矩阵理论第一章线性空间与线性变换13课件

矩阵理论矩阵理论主讲教师主讲教师 杨建平杨建平教材:矩阵论及其应用(中国科技大学出版社中国科技大学出版社,黄有度等黄有度等)参考书:矩阵分析(北京理工大学出版社,史荣昌)矩阵理论(高等教育出版社,黄廷祝等)矩阵论(科学出版社,戴华)矩阵理论矩阵理论内容简介内容简介第二章 矩阵与Jordan标准形第三章 矩阵分析及矩阵函数第四章 矩阵微分方程第五章 广义逆矩阵 第一章 线性空间与线性变换第一章第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换1.1 线性空间1.2 线性子空间1.3 1.3 内积空间内积空间1.4 线性变换 内容简介1.1 1.1 线性空间线性空间1、线性空间的定义 2、基、维与坐标3、基变换与坐标变换 内容简介1、线性空间的定义 定义1 是非空集合，在为数域，在 中定义了一种代数运算，叫做加法，就是说，给定了一个法则,对于 中任意两个元素 和中都有唯一的一个元素 与他 们对应，称为 与的和,记作 在数域P与集V的元素之间还定义了一种运算，叫做数乘，就是说,对于 中任一数k与 中任一元素 在 中都有唯一的元素 与他们对应，称为 和 的数乘，记成 如果加法与数乘满足下述规则，则称 为数域 上的线性空间（有时也称为在 上的向量空间）设1.1 线性空间加法满足下列四条规则：称为称为V V的的零元素；零元素；具有此性质的元素具有此性质的元素0，；都有都有中任一元素中任一元素，使，使中有一个元素中有一个元素0对对V0V在在)3(a aa aa a；的负元素，记为的负元素，记为成为成为，使得，使得中元素中元素，都有，都有中每一个元素中每一个元素对于对于a aa ab bb ba ab ba a0V)4(V数乘满足下列四条法则：的全体 元数组 构成数域 上的一个线性空间，这个线性空间我们常用 来表示。当为复数域时，上述线性空间称为 元复向量空间，记作 当 为实数域 时，上述线性空间称为 元实向量空间，记作 由定义知，几何空间全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间，分量属于数域例1 复数域 上次数不超过 的一元多项式全体 按通常多项式加法和数与多项式乘法，构成一个复数域 上的 线性空间，记为 对于通常的多项式加法，数乘多项式两种运算显然满足线性运算规律，且对运算封闭：所以 是一个线性空间。是一个线性空间。对运算不封闭。例2 次多项式的全体 且 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间，这是因为：即 元素属于数域 P 的 例3 全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法构成一个 实数域R上的线性空间。例4 矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用 表示。若P为复数域C，则 记为 例5 给定 记 按 中的加法和数乘运算，则 和 都是复数域C上的线性空间，其中 叫做矩阵A的零空间，(或核），也叫做方程组Ax=0的解空间。证明：设 则存在 使得 又 为线性空间,故 因此 又 故 当 同理，时，有 由于 为线性空间，容易验证 故 中的加法和数乘满足8条规则，为C上的线性空间。类似地可证 为C上的线性空间。2、基、维与坐标定义2 设线性空间V中，有n个元素 满足(2)V 中任一元素总可由 线性表示；线性无关;(1)则 称为线性空间 V 的一个基，n称为 线性空间V的维数，记作 维数为 n 的线性空间称为n维线性空间，记为 根据定义2，若 为 的一个基，且对任意元素 都存在一组有序数 使得 易证，这组数是唯一的，事实上，若有另一组数 使得 则有：由 的线性无关性知 反之，任给一组有序数组 总有唯一的元素 可由 线性表示为：由此可得下面定义3。事实上，若有 则 从而可知，若 为 的一个基，则 中元素的全体可表示为：由此可见，V中的元素 与有序数组 之间构成一一对应关系。