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路边苦李路边苦李 王戎王戎7 7岁时岁时,与小伙与小伙伴们外出游玩伴们外出游玩,看到看到路边的李树上结满了路边的李树上结满了果子果子.小伙伴们纷纷小伙伴们纷纷去摘取果子去摘取果子,只有王只有王戎站在原地不动戎站在原地不动.王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理他运用了怎样的推理方法方法?假设假设李子李子不是不是苦的，即李子是甜的，苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实这与事实矛盾吗？矛盾吗？说说明李子是甜的这个假设明李子是甜的这个假设是错的还是对的是错的还是对的？所以，所以，李子是苦的李子是苦的王戎的推理方法是王戎的推理方法是:假设假设李子不苦李子不苦,则则因树在因树在“道道”边边,李子早就被别李子早就被别人采摘而没有了人采摘而没有了,这与这与“多子多子”产生产生矛盾矛盾.所以假设所以假设不成立不成立,李为苦李李为苦李.在你的日常生活中也有类似在你的日常生活中也有类似的例子吗的例子吗?请举一个例子请举一个例子.小华小华:不可能不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么小华要告诉妈妈的命题是什么?小芳全家没有外出旅游小芳全家没有外出旅游小芳全家没有外出旅游小芳全家没有外出旅游.妈妈妈妈:小华小华,听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游.小华是如何推断该命题的正确性的小华是如何推断该命题的正确性的?假设假设假设假设小芳全家外出旅游小芳全家外出旅游小芳全家外出旅游小芳全家外出旅游,那么今天不可能碰到小芳那么今天不可能碰到小芳那么今天不可能碰到小芳那么今天不可能碰到小芳,与上午在学校碰到小芳和她妈妈与上午在学校碰到小芳和她妈妈与上午在学校碰到小芳和她妈妈与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾矛盾矛盾矛盾,所以假设所以假设所以假设所以假设不成立不成立不成立不成立,所以小芳全家没有外出旅游所以小芳全家没有外出旅游所以小芳全家没有外出旅游所以小芳全家没有外出旅游.在证明一个命题时在证明一个命题时,人们有时先人们有时先假设假设命题不命题不成立成立,从这样的假设出发从这样的假设出发,经过经过推理得出推理得出和已知条和已知条件件矛盾矛盾,或者与定义或者与定义,公理公理,定理等矛盾定理等矛盾,从而得出从而得出假设命题假设命题不成立不成立,是错误的是错误的,即所求证的命题正确即所求证的命题正确.这种证明方法叫做这种证明方法叫做反证法反证法(proof by(proof by contradictioncontradiction）.反证法是一种间接证法反证法是一种间接证法反证法的一般步骤反证法的一般步骤:假设命题结论不成立假设命题结论不成立假设不假设不成立成立假设命题结论假设命题结论反面成立反面成立与已知条件与已知条件矛盾矛盾假设假设推理得出的结论推理得出的结论与与定理，定义，定理，定义，公理公理矛盾矛盾所证命题成立所证命题成立你能说出下列结论的反面吗你能说出下列结论的反面吗?1.1.abab2.2.2.d2.d是正是正数数3.3.3.a03.a04.4.4.ab4.aba a不垂直于不垂直于b bd d不是正数不是正数,即即d0d0 a a0 0 a a不平行不平行b b常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：不是不是是；不存在是；不存在存在；不存在；不平行平行平行；不垂直平行；不垂直垂直；不等于垂直；不等于等于；不都是等于；不都是都是；不大于都是；不大于大于；不小于大于；不小于小于；至少有一个小于；至少有一个一个一个也没有；至少有三个也没有；至少有三个至多有两个至多有两个至少有至少有n n个个至多有至多有(n-1)(n-1)个个试一试试一试例例1 1、求证、求证:在同一平面内在同一平面内,如果一条直线和两条平行如果一条直线和两条平行直线中的一条相交直线中的一条相交,那么和另一条也相交那么和另一条也相交.已知已知:直线直线l1,l2,l3在同一平面内在同一平面内,且且l1l2,l3与与l1相交于点相交于点P.求证求证:l l3 3与与l l2 2相交相交.证明证明:那么那么_.因为已知因为已知_，这与这与“_矛盾矛盾.所以所以_，即即_.l l1 1l l2 2l l3 3P Pl l3 3与与l l2 2 不不相交相交.l l3 3l l2 2l l1 1l l2 2经过直线外一点经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线有且只有一条直线平行于已知直线所以过直线所以过直线l l2 2外一点外一点P P，有，有_和和l l2 2平行，平行，两条直线两条直线假设不成立假设不成立求证的命题正确求证的命题正确假设假设_，试一试试一试已知：如图，直线已知：如图，直线a,b被直线被直线c所截，所截，1 2求证：求证：ab1=2(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等)这与已知的这与已知的12矛盾矛盾假设不成立假设不成立证明：假设结论不成立，则证明：假设结论不成立，则ababab求证求证:在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那那么这两条直线也互相平行么这两条直线也互相平行.(1)(1)你首先会选择哪一种证明方法你首先会选择哪一种证明方法?(2)(2)如果你选择反证法如果你选择反证法,先怎样假设先怎样假设?结果和什么产生矛盾结果和什么产生矛盾?定理定理已知已知:如图，如图，l l1 1ll2 2,l ,l 2 2 l l 3 3求证：求证：l ll l llll ll l ,l,ll l,则过点则过点p p就有两条直线就有两条直线l l、l l都与都与l l平行，这与平行，这与“经过直线外一点，有且只经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线有一条直线平行于已知直线”矛盾矛盾证明：假设证明：假设l l不平行不平行l l，则，则l l与与l l相交，相交，设交点为设交点为p.p.p假设假设不成立，所求证的结论成立，不成立，所求证的结论成立，即即 l ll l （3 3）能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？）能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？