电磁场数值计算课件

数值计算数值计算 电磁场数值计算电磁场数值计算下 页上 页 当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算）法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算）的方法。的方法。1.1.电磁问题的划分电磁问题的划分场源问题场源问题 已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。直接求积分方程。直接求积分方程。电磁场数值计算下 页上 页 当计算场域的边界几何数值计算数值计算体电荷的电场静电场中元电荷产生的电场静电场中元电荷产生的电场，下 页上 页矢量的积分矢量的积分体电荷的电场静电场中元电荷产生的电场，下 页上 页矢量的积数值计算数值计算下 页上 页静磁场中元电流产生的电场静磁场中元电流产生的电场体电流体电流面电流面电流边值问题边值问题 已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给定边界条件的电位微分方程的解。定边界条件的电位微分方程的解。下 页上 页静磁场中元电流产生的电场体电流面电流边值问题 数值计算数值计算1.静电场的边值问题静电场的边值问题（Boundary Problem)边值边值问题问题场域边界条件场域边界条件(待讲）待讲）分界面衔分界面衔 接条件接条件 强制边界条件强制边界条件 有限值有限值自然边界条件自然边界条件 有限值有限值微分微分方程方程边界边界条件条件初始初始条件条件泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程下 页上 页1.静电场的边值问题（Boundary Problem数值计算数值计算场域边界条件场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上的电位已知边界上的电位已知边界上电位的法向导数已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度即电荷面密度 或或电力线电力线)下 页上 页场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichl数值计算数值计算有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法电磁问题下 页上 页有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜数值计算数值计算试写出图示静电场的边值问题。试写出图示静电场的边值问题。下 页上 页例例解解S1 100VS2 50V大地以上空间：大地以上空间：试写出图示静电场的边值问题。下 页上 页例解S1 100数值计算数值计算试写出图示平板电容器电场的边值问题。试写出图示平板电容器电场的边值问题。下 页上 页例例解解+q12-q0dxd/2同一个条件同一个条件参考点参考点试写出图示平板电容器电场的边值问题。下 页上 页例解+q数值计算数值计算试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。根据场分布的对称性根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题确定计算场域，边值问题（阴影区域）下 页上 页缆心为正方形的例例解解试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。根据数值计算数值计算2.2.数值计算的基本过程数值计算的基本过程下 页上 页物理物理问题问题计算计算模型模型选择数值选择数值计算方法计算方法计算计算结果结果的可的可视化视化处理处理评判评判结果结果的合的合理性理性和正和正确性确性关键步骤关键步骤2.数值计算的基本过程下 页上 页物理问题计算模型选择数值数值计算数值计算3.3.数值计算的基本思想数值计算的基本思想下 页上 页将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。把求解连续函数的偏微分方程问题转换为求解离散把求解连续函数的偏微分方程问题转换为求解离散点上的代数方程组的问题。点上的代数方程组的问题。