数学史上的三大数学危机课件

1历史上的三次历史上的三次数学危机数学危机1历史上的三次历史上的三次2 历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是学危机。每一次数学危机，都是数学的根基数学的根基受到质疑。实际上，也恰恰是这受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，三次危机，引发了数学上的三次思想解放引发了数学上的三次思想解放，大大推动了，大大推动了数学科学的发展。数学科学的发展。2 历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折3 1.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯毕达哥拉斯Pythagoras (Pythagoras (约前约前570570年年前前500500年）是公元前年）是公元前500500多年古希腊的哲学家、数学多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。家、天文学家。一、一、与第一次数学危机与第一次数学危机毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元公元前前570570年公元前年公元前500500年年)3 1.毕达哥拉斯学派一、毕达哥拉斯学派一、与第一次数学危与第一次数学危4 毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。的思想产生很大影响。相传相传“哲学哲学”（希腊原词（希腊原词意为意为“智力爱好智力爱好”）和和“数学数学”（希腊原词（希腊原词 意为意为“可学到的知识可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。这两个词是毕达哥拉斯本人所创。4 毕达哥拉斯学派是毕达哥拉斯学派是5 2.2.“万物皆数万物皆数”学说学说 数，是世界的法则数，是世界的法则 毕达哥拉斯说的毕达哥拉斯说的“数数”，是指自然数，即正，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数整数，同时还包含它们的比，即正分数 。任意两条线段任意两条线段 a a、d d 都是可公度的都是可公度的 “可公度的可公度的”，意即有公共的度量单位，意即有公共的度量单位 t。5 2.“万物皆数万物皆数”学说学说6实例实例 形数（表示图形所用点的个数）形数（表示图形所用点的个数）6实例实例7 三边形数三边形数四边形数四边形数五边形数五边形数六边形数六边形数7 三边形数四边形数五边形数六边形数三边形数四边形数五边形数六边形数8 产生谐音的各个弦的长度成小整数比产生谐音的各个弦的长度成小整数比 绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数 比，就会发出谐音。例如，比，就会发出谐音。例如，1 12 2时短弦的音高时短弦的音高 8 8度，度，2 23 3时短弦音高时短弦音高5 5度，度，3 34 4时短弦音高时短弦音高4 4 度；当三根弦的长度之比为度；当三根弦的长度之比为3 34 46 6时，就得时，就得 到谐音。到谐音。8 产生谐音的各个弦的长度成小整数比产生谐音的各个弦的长度成小整数比9同名正多边形覆盖平面同名正多边形覆盖平面 只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地放只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地放6 6个正三角形，或者个正三角形，或者4 4个正方形，或者个正方形，或者3 3个正六边形，个正六边形，如图：如图：9同名正多边形覆盖平面同名正多边形覆盖平面10 毕达哥拉斯学派确信：毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和宇宙的和谐在于数谐在于数”，神是以数的规律创造世界，神是以数的规律创造世界的。的。“万物皆数万物皆数”学说产生了很大的影响。学说产生了很大的影响。10 毕达哥拉斯学派确信：毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐宇宙的和谐113.的发现和危机的产生的发现和危机的产生 C 1 1根据毕达哥拉斯定理，边长为根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对的正方形，其对角线长度若记为角线长度若记为 ，则，则 ，推出，推出 1 1）一个不能表成整数比的数）一个不能表成整数比的数但但 不能表成整数比。不能表成整数比。113.的发现和危机的产生的发现和危机的产生 C 14 2 2）不可公度的线段）不可公度的线段 设正方形的边长为设正方形的边长为 ，对角线长为，对角线长为 ，如图：，如图：d a a由由1）知，）知，与与 就是不可公度线段。就是不可公度线段。14 2）不可公度的线段）不可公度的线段 d 15 3 3）危机产生，封锁消息）危机产生，封锁消息 希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。一个正方形的对角线与其一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的一边的长度是不可公度的 希希帕帕索斯索斯(Hippasus)Hippasus)15 3）危机产生，封锁消息一个正方形的对角线与）危机产生，封锁消息一个正方形的对角线与16 1 1）无理数）无理数 像像 这样的数这样的数 ，和其它一些不，和其它一些不能表成整数比的数，称为能表成整数比的数，称为无理数无理数。4.无理数与数系的扩张无理数与数系的扩张危机的解决危机的解决 16 1）无理数）无理数 4.无理数与数系的扩张无理数与数系的扩张危危17 2 2）数轴）数轴 古代观点：数轴古代观点：数轴有理数有理数 现代观点：数轴现代观点：数轴实数实数 17 2）数轴）数轴183 3）数系的扩张）数系的扩张危机的解决危机的解决数系扩张为实数系以后，第一次数学危数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就彻底解决了。机就彻底解决了。因为数的范围扩充以后，因为数的范围扩充以后，“万物皆数万物皆数”的命题就是正确的了；不能表成整数比的命题就是正确的了；不能表成整数比的数，即无理数，也是实数系中的数了。的数，即无理数，也是实数系中的数了。183）数系的扩张）数系的扩张危机的解决危机的解决19 二、第二次数学危机二、第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿对牛顿“无穷小量无穷小量”说法的质疑引起的。说法的质疑引起的。19 二、第二次数学危机二、第二次数学危机 第二次数第二次数20 1危机的引发危机的引发 1）牛顿的）牛顿的“无穷小无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内。在牛顿之前，只能求一段时间内的的平均速度平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。，无法求某一时刻的瞬时速度。