环境水力学概括课件

环境水力学环境水力学 Environmental Hydraulics随流扩散方程的若干解析解环境工程教研室 郑天柱回顾回顾一、瞬时源一、瞬时源1、集中源、集中源2、分布源、分布源一维分子扩散一维分子扩散一维分子扩散一维分子扩散延伸分布源延伸分布源有限分布源有限分布源注意点：公式中的注意点：公式中的 x x应理解为应理解为计算点计算点P P距排放点距排放点的距离的距离；t t 应理解为应理解为距某一指定时刻的时段长距某一指定时刻的时段长。第三节第三节 若干定解条件下一维扩散方程的解若干定解条件下一维扩散方程的解1、集中源2、起始分布源1)1)一维延伸分布源一维延伸分布源2)2)一维有限分布源一维有限分布源二、时间连续源1）、）、一维延伸分布源一维延伸分布源 物理模型：物理模型：在一条长管中，左端（在一条长管中，左端（x x00）充满了浓充满了浓度均匀的红色染液，染液浓度为度均匀的红色染液，染液浓度为c c0 0,管子的右端（管子的右端（x x0 0）装满清水。装满清水。在在t t =0=0时，突然开启隔离红色染液和清水的闸板。时，突然开启隔离红色染液和清水的闸板。管左端的红色染液立即向右端扩散。在管左端的红色染液立即向右端扩散。在x x 正方向，正方向，初始浓度具有初始浓度具有瞬时源瞬时源的特征。的特征。建立坐标系建立坐标系,一维扩散方程为：一维扩散方程为：定解条件：xO 由于左边的红色染液是无限延伸的，所以染液只会沿x 方向扩散。误差函数误差函数性质：a)奇函数 b)余误差函数定义为余误差函数定义为利用瞬时集中源一维分子扩散的结论求解。在右端在右端x0的的浓度场，浓度场，可看成是各个可看成是各个d微元引微元引导的分浓度场的叠加。导的分浓度场的叠加。Odx-c0源分解，再叠加源分解，再叠加OxcPxOdx-c0 对于对于点而言，该点的实际浓度点而言，该点的实际浓度值是所有各个值是所有各个d扩散至这一点的浓扩散至这一点的浓度之和。度之和。O单个单个d微元引导的浓度为：微元引导的浓度为：POdXc0-xO积分求解：积分求解：-变量代换变量代换取则浓度分布浓度分布cc0 xoc0/2扩散至t 时刻浓度初始浓度一维延伸源扩散演示例题例题3：如图，某足够长的河道，在某时刻的浓度分如图，某足够长的河道，在某时刻的浓度分布为布为C C0101=10 mg/L，C02=8 mg/L，求求C(x,t)=?(已知已知 D210-5cm2/s)OC02=8 mg/LC01=10 mg/Lt=0 x例例3答案答案其中：2)一维初始有限分布源一维初始有限分布源 如果初始分布不是一端无限，而是局限在一定范围中如果初始分布不是一端无限，而是局限在一定范围中如果初始分布不是一端无限，而是局限在一定范围中如果初始分布不是一端无限，而是局限在一定范围中间，如图，染料向两端扩散。间，如图，染料向两端扩散。间，如图，染料向两端扩散。间，如图，染料向两端扩散。Odxc0zhh一维初始有限分布源浓度分布一维初始有限分布源浓度分布OdXc0zh hc设坐标原点在源的中间，则定解问题为：解法（解法（1）类似地，可通过变量代换求解，请同学们课后练习。源分解，再叠加源分解，再叠加解法（解法（2）两个延伸分布源相减：两个延伸分布源相减：所以：所以：其中：讨论：讨论：a)分布曲线关于分布曲线关于x=0 对称，且随着对称，且随着t 的增大，浓度分的增大，浓度分布渐趋平坦；布渐趋平坦；设想用一张平面在设想用一张平面在x=0点把它们截开分为两半，点把它们截开分为两半，显然不影响浓度分布。这种情况可用来表示一端是显然不影响浓度分布。这种情况可用来表示一端是固壁的有限分布源的扩散。固壁的有限分布源的扩散。b)t0,|x|h,c=c0；|x|h,c=0；满足初始条件。满足初始条件。静水中一维初始有限源扩散演示静水中一维初始有限源扩散演示二、时间连续源二、时间连续源zz若污染物质的投放不是一次瞬间完成的，而若污染物质的投放不是一次瞬间完成的，而是持续一定时间，这样的污染源称为时间连是持续一定时间，这样的污染源称为时间连续源。