚体平面运动简化刚体平面运动简化41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 平面平面平面平面运动简化运动简化运动简化运动简化 刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其自身平面刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。内的运动来研究。平面运动简化平面运动简化41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 平面平面平面平面运动简化运动简化运动简化运动简化刚体平面运动简化实例刚体平面运动简化实例41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 平面平面平面平面运动简化运动简化运动简化运动简化 刚体的平面运动，刚体的平面运动，可以简化为平面图形可以简化为平面图形在其自身平面内的运在其自身平面内的运动来研究。动来研究。平平面面图图形形 S 的的位位置置可可用用其上任一线段如其上任一线段如AB 来确定，来确定，而而线线段段AB的的位位置置又又可可用用A 点点的的坐坐标标 xA、yA 和和线线段段AB与与 x 轴的夹角轴的夹角 来确定。来确定。点点 A 称为称为基点基点。平面图形位置的确定平面图形位置的确定41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解2.2.刚体平面运动方程刚体平面运动方程刚体平面运动方程刚体平面运动方程 刚体平面运动方程刚体平面运动方程41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 平面平面平面平面运动方程运动方程运动方程运动方程 当当平平面面图图形形 S 运运动动时时，坐坐标标 xA、yA 和和夹夹角角 一一般般都都是是随随时时间间 t 而而变变化化的的，分分别别为为时时间间 t 的的单单值值连连续函数，即续函数，即这就是平面图形这就是平面图形S 的的运动方程，也就是运动方程，也就是刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程。例例4-14-1 已知已知曲柄滑块机构中曲柄滑块机构中OA=r,AB=l，曲柄曲柄OA以等等角角速度速度绕绕O轴转动轴转动。求求（1）连杆的平面运动方程；（）连杆的平面运动方程；（2）连杆上）连杆上P点点(AP=l1)的运动轨迹、速度与加速度。的运动轨迹、速度与加速度。(xP,yP)xyOAPBl41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 例题例题例题例题 4-14-1例题例题 4-14-1解解：由图中的几何关系，有由图中的几何关系，有(1)连杆的平面运动方程连杆的平面运动方程(xP,yP)xyOAPBl41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 例题例题例题例题 4-14-1连杆的平面运动方程为连杆的平面运动方程为(2)连杆上连杆上P点的运动方程点的运动方程(xP,yP)xyOAPBl41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 例题例题例题例题 4-14-1应用泰勒公式，忽略应用泰勒公式，忽略4次方以上的项，有次方以上的项，有41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 例题例题例题例题 4-14-1所以得连杆的平面运动方程为所以得连杆的平面运动方程为41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 例题例题例题例题 4-14-1(3)连杆上连杆上P点的速度与加速度点的速度与加速度速速速速 度度度度加速度加速度加速度加速度41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解 例题例题例题例题 4-14-1连杆的平面运动方程为连杆的平面运动方程为41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解3.刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解 在左面的图中，如果平面图形在左面的图中，如果平面图形 S 上的上的A 点固定不动，则刚体将作点固定不动，则刚体将作定轴转动。定轴转动。又若在左面的图中，如果平面图又若在左面的图中，如果平面图形形 S 上的上的 角保持不变，则刚体作平角保持不变，则刚体作平移。移。故由此可知故由此可知刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运刚体的平面运动可以看成是平移和转动的合成运动。动。平面运动平面运动平面运动平面运动平移平移平移平移 (牵连运动牵连运动牵连运动牵连运动)转动转动转动转动 (相对运动相对运动相对运动相对运动)刚刚 体体 的的 平平面面运运动动可可分分解解为为随随同同基基点点的的平平移移和和相相对对基基点点的的转转动。动。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解 刚刚体体的的平平面面运运动动可可分分解解为为随随同同基基点点的的平平移移和和相相对基点的转动。对基点的转动。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解3 3.平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解刚体平面运动的分解演示刚体平面运动的分解演示41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解刚体平面运动的分解演示刚体平面运动的分解演示41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解刚体平面运动的分解演示刚体平面运动的分解演示41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解刚体平面运动的分解演示刚体平面运动的分解演示41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解特别强调特别强调 1.