随机事件的概率

第一章 随机事件的概率 第一节 随机事件第二节 随机事件的概率第三节 条件概率第四节 独立性 主观概率 第一节 随机事件一、随机试验与样本空间二、随机事件三、事件间的关系与运算一、随机试验与样本空间一、随机试验与样本空间1 试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果2 进行试验之前不能确定哪一个结果会出现 其中，可以在相同的条件下重复进行的随机试验称为可重复的随机试验，否那么称为不可重复的随机试验 随机试验的所有可能结果组成的集合。T HTHTHHHTTTHTHHHTT1次0次2次在某一批产品中任选一件，检验其是否合格记录某大超市一天内进入的顾客人数 在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命 观察某地明天的天气是雨天还是非雨天 二、随机事件在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命规定电视机的寿命超过10000小时时为合格品 满足这一条件的样本点组成 的一个子集 称 为随机试验 的一个随机事件 根本领件：随机试验 有两个基本事件 和 随机试验 有三个基本事件 、和样本空间的两个特殊子集 它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件 它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生称之为不可能事件 由一个样本点组成的单点集 三、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件 研究规那么：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定 子事件和事件积事件差事件互斥互不相容对立事件逆事件运算规律子事件和事件积事件差事件互斥对立事件运算规律4、对偶律 注：这些运算规律可以推广到任意多个事件上去 1、交换律2、结合律3、分配律例1 设 ，是随机事件，则事件 与 发生，不发生可以表示成 ，至少有两个发生可以表示成 ，恰好发生两个可以表示成 ，中有不多于一个事件发生可以表示成例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，每个水源都足以供应城市的用水，设事件于是“城市断水这一事件可表示为“城市能正常供水这一事件可表示为甲乙12城市3第二节 随机事件的概率一、频率与概率二、概率的性质三、等可能概型古典概型四、几何概型一、频率与概率概率定义1抛硬币实验试验者德摩根蒲丰K皮尔逊K皮尔逊罗曼诺夫斯基2048404012000240008064010612048601912012396990.51810.50690.50160.50050.4923这说明频率具有一定的随机波动性对于可重复进行的试验，当试验次数 逐渐增大时，事件 的频率 都逐渐稳定于某个常数 ，呈现出“稳定性”。因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值。我们称这一定义为概率的统计定义。这种“稳定性也就是通常所说的统计规律性。频率具有如下性质 1 非负性2 标准性3 有限可加性设E是随机试验，W是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足以下条件：概率的公理化定义1 非负性2 标准性3 可列可加性二、概率的性质性质1性质2有限可加性性质3 性质4 性质5性质6加法公式 性质5证明：证明 性质5证明 性质6性质6（加法公式）证明：因为且故由性质2和性质3得：性质6可以推广到多个事件的情形。例如例1 设 、为两事件，且设 ，求解而所以于是例2 设证明证三、等可能概型古典概型1 试验的样本空间只含有有限个元素，即 2 试验中每个根本领件发生的可能性相同，即 具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论开展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型 THTHHHTT例3 将一枚硬币抛二次2解1先给出一个记号，它是组合数的推广，规定 例4 设袋中有只4白球和4只黑球，现从袋中无放回地依次摸出4只球即第一次取一球不放回袋中，第二次再从剩余的球中再取一球，此种抽取方式称为无放回抽样。试求 1取到的两只球都是白球的概率；2取到的两只球颜色相同的概率；3取到的两只球中至少有一只是白球的概率 解 记(1)3类似于1，可求得2例5 将 个球随机地放入 个盒子中去，设盒子的容量不限，试求（1）每个盒子至多有一只球的概率；（2）个盒子中各有一球的概率 解 将 个球放入 个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入 个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的方法。(2)个盒子可以有 种不同的选法。对选定的 个(3)盒子，每个盒子各有一个球的放法有 种。由乘 法原理，共有 种放法，因此所求概率为 (1)每个盒子中至多只有一只球,共有 种不同的方法，因此所求的概率为例6 女士品茶一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中区分出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成。做了10次测试，结果是她都正确地区分出来了。问该女士的说法是否可信？10次试验一共有 个等可能的结果 解 假设该女士的说法不可信，即纯粹是靠运气猜对的。在此假设下，每次试验的两个可能结果为：奶茶 或 茶奶且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题。假设记则 只包含了 个样本点中一个样本点，故四、几何概型古典概型是关于试验的结果为有限且每个结果出现的可能性相同的概率模型。一个直接的推广是：保存等可能性，而允许试验的所有可能结果为直线上的一线段，平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多个结果的情形，称具有这种性质的试验模型为几何概型。若在一个面积为 的区域 中等可能地任意投点，这 里“等可能”的含义是：点落入 中任何区域 的可能性的大小与区域 的面积 成正比，而与其位置和形状无关。由知 从而几何概率 记事件则有第三节 条件概率一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率例1 一个家庭中有两个小孩，其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？假定生男生女是等可能的由题意，样本空间为(1)表示事件“其中有一个是女孩”，表示事件“两个都是女孩”，则有由于事件已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件包含的根本领件只占其中的一种，所以有解在这个例子中，假设不知道事件已经发生的信息，那么事件发生的概率为 其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原来的 缩减为 ，而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的 这里 (2)关系式2不仅对上述特例成立，对一般的古典概型和几何概型问题，也可以证明它是成立的 上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用如果回到原来的样本空间W中考虑，显然有从而即(3)可以验证，条件概率P(|A)满足概率公理化定义中的三条公理 定义1事件A发生的条件下事件B发生的条件概率根据具体的情况，可选用以下两种方法之一来计算条件概率P(B|A)1在缩减后 WA 的样本空间中计算；2在原来的样本空间W中，直接由定义计算1 非负性2 标准性3 可列可加性例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球。