清华大学微积分高等数学教学课件第18讲定积分三

第十八讲第十八讲 定积分定积分（三）（三）一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法 （例题）（例题）二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法三、综合例题三、综合例题7/7/20241一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法定理定理1:(1:(定积分的换元积分法定积分的换元积分法)7/7/20242 证证(1)(1)7/7/20243为什麽为什麽?定积分与积分变量定积分与积分变量 所用字母无关！所用字母无关！例如例如:从而由换元公式，得从而由换元公式，得7/7/20244例例2例例3解解解解7/7/20245证证（1）（2）（3）证证(1)+(3)=07/7/20246所以所以例如例如7/7/20247二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法定理定理2:(2:(定积分的分部积分法定积分的分部积分法)7/7/20248 证证 利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式7/7/20249即即7/7/202410 解解 7/7/202411 解解 7/7/202412 解解 7/7/2024137/7/2024147/7/202415三、综合例题三、综合例题 证明证明 两边积分两边积分 例例117/7/202416几何解释：几何解释：即即7/7/202417柯西柯西-许瓦兹不等式许瓦兹不等式证证两边积分两边积分关于关于t 的二次三项式的判别式的二次三项式的判别式即即7/7/202418分析：右边是一次积分，左边是两次积分，分析：右边是一次积分，左边是两次积分，左边算出一次。左边算出一次。7/7/202419可以应用定积分计算的量有如下特点可以应用定积分计算的量有如下特点:1、微元分析法、微元分析法四、定积分应用四、定积分应用7/7/202420关键是关键是部分量部分量的近似的近似7/7/202421微分近似微分近似微元分析法微元分析法7/7/2024222、几何应用几何应用（一）平面图形的面积（一）平面图形的面积1.直角坐标系下平面图形面积的计算直角坐标系下平面图形面积的计算根据定积分的定义和几何意义知根据定积分的定义和几何意义知7/7/202423面积微元面积微元7/7/202424解解7/7/2024257/7/202426解解7/7/202427面积微元面积微元2.极坐标系下平面图形面积的计算极坐标系下平面图形面积的计算7/7/202428解解7/7/2024293.3.参数方程下求图形面积参数方程下求图形面积7/7/202430 解解 7/7/202431xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！