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连续函数的性质连续函数的性质第四讲第四讲一、连续函数的基本性质一、连续函数的基本性质二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的三、闭区间上连续函数的 性质性质7/7/20241一、函数连续性的基本性质一、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：（一）连续性定义的等价形式：7/7/20242（二）连续函数的有界性：（二）连续函数的有界性：7/7/20243（三）连续函数的保号性：（三）连续函数的保号性：7/7/20244（四）连续函数的运算性质：（四）连续函数的运算性质：7/7/20245（六）初等函数的连续性（六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。初等函数在其定义区间上是连续的。（五）（五）关于反函数的连续性关于反函数的连续性结论：结论：7/7/202461.基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性（1 1）由连续定义可验证基本初等函数：）由连续定义可验证基本初等函数：例例7/7/20247（3 3）用连续函数四则运算性质证明基本）用连续函数四则运算性质证明基本 初等函数初等函数:（2 2）用复合函数及反函数的连续性证明）用复合函数及反函数的连续性证明 基本初等函数基本初等函数:7/7/202482.初等函数的连续性初等函数的连续性 由基本初等函数的连续性由基本初等函数的连续性,运用连续运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在其定义初等函数在其定义区间区间上处处连续上处处连续.7/7/20249 解解 非初等函数连续性问题举例非初等函数连续性问题举例7/7/2024107/7/202411解解7/7/2024127/7/2024131.1.有界性定理：有界性定理：2.最大最小值定理：最大最小值定理：三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质7/7/2024143.3.零点定理：零点定理：7/7/2024154.4.介值定理：介值定理：推论：推论：7/7/202416f(x)g(x)7/7/202417证证构造辅助函数构造辅助函数 介值定理的证明介值定理的证明7/7/202418则有则有且且7/7/202419解解试算试算根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根7/7/202420 证证 7/7/202421 证证 7/7/2024227/7/202423 证证 7/7/202424 证证 7/7/202425矛盾！矛盾！7/7/202426导数与微分导数与微分7/7/202427一、引言一、引言两个典型背景示例两个典型背景示例 例例1 1 运动物体的瞬时速度运动物体的瞬时速度设汽车设汽车沿沿t轴作直线运动轴作直线运动,若己知其运动若己知其运动规律规律(路程与时间的函数关系路程与时间的函数关系)为为求在时刻求在时刻 的瞬时速度的瞬时速度.7/7/202428解解 如果极限如果极限存在存在,这个极限值就是汽车这个极限值就是汽车的的瞬时速度瞬时速度.7/7/202429 例例2 2 曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题 什麽是曲线的切线？什麽是曲线的切线？7/7/2024307/7/2024317/7/202432
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