包括：用有限维代替无限维；包括：用有限维代替无限维；用有限过程代替无限过程；用有限过程代替无限过程；用有限解析区域代替无限区域；用有限解析区域代替无限区域；用线性代替非线性；用线性代替非线性；用简单函数（多项式、正弦、脉冲）代替复杂函数；用简单函数（多项式、正弦、脉冲）代替复杂函数；3.数值计算的基本思想下 页上 页将电磁场连续域内的问题变数值计算数值计算下 页上 页结论 数值方法是近似方法。关键是确保问题数值方法是近似方法。关键是确保问题的解在允许的误差之内。的解在允许的误差之内。数值计算的基本法则：数值计算的基本法则：正确把握问题所属的电磁性质和空间维数。正确把握问题所属的电磁性质和空间维数。近似替代的误差最小原理；近似替代的误差最小原理；4.4.场域的离散化处理场域的离散化处理步骤步骤（1 1）求解区域的离散化处理；）求解区域的离散化处理；（2 2）在每个离散单元内，用近似函数代替复）在每个离散单元内，用近似函数代替复杂函数。杂函数。求解区域的离散化处理；求解区域的离散化处理；下 页上 页结论 数值方法是近似方法。关键是确数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页1.1.常数单元常数单元 定义被求函数在一个单元（线段、小面积、小体定义被求函数在一个单元（线段、小面积、小体积）中为一个常数。积）中为一个常数。0l0l2.2.线性单元线性单元电荷分布电荷分布不连续不连续 定义被求函数在一个单元中按线性变化。定义被求函数在一个单元中按线性变化。一维时有：一维时有：下 页上 页1.常数单元 定义被求函数在一个单元数值计算数值计算下 页上 页解得：解得：若用二次函数：若用二次函数：三个待定三个待定常数常数二维时有：二维时有：imj下 页上 页解得：若用二次函数：三个待定常数二维时有：imj数值计算数值计算下 页上 页若用二次函数：若用二次函数：六个待定六个待定常数常数3.3.局部坐标（形状函数）局部坐标（形状函数）局部坐标是相对于整体坐标局部坐标是相对于整体坐标x，y，z而言，是而言，是近似计算中导出等价矩阵方程的一种简便、快速、近似计算中导出等价矩阵方程的一种简便、快速、有效的方法。有效的方法。一维时：一维时：0()-11下 页上 页若用二次函数：六个待定常数3.局部坐标（形状函数值计算数值计算下 页上 页二维时局部坐标以三角形的面积表示（面积坐标）：二维时局部坐标以三角形的面积表示（面积坐标）：0m(0 0 1)j(0 1 0)i(1 0 0)jimxym(0 1)j(1 0)i(0 0)令令注 局部坐标只在局部坐标只在单元中有定义。单元中有定义。下 页上 页二维时局部坐标以三角形的面积表示（面积坐标）：0数值计算数值计算下 页上 页局部坐标与整体坐标的转换局部坐标与整体坐标的转换0mjijimxy下 页上 页局部坐标与整体坐标的转换0mjijimxy数值计算数值计算下 页上 页局部坐标与整体坐标的转换局部坐标与整体坐标的转换0 mjijimxy三维时局部坐标（体积坐标）：三维时局部坐标（体积坐标）：下 页上 页局部坐标与整体坐标的转换0 mjijimx数值计算数值计算下 页上 页5.5.误差最小原理误差最小原理 待求区域离散处理后，用近似函数代替待求函待求区域离散处理后，用近似函数代替待求函数后，就要寻找一种误差最小原理把描述物理模数后，就要寻找一种误差最小原理把描述物理模型的微分、积分方程化为代数方程组，求出离散型的微分、积分方程化为代数方程组，求出离散点的函数值。常用的误差最小原理是加权余数原点的函数值。常用的误差最小原理是加权余数原理和变分原理。理和变分原理。变分原理变分原理 如果可以找到算子方程的一个如果可以找到算子方程的一个等价泛函，则满足泛函取极小值的函数就是原算等价泛函，则满足泛函取极小值的函数就是原算子方程的解。有限元法就是依据这一原理子方程的解。有限元法就是依据这一原理 泛函是函数的函数。但不是所有的泛函是函数的函数。但不是所有的算子都能找到其对应的泛函。算子都能找到其对应的泛函。注意下 页上 页5.误差最小原理 待求区域离散处理后数值计算数值计算下 页上 页满足第二类边界条件的泊松方程的泛函满足第二类边界条件的泊松方程的泛函对应的泛函：对应的泛函：例例令小单元的近似函数：令小单元的近似函数：对泛函中的待定系数求极值：对泛函中的待定系数求极值：得矩阵方程：得矩阵方程：下 页上 页满足第二类边界条件的泊松方程的泛函对应的泛函：例数值计算数值计算下 页上 页加权余数原理加权余数原理 使近似函数和真解之间的误使近似函数和真解之间的误差在平均意义上达到最小来导出算子方程的等效差在平均意义上达到最小来导出算子方程的等效矩阵方程。