理论力学-第五章-平面图形的几何性质)课件

研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。为什么要研究截面图形的几何性质5 5-1 1 概述概述 5-2 2 静矩和形心静矩和形心一、简单图形的静矩一、简单图形的静矩1、定义：dA对y轴的微静矩:分别定义为图形对x和y轴的静矩，或称一次矩。2、量纲：长度3；单位：m3、cm3、mm3。3 3、静矩的值可以是正值、负值、或零。、静矩的值可以是正值、负值、或零。dA对x轴的微静矩:4 4、静矩和形心的关系、静矩和形心的关系 可知静矩和形心的关系静矩和形心的关系由静力学合力矩定理，由静力学合力矩定理，平面图形形心坐标公式：平面图形形心坐标公式：结论：结论：图形对过形心的轴的静矩为零。图形对过形心的轴的静矩为零。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。例例5.1 如图所示半圆形截面，半径，坐标轴和如图所示，试计算该截面对轴的静矩及形心的纵坐标。解：解：在纵坐标处，截面的半宽度为在纵坐标处，截面的半宽度为半半圆形截面形截面对x轴的静矩的静矩为形心形心C的的纵坐坐标为 因此，如果取图示高为，宽为因此，如果取图示高为，宽为且与轴平行的狭长条为微面积，则且与轴平行的狭长条为微面积，则二、简单图形的形心二、简单图形的形心形心确定的规律：形心确定的规律：（1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。形心必在此对称轴上。（2）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。三、三、组合图形组合图形基本图形基本图形-指面积、形心位置已知的图形，例如圆形、矩形、三角形指面积、形心位置已知的图形，例如圆形、矩形、三角形组合图形：由若干个基本图形组合而成的图形组合图形：由若干个基本图形组合而成的图形静矩：静矩：式中：式中：A Ai i-基本图形的面积基本图形的面积组合图形的形心组合图形的形心：利用基本图形的结利用基本图形的结果，可使组合图形的形果，可使组合图形的形心计算简单心计算简单10506010A1A2yc1yc2xyo例题5.2 求图示图形的形心C例例 试确定下图的形心试确定下图的形心。801010c(19.7;39.7)xyC1C2解法解法1 1：1)、建立坐标如图示，分割图形2)、求形心801201010c(-20.3;34.7)解法二：解法二：1)、分割图形及建立坐标系，如图所示xy2)、求形心5-5-3 3 极惯性矩极惯性矩极惯性矩恒为正极惯性矩恒为正单位：长度单位：长度4 4圆截面圆截面1 1、实心圆截面、实心圆截面ddO2 2、空心圆截面、空心圆截面dDOd5-5-4 4 惯性矩及其平行移轴公式惯性矩及其平行移轴公式1 1、定义、定义：dAdA对对x x轴的惯性距轴的惯性距:dAdA对对y y轴的惯性距轴的惯性距:2 2、量纲：、量纲：m m4 4、mmmm4 4。yxdAxyo3 3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。图形对图形对x x轴的惯性矩轴的惯性矩:图形对图形对y y轴的惯性矩轴的惯性矩:4 4、惯性矩与极惯性矩的关系：、惯性矩与极惯性矩的关系：图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。此图形对该两轴交点的极惯性矩。yxdAxyo2.矩形矩形截面和圆截面的惯性矩矩形矩形截面和圆截面的惯性矩（1）矩形截面矩形截面bhxydyy解解 取一平行于取一平行于X轴的窄长条，其面积为轴的窄长条，其面积为dAbdy，则由惯性矩的定义，得则由惯性矩的定义，得思考：思考：平行四边形对横轴的惯性矩是否与矩形相同？平行四边形对横轴的惯性矩是否与矩形相同？（2）圆截面）圆截面根据前面的极惯性矩定义根据前面的极惯性矩定义由于圆截面是中心对称图形，由于圆截面是中心对称图形，故故空心空心 圆形截面：圆形截面：空心（外径D，内径d）积积分分法法：求图示直径为D的圆对过圆心的任意轴(直径轴)的惯性矩Iz，Iy，及对圆心的极惯性矩IP。解：取如图所示阴影面积dA，则有解解：xyoycxccxcyc已知已知：图形截面积图形截面积A，形心坐标，形心坐标yc、xc、Ixc、Iyc、a、b已知。已知。xc轴轴平平行于行于x x轴；轴；y yc c轴平行于轴平行于y y轴。轴。求求：I Ix x、I Iy y。平行移轴公式平行移轴公式一、平行移轴公式一、平行移轴公式图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距平的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距平方的乘积；方的乘积；注意：注意：xC、yC 为形心坐标。为形心坐标。a、b为图形形心在为图形形心在yox坐标系的坐标值，可正可负坐标系的坐标值，可正可负xyoycxccxcyc平行移轴公式平行移轴公式二、组合图形的惯性矩二、组合图形的惯性矩 根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩之和：【例例5.3】试计算图所示空心截面对形心轴试计算图所示空心截面对形心轴x的惯性的惯性矩。