已知已知:如图如图,直线直线l l与与l l1 1,l,l2 2,l,l3 3都相交都相交,且且l l1 1ll3 3,l,l2 2ll3 3,求证求证:l l1 1 l l2 2l1l2l3l1 12 2证明证明:l l1 1ll3 3,l,l2 2ll3 3(已知已知)1=31=3，2=32=3 (两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等)1=2 1=2 ll1 1 l l2 2（同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行）3 3请问：哪类问题适合于用反证法去证明呢？请问：哪类问题适合于用反证法去证明呢？宜用反证法证明的题型宜用反证法证明的题型（1 1）以否定性判断作为结论的命题；）以否定性判断作为结论的命题；（2 2）某些定理的逆命题；）某些定理的逆命题；（3 3）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形式陈等形式陈述的命题；述的命题；（4 4）关于）关于“唯一性唯一性”结论的命题；结论的命题；（8 8）涉及各种）涉及各种“无限无限”结论的命题等等。结论的命题等等。（7 7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；（6 6）一些不等量命题的证明；）一些不等量命题的证明；（5 5）解决整除性问题；）解决整除性问题；1 1、用、用反证法反证法证明：证明：在三角形的内角中，至少有一个在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于角大于或等于已知：如图，已知：如图，是是的内角的内角求证：求证：，中至少有一个角大于中至少有一个角大于 或等于度或等于度.证明证明假设假设所求证的结论不成立，即所求证的结论不成立，即，则则度度这于这于矛盾矛盾所以假设命题，所以假设命题，所以，所求证的所以，所求证的结论成立结论成立三角形的内角和等于三角形的内角和等于不成立不成立填一填填一填2 2、用反证法证明、用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补”。在下面证明过程中填空。在下面证明过程中填空。已知：如图已知：如图 ，、被被 所截。所截。求证：求证：1+2=1801+2=180。证明：假设证明：假设_._.2=3 2=3（两直线平行，同位角相等）。（两直线平行，同位角相等）。_180_180，这与平角的定义相矛盾。，这与平角的定义相矛盾。_不成立。不成立。_1+21+2180180 2131+31+3假设假设1+21801+2180 求证的命题正确求证的命题正确填一填填一填3 3、如图，在、如图，在ABCABC中中,若若C C是直角，那么是直角，那么B B一定是锐角一定是锐角.证明：假设结论不成立证明：假设结论不成立,则则B B是是_或或_._.当当B B是是_时，则时，则_这与这与_矛盾；矛盾；当当B B是是_时，则时，则_这与这与_矛盾；矛盾；综上所述综上所述,假设不成立假设不成立.B B一定是锐角一定是锐角.直角直角钝角钝角直角直角B+C=180三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180钝角钝角B+CB+C180180三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180180填一填填一填ll1l2ABCO探究探究证明：证明：假设假设经过同一直线经过同一直线 l 的三个点能作出的三个点能作出 一个圆，圆心一个圆，圆心 为为O则则O应在应在AB的垂直平分线的垂直平分线l1上，上，且且O在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上l2上，上，l1 ll2 l所以所以l1、l2同时垂直于同时垂直于l，点，点P为为l1、l2 的交点的交点这与这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，矛盾，所以经过同一直线的三点所以经过同一直线的三点不能不能作圆作圆反证法反证法 假设假设命题的结论不成立，由此经过推理得命题的结论不成立，由此经过推理得出出矛盾矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法到原命题成立，这种方法叫做反证法经过同一直线的三点经过同一直线的三点不能不能作出一个圆作出一个圆命题：命题：假设：假设：经过同一直线的三点经过同一直线的三点能能作出一个圆作出一个圆矛盾：矛盾：过一点过一点有且只有一条直线有且只有一条直线垂直于已知直线垂直于已知直线过一点有过一点有两条直线两条直线垂直于已知直线垂直于已知直线定理：定理：例如：例如：1 1、“a ab b”的反面应是（的反面应是（）（A A）aab b（B B）a a b b（C C）a=ba=b（D D）a=ba=b或或a ab b2 2、用反证法证明命题、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直三角形中最多有一个是直角角”时，应假设时，应假设_练一练练一练D D假设三角形中有两个或三个角是直角假设三角形中有两个或三个角是直角3 3、如图，、如图，ABAB EDED，求证：求证：B+C+D=360B+C+D=360.ABCDE练一练练一练总结回顾总结回顾:1 1、反证法的一般步骤、反证法的一般步骤:从假设出发从假设出发假假设设命命题题不不成成立立引引出出矛矛盾盾假假设设不不成成立立求求证证的的命命题题正正确确得出结论得出结论假设假设归谬归谬结论结论2 2、用反证法证题时、用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项 :（1 1）周密考察原命题结论的否定事项，防）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；止否定不当或有所遗漏；（2 2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；真伪性；（3 3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。的。总结回顾总结回顾:警察局里有名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：警察局里有名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎说：这里有个人说谎聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？你会释放谁？话？你会释放谁？请与大家分享你的判断！请与大家分享你的判断！课外拓展课外拓展
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