刚体的平面运动分解成随基点的平移和相对于基点的转刚体的平面运动分解成随基点的平移和相对于基点的转 动时，基点的选择是任意的。动时，基点的选择是任意的。l平移的轨迹、各点的速度和平移的轨迹、各点的速度和 加速度都与基点的位置有关。加速度都与基点的位置有关。l转动的角速度和角加速度转动的角速度和角加速度都与都与 基点的位置无关。基点的位置无关。注意上面二条的含义是指注意上面二条的含义是指 2.刚体的平面运动分解成平动和转动时，其平动部分与基点的刚体的平面运动分解成平动和转动时，其平动部分与基点的 选择有关；而转动部分与基点的选择无关。选择有关；而转动部分与基点的选择无关。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解 刚体的平面运动分解成平移和转动时，其平移部分与基点刚体的平面运动分解成平移和转动时，其平移部分与基点的选择有关；而转动部分与基点的选择无关。即平移的轨迹、的选择有关；而转动部分与基点的选择无关。即平移的轨迹、各点的速度和加速度都与基点的位置有关。而各点的速度和加速度都与基点的位置有关。而转动的角速度和转动的角速度和角加速度角加速度都与基点的位置无关。都与基点的位置无关。证证证证 明明明明1、以为以为 A 基点分解基点分解 2、以、以B为基点分解为基点分解1.证明平移部分与基点的选证明平移部分与基点的选 择有关。择有关。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解 刚体的平面运动分解成平移和转动时，其平移部分与基点的选择有关；刚体的平面运动分解成平移和转动时，其平移部分与基点的选择有关；而转动部分与基点的选择无关。即平移的轨迹、各点的速度和加速度都与而转动部分与基点的选择无关。即平移的轨迹、各点的速度和加速度都与基点的位置有关。而基点的位置有关。而转动的角速度和角加速度转动的角速度和角加速度都与基点的位置无关。都与基点的位置无关。2.证明转动部分与基点的选择无关证明转动部分与基点的选择无关 设设在在平平面面图图形形上上任任选选二二点点O1、O2为为基基点点，图图形形相相对对于于O1和和O2二二点点的的转角分别为转角分别为 1和和 2，则有则有而而故求导可得故求导可得41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解 由上式由上式 由由此此可可见见，平平面面图图形形（也也即即平平面面运运动动刚刚体体）在在相相对对转转动动中中的的角角速速度度和和角角加加速速度度对对不不同同基基点点是是相相同同的的，从从而而证证得得转转动动部分与基点的选择无关。部分与基点的选择无关。因为平移系因为平移系(动系动系)相对定相对定参考系没有方位的变化，平面参考系没有方位的变化，平面图形的角速度和角加速度既是图形的角速度和角加速度既是平面图形相对于平移系的平面图形相对于平移系的相对相对角速度角速度和和角加速度角加速度，也是平面，也是平面图形相对于定参考系的图形相对于定参考系的绝对角绝对角速度速度和和角加速度角加速度。41 刚体平面运动简化与分解刚体平面运动简化与分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解平面运动分解注注注注 意意意意 基基 点点 法法 速度投影法速度投影法 速度瞬心法速度瞬心法42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析yxOS42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析yxvBAvAvABA1.1.基点法基点法基点法基点法 设设在在平平面面运运动动刚刚体体上上取取点点A为为基基点点，已已知知其其速速度度为为 vA，平平面面图图形形S也也即即平面运动刚体的角速度为平面运动刚体的角速度为 ，分析图形上任一点，分析图形上任一点B 的的速度速度。将将将将B B点的运动视为复合运动。点的运动视为复合运动。点的运动视为复合运动。点的运动视为复合运动。绝对运动绝对运动绝对运动绝对运动 未知。未知。相对运动相对运动相对运动相对运动绕基点绕基点 A的圆周运动。的圆周运动。vr=vBA=AB 牵连运动牵连运动牵连运动牵连运动随基点随基点A的平动，的平动，ve=vA。动点动点动点动点B点点。定系定系定系定系固连于地球。固连于地球。动系动系动系动系以以A点为原点的平移系点为原点的平移系 Axy。vA 基基基基 点点点点 法法法法 平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。yxOSyxvBAvAvABA42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析vBva=vB，ve=vA，vr=vAB vB=vA+vBA根据速度合成定理根据速度合成定理注意到注意到则有则有有有有有 结结结结 论论论论：应用速度合成定理应用速度合成定理vB=vA+vBA上式等号两侧上式等号两侧 分别向分别向AB连线上连线上投影投影，因为因为vBA垂直于垂直于AB，所以所以vBA在在AB上投影等于零。上投影等于零。速度投影定理：速度投影定理：速度投影定理：速度投影定理：平面图形上任意两点的速在这两点平面图形上任意两点的速在这两点平面图形上任意两点的速在这两点平面图形上任意两点的速在这两点连线上的投影相等。连线上的投影相等。连线上的投影相等。连线上的投影相等。则有则有SBvAvAvBAvBA A42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 速度投影法速度投影法速度投影法速度投影法2 2.