20 1危机的引发危机的引发21 例如，设自由落体在时间例如，设自由落体在时间 下落的距离为下落的距离为 ，有公式有公式 ，其中，其中 是固定的重力加速度。我是固定的重力加速度。我们要求物体在们要求物体在 的瞬时速度，先求的瞬时速度，先求 。（*）21 例如，设自由落体在时间例如，设自由落体在时间 下落的距下落的距22 当当 变成无穷小时，右端的变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是是 ，这就是物体在，这就是物体在 时的瞬时速度，时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。格，遭到责难。22 当当 变成无穷小变成无穷小23 2）贝克莱的发难）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。理论。贝克莱问道：贝克莱问道：“无穷小无穷小”作为一个量，究竟是作为一个量，究竟是不是不是0？如果是如果是0，上式左端当，上式左端当 成无穷小后分母为成无穷小后分母为0，就，就没有意义了。如果不是没有意义了。如果不是0，上式右端的，上式右端的 就不能就不能任意去掉。任意去掉。（*）23 2）贝克莱的发难）贝克莱的发难 如果是如果是0，24 贝克莱还讽刺挖苦说：即然贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和和 都变都变成成“无穷小无穷小”了，而无穷小作为一个量，既了，而无穷小作为一个量，既不是不是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一定是“量的鬼魂量的鬼魂”了。了。这就是著名的这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，提出的，但是，贝克莱的质问是击中要害的。贝克莱的质问是击中要害的。24 贝克莱还讽刺挖苦说：即然贝克莱还讽刺挖苦说：即然 25 3）实践是检验真理的唯一标准）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无无穷小穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。实践是检验真理的唯一标准。”25 3）实践是检验真理的唯一标准）实践是检验真理的唯一标准26 2危机的实质危机的实质 第二次数学危机的实质是什么？应该说，第二次数学危机的实质是什么？应该说，是是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。26 27 3危机的解决（严格的极限理论的建立）危机的解决（严格的极限理论的建立）在在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。那是初步的、粗糙的。19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的的论证引入数学分析，他写的无穷的悖论无穷的悖论一书一书中包含许多真知灼见。中包含许多真知灼见。27 3危机的解决（严格的极限理论的建立）危机的解决（严格的极限理论的建立）28做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国法国数学家柯西数学家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在）。他在18211823年间出版的年间出版的分析教程分析教程和和无穷小计无穷小计算讲义算讲义是数学史上划时代的著作。他对极限给出是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，至此，才较好地反驳定积分和无穷级数的收敛性，至此，才较好地反驳了贝克莱的责难。了贝克莱的责难。后来，后来，魏尔斯特拉斯创立魏尔斯特拉斯创立“”语言，才彻底语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。地反驳了贝克莱的责难。28做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西29 总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）建立数学分析（或者说微积分）基础的基础的“逻辑顺序逻辑顺序”是：是：实数理论实数理论极限理论极限理论微积分。微积分。而而“历史顺序历史顺序”则正好相反。则正好相反。29 总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固30 三、第三次数学危机三、第三次数学危机 1“数学基础数学基础”的曙光的曙光集合论集合论 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。30 三、第三次数学危机三、第三次数学危机 1“数学数学31 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是象可说成是“以整数、分数等组成的集合以整数、分数等组成的集合”；微积；微积分的对象可说成是分的对象可说成是“以函数等组成的集合以函数等组成的集合”；几何；几何的对象可说成是的对象可说成是“以点、线、面等组成的集合以点、线、面等组成的集合”。这样一来，都是以集合为对象了。于是，集合论似这样一来，都是以集合为对象了。于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱可能会一劳永逸地摆脱“数学基础数学基础”的危机。的危机。庞加莱甚至在庞加莱甚至在1900年巴黎国际年巴黎国际数学家大会上宣称：数学家大会上宣称：“现在现在 我们可以说，完全的严我们可以说，完全的严格性已经达到了！格性已经达到了！”31 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分32 2 罗素的罗素的“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 1）悖论引起震憾和危机悖论引起震憾和危机 正当庞加莱宣布正当庞加莱宣布“完全严格的数学已经建完全严格的数学已经建立起来！立起来！”之后刚刚两年，即之后刚刚两年，即1902年，罗素年，罗素的集合论悖论出来了。的集合论悖论出来了。伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1872-19701970）Russell,Bertrand Russell,Bertrand Arthur William(Third Earl Arthur William(Third Earl Russell)Russell)32 2 罗素的罗素的“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 伯特兰伯特兰33 2）罗素悖论罗素悖论 在在叙叙述述罗罗素素悖悖论论之之前前,我我 们们 先先 注注 意意 到到下下边边的的事事实实：一一个个集集合合或或者者是是它它本本身身的的成成员员(元元 素素),或或者者不不是是它它本本身身的的成成员员(元元 素素)，两两者者必必居居其其一一。