因此，可用这组有序数表示 定义3 设 为线性空间 的一个基，对于任一向量 有且仅有一组有序数 使得：则称 为向量 在基 下的坐标，记作：或求例7的基，维数及向量 f(x)的坐标。解：取 如果在 中取另一个基：则把f(x)在处按 Taylor 公式展开后，有 即得f(x)在基下的坐标为：故 为 的一组基，且 的维数为 则f(x)在这组基下的坐标为：显然 是 中 个线性无关的向量，中每个多项式 可用之线性表示为例8在 n 维线性空间 中，它的一个基为：对于任一向量 有 所以，为向量 在基 下的坐标。可以证明也是 中的一个基，在基 下，对任一向量 有：所以，在基 下的坐标为：例9 线性空间 的一个基为：在 中除第 i 行第 j 列的元素是1外，其余元素都是0，任一 矩阵：都可表示为：因此，矩阵 的坐标为：引进了线性空间 的基 以后,不仅把 中抽象的 向量 与具体的有序数组向量：联系起来了，而且还把 中抽象的线性运算与有序数组向量的线性运算联系起来了。设 记于是有：即 的坐标为：的坐标为：这样，线性空间 与其对应的坐标空间 从代数结构上看，就没有本质上的区别了。定义定义4 4 设设 与与 同为域同为域 P P 上的两个线性空间，若上的两个线性空间，若 与与 的元素之间可建立一一对应关系：的元素之间可建立一一对应关系：且当且当 时，必有时，必有 则称在域则称在域 P P 上的线性空间上的线性空间 与与是同构的，且称一一对应为是同构的，且称一一对应为 与与之间的之间的同构对应同构对应。显然，任何域显然，任何域P P上的上的n n维线性空间都与维线性空间都与P Pn n同构。因此，域同构。因此，域P P上维数上维数相等的线性空间也都彼此同构。相等的线性空间也都彼此同构。3、基变换与坐标变换 我们知道，在线性空间 中含有n个向量的线性无关组不是唯一的，因此它的基是可供选择的，同一个元素在不同的基下应有不同的坐标，那么不同坐标之间有怎样的关系呢？下面就来讨论这个问题。设 和 是线性空间中的两个不同的基，令：（1.1）把n个有序元素 记作 利用向量和矩阵的形式，（1.1）式可表示为：或 其中：（1.1）或(1.2)式称为基变换公式，矩阵P称为基 到基 的过渡矩阵（亦称转移矩阵）。由于 线性无关，故过渡矩阵P为可逆矩阵。定理1 设元素,它 在基 下的坐标为 在基 下的坐标为 若两个基满足关系式（1.2)则有坐标变换公式：或（1.3）证明 因为 由于 线性无关，故（1.3）式成立。定理1的逆命题也成立，若线性空间 中任一元素的两种坐标满足变换公式(1.3)，则两个基满足变换公式(1.2)。例10 设 空间中的向量 下的表达式为 在基 求 在基 下的坐标，这里 则 解：先求基 到基 的过渡矩阵 由于 则所求过渡矩阵为：由此可求得 于是，由(1.3)式可得 在基 下的坐标为：因而，在基 下的表达式为 例11 求向量 对于基 的坐标。解：设 即 由 线性无关，知 A 可逆 因此：因此有：补充：设V是数域R上所有实函数构成的线性空间，讨论V中元素组 的线性相关性。解：设一组数 使得 该式两端对 t 求一阶和二阶导数，并与原式联立可得：则方程组有唯一零解，所以，中元素组 线性无关则 线性无关，反之，则线性相关。同理，当1.2 线性子空间内容简介1、子空间 2、子空间的交与和 1.2 线性子空间线性子空间1、子空间、子空间 定义定义1 设V是线性空间，S为V中的一个非空子集，如果S对于V中所定义的加法 和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称S为V的一个 线性子空间线性子空间，简称子空间子空间。定理定理1 线性空间V的非空子集S构成子空间的充分必要条件是，S 对 V 中的线性运算具有封闭性。其等价含义即为：合在一起即为：既然线性子空间也是一个线性空间，前面引入的基、维数、坐标等的概念也可用到子空间中，由定义易知 有有例例1 在三维几何空间中，过坐标原点的平面是它的一个子空间，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间。