速度投影法速度投影法速度投影法速度投影法 例例4-2 4-2 已已知知曲曲柄柄滑滑块块机机构构中中，曲曲柄柄OAr，以以匀匀角角速速度度 0绕绕O 轴轴转转动动，连连杆杆ABl。在在图图示示情情形形下下连连杆杆与与曲曲柄柄垂垂直直。求求该该瞬瞬时时(1)滑滑块块的的速速度度vB；(2)连连杆杆AB的的角角速速度度AB。BA0O042 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-24-2例题例题 4-24-2BA0O0画出速度合成矢量图画出速度合成矢量图。vAvABvB基点法基点法基点法基点法vA解：解：42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-24-2连杆连杆AB作平面运动。作平面运动。A 点速度点速度 vA 已已知，知，vA=r 0以以A为基点。应用速度合成定理为基点。应用速度合成定理 vB=vA+vBA运运 动动 演演 示示42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-24-2(1)求该瞬时求该瞬时滑块的速度滑块的速度vB由速度合成矢量图可得滑块由速度合成矢量图可得滑块的速度：的速度：BA0O0vAvABvBvA042 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-24-2方向铅直向上。方向铅直向上。(2)求该瞬时求该瞬时连杆连杆AB的角速度的角速度AB 42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-24-2BA0O0vAvABvBvA0顺时针转向顺时针转向。速度投影法速度投影法速度投影法速度投影法解：解：应用速度投影定理应用速度投影定理vA=r 0 ，0，0BA0O00vBvA42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-24-2有有因为因为从而有从而有应用速度投影定理无法求得连杆应用速度投影定理无法求得连杆AB的角速度。的角速度。例例4-3 4-3 如如图图平平面面铰铰链链机机构构。已已知知杆杆O1A的的角角速速度度是是1，杆杆O2B的的角角速速度度是是2，转转向向如如图图，且且在在图图示示瞬瞬时时，杆杆O1A铅铅直直，杆杆AC 和和O2B水水平平，而而杆杆BC对对铅铅直直线线的的偏偏角角30；又又O2B=b，O1A=b。试求在这瞬时。试求在这瞬时C 点的速度。点的速度。O1AO2BC12xy42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-34-3例题例题 4-34-3运运 动动 演演 示示42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-34-3O1AO2BC12xy先求出先求出A点和点和B点的速度。有点的速度。有v vA Av vB BvA 和和 vB 的方向如图。的方向如图。以以A点为基点分析点为基点分析C 点的速度，有点的速度，有另外，又以另外，又以B作为基点分析作为基点分析C 点的速度，有点的速度，有比较以上两式，有比较以上两式，有v vA Av vC CA Av vC C（1）（2）v vC CB Bv vB B42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-34-3连杆连杆AC 和和BC 均作平面运动。均作平面运动。解：沿沿x 轴投影上式，轴投影上式，得得方向如图方向如图把把 式分别投影到式分别投影到x，y 轴上，有轴上，有 O1AO2BC12xyv vA Av vB Bv vA Av vC CA Av vC Cv vC CB Bv vB B42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-34-3由此求得由此求得于是得于是得O1AO2BC12xyv vA Av vB Bv vA Av vC CA Av vC Cv vC CB Bv vB B42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-34-3 例例4-4 4-4 如如图图所所示示，半半径径为为R的的车车轮轮，沿沿直直线线轨轨道道作作无无滑滑动动的的滚滚动动，已已知知轮轮心心O以以匀匀速速vO前前进进。求求轮轮缘缘上上A，B，C和和D各点的速度。各点的速度。CABDO Ov vO O42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-44-4例题例题 4-44-4 注注意意，为为求求车车轮轮的的角角速速度度，可可利利用用车车轮轮作作无无滑滑动动的的滚滚动动时时它它与与地地面的接触点面的接触点C 的速度为零这一条件，即的速度为零这一条件，即应用速度合成定理，轮缘上应用速度合成定理，轮缘上C点的速度可表示点的速度可表示为为 CABDO Ov vO O解：因为轮心因为轮心O的速度已知，故选的速度已知，故选O点为基点。点为基点。v vO Ov vCOCOv vC C=0 0其中其中 vCO 的方向已知的方向已知，其，其大小大小vCO=R 。因此车轮的角速度因此车轮的角速度（顺时针）（顺时针）42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-44-4车轮作平面运动。用基点法分析求解。车轮作平面运动。用基点法分析求解。或或CABDOv vO Ov vO Ov vCOCOv vC C=0 0求得求得之后，应用基点法，各点的速度就很后，应用基点法，各点的速度就很容易求得如下：容易求得如下：v vO Ov vAOAOv vA Av vO Ov vBOBOv vB Bv vO Ov vDODOv vD DA点点：B点点：D点点：42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-44-4vAO=R=vOvBO=R =vO,vDO=R=vO,车轮的角速度车轮的角速度（顺时针）（顺时针）例例4-84-8 图图示示一一连连杆杆机机构构，曲曲柄柄AB和和圆圆盘盘CD分分别别绕绕固固定定轴轴A和和D转转动动。