矩阵方程。边值问题：边值问题：例例误差或余数：误差或余数：下 页上 页加权余数原理 数值计算数值计算下 页上 页选择权函数选择权函数W使误差在加权后的平均值为零：使误差在加权后的平均值为零：选择权函数是关键。选择不同的权函数得选择权函数是关键。选择不同的权函数得到以不同名称命名的数值计算方法。到以不同名称命名的数值计算方法。注意6.6.区域元法及边界元法区域元法及边界元法区域元法区域元法 指近似解在边界满足边界条件，指近似解在边界满足边界条件，使区域中的平均误差为零来导得矩阵方程。有限使区域中的平均误差为零来导得矩阵方程。有限元法为区域元法元法为区域元法下 页上 页选择权函数W使误差在加权后的平均值为零：数值计算数值计算下 页上 页得矩阵方程：得矩阵方程：下 页上 页得矩阵方程：数值计算数值计算下 页上 页选择权函数使边界误差在加权后的平均值为零：选择权函数使边界误差在加权后的平均值为零：边界元法边界元法 指近似解满足区域内的函数，使指近似解满足区域内的函数，使边界的平均误差为零来导得矩阵方程。矩量法为边界的平均误差为零来导得矩阵方程。矩量法为边界元法。边界元法。下 页上 页选择权函数使边界误差在加权后的平均值为零：边界元数值计算数值计算下 页上 页7.7.计算误差计算误差简化物理模型产生的误差简化物理模型产生的误差计算参数和实际参数之间的差异产生的误差计算参数和实际参数之间的差异产生的误差截断误差（忽略高次项、单元大小）截断误差（忽略高次项、单元大小）循环误差（单元尺寸相差太大、计算误差累积）循环误差（单元尺寸相差太大、计算误差累积）下 页上 页7.计算误差简化物理模型产生的误差计算参数和实数值计算数值计算下 页上 页8.8.计算结果的校核计算结果的校核用具有解析解的例子考核用具有解析解的例子考核计算结果与预期目标之间是否矛盾计算结果与预期目标之间是否矛盾条件是否符合物理规律条件是否符合物理规律计算结果是否满足边界条件计算结果是否满足边界条件改变离散单元大小和近似函数阶数来比较计算结改变离散单元大小和近似函数阶数来比较计算结果的差异果的差异用不同计算方法计算并比较用不同计算方法计算并比较与其他人的计算结果比较与其他人的计算结果比较与实测结果比较与实测结果比较下 页上 页8.计算结果的校核用具有解析解的例子考核计算结数值计算数值计算下 页上 页例例求长直接地金属槽内电位的分布。求长直接地金属槽内电位的分布。边值问题边值问题解解近似两维近似两维模型模型U=100V0axay下 页上 页例求长直接地金属槽内电位的分布。边值问题解近数值计算数值计算下 页上 页傅立叶级数傅立叶级数用分离变量法得槽内电场理论解：用分离变量法得槽内电场理论解：局限性得不到槽外空间电场。得不到槽外空间电场。下 页上 页傅立叶级数用分离变量法得槽内电场理论解：局限性得数值计算数值计算1.1.二维差分方程的建立二维差分方程的建立 下 页上 页 有限差分的网格分割场域的离散场域的离散不同的离散方式得到不同的离散方式得到不同的差分方程不同的差分方程结点多，步长小，计结点多，步长小，计算结果精确算结果精确网格法网格法h h注意1 1 有限差分法有限差分法1.二维差分方程的建立 下 页上 页 数值计算数值计算下 页上 页用差分代替微分用差分代替微分增量增量一阶差分一阶差分一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商中心差分中心差分下 页上 页用差分代替微分增量一阶差分一阶差商二阶差商中心差数值计算数值计算二维静电场边值问题二维静电场边值问题下 页上 页 有限差分的网格分割二维静电场边值问题下 页上 页 有限差分的网格分割数值计算数值计算或或下 页上 页用差分方程个代替微分方程用差分方程个代替微分方程五五点点差差分分格格式式选取计算变量，使模型接近实际且易于计算。选取计算变量，使模型接近实际且易于计算。选取计算方法，使误差小、计算快、经济有选取计算方法，使误差小、计算快、经济有效。效。成功实现计算的关键或下 页上 页用差分方程个代替微分方程五点差分格式选取计算变数值计算数值计算若场域离散为矩形网格，写出若场域离散为矩形网格，写出差分格式差分格式矩形网格剖分下 页上 页例例解解若场域离散为矩形网格，写出差分格式矩形网格剖分下 页上 页例数值计算数值计算3.3.