例例2 在线性空间中，由单个的零向量组成的非空子集是一个线性子空间，叫做零子空间零子空间，记作0，其维数规定为0，即 例例3 线性空间V是它自身的一个子空间 零子空间和线性空间 V 自身这两个子空间叫做 V 的平凡子空间，而 V 中其它线性子空间叫做非平凡子空间（也称为 V 的真子空间）例例4 设 是线性空间V的一组向量，是任意一组数，它们的线性组合 构成的集合是非空集，而且对线性运算 是封闭的，因此，它是 V 的一个子空间 S，并称 S 是由向量 所生成的子空间生成的子空间，记作：显然，若 线性无关，则 例4 不仅给出了构造线性子空间 S 的一个方法，而且在有限维空间中，任一子空间都可以由这个方法得到。例例5 在 中次数不高与 的多项式的全体 构成一个r维子空间，显然 是该子空间的一个基，子空间可表示为 例例6 给定 集合 是 的线性子空间。2、子空间的交与和、子空间的交与和 定理定理2 设 都是线性空间V的子空间，用 表示 中公共元素的集合，则 也是V的子空间，称为子空间 的交交。与与证明证明 由于 所以 从而 是非空集。若 则 且 由于 是子空间，故 因此，所以，设 是 V 的子空间。例例7并设 分别表示 和 的解空间，则 就是齐次方程组 的解空间。例例8 几何空间中两张过原点的不重合的平面是两个二维子空间，他们的交是一条直线，是一维子空间（要求过原点是为了保证有零向量,即零元素）。定理定理3 设 是线性空间V的子空间，用 表示形如（其中 的向量组成的集合，则 也是V的子空间，称为 的和和。与证明证明 显然，是非空子集，若 则 可表示为：于是 由于 都是子空间，所以 按照 的定义可知 因此，是子空间。在线性空间V中，分别是向量组 及 生成的子空间，他们的和记作：与而它们的交记为：其中：是 的公共元素。例例9 设 求 与 的和及交的维数和他们的基,解解：因为和 向量组 的秩为3，且 是它的一个极大线性无关组，所以：而 是 的一个基，即 下面求交 的基，设向量 则有 使得：即：由此得到关于 的齐次线性方程组 其基础解系为 即 又因为 故 而 是 的一个基，即 定理定理4 两个向量组 张成相同子空间 的充要条件是这两个向量组等价，即这两个向量组可相互线性表示。证证 必要性.则每个 作为 中的向量，都可以由向量组 线性表示，同样，每个 作为 中的向量，都可由向量组 所以这两个向量组等价.线性表示，充分性.若两个向量组等价，则 中的向量都是 的线性组合，它们都可由 线性表示。同理，中的每个向量也都可由 线性表示，因此，它们张成的子空间相同，即：若 张成相同子空间，即 定理定理5 的维数 等于向量组 的秩。证证 设向量组 的秩为r，并设 为它的一个极大线性无关组，则 与 等价，因此，中的每个向量都可由 线性表示，根据定义，的维数为r。定理定理6 设 是 n维线性空间 的一个r维子空间，是 的一个基，则这组向量可以扩充为整个空间的基，也就是说，在 中可以找到n-r个向量，使得：为 的一个基。关于两个子空间交与和的维数，有下面的定理：定理定理7（维数公式）（维数公式）若 为线性空间V的子空间，则 证明见书P16P17 推论推论 如果n维线性空间 的两个子空间 的维数之和大于n，则 必含有非零的公共向量。证证 由假设有：最后一个不等式成立是由于 是 的子空间，因此有 所以，为非零子空间，必含有非零向量。子空间的直和子空间的直和定义定义2 设 是线性空间V的两个子空间，若其和 中每个向量 的分解式 是唯一的，则和 称为直和，记为 定理定理8 是 的充要条件是 证证 必要性 任取 则零向量0可表示为 因 是直和，所以零向量的分解式也是唯一的，于是有：充分性 设 有两个分解式：则必有：其中 由题设知 说明对任意 的分解式是唯一的，从而 是直和。的充要条件是 定理定理9 是直和 证明证明 必要性:若 是直和 由定理8知 故,所以 充分性.设 由维数公式 故有：故 由定理8知 是直和 证毕 由此可知,若 是直和 在 中分别取一个基 组成的向量组 就是 的一个基。及及的一个子空间，则一定存在 定理定理10 设 是 的另一个子空间 使得 证证 取 的一个基 把它扩充为 的一个基 令 则 即满足要求。