BCE为为三三角角形形构构件件，B，C为为销销钉钉连连接接。设设圆圆盘盘以以匀匀速速n0=40 rmin1顺顺时时针针转转向向转转动动，尺尺寸寸如如图图。试试求求图图示示位位置置时时曲曲柄柄AB的的角角速速度度AB和和构构件件BCE上点上点E的速度的速度vE。ADCBE012050100506042 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-84-8例题例题 4-84-8运运 动动 演演 示示42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-84-8ADCBE0120501005060ABv vC Cv vB B根据已知数据，得到：根据已知数据，得到：故故 曲柄曲柄AB的角速度的角速度 解：C点速度已知，点速度已知，B点速点速度垂直于曲柄度垂直于曲柄AB。根据速度投影定理。根据速度投影定理得得（1）求曲柄）求曲柄AB的角速度的角速度AB。42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-84-8构件构件BCE 作平面运动作平面运动。（顺时针）（顺时针）ADCBE 0 0120501005060 ABABv vB Bv vC C 由由于于构构件件BCE上上C点点的的速速度度vC垂垂直直于于CE，根根据据速速度度投投影影定定理理可可知知E点点的的速速度度vE也也应应垂垂直直于于CE。应应用用速速度度投投影影定定理理，vB与与vE在在BE连连线线上上的的投投影影相相等等，即即 式中式中 所以所以E点的速度点的速度v vE E（2）求）求E点的速度。点的速度。42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-84-8（水平向右）（水平向右）42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析3.3.瞬心法瞬心法瞬心法瞬心法S设已知平面图形设已知平面图形S上某点上某点A的的速度速度vA，平面图形的角速度平面图形的角速度 。（1）瞬心瞬心的定义的定义 某瞬时平面运动刚体上速度为零的点称为某瞬时平面运动刚体上速度为零的点称为瞬时速瞬时速 度中心，度中心，简称为简称为速度瞬心。速度瞬心。（2）瞬心瞬心的存在的存在 APvA请请请请思考思考思考思考速度为零的点可能在哪出现？速度为零的点可能在哪出现？答：答：答：答：速度为零的点可能出现在速度为零的点可能出现在 vA 的垂直线的垂直线 AP上。上。ASvAPvAvACvCv42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法 过过A点作点作vA的垂直线的垂直线PA，PA上各点的速度由两部分组成：上各点的速度由两部分组成：跟随基点平移的速度跟随基点平移的速度vA 牵连速度，各点相同；牵连速度，各点相同；相对于基点转动的速度相对于基点转动的速度vPA相对速度相对速度，自，自A点起线性分布。点起线性分布。（2）瞬心瞬心的存在的存在速度为零的点可能出现在速度为零的点可能出现在 vA 的垂直线的垂直线AP上。上。因因为为PA线线上上各各点点相相对对于于基基点点转转动动的的速速度度与与A点点的的速速度度方方向向相相反反，其其大大小小正正比比于于该该点点到到A点的距离，故必有一点点的距离，故必有一点Cv 的速度满足的速度满足由此求得由此求得速度为零的点速度为零的点Cv即为该瞬时平面图形的速度瞬心。即为该瞬时平面图形的速度瞬心。ASvAPvAvACvCv42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法（2）瞬心瞬心的存在的存在 若若平平面面图图形形的的角角速速度度不不等等于于零零，则则在在每每一一瞬瞬时时，该该图图形形上（或其延展部分）总有一速度为零的点，即速度瞬心。上（或其延展部分）总有一速度为零的点，即速度瞬心。有有有有 结结结结 论论论论：（3）速度瞬心法）速度瞬心法SCvvAACvCvBB速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 求求出出速速度度瞬瞬心心Cv 的的位位置置和和平平面面图图形形的的角角速速度度 ，就就可可求求得得平平面面运运动动刚刚体体上上所所有有点点的的速速度，度，这种方法称为速度瞬心法。这种方法称为速度瞬心法。若在某若在某瞬时瞬时以以速度瞬心速度瞬心Cv为基点，则为基点，则平面图形平面图形上任一点上任一点M的的速度大小速度大小其方向其方向MCv，指向与，指向与转向一致。转向一致。平平面面图图形形上上各各点点的的速速度度分分布布，与与图图形形在在该该瞬瞬时时以以角角速速度度 绕绕速速度度瞬瞬心心Cv 作作定定轴轴转转动动时时一一样。样。第一种情形第一种情形（4）速度瞬心位置的确定速度瞬心位置的确定42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法 已已知知某某瞬瞬时时平平面面图图形形上上A，B两两点点的的速速度度方方位位，则则这这两两点点速度的垂线的交点就是速度速度的垂线的交点就是速度瞬心。瞬心。第二种情形第二种情形42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析瞬心位置确定瞬心位置确定瞬心位置确定瞬心位置确定 已已知知平平面面图图形形上上两两点点的的速速度度矢矢量量的的大大小小与与方方向向，而而且且二二矢矢量量互互相相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。则平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。则速度速度瞬心在无穷远处瞬心在无穷远处。此时平面运动刚体的角速度此时平面运动刚体的角速度 该该瞬瞬时时各各点点速速度度均均平平行行，且且大大小小相相等等，其其分分布布与与平平移移时时速速度度一一样样，这这种种情情形称为形称为瞬时移动瞬时移动。