矩。解：解：直径为的圆截面，可视为由边长为直径为的圆截面，可视为由边长为a a的的正方形截面与上述空心截面所组成。正方形截面与上述空心截面所组成。设上述空心截面对设上述空心截面对X X轴的惯性矩为轴的惯性矩为Ix,圆形与正方形截面对圆形与正方形截面对x轴的惯性矩分别为轴的惯性矩分别为 例5.4 求图示直径为求图示直径为d d 的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴 x xc c 的惯性矩。的惯性矩。解：解：xyycCdxc首先求对形心轴 x 的惯性矩由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：2008001001000例例：如图所示，求图形对形心轴的惯性矩。解：解：1、取参考坐标轴 x；y（对称轴），确定形心坐标。xYxC1xC2C2（0；400）C1（0；850）2、确定形心轴的惯性矩 IxC、IY（IYC）xC（yC）2008001001000 xYxC1xC2C2（0；400）C1（0；850）xC（yC）1 1、定义：、定义：2 2、量纲：长度、量纲：长度4 4，单位：，单位：m m4 4、mmmm4 4。3 3、惯性积是对轴而言。、惯性积是对轴而言。4 4、惯性积的取值为正值、负值、零。、惯性积的取值为正值、负值、零。yxdAxyo5-5-5 5 惯性积及其平行移轴公式惯性积及其平行移轴公式惯性积惯性积 如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。必等于零。正负抵消正负抵消5 5、平行移轴公式、平行移轴公式(a、b表示表示y与与y轴、轴、x与与x轴之间轴之间的距离）的距离）注意：注意：a、b为图形形心在为图形形心在yox坐标系的坐标值，可正可负坐标系的坐标值，可正可负xyoycxccxcyc5-6 5-6 转轴公式与主惯性矩转轴公式与主惯性矩一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式 dA 在坐标系在坐标系 oxy 和坐标系和坐标系ox1y1 的的坐标分别为（的的坐标分别为（x，y）和（）和（x1，y1）代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：xyOxyxy11ABCDEdAxy11已知已知：A、Ix、Iy、Ixy、。求求：Ix1、Iy1、Ix1y1。所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。性矩和惯性积的变化规律。性矩和惯性积的变化规律。性矩和惯性积的变化规律。利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得 转轴公式转轴公式 ：的符号为：从的符号为：从 x 轴至轴至 x1 轴轴 逆时针逆时针为正，顺时针为负。为正，顺时针为负。xyOxyxy11ABCDEdAxy11 上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩点的极惯性矩将前两式相加得将前两式相加得xyOxyxy11ABCDEdAzy11二、主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩二、主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩由前述公式可知，坐标轴转动时，惯性积随着做周期性变化，必有一个角度，当=0时，图形对这一坐标轴的惯性积等于零，该坐标轴为图形的主惯性轴，主惯性轴，简称简称主轴主轴。截面对主惯性轴(主轴)的惯性矩称为为主惯性矩主惯性矩。当主惯性轴通过图形形心时,该主惯性轴为形心主惯性轴形心主惯性轴.截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩形心主惯性矩.截面形心主惯性轴与杆件轴线确定的平面为形心主惯性平面确定主轴的位置，主惯性矩的计算公式确定主轴的位置，主惯性矩的计算公式确定主轴的位置，主惯性矩的计算公式确定主轴的位置，主惯性矩的计算公式设角设角o o为主轴与原坐标轴之间的夹角，根据定义，将角为主轴与原坐标轴之间的夹角，根据定义，将角o代入惯性代入惯性积的转轴公式并令其等于零，即积的转轴公式并令其等于零，即 可求得可求得 和和 两个角度，从而确定相互垂直的两根两个角度，从而确定相互垂直的两根轴轴y0,，z0。即为主轴即为主轴得到一大一小两个主惯性矩：得到一大一小两个主惯性矩：由求出 代入转轴公式：从而可知：取极大（或极小）惯性矩时从而可知：取极大（或极小）惯性矩时 惯性积等于零惯性积等于零确定两个相互垂直的轴确定两个相互垂直的轴 主惯性轴主惯性轴x1y1Oxy 也就是说：也就是说：1、对于给定的截面对于给定的截面坐标轴选择得恰当，惯性矩极大；坐标轴选择得恰当，惯性矩极大；2、同时，惯性矩极小的坐标轴，、同时，惯性矩极小的坐标轴，恰好与前者（惯性矩极大的坐标轴）恰好与前者（惯性矩极大的坐标轴）垂直；垂直；3、两个坐标轴组成了、两个坐标轴组成了 主惯性坐标系主惯性坐标系2 2、主惯性矩（主矩）：、主惯性矩（主矩）：图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩Iz0、Iy0 称为称为主惯性矩，主惯性矩，主惯性矩为图形对主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。