罗罗素素把把前前者者称称为为“异异 常常 集集合合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。33 2）罗素悖论罗素悖论34 例如例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是本身的元素，所以是“正常集合正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合异常集合”。但。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是本身的元素，所以是“正常集合正常集合”。34 例如例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念35 罗罗素素悖悖论论是是：以以 表表示示“是是其其本本身身成成员员的的所所有有集集合合的的集集合合”（所所有有异异常常集集合合的的集集合合），而而以以 表表示示“不不是是它它本本身身成成员员的的所所有有集集合合的的集集合合”（所所有有正正常常集集合合的的集集合合），于于是是任任一一集集合合或或者者属属于于 ，或或者者属属于于 ，两两者者必必居居其其一一，且且只只居居其其一一。然然后后问问：集集合合 是是否否是是它它本本身身的的成员？（集合成员？（集合 是否是异常集合？）是否是异常集合？）35 罗素悖论是：以罗素悖论是：以 表示表示“是其本身成员是其本身成员36 如果如果 是它本身的成员，则按是它本身的成员，则按 及及 的定的定义，义，是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 不不是它本身的成员，这与假设矛盾。即是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果如果 不是它本身的成员，则按不是它本身的成员，则按 及及 的定义，的定义，是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 是它本身的成员，这又与假设矛盾。即是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。无论哪一种情况，都得出矛盾。36 如果如果 是它本身的成员，则按是它本身的成员，则按 及及37 罗素悖论的通俗化罗素悖论的通俗化“理发师悖论理发师悖论”：某村的一：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。刮脸，这又与假设矛盾。37 罗素悖论的通俗化罗素悖论的通俗化“理发师悖论理发师悖论”：某村的：某村的383 危机的消除危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。探讨消除悖论的可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。383 危机的消除危机的消除39 这种选择的理由是，原有的集合论虽然简明，这种选择的理由是，原有的集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。了解决问题的余地。罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是（悖论的实质）是“自我指谓自我指谓”。即，。即，一个待定义一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。造成恶性循环。例如，悖论中定义例如，悖论中定义“不属于自身的集合不属于自身的集合”时，时，涉及到涉及到“自身自身”这个待定义的对象。这个待定义的对象。39 这种选择的理由是，原有的集合论虽然简明这种选择的理由是，原有的集合论虽然简明40 为了消除悖论，数学家们将为了消除悖论，数学家们将“朴素的集合论朴素的集合论”加以加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合所有集合的集合”、“一切属于自身的集合一切属于自身的集合”这样的这样的集合。集合。1908年，策梅洛（年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提）提出了由出了由7条公理组成的集合论体系，称为条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。系统。1922年，弗兰克（年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。系统。再后来，还有改进的再后来，还有改进的ZFC-系统。系统。这样，大体完成了这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。过程，悖论消除了。40 为了消除悖论，数学家们将为了消除悖论，数学家们将“朴素的集朴素的集41 但是，新的系统的相容性尚未证明。因但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼有没有狼”。这就是说，第三次数学危机的解决，并这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。不是完全令人满意的。41 但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加42 四、四、三次数学危机与三次数学危机与“无穷无穷”的联系的联系 三次数学危机都与无穷有关，也与人三次数学危机都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。们对无穷的认识有关。第一次数学危机第一次数学危机的要害是不认识无理数，的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。是无穷个有理数组成的数列的极限。42 四、四、三次数学危机与三次数学危机与“无穷无穷”的联系的联系 43 第二次数学危机第二次数学危机的要害，是极限理论的逻的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无有穷过渡到无穷穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量无穷小量”上。上。第三次数学危机第三次数学危机的要害，是的要害，是“所有不属于所有不属于自身的集合自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了了“自我指谓自我指谓”、恶性循环的错误。、恶性循环的错误。43 第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不44写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habitsThe foundation of success lies in good habits44写在最后成功的基写在最后成功的基础础在于好的学在于好的学习习惯习习惯谢谢谢谢大家大家荣幸荣幸这这一路，与你同行一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师讲师：XXXXXX XX年年XX月月XX日日 谢谢谢谢大家大家讲师讲师：XXXXXX 45