差分方程组的求解差分方程组的求解下 页上 页差分方程的特点差分方程的特点当步长当步长h h 减小，结点增加，方程数很大；减小，结点增加，方程数很大；方程组的系数是有规律的；方程组的系数是有规律的；各方程的项数只有各方程的项数只有5 5项。项。采用逐次近似的方法求解，常用的方法采用逐次近似的方法求解，常用的方法为超松弛迭代法为超松弛迭代法3.差分方程组的求解下 页上 页差分方程的特点当步长h 减小数值计算数值计算下 页上 页1 1）松弛法）松弛法假定结点电位的初值，代入差分方程，计算各假定结点电位的初值，代入差分方程，计算各结点余数；结点余数；修正余数最大点的电位，减小该点余数，再重修正余数最大点的电位，减小该点余数，再重新计算各结点的余数；新计算各结点的余数；重复减小最大余数的过程，直至各余数都达很小；重复减小最大余数的过程，直至各余数都达很小；松弛法的步骤松弛法的步骤为达到精度，细分网格，重复以上过程。为达到精度，细分网格，重复以上过程。下 页上 页1）松弛法假定结点电位的初值，代入差分方程，计算数值计算数值计算在接地方形导体管中有一圆形导线（很细），电压为在接地方形导体管中有一圆形导线（很细），电压为100V，求管线间的电位分布。，求管线间的电位分布。下 页上 页例例解解AB0 0 0100 V对称性，只需求八分之一区域对称性，只需求八分之一区域1 1）设）设2）划分网格划分网格在接地方形导体管中有一圆形导线（很细），电压为100V，求管数值计算数值计算下 页上 页AB0 0 0100 V3）细分网格，重复以上步骤，提高精度。细分网格，重复以上步骤，提高精度。松弛法计算简单；松弛法计算简单；不论初值如何，必收敛于最后解答；不论初值如何，必收敛于最后解答；收敛速度慢。收敛速度慢。小结下 页上 页AB0 0 01数值计算数值计算下 页上 页2 2）迭代法）迭代法网格编号，假定结点电位的初值，网格编号，假定结点电位的初值，作为解的零次近似值，代入差分方作为解的零次近似值，代入差分方程得一次近似值；程得一次近似值；判断误差判断误差同步迭代同步迭代结束计算结束计算继续计算继续计算 网格编号下 页上 页2）迭代法网格编号，假定结点电位的初值，作为解的数值计算数值计算下 页上 页特特点点同步迭代法计算简单；但用计算机解同步迭代法计算简单；但用计算机解时需要两套存储单元；时需要两套存储单元；收敛速度较慢。收敛速度较慢。高斯高斯赛德尔迭代法（异步迭代）赛德尔迭代法（异步迭代）网格编号特特点点用计算机解时只需要一套存储单元；用计算机解时只需要一套存储单元；迭代时有一半用了迭代的新值，收敛速度迭代时有一半用了迭代的新值，收敛速度较快。较快。下 页上 页特点同步迭代法计算简单；但用计算机解时需要两套存数值计算数值计算 迭代过程直到节点电位满足迭代过程直到节点电位满足 为止。为止。3 3）超松弛迭代法）超松弛迭代法a 加速收敛因子加速收敛因子（1 a 1000 269 174 143 122 133 171 发散最佳收敛因子的经验公式（不唯一）最佳收敛因子的经验公式（不唯一）（正方形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格）收敛速度与电位初始值、网格剖分粗细有关；收敛速度与电位初始值、网格剖分粗细有关；迭代次数与计算精度迭代次数与计算精度 及及收敛因子有关。收敛因子有关。下 页上 页收敛速度与 有明显关系：收敛因子（a）1.0数值计算数值计算泊松方程的超松弛迭代格式下 页上 页4.4.边界条件离散化边界条件离散化（Discrete Boundary Condition)第一类边界条件第一类边界条件 网格结点与边界重合网格结点与边界重合对称边界条件对称边界条件 31204对称边对称边泊松方程的超松弛迭代格式下 页上 页4.