第二种情形第二种情形A AB Bv vA Av vB B42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析瞬心位置确定瞬心位置确定瞬心位置确定瞬心位置确定 已已知知平平面面图图形形上上两两点点的的速速度度矢矢量量的的大大小小与与方方向向，而而且且二二矢矢量量互互相相平平行行、方方向向相相同同、大大小小相相等等，都都垂垂直直于于两两点点的的连连线线，则则速速度度瞬瞬心心仍仍在在无无穷穷远处远处。此时平面运动刚体的角速度此时平面运动刚体的角速度 该瞬时平面运动刚体仍处于该瞬时平面运动刚体仍处于瞬时平移状态瞬时平移状态。第三种情形第三种情形42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析瞬心位置确定瞬心位置确定瞬心位置确定瞬心位置确定 已已知知平平面面图图形形上上两两点点的的速速度度矢矢量量的的大大小小与与方方向向，而而且且二二矢矢量量互互相相平平行行，并并且且都都垂垂直直于于两两点点的的连连线线。则则速速度度瞬瞬心心在在两两点点速速度度矢矢端端连连线线与与AB延延长长线的交点处。线的交点处。第四种情形第四种情形42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析瞬心位置确定瞬心位置确定瞬心位置确定瞬心位置确定 当平面运动刚体在一固定平面上作纯滚动时，其接触点即为速度当平面运动刚体在一固定平面上作纯滚动时，其接触点即为速度瞬心。瞬心。瞬时性：瞬时性：不同的瞬时，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有不同的瞬时，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有 加速度。加速度。（5）速度瞬心的特点）速度瞬心的特点42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析速度速度速度速度瞬心特点瞬心特点瞬心特点瞬心特点 唯一性唯一性：某一瞬时只有一个速度瞬心；某一瞬时只有一个速度瞬心；瞬时转动特性：瞬时转动特性：平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕平面图形在某一瞬时的运动都可以视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。注意瞬时平移与平移的区别：注意瞬时平移与平移的区别：瞬时平移各点的速度相同，瞬时平移各点的速度相同，但是加速度不同。但是加速度不同。42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析速度速度速度速度瞬心特点瞬心特点瞬心特点瞬心特点已知已知四连杆机构中，四连杆机构中，。OA以以角速度角速度0绕绕O轴转动。轴转动。求（求（1）B和和D点的速度；点的速度；（2）AB杆的角速度。杆的角速度。45o90o90o0O1OBAD42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-54-5例例4-5 4-5 例题例题 4-54-5 作作vA和和vB的的垂垂线线，相相交交于于Cv，此此即即杆杆AB的的速度瞬心。速度瞬心。45o90o90o0 0O1OBADCvv vA Av vB B ABAB 解：解：机构中机构中杆杆AB作平面运动，作平面运动，杆杆OA和和O1B都作定轴转动。都作定轴转动。图中的几何关系：图中的几何关系：42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-54-5 A，B二二点点的的速速度度vA和和vB的的方方向向都可以确定。都可以确定。（1）求）求B和和D点的速度。点的速度。42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-54-5因为因为A点的速度点的速度所以，连杆所以，连杆AB 的角速度的角速度顺时针转向顺时针转向 B点的速度点的速度45o90o90o0 0O1OBADCvv vA Av vB B ABABv vD D45o90o90o0 0O1OBADCvv vA Av vB B ABAB42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-54-5连杆连杆AB 的角速度的角速度 D点的速度点的速度 例例4-4 4-4 如如图图所所示示，半半径径为为R的的车车轮轮，沿沿直直线线轨轨道道作作无无滑滑动动的的滚滚动动，已已知知轮轮心心O以以匀匀速速vO前前进进。求求轮轮缘缘上上A，B，C和和D各点的速度。（用瞬心法求解）各点的速度。（用瞬心法求解）CABDO Ov vO O42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-44-4例题例题 4-44-4CABDOxyv vO O利用已知速度利用已知速度vO，可求得车轮的角速度为，可求得车轮的角速度为此此与以与以O点为基点求出的角速度点为基点求出的角速度完全相完全相同，说明图形的角速度与基点选择无关。同，说明图形的角速度与基点选择无关。车轮上点车轮上点B的速度垂直于连线的速度垂直于连线CB，大小为大小为v vB B同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果与前面基点法所求结果相同。同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果与前面基点法所求结果相同。解:（顺时针）（顺时针）42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-44-4车轮作平面运动。用瞬心法分析求解。车轮作平面运动。用瞬心法分析求解。因为车轮滚而不滑，所以其速度瞬心在与地面相接触的因为车轮滚而不滑，所以其速度瞬心在与地面相接触的C点处。点处。