3 3、形心主惯性轴（形心主轴）：、形心主惯性轴（形心主轴）：如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（Izcyc=0=0。zc、yc 为形心轴。为形心轴。zc、yc 为形心主轴）。为形心主轴）。4 4、形心主惯性矩：、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（图形对形心主轴的惯性矩。（Izc、Iyc）。几个概念：几个概念：1 1、主惯性轴（主轴）：、主惯性轴（主轴）：y y0 0,z z0 0 如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该点的图形过该点的主惯性轴主惯性轴。（。（，轴为主轴轴为主轴）。）。几个结论几个结论 若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性主惯性轴之一，另一轴之一，另一形心形心主惯性轴为通过形心并与对称轴主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴（垂直的轴（a)a)。若若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主主惯性轴惯性轴(b)(b)。若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。轴，且主惯性矩相等。对称轴一定是主轴，主轴不对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴一定是对称轴xycxcycxy20 xyCC求组合截面形心主惯性矩的基本步骤求组合截面形心主惯性矩的基本步骤1)、建立坐标系。、建立坐标系。2)、求形心位置。、求形心位置。3)、建立形心坐标系；并求：、建立形心坐标系；并求：Iyc，Izc，Izcyc，4)、确定形心主轴位置、确定形心主轴位置 0：5)、求形心主惯性矩求形心主惯性矩2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII+-+=试求形心主轴的位置及形心主矩。解：1.确定形心位置2.在形心位置处建立Cxy坐标,先分别求出三个矩形对于x、y轴的惯性矩和惯性积,得整个图形对于x,y 轴的惯性矩和惯性积。3.根据上述结果确定主轴位置及形心主矩xyxcycc11117070160160111170701111111170701601601111707011111.确定截面的形心确定截面的形心。由于截面有一对称中心，即由于截面有一对称中心，即C为图形的形心。以为图形的形心。以C为原点，建立参考系。为原点，建立参考系。把图形看作是由把图形看作是由，三个矩形所组成。矩形三个矩形所组成。矩形的形心坐标为（的形心坐标为（-35，74.5）mm矩形矩形的形心坐标为（的形心坐标为（35，-74.5）mm，矩形，矩形的形心与的形心与C点重合。点重合。2.计算截面对计算截面对x轴和轴和y轴的惯性矩和惯性积轴的惯性矩和惯性积矩形矩形I与矩形与矩形矩形 整个截面对整个截面对x轴和轴和y轴的惯性矩和惯性积分别为轴的惯性矩和惯性积分别为3.确定形心主轴的位置确定形心主轴的位置4.计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩 截面几何性质截面几何性质1.静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系 中的数值有一定的关系中的数值有一定的关系2.Iz、Iy 恒为正，恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位可正可负，与坐标轴位 置有关置有关3.对形心轴静矩为对形心轴静矩为0，对称轴，对称轴 Iyz=0，对称轴就是形心对称轴就是形心 主惯性轴主惯性轴4.平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小5.主惯性系不唯一，但主形心惯性系唯一；主惯性系不唯一，但主形心惯性系唯一；主形心惯性矩一个为最大，一个为最小主形心惯性矩一个为最大，一个为最小小结 1.基本概念研究截面的几何性质时先不考虑研究对象的物理和力学因素，而看作纯几何问题，用数学中定积分理论定义了一些截面几何性质。如静矩、惯性矩、极惯性矩及惯性积等概念，应予以很好理解。截面的几何性质绝大多数都是对确定的坐标系而言的。其中，静矩与惯性矩是对一个坐标轴而言；而惯性积是对过一点的一对相互垂直的坐标轴而言的；极惯性矩是对某一坐标原点而言的。惯性矩与极惯性矩恒为正，静矩与惯性积可正、可负也可为零。2.形心与静矩的关系如果某轴通过截面形心，则截面对该轴的静矩为零；反之，如果截面对某轴的静矩为零，则该轴通过截面形心。3.平行移轴公式（1）惯性矩平行移轴公式 （2）惯性积平行移轴公式 4.转轴公式