陕西省富平县2024届高三第二次模拟理科 数学试题【含答案】

富平县2024年高三模拟考试数学（理科）试题注意事项：1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效：4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设集合，则（）ABCD3已知向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的值可以为（）ABCD5某电视台举行主持人大赛，每场比赛都有17位专业评审进行现场评分，首先这17位评审给出某位选手的原始分数，评定该位选手的成绩时从17个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到15个有效评分，则15个有效评分与17个原始评分相比，在数字特征“中位数平均数方差极差”中，可能变化的有（）A4个B3个C2个D1个6已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）ABCD7我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”则（）ABCD8已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（）A锐角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰直角三角形9在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（）A三角形B四边形C五边形D六边形10已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：（）的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且以OP为直径的圆恰好过右焦点F，若，则椭圆C的离心率为（）ABCD11若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（）ABCD12已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（）A14B16C21D23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13展开式中的项是 .14若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 .15已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 .16已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答：（一）必考题：共60分.17已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前2n项和.18如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，且M，N分别为PD，AC的中点.(1)求证：平面PBC；(2)求平面MBC与平面PBC夹角的余弦值.19乒乓球，被称为中国的“国球”某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男4056女24总计100(1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？(2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为，求的分布列和数学期望0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828参考公式：20已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求OAB的面积21已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修44：坐标系与参数方程】22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)写出直线和曲线的普通方程；(2)若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.【选修45：不等式选讲】23已知函数，(1)当时，解不等式；(2)若对任意，都有成立，求a的取值范围1A【分析】根据复数的运算求出，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】，所以在复平面内的对应点为，在第一象限.故选：A2C【分析】求出函数值域化简集合，再利用并集的定义求解即得.【详解】当时，则，而，所以.故选：C3A【分析】根据向量平行的坐标运算得到方程，求出或2，从而结合充分条件、必要条件判断出结论.【详解】若，则，解得或2，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A4D【分析】根据三角函数的图象变换，整理变换之后的函数解析式，结合三角函数的奇偶性，可得答案.【详解】由题意可知函数的图象关于原点对称，则，整理可得，当时，.故选：D.5B【分析】根据题意结合中位数、平均数、极差、方差的概念分析求解.【详解】从17个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到15个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，但中间位置不变，即不变的数字特征数中位数，例如，故可能变化的有3个.故选：B.6B【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.【详解】由是上的增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B7C【分析】根据条件概率的公式，分析求解即可.【详解】，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，则，则故选：C8D【分析】由正弦定理和得到，求出，得到答案.【详解】，即，故，因为，所以，故，因为，所以，故为等腰直角三角形.故选：D9A【分析】作出辅助线，证明出平面，所以，同理可证明，得到平面，故平面即为平面，得到截面的形状.【详解】连接，因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证明，因为，平面，故平面，故平面即为平面，则截该正方体所得截面的形状为三角形.故选：A10C【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再结合斜率坐标公式建立方程并求出离心率.【详解】令椭圆的右焦点，依题意，轴，且点在第一象限，由，解得，则，而，由，得，解得，所以椭圆C的离心率.故选：C11D【分析】化简函数式为，题意说明，得，由正弦函数图象与直线的交点个数得的范围【详解】由题意可得：，由可得，因为，则，由题意可得，解得，所以的取值范围为故选：D【点睛】易错点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解12D【分析】构造函数，结合函数单调性可得，则有，即可得解.【详解】由，且，故，即，令，故当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，由，即，故，又，故，即，若，则有，即，由，故.故最大正整数为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数的性质，结合其单调性得到，从而得到，则有，即可得解.13【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求解即可.【详解】依题意，展开式中的项是.故答案为：14【分析】先求得点的坐标，再求得关于直线的对称点，借助三点共线求得的最小值.【详解】抛物线的焦点，准线，设，则，解得，显然，不妨设，关于直线的对称点为，则因此，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为.故答案为：15【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论.【详解】令时，可得，可知函数，且的图象恒过定点，因为定点在直线上，可得，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.16#【分析】求出外接球半径，得到，作出辅助线，求出平面，由勾股定理求出各边长，由余弦定理得到，进而得到，求出，利用锥体体积公式求出答案.【详解】设外接球半径为，则，解得，故，由于均在球面上，故，由勾股定理得，取的中点，连接，则，又，平面，故平面，其中，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，故，故，故三棱锥的体积为故答案为：【点睛】关键点点睛：取的中点，连接，证明出平面，从而利用求出三棱锥的体积.17(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，借助等比数列的通项公式求出公比及首项即可.（2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式求解即得.【详解】（1）设等比数列的公比为，由及，得，解得，于是，即，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，所以.18(1)证明见详解(2)【分析】（1）利用三角形的中位线，证明，可证得平面PBC；（2）建系标点，分别求平面MBC、平面PBC法向量，利用空间向量求面面夹角.【详解】（1）如图，连接BD，由ABCD是平行四边形，则有BD交AC于点N因为M，N分别为PD，BD的中点，则且平面PBC，平面PBC，所以平面PBC（2）由题意可知：平面ABCD，且，如图，以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面MBC的法向量，则，令，则，可得；设平面PBC的法向量，则，令，则，可得；则，所以平面MBC与平面PBC夹角的余弦值为.19(1)列联表见解析；有(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）列出列联表，求出并与比较即可；（2）分别求抽取的3人中男生和女生的人数，写出的可能取值，求出概率，求出期望.【详解】（1）依题意可得列联表如下：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男401656女202444总计6040100，我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；（2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生，则的可能取值为、，所以，所以的分布列为：0123所以20(1)(2)【分析】（1）由已知条件结合双曲线的性质求得，再由离心率即可求出；（2）双曲线C和直线l的方程联立，求出原点O到直线l的距离，和，即可得出OAB的面积【详解】（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，所以焦点到其渐近线的距离为因为双曲线C的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为（2）设，联立，得，所以，由，解得t1（负值舍去），所以，直线l：，所以原点O到直线l的距离为，所以OAB的面积为21(1)递减区间为，无递增区间；(2).【分析】（1）求出函数，再利用导数求出的单调区间.（2）等价变形给定不等式得，令并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得.【详解】（1）依题意，函数的定义域为，求导得，当且仅当时取等号，即在上单调递减，所以函数的递减区间为，无递增区间.（2）当时，恒成立，令，求导得，当时，当时，即函数在上递减，在上递增，则当时，令，依题意，恒成立，令，求导得，则函数在上单调递增，当时，因此，所以实数m的取值范围.【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.22(1)直线l：；曲线C：(2)【分析】（1）根据参数方程、极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l与C的方程，结合二次函数的性质求解m的范围即可.【详解】（1）因为l：，所以，又因为，所以化简为，因为，整理得C的直角坐标方程：；（2）联立l与C的方程，即在时有交点即可，易知对称轴为，由二次函数的单调性可知：，所以，故即m的取值范围为.23(1)(2)【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论分别得到不等式组，解得即可；（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，得到即可.【详解】（1）当时，函数由，即为，等价于或或，即或或，故或或故不等式的解集为（2）对任意x都成立，即恒成立，因为绝对值三角不等式，当且仅当时等号成立，所以，即，或，解得所以的取值范围为