例例4-6 4-6 如如图图所所示示，节节圆圆半半径径为为r的的行行星星齿齿轮轮II由由曲曲柄柄OA带带动动在在节节圆圆半半径径为为R 的的固固定定齿齿轮轮 I 上上作作无无滑滑动动的的滚滚动动。已已知知曲曲柄柄OA以以匀匀角角速速度度O 转转动动。求求在在图图示示位位置置时时，齿齿轮轮II节节圆圆上上M1，M2，M3和和M4各各点点的的速速度度。图图中中线线段段M3M4垂直于线段垂直于线段M1M2。OOOAM2M4M1 M3CRr42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-64-6例题例题 4-64-6 OOOAM2M4M1 M3CRr 行行星星齿齿轮轮 II 作作平平面面运运动动。因因为为行行星星轮轮 II滚滚而而不不滑滑，所所以以其其速速度度瞬瞬心心在在二二轮轮接接触触点点C处处，利利用用瞬瞬心心法法进进行行求求解解。为为此此先先求求轮轮 II 的的角速度。角速度。解：所以轮所以轮 II 上上 M1，M2，M3 和和 M4 各点的速度分别为：各点的速度分别为：各点的速度方向如图所示。各点的速度方向如图所示。v v2 2v v3 3v v4 4因为因为A点的速度点的速度因此轮因此轮 II 的角速度的角速度（逆时针）（逆时针）v vA A42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-64-6 例例4-7 4-7 在双滑块摇杆机构中，滑块在双滑块摇杆机构中，滑块A和和B可沿水平导槽滑可沿水平导槽滑动，摇杆动，摇杆OC可绕定轴可绕定轴O转动，连杆转动，连杆CA和和CB可在图示平面内运可在图示平面内运动，且动，且CB=l。当机构处于图所示位置时，已知滑块。当机构处于图所示位置时，已知滑块A的速度的速度vA，试求该瞬时滑块，试求该瞬时滑块B的速度的速度vB以及连杆以及连杆CB的角速度的角速度CB。试用试用速度瞬心法求解速度瞬心法求解。OABCv vA A42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-74-7例题例题 4-74-7OABC解：由图可知，由图可知，P1A=P1C，所以，所以P1v vA Av vC CP2v vB B42 平面运动的速度分析平面运动的速度分析 例题例题例题例题 4-74-7连杆连杆AC 和和BC 均作平面运动。均作平面运动。对于连杆对于连杆AC：其速度瞬心在点其速度瞬心在点A和和C速度速度vA和和vC垂线的交点垂线的交点P1。对于连杆对于连杆BC：其速度瞬心在点其速度瞬心在点B和和C速度速度vB 和和vC垂线的交点垂线的交点P2。因为因为 故得连杆故得连杆CB角速度角速度于是滑块于是滑块B 速度的大小为速度的大小为（水平向右）（水平向右）（逆时针）（逆时针）加速度合成定理加速度合成定理43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析加速度合成定理加速度合成定理加速度合成定理加速度合成定理 设设在在平平面面运运动动刚刚体体上上取取点点A为为基基点点，已已知知其其速速度度为为 aA，平平面面图图形形S也也即即平面运动刚体的角速度为平面运动刚体的角速度为，角加速度为角加速度为。分析图形上任一点分析图形上任一点B 的加的加速度速度。将将B点的运动视为复合运动。点的运动视为复合运动。动系动系以以A点为原点的平移系点为原点的平移系。绝对运动绝对运动未知。未知。相对运动相对运动绕基点绕基点 A的圆周运动。的圆周运动。牵连运动牵连运动随基点随基点A的平移的平移。ae=aA动点动点B点点。定系定系固连于地球。固连于地球。相对切向加速度相对切向加速度 相对法向加速度相对法向加速度 SBA aAa tBAa nBAaA43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析将将B点的运动视为复合运动。点的运动视为复合运动。动系动系以以A点为原点的平移系点为原点的平移系。绝对运动绝对运动未知。未知。相对运动相对运动绕基点绕基点 A的圆周运动。的圆周运动。牵连运动牵连运动随基点随基点A的平移的平移。ae=aA动点动点B点点。定系定系固连于地球。固连于地球。相对切向加速度相对切向加速度 相对法向加速度相对法向加速度 SBA aAa tBAa nBAaA由点的加速度合成定理由点的加速度合成定理有有此即用基点法求点的加速度的基本公式。此即用基点法求点的加速度的基本公式。SA 点的绝对点的绝对 运动轨迹运动轨迹B 点的绝对点的绝对 运动轨迹运动轨迹BAyxaAaBBAaAaABAatBAanBAaBA43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析aBAaABAatBAanBAaB 平面图形上任意一点的加速度，等于基点的平面图形上任意一点的加速度，等于基点的平面图形上任意一点的加速度，等于基点的平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与这一点对于以基点为坐标原点的平移系加速度与这一点对于以基点为坐标原点的平移系加速度与这一点对于以基点为坐标原点的平移系加速度与这一点对于以基点为坐标原点的平移系的相对切向加速度和法向加速度的矢量和。的相对切向加速度和法向加速度的矢量和。的相对切向加速度和法向加速度的矢量和。的相对切向加速度和法向加速度的矢量和。43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析此即用基点法求点的加速度的基本公式。此即用基点法求点的加速度的基本公式。有结论：有结论：例例4-9 4-9 曲曲柄柄滑滑块块机机构构，OAr，ABl，曲曲柄柄以以匀匀角角速速度度0绕绕O轴轴转转动动。求求：图图示示瞬瞬时时，滑滑块块B的的加加速速度度aB和和连连杆杆AB的的角加速度角加速度 AB 。0 090o30oOBA43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-94-9例题例题 4-94-9 0 090o30oOBAv vA Av vB B解：43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-94-9 应用速度分析的多种方法可求得连杆应用速度分析的多种方法可求得连杆AB 的角速度的角速度AB ，此处视为已知。