若线性空间 表示成直和：则称 互补互补，即 的补空间，的补空间，并称 为直和分解直和分解（即空间分解即空间分解）为为例例9 在 中，设,则 因而 不是直和 例例10 在 中，设 若设 则存在 使得：由此可得：注意到 线性无关，则有：即 于是 因此，直和分解也可推广到多个子空间，例如：其中 为单位坐标向量。1.3 1.3 内积空间内积空间1.内积空间2.正交性和施密特（Schmidt）正交化方法 3.内积的表示CauchySchwarz不等式 4.空间的正交分解内容简介1.1.内积空间内积空间（4）当且仅当 时，定义定义1 1 设 是数域P上的线性空间，对于 定义V到P的一个代数运算，记作（1）（2）（3）满足下列四个条件：如果则称为 与 的内积,定义了内积的线性空间V称为内积空间 称实数域R上的内积空间为欧几里得空间欧几里得空间（Euclide），为向量 的范数范数或长度长度，记作 今后用 表示 维欧氏空间。称复数域C 上的内积空间V为酉空间酉空间（Unitary Space）.简称欧氏空间欧氏空间。例例1 1在向量空间 中，对向量 定义内积为：易证它满足定义1中的四条，故 在此内积下为欧氏空间。（1）（2）（3）（4）当且仅当 时利用定积分性质，易证，在此内积下，为欧氏空间。例例2 2 是 上由所有实连续函数构成的线性空间，对于任意 定义内积 的内积，例例3 3设 是 阶正定阵，即，且对任意 维非零向量 有，对，定义 易证 这也是 在此内积下为欧氏空间。证：（1）为一实数；（2）（3）（4）由于 是正定矩阵，故 是正定二次型。从而 且仅当 时，由此可知，在这一定义之下成欧氏空间。2.2.正交性和施密特（正交性和施密特（Schmidt）正交化方法）正交化方法（或 有下面的正交性定义：定义定义2 2 若，则称 与正交正交，记为 由正交的定义易知，零向量和任何向量正交。正交系正交系：在内积空间 中，一组非零向量 若它们两两正交，则称其为一个正交向量组（亦称正交系）。定理定理1 1 若 是空间（或）中的一个 有了内积，即可引进正交性概念，设），非零正交系，即 则 必线性无关。证明证明 设若有：则对任何，必有：因为，所以，于是有 即 线性无关。定义定义3 设 为 中的一个正交系，若 则称 为 中的一个标准正交系标准正交系。下面讨论空间 中标准正交系存在性，并介绍Schmidt 正交化方法，从而为在空间中建立标准正交基打下基础。定理定理2 2 在空间 中必存在标准正交系 即 其中 称为克罗内克尔得尔塔（Kronecker delta）此定理的证明是一种构造性证明，所用方法称为Schmidt 正交化方法，在此不进行证明，只给出Schmidt正交化公式。设 是 的一个基 令 则 两两正交，再将 单位化，即令：，从而向量系 就是 的一个标准正交基。例例4 4 把化成单位正交的向量组。解解：先正交化，得 再单位化，得：定理定理3 3 设 为酉空间 中的一个标准正交基，任意向量 在这个基下的坐标为，则 对于 的矩阵，用 表示以 的元素的共轭复数 作元素的矩阵，如果矩阵 满足，则 称为厄尔米特（厄尔米特（Hermite）矩阵）矩阵（也记作 或）。如果（此处）则称A为酉矩阵。如果如果则称则称A为反为反厄尔米特（厄尔米特（HermiteHermite）矩阵）矩阵定理定理4 4 设 分别为酉空间 中的两组标准正交基，则 到 的过渡矩阵为酉矩阵。3.3.内积的表示内积的表示CauchySchwarz不等式不等式定理定理5 5 CauchySchwarz不等式不等式设有酉空间，则对于任意的，恒有不等式关于复内积有下面的结论：(1)由定义（2）证明 若，则结论显然成立 若，则对任意复数，有：取，以正数 乘上式两端，并整理得：两边开方取算求根：若线性相关，设，则若 线性无关，必有 则 于是有：由CauchySchwarz不等式，可得以下两个三角不等式今后，用 表示向量 之间的距离，记作 即 它有如下性质：（1）正定性：（2）对称性：（3）三角不等式：设 且 4.4.