边界条件离散化（D数值计算数值计算下 页上 页网格结点与边界不重合网格结点与边界不重合31204h1h2h同理同理设：设：h1=ph，h2=qh下 页上 页网格结点与边界不重合31204h1h2h同理设：数值计算数值计算第二类边界条件第二类边界条件 分界面衔接条件分界面衔接条件 其中其中 介质分界面下 页上 页31204h第二类边界条件 分界面衔接条件 其中 介质分界面下 数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页绝缘子的破坏情况绝缘子的破坏情况下 页上 页绝缘子的破坏情况数值计算数值计算复合悬式绝缘子结构复合悬式绝缘子结构下 页上 页复合悬式绝缘子结构下 页上 页数值计算数值计算下 页下 页数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页交流电流在触头上的分布交流电流在触头上的分布下 页上 页交流电流在触头上的分布数值计算数值计算下 页上 页交流电流产生的纵向磁场在触头表面分布交流电流产生的纵向磁场在触头表面分布下 页上 页交流电流产生的纵向磁场在触头表面分布数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算交流电流产生的纵向磁场在触头间隙中心平面上分布交流电流产生的纵向磁场在触头间隙中心平面上分布下 页上 页交流电流产生的纵向磁场在触头间隙中心平面上分布下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页仿真所用模型的立体视图仿真所用模型的立体视图下 页上 页仿真所用模型的立体视图数值计算数值计算下 页上 页面板电流密度分布面板电流密度分布下 页上 页面板电流密度分布数值计算数值计算下 页上 页面板电流密度分布面板电流密度分布50Hz50Hz电流走向和密度分布电流走向和密度分布下 页上 页面板电流密度分布50Hz电流走向和密度分布数值计算数值计算下 页上 页面板电流密度分布面板电流密度分布50Hz50Hz电流走向和密度分布电流走向和密度分布线脚电流强度线脚电流强度下 页上 页面板电流密度分布50Hz电流走向和密度分布线脚电数值计算数值计算下 页上 页面板电流密度分布面板电流密度分布50Hz50Hz电流走向和密度分布电流走向和密度分布线脚电流强度线脚电流强度面板磁场强度分布面板磁场强度分布下 页上 页面板电流密度分布50Hz电流走向和密度分布线脚电数值计算数值计算50Hz下 页上 页50Hz下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页适用于不同形态的边界形状，便于处理非线性、适用于不同形态的边界形状，便于处理非线性、多层媒质及各项异性的场。多层媒质及各项异性的场。程序通用性强，实用商业软件发展迅猛。程序通用性强，实用商业软件发展迅猛。有限元法的特点需要全场域离散，计算机内存量大。需要全场域离散，计算机内存量大。2.2.有限元法有限元法 有限元法是首先利用变分原理把所要求解的边值有限元法是首先利用变分原理把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，也就是所谓泛函的极值问题转化为相应的变分问题，也就是所谓泛函的极值问题。然后，利用剖分插值化变分问题为普通多元函问题。然后，利用剖分插值化变分问题为普通多元函数的极值问题，从而获得待求边值问题的数值解。数的极值问题，从而获得待求边值问题的数值解。下 页上 页适用于不同形态的边界形状，便于处理非线性、多层媒数值计算数值计算有限元软件包的基本组成有限元软件包的基本组成有限元软件包的基本组成数值计算数值计算下 页上 页1.1.计算的步骤计算的步骤1 1）用一组简单函数的线性组合来表示近似解。）用一组简单函数的线性组合来表示近似解。近似解近似解Ci待定系数待定系数i尝试函数，尝试函数，（有限元法中称形状函数、基函数）（有限元法中称形状函数、基函数）注意如何确定如何确定Ci是一种数值方法区别于另一种数是一种数值方法区别于另一种数值方法的主要方面。值方法的主要方面。下 页上 页1.计算的步骤1）用一组简单函数的线性组合来表数值计算数值计算下 页上 页注意 Ci的选取要使误差减小。的选取要使误差减小。i的个数多，解越精确，但计算量和复杂性的个数多，解越精确，但计算量和复杂性增大。增大。2 2）为确定）为确定Ci建立一种考虑微分方程和边界条件的建立一种考虑微分方程和边界条件的目标函数。目标函数。3 3）用适当的算法使目标函数达到最小化，在此过）用适当的算法使目标函数达到最小化，在此过程中确定了程中确定了Ci，从而得近似解。从而得近似解。下 页上 页注意 Ci的选取要使误差减小。i的个数多，解数值计算数值计算下 页上 页例例解平板电容器电场。解平板电容器电场。