1第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；2第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。解1可以在缩减的样本空间 WA1上计算。因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取球时，所有可取的球只有9只。WA 中所含的根本领件数为9，其中黑球只剩下2个。所以 记2由于第二次取球发生在第一次取球之后，故WA2的结构并不直观。因此，直接在W中用定义计算P(A1|A2)更方便些 因为所以 例3 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球。1第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；2第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。解1可以在缩减的样本空间 WA1上计算。因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取球时，所有可取的球只有9只。WA 中所含的根本领件数为9，其中黑球只剩下2个。所以 记2由于第二次取球发生在第一次取球之后，故WA2的结构并不直观。因此，直接在W中用定义计算P(A1|A2)更方便些 因为所以 例4 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？解 记 因此要求显然因为从而 可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643。在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡。二、乘法公式定理1 乘法公式那么由归纳法可得：那么由可得例5 一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地从袋中取两球。试求两次均取到白球的概率。解记要求显然因此例6 某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品。为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，那么他拒绝购置这一批产品。求采购员拒绝购置这批产品的概率解则从而 设由乘法定理于是由题意，有三、全概率公式与贝叶斯公式下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立两个计算概率的公式。先引入一个例子 例7 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12。两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为2:3。(1)在仓库中随机地取一件成品，求它是次品的概率(2)在仓库中随机地取一只成品，假设取到的是次品，问该此次品分别是由第1、2车间生产的概率为多少？从而（7）于是（8）解(1)记（6）因为（2）问题归结为计算 和 由条件概率的定义及乘法公式，有(9)(10)定义2定理2全概率公式那么定理3 贝叶斯Bayes公式 与与全概率公式全概率公式刚好相反，刚好相反，贝叶斯公式贝叶斯公式主要用于当观主要用于当观察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小。例8 假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存折利率的变化。经分析，该时期内利率下调的概率为60，利率不变的概率为40。根据经验，在利率下调时某支股票上涨的概率为80，在利率不变时，这支股票上涨的概率为40。求这支股票上涨的概率。解故由全概率公式 例9 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%。一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1%的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性。现设某人检查出呈阳性反响，问他确患有此疾病的概率是多少？解显然且 由贝叶斯公式可得 记B1与B2形成W的一个划分例10 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1。一顾客欲买一箱玻璃杯，在购置时，售货员随机地查看4只，假设无残次品，那么买下该箱玻璃杯，那么退回。试求：1顾客买下该箱玻璃杯的概率 a；2在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率 b解1由全概率公式2由贝叶斯公式记第四节 独立性 主观概率一、独立性 二、主观概率一、独立性 1、两个事件的独立性 因此 类似地 例1 袋中有6个白球，2个黑球，从中有放回地抽取两次，每次取一球，记A=第一次取到白球B=第二次取到白球，那么有(1)定义1假设例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，求目标被击中的概率解定理1证注：事件的独立性与事件的互不相容是两个完全不同的概念定义2 2、多个事件的独立性利用数学归利用数学归纳法，可把纳法，可把定理定理1推广推广至有限多个至有限多个事件的情形事件的情形 定理2则也相互独立定理3证利用独立性的概念简化计算(1)(2)例3（保险赔付）设有 个人向保险公司购买人身意外保险（保险期为1年），假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01，（1）求保险公司赔付的概率；（2）当 为多大时，使得以上赔付的概率超过 解(1)记(2)例4 设有电路如以下图所示，其中1，2，3，4为继电器接点，设各继电器接点闭合与否是相互独立的，且每一继电器接点闭合的概率均为P，求L至R为通路的概率。解设例5 根据以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%(记这一事件为 )，损坏10%(记这一事件为 )，损坏90%(记这一事件为 )且 ，设物品件数很多，取出一件后不影响后一件取的是否为好品的概率，现从已被运输的物品中随机地取3件，发现这三件都是好的（记这一事件为 ），试求 解 在被运输的物品中，随机取3件，相当于在物品中抽 取3次，每次取一件，作不放回抽样。由于抽取一件 后，不影响取后一件是否为好品的概率，已知当 发 生时，一件产品是好品的概率为 由独立 性可知，随机取3件，它们都是好品的概率为 即同样 又现且此时，全概率公式和贝叶斯公式仍能够应用，由贝叶斯公式可得：二、主观概率对于不可重复进行的实验，在符合概率的公理化定义的三个根本条件下所定义的概率。主观概率确实定或是依赖于经验所形成的个人信念，或是依赖于对历史信息的提炼，概括和应用。主观概率确实定虽然带有很大的个人成分，但并不是完全的臆测，并且主观概率在一定的条件下，还可使用贝叶斯公式加以修正。主观概率至少是频率方法及古典方法的一种补充有了主观概率，至少可以使人们在频率观点不适用时也能谈论概率，且能使用概率统计方法解决相应的实际问题。例6 某商店经理要知道一种新品种的牛奶畅销（记为事件A）的概率是多少，以决定是否向生产该牛奶的厂家是否订货及订多少。他了解了该牛奶的质量和顾客对饮料的口味需求信息，再基于他多年成功销售的经验，认为事件A发生的可能性是 发生可能性的三倍，即因此