此处视为已知。连杆连杆AB作平面运动。作平面运动。1.速度分析速度分析 0 090o30oOBAa aB B2 加速度分析加速度分析a aA Aa aA Aa an nBABAa at tBABAA点的加速度点的加速度:43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-94-9选点选点A为基点，则滑块为基点，则滑块B的加速度的加速度其中，其中，连杆的角加速度连杆的角加速度 AB 尚属未知。暂时尚属未知。暂时假定假定 AB 沿逆钟向，故沿逆钟向，故 如图所示。如图所示。各加速度如图所示。各加速度如图所示。滑滑块块B 的的加加速速度度aB的的方方向向为水平并假定向左，大小待求。为水平并假定向左，大小待求。0 090o30oOBAa aB Ba aA Aa aA Aa an nBABAa at tBABA43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-94-92.加速度分析加速度分析其中，其中，分别沿分别沿BA和和AB的方向投影上式，得的方向投影上式，得由此求得滑块由此求得滑块B的加速度的加速度连杆连杆AB的角加速度的角加速度（逆时针）（逆时针）例例4-10 4-10 如如图图所所示示，在在外外啮啮合合行行星星齿齿轮轮机机构构中中，系系杆杆O1O=l，以以匀匀角角速速度度1绕绕O1轴轴转转动动。大大齿齿轮轮固固定定，行行星星轮轮半半径径为为r，在在轮轮上上只只滚滚不不滑滑。设设A和和B是是轮轮缘缘上上的的两两点点，A点点在在O1O的的延延长长线线上，而上，而B点则在垂直于点则在垂直于O1O的半径上。试求点的半径上。试求点A和和B 的加速度。的加速度。43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-104-10 1 1O1OABC例题例题 4-104-10 1 1O1OABC 轮轮作平面运动，其中心作平面运动，其中心O的速度和加速度分别为：的速度和加速度分别为：轮轮的速度瞬心在的速度瞬心在C点，则轮点，则轮的角速度的角速度a aO O 因为因为1和和都为常量，所以轮都为常量，所以轮的角加的角加速度为零，则有速度为零，则有解：v vo o 43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-104-10（顺时针）（顺时针）各加速度的大小为各加速度的大小为 1 1O1OABCa aO Oa aO O所以由图可知所以由图可知A点的加速度的方向沿点的加速度的方向沿AO，它的，它的大小为大小为 43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-104-10(1)求求A点的加速度。点的加速度。选选O为基点，应用加速度合成定理为基点，应用加速度合成定理轮轮的角速度的角速度角加速度角加速度方向如图。方向如图。1 1O1OABCa aO O 所以所以B点的加速度大小为点的加速度大小为它与半径它与半径OB间的夹角为间的夹角为(2)求求B点的加速度。点的加速度。a aO O选选O为基点，应用加速度合成定理为基点，应用加速度合成定理其中其中43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-104-10方向如图。方向如图。例例4-11 4-11 如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀以匀角速度角速度绕绕O轴转动，轴转动，OD=AD=BD=l，求当求当 时，时，规尺规尺AB的角加速度和的角加速度和A点的加速度。点的加速度。yOBAx D43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-114-11例题例题 4-114-11运运 动动 演演 示示43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-114-11yOBAx D 曲柄曲柄OD 绕绕O轴转动，规尺轴转动，规尺AB作平面运动。作平面运动。AB上的上的 D点加速度点加速度 ，设规尺设规尺 AB 的角速度为的角速度为AB，可由基点法或瞬心法求得，可由基点法或瞬心法求得a aD D解：其中其中 的大小的大小 ，方向沿方向沿AB。atAD 大小未知，垂直于大小未知，垂直于AD，其方向暂设，其方向暂设如图。因为如图。因为A点作直线运动，可设点作直线运动，可设aA的方向如的方向如图所示。图所示。取取AB上的上的D点为基点，点为基点，A点的加速度点的加速度a aD Da aA A则则43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-114-11yOBAx Da aD Da aD Da aA A将上式在将上式在y 轴上投影，得轴上投影，得由上式解得由上式解得yx规尺规尺 AB角加速度角加速度由于由于aA为负值，故为负值，故aA的实际方向与原假设的方向相反的实际方向与原假设的方向相反。对式对式43 平面运动的加速度分析平面运动的加速度分析 例题例题例题例题 4-114-11将上式在将上式在x轴上投影，得轴上投影，得44 刚体绕平行轴刚体绕平行轴转动的合成转动的合成 刚体绕两个平行轴转动的分解刚体绕两个平行轴转动的分解 同向转动的合成同向转动的合成 反向转动的合成反向转动的合成 44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成 平面运动除了可以分解为平移与转动外，在某些情况下也可看作是绕平面运动除了可以分解为平移与转动外，在某些情况下也可看作是绕两个平行轴转动的复合运动。两个平行轴转动的复合运动。