理论解理论解 边值问题边值问题+-10Vx0d下 页上 页例解平板电容器电场。理论解边值问题+-10Vx0数值计算数值计算下 页上 页近似解近似解设近似解设近似解+-10Vx0d误差（建立目标函数）误差（建立目标函数）选定算法降低误差，通常选取适当的加权函数使选定算法降低误差，通常选取适当的加权函数使余数与加权函数的积分为零。余数与加权函数的积分为零。下 页上 页近似解设近似解+-10Vx0d误差（建立目标函数值计算数值计算下 页上 页注意加权函数的选法有很多。算法目的是使定加权函数的选法有很多。算法目的是使定义在区域内和边界上的余数的加权平均值义在区域内和边界上的余数的加权平均值为零或最小。为零或最小。2.2.迦辽金法迦辽金法选选尝试函数尝试函数下 页上 页注意加权函数的选法有很多。算法目的是使定义在区域数值计算数值计算下 页上 页平板电容器问题选尝试函数为平板电容器问题选尝试函数为近似解为近似解为下 页上 页平板电容器问题选尝试函数为近似解为数值计算数值计算下 页上 页微分方微分方程转为程转为代数方代数方程程下 页上 页微分方程转为代数方程数值计算数值计算下 页上 页线性代数方程组写成矩阵形式：线性代数方程组写成矩阵形式：nn阶系数阶系数矩阵矩阵n1阶未知数阶未知数矩阵矩阵n1阶源阶源矩阵矩阵n1阶边界阶边界矩阵矩阵下 页上 页线性代数方程组写成矩阵形式：nn阶系数矩阵n数值计算数值计算下 页上 页变分法的步骤变分法的步骤3.3.变分法变分法2 2）构成一个近似解的泛函）构成一个近似解的泛函3 3）使泛函最小化，减小近似解的误差。）使泛函最小化，减小近似解的误差。1 1）用一系列线性独立的尝试函数表示近似解。）用一系列线性独立的尝试函数表示近似解。未知函数未知函数F为函数的函数称泛函为函数的函数称泛函下 页上 页变分法的步骤3.变分法2）构成一个近似解的泛函3数值计算数值计算下 页上 页变分法的原理（用变分法求拉普拉斯方程）变分法的原理（用变分法求拉普拉斯方程）构造一个与误差有关的目标函数，然后用某种构造一个与误差有关的目标函数，然后用某种方式使误差达最小，以确定近似解中的未知系数。方式使误差达最小，以确定近似解中的未知系数。1 1）目标函数）目标函数电磁场的储能趋于最小电磁场的储能趋于最小注意 i的选取要满足第一类边界条件，这样的选取要满足第一类边界条件，这样限制了其选取范围，但简化了待定系数的求解过限制了其选取范围，但简化了待定系数的求解过程。程。下 页上 页变分法的原理（用变分法求拉普拉斯方程）数值计算数值计算下 页上 页2 2）求）求F的最小值，也称变分法的最小值，也称变分法泛函泛函F定义为：定义为：下 页上 页2）求F的最小值，也称变分法泛函F定义为：数值计算数值计算下 页上 页注意 以上是以上是变分法的基本原理，变分法是有变分法的基本原理，变分法是有限法的基础。限法的基础。例例求平板电容器的电位。求平板电容器的电位。+-10Vx01边值问题边值问题数值解为数值解为代入边界条件代入边界条件下 页上 页注意 以上是变分法的基本原理，变数值计算数值计算下 页上 页令令求导求导下 页上 页令求导数值计算数值计算下 页上 页解得解得3 3）变分法求解泊松方程）变分法求解泊松方程边值问题边值问题下 页上 页解得3）变分法求解泊松方程边值问题数值计算数值计算下 页上 页因为储能为因为储能为泛函泛函F定义为：定义为：代表能量代表能量设设下 页上 页因为储能为泛函F定义为：代表能量设数值计算数值计算下 页上 页求求F的最小值的最小值注意第二类边界条件在第二类边界条件在求泛函极值过程中自动满足，求泛函极值过程中自动满足，故称这类边界条件为自然边界条件。其对应的故称这类边界条件为自然边界条件。其对应的变分问题称无条件变分问题。变分问题称无条件变分问题。下 页上 页求F的最小值注意第二类边界条件在求泛函极值过程中数值计算数值计算下 页上 页注意第一类边界条件在第一类边界条件在求泛函极值过程中没有满足，求泛函极值过程中没有满足，称第一类边界条件为强加边界条件，要单独处理，称第一类边界条件为强加边界条件，要单独处理，其对应的变分问题称有条件变分问题。其对应的变分问题称有条件变分问题。存在的问题 加权余数法和变分法把偏微分方程变为代数加权余数法和变分法把偏微分方程变为代数方程，可以用矩阵表示，但确定待定系数时常常方程，可以用矩阵表示，但确定待定系数时常常要用到分部积分，当尝试函数很多时，计算十分要用到分部积分，当尝试函数很多时，计算十分复杂，很难用计算机计算，需要用改进的方法简复杂，很难用计算机计算，需要用改进的方法简化计算。