空间的正交分解空间的正交分解 线性空间的直和分解在前面已介绍过，现在有了内积，就可以考虑一种特殊的直和分解，即空间的正交分解。是中两个子空间，若对于 和都有 则称 与正交，记作 设是中两个子空间，若对于 则子空间 称为子空间 的正交补，的正交补空间记为 因为只有零向量与它自身正交，所以由 可知，故可知两个正交的子空间的和 必为直和 定理定理6 6 若内积空间 的子空间 两两正交，则和 必为直和。证明证明 只须证零向量分解唯一设用分别与上式两端向量作内积，得：故知 即零向量分解唯一，定理得证。设为酉空间 的一个 维子空间，是它的 一个正交基，可以添补 个正交向量 使得 成为 的一个正交基，记所生的子空间为：其维数为 且其中任一向量 和子空间 中的任何 向量都正交，因此，称这个 维子空间为 的正交补空间正交补空间，记作 即，且 例例3 3 设欧氏空间 中标准正交基为 它的子空间，其中，求 解解：设中的向量 由得得基础系为：于是有：，因此 例例4 4设欧氏空间 中的多项式 与的内积为：取，记子空间（此处）(1)求的一个正交基。（2）将分解为两个正交的非零子空间的和。解：（1）设，则有 即 则有，于是可得：取的一个基为，并进行正交化可得：那么，是的正交基。（2）令，则 与正交，且 1.4 线性变换线性变换 1.映射(变换)内容简介2.线性变换的运算 3.线性变换的矩阵表示4.线性变换的值域与核 1.4 1.4 线性变换线性变换 1.1.映射映射(变换变换)定义定义1 1 与 B 设有两个非空集 A ，所谓集A到集B的一个映射映射,就是指定一个法则,它使 A 中的任一元素 都能与 B 中一个确定的元素 相对应。如果 映射 T使 与 对应,则记为:称为 在映射T T下的象象,而 称为 在映射T 下的原象原象,A 称为映射T 的原集原集,象的全体称为象集象集,记作 ,即 显然,例例1 1 设 A是全体整数的集合,B 是全体偶数的集合,定义,则 T是 A 到 B 的一个映射.定义定义2 2 设 分别为数域 P上的 n 维和 m 维线性空间,T 是一个 到 的映射,如果映射 T 满足:(1)(2)则称 T为 到 的线性映射线性映射或线性算子线性算子.特别地,若,则称 T 为线性空间 中的线性变换线性变换.中的线性变换的性质:(1)(2)若 则 若对于,恒有,则称 T 为零变换零变换,记作0,即 若对 恒有,则称 T 为恒等变换恒等变换,记作 I,即(3)若 线性相关,则 也线性相关,但其逆不真.例如,零变换将任一组线性无关的向量都变为零向量.例例2 2 设 V 是闭区间 上任意可导实函数全体,易证它是实数域 R 上的线性空间,对任意 令,易证 D 是 V 的线性变换,称为微分算子微分算子.2.2.线性变换的运算线性变换的运算 (1)线性变换的相等 设 为两个线性变换,若,则称 与相等相等,记作(2)线性变换的和 设 为 中的两个线性变换,对于任一元素,与 相对应的变换称为 与 的和和,记作 即:(3)线性变换的数乘 P 为数域(4)线性变换的乘积 设 为 中的两个线性变换,与 对应的变换称为 与 的积积,记作,即 定理定理1 1 设 是线性空间 中的两个线性变换,则,都是 的线性变换.注意:一般地 例例4 4 在 中定义线性变换 因为 所以 例例5 5 设,定义 为,则 T 为线性变换 证证 设,则 所以,T 为线性变换.定义定义3 3 设 T 是线性空间 V 的线性变换,若存在 V 的另一个变换 S,使 则称线性变换 T 是可逆的,S 称为 T 的逆变换,记作 易证 也是线性变换.3.3.线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示定义定义4 4 设 T 是线性空间 V 中的线性变换,是的一个基,如果这个基在 T 下的象为:若记 则上式可表示为:其中 则 A 称为线性变换 T 在基 下的矩阵.注意：A 不一定可逆.定理定理2 2 设 T 为 中的线性变换,它在基 下的矩阵为 A,如果 与 在此基下的坐标分别为 与，则 证明证明 由假设 由于 又 由于 线性无关,所以:定理定理3 3 设在线性空间 中,从基 到 的过渡矩阵为 中线性变换T 在这两组基下的矩阵依次为 A 及 B,则.