续源。1、一维扩散时间连续源、一维扩散时间连续源 设源断面为空间坐标的原点，开始投放时刻为设源断面为空间坐标的原点，开始投放时刻为时间起点。时间起点。Oxc0 建立坐标系。建立坐标系。扩散方程为扩散方程为：初始条件：边界条件：求解方法之一：求解方法之一：zz量纲分析法zz设解为设解为C0为恒定时间连续源的投放浓度。其中，无量纲变量zz于是：zz而而zz故故zz由于：zz因为因为zz故故zz将上述结果代入一维扩散方程中可得：可得：即：即：经过变换，把扩散方程变成了经过变换，把扩散方程变成了常微分方程常微分方程，求解，求解该方程，满足边界条件该方程，满足边界条件zz可解得：可解得：zz由边界条件由边界条件 得：得：1、一维扩散时间连续源、一维扩散时间连续源 设源断面为空间坐标的原点，开始投放时刻为时间起点。Oxc0 建立坐标系。建立坐标系。扩散方程为扩散方程为：初始条件：边界条件：求解方法之二：求解方法之二：拉普拉斯变换拉普拉斯变换 把x当作参变量，作c(x,t)关于t的拉普拉斯变换。积分变换积分变换zzLaplace变换的定义：Laplace变换的性质：1、线性运算：其中：zz2 2、指数函数：、指数函数：zz3 3、斜坡函数：、斜坡函数：zz4 4、正弦函数：、正弦函数：zz5 5、脉冲函数：、脉冲函数：zz微分变换：zz积分变换：作变换：变换为其中，A，A为积分常数。通解为：求积分常数求积分常数综合上述，令x 为离原点的距离，则有：浓度分布浓度分布 表示一维扩散、时间连续源情况下浓度的时空分布。表示一维扩散、时间连续源情况下浓度的时空分布。静水中一维时间连续源扩散演示若源点投入浓度非恒定若源点投入浓度非恒定zz对于时间连续对于时间连续非恒定源非恒定源，即，即x x=0=0处的源函数处的源函数c c0 0()随时间是变化的。随时间是变化的。c c0 0()在每个d时间增量中，x x=0=0处的浓度变化为它引导的浓度分布为：dOtt t 时刻总的浓度是时刻总的浓度是t t 以前全部时段内浓度分布的加以前全部时段内浓度分布的加和，即：和，即：若源点给定质量速率若源点给定质量速率源投放时间从源投放时间从0 0 至至t t 的每个的每个块团所引起的浓度总和，块团所引起的浓度总和，即：即：这里当恒定时：浓度分布曲线浓度分布曲线c/c0 xt1t2Ot1t2因因C(-x,t)=C(x,t)，只需考虑只需考虑x正方向即可。正方向即可。一维扩散、一维扩散、时间连续源时间连续源浓度分布浓度分布复习复习瞬时源瞬时源集中源集中源分布源分布源一维分子扩散一维分子扩散一维分子扩散一维分子扩散延伸分布源延伸分布源有限分布源有限分布源连续源连续源一维分子扩散一维分子扩散2、三维扩散时间连续源三维扩散时间连续源 如有一条排污管道，恒定地向一巨大水体排出污染物，下面来讨论这个排污口在三维扩散条件下浓度的时空分布规律。以污染源为原点，建立坐标系以污染源为原点，建立坐标系yxP(x,y,z)zmO设排污管的排污口为空间设排污管的排污口为空间坐标原点，空间任一点坐标原点，空间任一点的坐标的坐标P P（x,y,zx,y,z)。P P点至原点点至原点O O的距离是的距离是r r,管管道开始排污的时刻为道开始排污的时刻为t t=0,=0,污污染物排放速率为染物排放速率为m(g/s)m(g/s).微分方程为：微分方程为：式中：为分子扩散系数，m=常数。初始及边界条件：三维扩散时间连续源的解法三维扩散时间连续源的解法引用三维扩散瞬时点源的结果瞬时脉冲源引导的浓度分布三维扩散时间连续源的解法三维扩散时间连续源的解法 令单位时间投放的质量为m且恒定不变，若把连续时间t看作许多时间单位dt组成，瞬时脉冲源mdt释放时刻t，讨论时刻是t,源释放至讨论时刻的时间间隔是t-t，所以对空间任意点P，由瞬时点源引起的浓度为：三维扩散时间连续源的解法三维扩散时间连续源的解法引入无量纲变量：三维扩散时间连续源的解法三维扩散时间连续源的解法于是：