以以右右图图行行星星轮轮系系作作为为引引例例说说明明，不不难难看看出出在在运运动动过过程程中中，图图中中齿齿轮轮上上的的点点A作作圆圆周周运运动动，此此时时如如将将动动系系Oxy固固连连于于曲曲柄柄OA，则则齿齿轮轮的的平平面面运运动动可可以以分分解解为为绕绕两个平行轴的转动：两个平行轴的转动：0OxAyCxy 当当平平面面运运动动刚刚体体内内有有一一个个点点作作圆圆周周运运动动时时，则该平面运动可以分解为绕平行轴的两个转动。则该平面运动可以分解为绕平行轴的两个转动。反反之之，绕绕某某轴轴转转动动的的刚刚体体，若若转转轴轴本本身身同同时时又又绕绕另另一一与与之之平平行行的的轴轴转转动动，则则这这刚刚体体的的合合成成运运动动就就是是具具有有上述特征的平面运动。上述特征的平面运动。(1)齿轮齿轮随同曲柄随同曲柄OA一起绕垂直于轮面的固定一起绕垂直于轮面的固定轴轴O的转动，这是的转动，这是牵连运动牵连运动；（2）齿轮）齿轮相对于曲柄绕自身中心轴相对于曲柄绕自身中心轴A的转动，则的转动，则是是相对运动相对运动。44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成1.1.1.1.刚体绕两个平行轴转动的分解刚体绕两个平行轴转动的分解 有结论：有结论：假假定定已已知知相相对对转转动动和和牵牵连连转转动动的的转转轴轴位位置置及及其其角角速速度度的的大大小小和和方方向向，求求刚刚体体合合成运动（绝对运动）的转轴位置及其角速度的大小和方向。成运动（绝对运动）的转轴位置及其角速度的大小和方向。用用r，e和和a分分别别代代表表刚刚体体的的相相对对、牵牵连连和和绝绝对对角角速速度度矢矢量量，其其中中r和和e沿已知的平行轴画出。又用沿已知的平行轴画出。又用r、e和和a代表这些矢量的模。代表这些矢量的模。这这时时矢矢量量r和和e的的指指向向相相同同。图图形形S的的牵牵连连运运动动是是绕绕定定轴轴O的的转转动动，相相对对运运动动是是绕绕动动轴轴O的的转转动动，假假定两个转动都是逆钟向的。定两个转动都是逆钟向的。图形内任一点图形内任一点M的绝对速度的绝对速度其中其中SOxOerMvMvevr44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成 转动的份解转动的份解转动的份解转动的份解（1 1）同向转动的合成同向转动的合成2.2.刚体绕平行轴转动的合成 刚体沿连线刚体沿连线OO上的各点，其上的各点，其ve与与vr的方向相反。如果选取此线段上的一点的方向相反。如果选取此线段上的一点P，使使vPe和和vPr的大小相等，的大小相等，或或则则点点P的的绝绝对对速速度度等等于于零零。可可见见点点P是是图图形形S在在该该瞬瞬时时的的速速度度瞬瞬心心。通通过过瞬瞬心心P且且平平行行于于轴轴O和和轴轴O的的轴称为图形轴称为图形S的的瞬轴瞬轴，即为，即为刚体合成运动的转轴刚体合成运动的转轴。动系连杆动系连杆OO上的点上的点O 具有速度具有速度因此因此 SOxOe a arvPrPvPevO即即44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成 同向转动的合成同向转动的合成同向转动的合成同向转动的合成 刚体合成运动的转轴位置刚体合成运动的转轴位置 刚体绝对运动的角速度刚体绝对运动的角速度点点O又可看成是刚体即图形又可看成是刚体即图形S上的一个点。所以根据速度瞬心法可知上的一个点。所以根据速度瞬心法可知转向与转向与e和和r的转向相同。的转向相同。当当刚刚体体同同时时绕绕平平行行轴轴作作同同向向转转动动时时，合合成成运运动动是是绕绕另另一一平平行行的的瞬瞬轴轴的的同同向向转转动动。绝绝对对角角速速度度的的大大小小等等于于牵牵连连角角速速度度与与相相对对角角速速度度大大小小之之和和。瞬瞬轴轴在在原原两两平平行行轴轴的的平平面面上上，并并在在这这两两轴轴之之间间；瞬瞬轴轴到到这这两两轴轴的的距距离离与与刚刚体体绕绕这这两两轴轴转转动动的的角角速速度度大大小小成成反比。反比。综合综合 ，两式可得结论：两式可得结论：如沿各轴作出各角速度矢如沿各轴作出各角速度矢a、e和和r，则角速度矢合成关系如图所示。，则角速度矢合成关系如图所示。考虑到式考虑到式 ，可得绝对角速度，可得绝对角速度a的大小的大小 OOPare44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成 同向转动的合成同向转动的合成同向转动的合成同向转动的合成SOOer从而该点从而该点P的绝对速度等于零的绝对速度等于零，这个点就是图形在该瞬时的速度瞬心。这个点就是图形在该瞬时的速度瞬心。这时矢量这时矢量r与与e指向相反。下面分别讨论这两个角速度大小不等和相等的两指向相反。下面分别讨论这两个角速度大小不等和相等的两种情形。种情形。假定假定re ，且，且re 此时在图形内连线此时在图形内连线OO 的的O 端延长端延长线上可以选取一点线上可以选取一点P，使使即满足关系式即满足关系式vPrPvPe44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成(2)(2)反向转动的合成反向转动的合成考虑到式考虑到式从而从而可得绝对角速度可得绝对角速度a的大小的大小(当当re)它的转向是和较大分角速度它的转向是和较大分角速度r的转向相同。各角速度矢的合成的转向相同。各角速度矢的合成关系如图。关系如图。因为因为OareOPSOOe a arvPrPvPevO44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成 反向转动的合成反向转动的合成反向转动的合成反向转动的合成这时，绝对角速度这时，绝对角速度a的大小为的大小为它的转向与较大分角速度它的转向与较大分角速度e的转向相同。的转向相同。（当（当er）如如果果er r，则则可可与与前前类类似似地地证证明明图图形形的的速速度度瞬瞬心心P在在OO 的的O端端延延长线上，其位置仍由式长线上，其位置仍由式 确定。确定。假定假定re ，且，且er OareOPSOOe a arvPrPvPevO44 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成 反向转动的合成反向转动的合成反向转动的合成反