证明证明 由假设知,由于 P 可逆,故:由 线性无关性可知:即 A 与 B 为相似的矩阵,记作 P,定理定理4 4 设 A 与 B 分别为线性变换 与 在基 下的矩阵,这个基下有:则在的矩阵为（2）（1）的矩阵为（3）的矩阵为 AB；（4）若 可逆,则 的矩阵为.中,例例6 6 在由次数不超过n 的一元多项式集合构成的线性空间 取基为:设 D 为微分算子,求 D 在所给基下的矩阵 由于:即:故 D 在基 下的矩阵为:若取基为:由于 即由基 到基 的过渡矩阵为:且有 故 D 在基 下的矩阵为:定义定义5 5 设 T 是线性空间 V 的一个线性变换,T 的全体象组成的集合称为 T 的值域值域,用 表示（或用 表示）也称为 T 的象空间象空间.即:所有被T 变成零向量的向量构成的集合称为 T 的核核,记为 或,有时也称 为 T 的零空间零空间,记为 即:易证:线性变换 T 的象空间 及零空间 均为 V的子空间.事实上,由 4.4.线性变换的值域与核线性变换的值域与核 可知,是非空集且对线性运算封闭,因此,为 V 的子空间（此处 且 另一方面,由 有:即 对于线性运算也是封闭的,又因为,即 非空,所以 是 V 的子空间.例例:在线性空间 中,令,则微分算子 D 的值域就是,D 的核 就是数域 P（即对于,若使,则 只能 取常数）.称 的维数 为 T 的秩的秩,记为;称 的维数 为 T 的零度的零度,记为（1）即 T 的值域是由基的象生成的子空间。（2）证证：（1）设 定理定理 5 5 设T 为线性空间 上的线性变换，为 的一个基，在该基下的矩阵为A,则：可由 线性表示为 于是：所以 又由 式知，基象的线性组合仍为一个象，故 即于是（2）不证 定理定理6 6 设 T 是线性空间 上的线性变换,则 即 不证注意注意:子空间 与 的维数之和为 的维数n,但 并不一定就是,例如:在线性空间 中,令,则 就是,而 就是子空间 P,显然.定义定义4 4 设 T 是 上的线性变换,是 的子空间,如果对于任意的,有,则称 为 T 的不变子空间不变子空间,简称 T T 子空间子空间.例例7 7 都是 T 子空间。按定义,显然包含了 中向量的象,所以 是T的不变子空间而 是被T变为零的向量的集合，中向量的象都是零，自然在 中。因此，也是不变子空间。例例8 8如果线性空间 的子空间 由 所张成.则 是 T-子空间的充分必要条件是 全部属于 证证:必要性是显然的:因 是 T-子空间,对于 故 充分性:如果 由于 所以有:舒尔定理（舒尔定理（Schur)引理引理 若若n元复向量元复向量的范数的范数则有酉矩阵则有酉矩阵U以以为它的第为它的第1列向量。列向量。证证 先考虑n个未知变量 的线性齐次方程式中取式的任一非零解，令则为与正交的单位向量设已求得r-1个两两正交的单位向量若是线性齐次方程组的任一非零解，令则为与都正交的单位向量这样可一直做下去，直到求出以为列向量的矩阵U即为所求的矩阵定理定理4（Schur定理）定理）设设A为为n阶方阵，阶方阵，为其特征值为其特征值，不论它们为实数还是复数，总存在相似酉矩阵不论它们为实数还是复数，总存在相似酉矩阵U，将将A化为三角阵，即化为三角阵，即为三角阵，为三角阵，且且B的对角线元素为的对角线元素为证证 用归纳法证明设为A的一个特征值，相应的特征向量为不妨设它为单位向量.由引理知，有一个以为第1列向量的酉矩阵因为故这里是n-1阶方阵，U为酉矩阵.显然当n=2时，是三角阵.现假定对一般的n-1,定理4的结论成立，即对任一（n-1）阶方阵，总有酉矩阵V，使得其中为三角阵，则对于n，取则也是酉矩阵.令则U也是酉矩阵.故酉矩阵酉矩阵 对于对于n阶矩阵阶矩阵A，若，若则称则称A为酉矩阵为酉矩阵推论推论1 如果如果A为为Hermite矩阵，则存在酉矩阵矩阵，则存在酉矩阵U,使得使得其中其中为为A的特征值的特征值推论推论2 如果如果A为实对称矩阵，则存在正交矩阵为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q,使得使得