有限元就是其中一种。化计算。有限元就是其中一种。下 页上 页注意第一类边界条件在求泛函极值过程中没有满足，称数值计算数值计算下 页上 页4.4.有限元的基本原理有限元的基本原理边值问题边值问题泛函为：泛函为：把场域分成有限个单元（离散化过程）把场域分成有限个单元（离散化过程）两维问题中常用三角单元、四边形单元。单元两维问题中常用三角单元、四边形单元。单元划分必须满足：划分必须满足：下 页上 页4.有限元的基本原理边值问题泛函为：把场域分成有数值计算数值计算下 页上 页各单元的顶点也是其他单元的顶点。各单元的顶点也是其他单元的顶点。不同单元在边界处相连，不能分离也不能重叠。不同单元在边界处相连，不能分离也不能重叠。各单元顶点编号按逆时针方向，每一单元上的节各单元顶点编号按逆时针方向，每一单元上的节点编号之差尽量小。点编号之差尽量小。单元大小可不同，但不能有大的钝角。单元大小可不同，但不能有大的钝角。三角单元的优点三角形形状简单，能十分便利的表示复杂的几何三角形形状简单，能十分便利的表示复杂的几何结构。结构。描述三角形的多项式有三项，与顶点数和未知量描述三角形的多项式有三项，与顶点数和未知量数相同。数相同。下 页上 页各单元的顶点也是其他单元的顶点。不同单元在边界处数值计算数值计算下 页上 页下 页上 页数值计算数值计算下 页上 页构造插值函数构造插值函数设单元上设单元上ekji线性函数线性函数定义定义下 页上 页构造插值函数设单元上ekji线性函数定义数值计算数值计算下 页上 页ekji解得解得三角形三角形面积面积特点 为已知函数，也称形状函数，且适用于任一为已知函数，也称形状函数，且适用于任一单元。对两维一阶有限元，形函数为一个平面，单元。对两维一阶有限元，形函数为一个平面，对两维高阶有限元，形函数为一个曲面。对两维高阶有限元，形函数为一个曲面。i 在在i节点为节点为1 1，在其余节点为零，实现积分局，在其余节点为零，实现积分局部化，按单元独立进行，简化了计算，便于计算部化，按单元独立进行，简化了计算，便于计算机进行重复处理，这是有限元的巧妙处之一。机进行重复处理，这是有限元的巧妙处之一。下 页上 页ekji解得三角形面积特点 为已知函数，也称数值计算数值计算下 页上 页令令特点 求解待定系数和求解节点电位成为一个统一求解待定系数和求解节点电位成为一个统一的计算过程，这是的计算过程，这是有限元的巧妙处之二。有限元的巧妙处之二。下 页上 页令特点 求解待定系数和求解节点电位成为数值计算数值计算下 页上 页整个区域的电位由每个单元的电位组合而成。整个区域的电位由每个单元的电位组合而成。泛函为泛函为单元系数矩阵单元系数矩阵下 页上 页整个区域的电位由每个单元的电位组合而成。泛函为单数值计算数值计算下 页上 页写成矩阵形式为写成矩阵形式为下 页上 页写成矩阵形式为数值计算数值计算下 页上 页总系数矩阵总系数矩阵4 42 21 13 35 5下 页上 页总系数矩阵42135数值计算数值计算下 页上 页4 42 21 13 35 5下 页上 页42135数值计算数值计算下 页上 页例例求同轴传输线的电位。求同轴传输线的电位。xy=10V=0Vxy=10V=0V0221 17 75 54 43 32 26 69 98 8座标座标1(0,0)，2(1,0),3(2,0)4(2,1),5(2,2),6(1,2),7(0,2),8(0,1),9(1,1)=0.5下 页上 页例求同轴传输线的电位。xy=10V=0Vxy数值计算数值计算下 页上 页xy=10V=0V1 17 75 54 43 32 26 69 98 8下 页上 页xy=10V=0V175432698数值计算数值计算下 页上 页xy=10V=0V1 17 75 54 43 32 26 69 98 8 节点节点 1 3 4 5 6 7的值的值已知，在矩阵中移项消已知，在矩阵中移项消去。去。下 页上 页xy=10V=0V175432698 数值计算数值计算下 页上 页 边界节点电位成为已知值，不但满足了边界边界节点电位成为已知值，不但满足了边界条件，而且减少了未知数的个数，这是条件，而且减少了未知数的个数，这是有限元的有限元的巧妙处之三。巧妙处之三。特点下 页上 页 边界节点电位成为已知值，不但满足了边